惠州市2011届高三第三次调研考试数学(理科)试题
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惠州市2011届高三第三次调研考试
数学试题(理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
参考公式： 2
222121
[()()()]n s x x x x x x n
=
-+-+⋅⋅⋅⋅+-． 一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数1
2z i
=
+对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
2.已知条件:1p x ≤，条件1
:
1q x
<，则q p ⌝是成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 3. 某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组实验数据：
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( ) A.y ＝2x －2 B.y ＝(12)x C.y ＝log 2x D.y ＝1
2
(x 2－1)
4. 右图是2010年在惠州市举行的全省运动会上，七位评委为某跳水比赛项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩 数据的平均数和方差分别为（ ）
A ．84，4.84
B ．84，1.6
C ．85，1.6
D ．85，4
5. 若△ABC 的周长等于20，面积是103，A ＝60°，则BC 边的长是 ( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
8 9 4 4 6 4 7 3
7 9
俯视图
侧视图
6. 若直线ax ＋by ＋1＝0(a 、b >0)过圆x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0的圆心，则1a ＋4
b 的最小值为
( )
A ．8
B ．12
C ．16
D ．20
7. 已知整数以按如下规律排成一列：()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，
()2,3，()3,2，()4,1，……，则第60个数对是（ ）
A ．()10,1
B ．()2,10
C ．()5,7
D ．()7,5
8. 在区间[π,π]-内随机取两个数分别记为,a b ，则使得函数222()2πf x x ax b =+-+有零点的概率为（ ）
A ．1-
8π B ．1-4π C ．1- 2
π D ．1-34π 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9.一简单组合体的三视图及尺寸 如右图示（ 单位：ｃｍ）
则该组合体的表面积为 _______ 2
cm ．
10.已知△ABC 中，点A 、B 、C 的坐标依次是A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC 边上的高为AD ，则AD →
的坐标是：_______．
11.在二项式5
2a x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中， x 的一次项系数是10-，
则实数a 的值为 ．
12. 给出如图所示的程序框图，那么输出的数是________． 13. 已知ABC ∆的三边长为c b a ,,，内切圆半径为r
（用的面积表示ABC S ABC ∆∆），则ABC S ∆)(2
1
c b a r ++=；
类比这一结论有：若三棱锥BCD A -的内切球半径为R ，
则三棱锥体积=-BCD A V ．
N
M C
A
B
O
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分） 14.（坐标系与参数方程选做）
在极坐标系中，点()1,0到直线()cos sin 2ρθθ+=的距离为 ． 15.（几何证明选讲选做题）
如图，点B 在⊙O 上， M 为直径AC 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ， 45BNA ∠= ，若⊙O
的半径为
，
则MN 的长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本题满分12分）
已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,,)2
A x ωϕπ
>><∈R 的图象的一部分如下图所示.
(1)求函数()f x 的解析式;
(2)当2[6,]3
x ∈--时,求函数()(2)
y f x f x =++的最大值与最小值及相应的x 的值.
17.（本题满分12分）
某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和. （1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率； （2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，
他获得返券的金额记为X （元）.求随机变量X 的分布列和数学期望
18.（本题满分14分）
2a ,5a 是方程2x 02712=+-x 的两根, 数列{}n a 是公差为正的等差数列，数列{}n b 的前
n 项和为n T ,且n T 2
1
1-
=n b ()
*∈N n . (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;
(2)记n c =n a n b ,求数列{}n c 的前n 项和n S .
F
E D
C
B
A G
F
D
E
C
B
A
19.（本题满分14分）
已知梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =
2
π
，AB=BC=2AD=4，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EF∥BC，AE = x ，G 是BC 的中点．沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF （如图）. （1）当x=2时，求证：BD⊥EG ；
（2）若以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥的体积记为()f x ， 求()f x 的最大值；
（3）当()f x 取得最大值时，求二面角D-BF-C 的余弦值．
20.（本题满分14分）
已知椭圆C ：)0( 12222>>=+b a b y a x 的离心率为23
，过坐标原点O 且斜率为21的直线
l 与C 相交于A 、B ，102||=AB ．
⑴求a 、b 的值；
⑵若动圆1)(2
2
=+-y m x 与椭圆C 和直线 l 都没有公共点，试求m 的取值范围．
21.（本题满分14分）
已知函数1163)(23--+=ax x ax x f ,1263)(2++=x x x g ,和直线m ：9+=kx y . 又0)1(=-'f . (1)求a 的值；
(2)是否存在k 的值，使直线m 既是曲线()y f x =的切线，又是()y g x =的切线；如果存在，求出k 的值；如果不存在,说明理由.
(3)如果对于所有2-≥x 的x ,都有)(9)(x g kx x f ≤+≤成立，求k 的取值范围.。
