高二数学椭圆的简单几何性质3-P

2．2.2 椭圆的简单几何性质

第1课时 椭圆的简单几何性质

1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质． 2.明确椭圆标准方程中a、b以及c、e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系． 3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．

,

椭圆的简单几何性质

焦点

的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上

图形

标准

方程 x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0) y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)

范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a

顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)

轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a

焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)

焦距 |F1F2|＝2c

对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点

离心率 e＝ca(0＜e＜1)

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点．( )

(2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c.( )

(3)椭圆的离心率e越接近于1，椭圆越圆．( )

(4)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长等于a.( )

答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×

2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为( )

A．(－1，0)，(1，0) B．(－6，0)，(6，0)

C．(－6，0)(6，0) D．(0，6)，(0，－6)

答案：D

3．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为( )

A．32 B．34 C．22 D．23

答案：A

4．设P(m，n)是椭圆x225＋y29＝1上任意一点，则m的取值范围是________．

答案：[－5，5]

椭圆的简单几何性质

求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．

高二椭圆知识点总结

一、椭圆的基本概念

1.1 椭圆的定义

椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

具体来说，设两点为F₁和F₂，距离之和为常数2a，那么椭圆E的定义：

E = {P∈R² | |PF₁| + |PF₂| = 2a}

其中，P为椭圆上的点，F₁和F₂为两个固定点，a为椭圆的半长轴。

1.2 椭圆的几何性质

椭圆有如下几何性质：

（1） 椭圆的离心率：椭圆的形状由离心率e来表征。

（2） 椭圆的焦点：椭圆的两个焦点分别为F₁和F₂。

（3） 椭圆的半长轴和半短轴：半长轴为椭圆的长轴的一半，半短轴为椭圆的短轴的一半。

1.3 椭圆和圆的关系

可以看到，当两个焦点重合时，椭圆变成了圆。这也说明圆是椭圆的一种特殊情况，也就是说圆是椭圆的特例。

二、椭圆的方程和性质

2.1 椭圆的标准方程

椭圆的标准方程为：

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

其中，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。

2.2 椭圆的参数方程

椭圆的参数方程为：

x = a*cosθ

y = b*sinθ

其中，θ为参数，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。 2.3 椭圆的性质

椭圆有许多重要的性质，如焦点、离心率、长轴、短轴等。椭圆的性质对于解析几何的学习非常重要。在实际应用中，我们可以利用这些性质进行问题的求解和分析。

2.4 椭圆的参数方程与标准方程的转化

椭圆的参数方程与标准方程可以相互转化，通过参数方程与三角函数之间的关系，我们可以得到椭圆的标准方程。

三、椭圆的相关计算

3.1 椭圆的面积

椭圆的面积可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的面积公式为：

S = πab

其中，a和b为椭圆的半长轴和半短轴。

3.2 椭圆的周长

椭圆的周长也可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的周长公式为：

L = 4aE(e)

其中，a为椭圆的半长轴，E(e)为椭圆的第二类椭圆积分，e为椭圆的离心率。

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高中数学 ◆ 福建省漳州市芗城中学高中数学 3.1椭圆的简单几何性质教案 选修2-1

◆ 知识与技能目标

了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．

◆ 过程与方法目标

（1）复习与引入过程

引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．1．2椭圆的简单几何性质．

（2）新课讲授过程

（i）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．

提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？

通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．

（ii）椭圆的简单几何性质

①范围：由椭圆的标准方程可得，222210yxba，进一步得：axa，同理可得：byb，即椭圆位于直线xa和yb所围成的矩形框图里；

②对称性：由以x代x，以y代y和x代x，且以y代y这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心；

③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；

绵阳中学实验学校高2012级数学文科小练习19 选修1-1 命题人：张斌 审题人：钱敏 张斌 第二章 圆锥曲线

- 1 - 椭圆的简单几何性质2

一、选择题

1．椭圆x2+ 8y2=1的短轴的端点坐标是 ( )

A.(0,-42)、(0,42) B.(-1,0)、(1,0)

C.(22,0)、(-22,0) D.(0,22)、(0,－22)

2.若焦点在x轴上的椭圆1222myx的离心率为21，则m等于( )

A.3 B.23 C.38 D.32

3．椭圆12222byax(0ba)和kbyx2222a(k>0)具有( )

A．相同的长轴长 B．相同的焦点

C．相同的离心率 D．相同的顶点

4.焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为（ ）

A.1925x22y B.1925y22x C.1925y22x或1925x22y D.1936x22y

5．已知F1、F2为椭圆(a＞b＞0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B 的周长为16，椭圆离心率23e,则椭圆的方程是 ( )

A.13422yx B.1342yx C.1342yx D.1342yx

二、填空题

6．若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)，F2(3,0)，则其离心率e是 .

7．椭圆的一个焦点将长轴分为3∶2的两段，则椭圆的离心率是________．

8.椭圆14922yx的焦点为1F、2F，点P为其上的动点，当21PFF为钝角时，点P横坐标的取值范围是________．

绵阳中学实验学校高2012级数学文科小练习19 选修1-1 命题人：张斌 审题人：钱敏 张斌 第二章 圆锥曲线