第十章 曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分（又称第一类曲线积分） 1、定义ini iiLs f ds y x f ∆ηξλ∑⎰=→=1),(lim),(， i ni i i i s f ds z y x f ∆=∑⎰=→Γ1),,(lim ),,(ζηξλ2、物理意义 线密度为),(y x ρ的曲线L 质量为ds y x M L⎰=),(ρ线密度为),,(z y x f 的曲线Γ质量为ds z y x f M ⎰Γ= ),,(3、几何意义 曲线L 的弧长=s ds L⎰，曲线Γ的弧长ds s ⎰Γ=4、若L ：k y x f =),(（常数），则ks ds k ds k ds y x f LLL===⎰⎰⎰),(5、计算（上限大于下限）（1）,(t) ,(t) :ψϕ==y x L ()βα≤≤t ，则[][][]dt t t t t f ds y x f L22)()()( ),( ),(ψϕψϕβα'+'=⎰⎰（2）L ：0()()y x x x X ψ=≤≤，则0(,)[,(XLx f x y ds f x x ψ=⎰⎰（3）L ：0()()x y y y Y ϕ=≤≤，则0(,)[(),.Y Ly f x y ds f y y ϕ=⎰⎰（4）)().(),(),(:βαωψϕ≤≤===Γt t z t y t x ，则(,,)[(),(),(()f x y z ds f t t t βαϕψωαβΓ=<⎰⎰二、对坐标的曲线积分 1、定义dy y x Q dx y x P L),(),( +⎰[]∑=→+=ni i i i iiiy Q xP 1),(),(lim∆ηξ∆ηξλdz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(++⎰Γ[]∑=→++=n i i i i i i i i i ii iiz R y Q x P 1),,(),,(),,(lim ∆ζηξ∆ζηξ∆ζηξλ2、计算（下限对应起点，上限对应终点） （1）,(t) ,(t) :ψϕ==y x L ()βα→:t ，则(,)(,){[(),()]()[(),()]()}LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ''+=+⎰⎰（2）L ：()y x ψ=()X x t →0:，则{[,()][,()]()}bLaPdx Qdy P x x Q x x x dx ψψψ'+=+⎰⎰（3）L ：()x y ϕ=()Y y t →0:，则{[(),]()[(),]}dL cPdx Qdy P y y y Q y y dy ϕϕϕ'+=+⎰⎰（4）):().(),(),(:βαωψϕ→===Γt t z t y t x ，则(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Γ++⎰ {[(),(),()]()[(),(),()]()[(),(),()]()}P t t t t Q t t t t R t t t t dt βαϕψωϕϕψωψϕψωω'''=++⎰ 3、两类曲线积分之间的联系(cos cos )LLPdx Qdy P Q ds αβ+=+⎰⎰其中，(,),(,)x y x y αβ为有向曲线弧L 上点(,)x y 处的切线向量的方向角。
(cos cos cos )Pdx Qdy Rdz P Q R ds αβγΓΓ++=++⎰⎰，其中(,,),(,,),(,,)x y z x y z x y z αβγ为有向曲线弧Γ上点(,,)x y z 处切向量的方向角。
三、格林公式及其应用1、格林公式⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L DQdy Pdx dxdy yPx Q )(其中L 是D 的取正向的整个边界曲线2、平面上曲线积分与路径无关的条件（D 为单连通区域）定理 设D 是单连通闭区域，若),(),,(y x Q y x P 在D 内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价： (i) 沿D 内任一按段光滑封闭曲线L ，有0=+⎰LQdy Pdx ；(ii) 对D 内任一光滑曲线L ，曲线积分⎰+LQdy Pdx 与路径无关，只与L 的起点和终点有关；(iii) Qdy Pdx +是D 内某一函数),(y x u 的全微分，即在D 内有Qdy Pdx du +=； (iv) 在D 内处处成立xQ y P ∂∂=∂∂ 注 若D x xQy P ∈∂∂=∂∂ 则Qdy Pdx +的全微分00(,)(,)(,)(,)(,)x y x y u x y P x y dx Q x y dy =+⎰：0(,)(,)(,)x y x y u x y P x y dx Q x y dy =+⎰⎰ 或 00(,)(,)(,)y xy x u x y Q x y dy P x y dx =+⎰⎰四、对面积的曲面积分 1、定义⎰⎰∑dS z y x f ),,(iiini iS f ∆=∑=→),,(lim 1ζηξλ2、物理意义：⎰⎰∑dS z y x f ),,(表示面密度为),,(z y x f 的光滑曲面∑的质量。
3、几何意义 曲面∑的面积⎰⎰∑=dS S4、若∑：k z y x f =),,(（常数），则⎰⎰∑dS z y x f ),,(=⎰⎰∑kdS =⎰⎰∑dS k =kS5、计算（一投、二代、三换元）（1）:(,)z z x y ∑=， xy D y x ∈),(，则(,,)(,,(,SDf x y z dS f x y z x y =⎰⎰⎰⎰（2）:(,)y y x z ∑=，xz D z x ∈),(，则=⎰⎰∑dS z y x f ),,(;1]),,(,[22dxdz y y z z x y x f xzD z x ⎰⎰'+'+（3）(,)x x y z ∑=：，yz D z y ∈),(，则=⎰⎰∑dS z y x f ),,([(,),,yzD f x y z y z ⎰⎰。
