高二选修一椭圆的知识点
椭圆是高中数学的重要内容之一，作为高二学生选修的数学课程之一，椭圆的知识点对于学生的数学素养和理解力有着重要的影响。本文将介绍高二选修一中涉及的椭圆的知识点。
一、椭圆的定义与性质
椭圆是平面上一点到两个给定定点的距离之和等于常数的点的集合。这两个给定定点分别称为椭圆的焦点，常数称为椭圆的离心率。椭圆具有如下性质：
1. 椭圆的离心率小于1，且等于0时为圆。
2. 椭圆的中心即为焦点所连直线的垂直平分线的交点。
3. 椭圆的长半轴和短半轴分别是焦点所连直线的垂直平分线与椭圆的交点到焦点的距离。
4. 椭圆的顶点是和焦点在同一直线上的两个点。
二、椭圆的方程表达
椭圆的方程表达有两种形式：标准方程和一般方程。
1. 标准方程
椭圆的标准方程为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
2. 一般方程
椭圆的一般方程为Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F均为常数。
三、椭圆的参数方程
椭圆的参数方程是将椭圆的坐标表示为参数θ的函数形式。椭圆的参数方程为x = h + a cosθ，y = k + b sinθ，其中θ为参数。
四、椭圆的焦点与直径
椭圆的焦点是指离心率所决定的椭圆上两个特殊的点，位于椭圆的长轴上。椭圆的直径是从椭圆上一点到椭圆的另一点的最长线段。
五、椭圆与切线 椭圆上的任意一点处都存在切线。椭圆的切线与椭圆的法线垂直。
六、椭圆的重要参数
椭圆的重要参数包括离心率、焦距、短半轴、长半轴、准线等，这些参数可以通过椭圆的方程表达或者几何性质求解。
七、椭圆的应用
椭圆在日常生活和工程领域中有着广泛的应用。例如，椭圆的形状可以模拟行星的轨道，从而研究天体运动；椭圆的形状也可以用来设计汽车、船舶和建筑物等工程项目。
结语
1 专题04 椭圆的简单几何性质（背）
一、椭圆的简单几何性质
焦点的
位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准
方程 2222=1xyab 2222=1yxab
范围 axabyb－，－ ayabxb－，－
顶点 ,0(0)ab，， ,0(0)ba，，
轴长 短轴长＝b2，长轴长＝2a
焦点 ,0c (0)c，
焦距 2c
对称性 对称轴是坐标轴，对称中心是_原点_____
离心率 e=ca 0
二、点00P(x,)y与椭圆2222=1xyab的位置关系：
00P(x,)y在椭圆内220022<1xyab；
00P(x,)y在椭圆上220022=1xyab；
00P(x,)y在椭圆外220022>1xyab
已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式要先化成标准形式，再确定焦
2 点的位置，找准a,b，椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．椭圆的焦距与长轴长的比ace叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆，通过解关于a,b,c方程或不等式可以求得离心率的值或范围，关键要充分挖掘题中隐含的数量关系，注意方程思想的应用.
椭圆的焦半径公式：
新课程里虽然没提到椭圆的第二定义，但是由椭圆第二定义（或两点之间距离公式）推导出来的焦半径公式在处理椭圆上点到焦点距离问题时大有帮助，设1F（-c，0），2F（c，0）分别为椭圆12222byax（a＞b＞0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为exaMF1，exaMF2，椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.
在椭圆中，如果一个三角形的两个顶点是焦点12,FF，另一个顶点P在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则三角形12FPF的周长为定值等于22ac，面积等于212tan2FPFb，其中b是短半轴的长；
班级 姓名 号数
知识回顾：
一．椭圆
1.求轨迹方程的解题步骤：
1. 2. 3.
4. 5.
2.．求轨迹方程的解题常用方法：：
1. 2. 3. 4.
3.椭圆的定义：
定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
数学表达式：
4.椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示)
标准方程 22221(0)xyabab 22221(0)xyabba
图形
顶点
对称轴
焦点
焦距
离心率
5.求椭圆的标准方程的解题步骤：
1. 2. 3.
二．双曲线：
1.定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
数学表达式：
2．双曲线的标准方程及其几何性质(如下表所示)
标准方程 图形
顶点
对称轴
焦点
焦距
离心率
3．抛物线的定义:
平面内到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点F不在l上).定点F叫做抛物线的焦点, 定直线l叫做抛物线的准线.
椭圆的简单几何性质(一)导学案
【学习要求】
1．理解椭圆的简单几何性质.
2．利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题.
【学法指导】
通过几何图形观察，代数方程验证的学习过程，体会数形结合的数学思想.通过几何性质的代数研究，养成辩证统一的世界观.
【知识要点】
1．椭圆的简单几何性质
焦点的
位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准
方程
范围
顶点
轴长 短轴长＝ ，长轴长＝
焦点 (±a2－b2，0) (0，±a2－b2)
焦距 |F1F2|＝2a2－b2
对称性 对称轴： 对称中心：
离心率 e＝ca∈
准线
2．离心率的作用
当椭圆的离心率越
，则椭圆越扁；当椭圆离心率越 ，则椭圆越接近于圆.
【问题探究】
探究点一
椭圆的简单几何性质
问题1 观察椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的形状，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 问题2 如何用椭圆的标准方程(代数方法)研究你观察到的几何性质？
问题3 观察不同的椭圆，椭圆的扁平程度不一样，怎样刻画椭圆的扁平程度呢？
问题4 （1）ba或cb的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？
（2）你能运用三角函数的知识解释：为什么e＝ca越大，椭圆越扁？e＝ca越小，椭圆越圆吗？
问题5 比较下列各组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？
（1）4x2＋9y2＝36与x225＋y220＝1； （2）9x2＋4y2＝36与x212＋y216＝1.
例1 求椭圆m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
跟踪训练1 已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