五、对坐标的曲面积分 1、定义∑⎰⎰=→∑∆=ni xyi i i i S R dxdy z y x R 1))(,,(lim ),,(ζηξλ∑⎰⎰=→∑∆=ni yziiiiS P dydz z y x P 1))(,,(lim ),,(ζηξλ∑⎰⎰=→∑∆=ni zxi iiiS Q dzdx z y x Q 1))(,,(lim ),,(ζηξλ2、物理意义 流量dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(++=Φ⎰⎰∑。
()(,,)cos (,,)cos (,,)cos P x y z Q x y z R x y z dS αβγ∑=++⎰⎰vdS ∑=⎰⎰3、计算（一投、二代、三定号） （1）),(:y x z z =∑，xy D y x ∈),(，则⎰⎰⎰⎰±=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(（上侧取正，下侧取负）（2）∑:(,)x x y z =，xz D z x ∈),(，则⎰⎰⎰⎰±=∑yzD dydz z y z y x P dydz z y x P ],),,([),,(（前侧取正，后侧取负）（3）∑:(,)y y z x =yz D z y ∈),(，则⎰⎰⎰⎰±=∑zxD dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q ]),,(,[),,(（右侧取正，左侧取负）4、两类曲面积分之间的联系dS R Q P dxdy R Qdzdx Pdydz )cos cos cos (γβα⎰⎰⎰⎰∑∑++=++，γβαcos cos cos dxdydzdx dydz dS ===其中γβαcos ,cos ,cos 为有向曲面Σ上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦 六、高斯公式1、高斯公式 dS R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dv zR y Q x P )cos cos cos ()(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑Ω++=++=∂∂+∂∂+∂∂γβα其中∑为Ω的整个边界曲面的外侧，γβα,,是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向角。
2、通量 向量场k R j Q i P A++=，沿场中有向曲面Σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑++=⋅=⋅=ΦRdxdy Qdzdx Pdydz dS n A S d A 0称为向量场),,(z y x A向正侧穿过曲面Σ的通量3、散度 设k R j Q i P A++=，则zR y Q x P A div ∂∂+∂∂+∂∂= 七、斯托克斯公式1、Stokes 公式=∂∂∂∂∂∂⎰⎰∑RQ P z y x dxdy dzdx dydz dxdy yP x Q dzdx x R z P dydz z Q y R )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂⎰⎰∑=ds RQPz y x ⎰⎰∑∂∂∂∂∂∂γβαcos cos cos =⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂dS y P x Q x R z P z Q y R γβαcos )(cos )(cos )(⎰Γ++=Rdz Qdy Pdx其中有向曲线Γ是有向曲面∑的整个边界，且满足右手系法则2、环流量 向量场k R j Q i P A++=沿场A 中某一封闭的有向曲线C 上的曲线积分CCA ds Pdx Qdy Rdz Γ=⋅=++⎰⎰称为向量场A 沿曲线C 按所取方向的环流量。
Cij k A ds dS x y z PQR∑∂∂∂Γ=⋅=⋅∂∂∂⎰⎰⎰环流量 3、旋度 向量ij kx y z PQR∂∂∂∂∂∂为向量场k R j Q i P A ++=的旋度()rotA 。
旋度 ij krotA x y z PQR∂∂∂=∂∂∂.)()()(k y P x Q j x R z P i z Q y R ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂= 典型例题0(B 0,1(C 1. 曲线积分 1 计算ds y x nL⎰+ 22)(其中L 为圆周,cos t a x =t a y sin =)20,0(π≤≤>t a 。
解： (方法一) 根据公式将曲线积分化为定积分adt dt t a t a dt t y t x ds =+-='+'=2222)cos ()sin ()()(ds y x nL⎰+ 22)([]⎰⋅+=π2022)sin ()cos ( adt t a t a n122 0122++==⎰n n a dt a ππ(方法二) 由于在曲线L 上222a y x =+,且⎰L ds 为曲线段L 的长,所以12 2 222 )(+==+⎰⎰n Ln nLa ds a ds y x π2 计算⎰+Ly x ds e22,其中L 为圆周222a y x =+,直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界。
