最新新课标2013年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列

2013年高考真题理科数学解析分类汇编4 数列一选择题1，[新课标I]，7、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m ＝ ( ) A 、3 B 、4错误！未找到引用源。

C 、5D 、6【解析】有题意知m S =1()2m m a a +=0，∴1a =－m a =－（m S -1m S -）=－2， 1m a += 1m S +-m S =3，∴公差d =1m a +-m a =1，∴3=1m a +=－2m +，∴m =5，故选C.2.[新课标I]12、设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n=1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则() A 、{S n }为递减数列 B 、{S n }为递增数列错误！未找到引用源。

C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 答案B【解析】错误！未找到引用源。

＝c n ＋a n 2 + b n ＋a n2= 错误！未找到引用源。

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2013年全国卷新课标数学（理）一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合}5,4,3,2,1{=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则B 中所含元素的个数为A. 3B. 6C. 8D. 102. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种3. 下面是关于复数iz +-=12的四个命题： :1P 2||=z:2P i z 22= :3P z 的共轭复数为i +1:4P z 的虚部为1-其中的真命题为A. 2P ，3PB. 1P ，2PC. 2P ，4PD. 3P ，4P4. 设21,F F 是椭圆:E 12222=+by a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23a x =上的一点，12PF F △是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率为A.21B.32 C.43 D.54 5. 已知}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=a a ，则=+101a aA.7B. 5C.5-D. 7-6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N )2(≥N 和 实数N a a a ,,,21 ，输出A ，B ，则A. B A +为N a a a ,,,21 的和B.2BA +为N a a a ,,,21 的算术平均数 C. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 188. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A ，B ，两点，34||=AB ，则的实轴长为A.2B. 22C. 4D. 89. 已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是A. ]45,21[B. ]43,21[C. ]21,0(D. ]2,0(10. 已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为11. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为A.62 B.63 C.32 D.22 12. 设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为A. 2ln 1-B.)2ln 1(2- C. 2ln 1+D.)2ln 1(2+二、填空题.本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量a ，b 夹角为︒45，且1=||a ，102=-||b a ，则=||b .14. 设y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x 则y x Z 2-=的取值范围为 .15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布)50,1000(2N ，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .16. 数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，则}{n a项和为 . 三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分） 已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，0sin 3cos =--+c b C a C a . (Ⅰ) 求A ；(Ⅱ) 若2=a ，ABC △的面积为3，求b ，c .18. （本小题满分12分） 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.(Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式；(Ⅱ) 花店记录了100以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.19. （本小题满分12分）如图，直三棱柱111C B AABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1 (Ⅰ) 证明：BC DC ⊥1(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.20. （本小题满分12分）设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 两点(Ⅰ) 若90BFD ∠=︒，ABD △面积为24，求p 的值及圆F 的方程；(Ⅱ)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 的距离的比值.21. （本小题满分12分） 已知函数121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+. (Ⅰ) 求)(x f 的解析式及单调区间；(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，作答时请写清题号. 22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，直线DE 交ABC △的 外接圆于F ，G 两点.若AB CF //，证明： (Ⅰ) BC CD =；(Ⅱ) GBD BCD ∽△△.23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π.(Ⅰ)点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(Ⅱ) 设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数|2|||)(-++=x a x x f .(Ⅰ) 当3a =-时，求不等式3)(≥x f 的解集；(Ⅱ) |4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围.参考答案1-12：DACCD CBCAB AB 13、 14、[]3,3-. 15、3816、1830. 17、解：(Ⅰ)由cos sin 0a C C b c --=及正弦定理可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=,()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=,sin cos sin sin 0A C A C C --=,sin 0C >,cos 10A A --=,2sin 106A π⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭,1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,0A π<< ，5666A πππ∴-<-<，66A ππ∴-=3A π∴=(Ⅱ)ABC S = △1sin 2bc A ∴==4bc ∴=， 2,3a A π==，222222cos 4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-=， 228b c ∴+=. 解得2b c ==.18、解：(Ⅰ) ()()1080,1580,16 n n y n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩（n N ∈）； (Ⅱ) （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 的分布列为X 的数学期望()E X =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，X 的方差()D X =(60-762)×0.1+(70-762)×0.2+(80-762)×0.7=44.（ⅱ）若花店计划一天购进17枝玫瑰花，XX 的数学期望()E X =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，因为76.4>76，所以应购进17枝玫瑰花. 19、(Ⅰ) 证明：设112AC BC AA a ===， 直三棱柱111C B A ABC -， 1DC DC ∴==， 12CC a =，22211DC DC CC ∴+=，1DC DC ∴⊥. 又1DC BD ⊥ ，1DC DC D =，1DC ∴⊥平面BDC .BC⊂ 平面BDC ,1DC BC ∴⊥.(Ⅱ)由 (Ⅰ)知，1DC =，1BC =，又已知BD DC ⊥1，BD ∴=. 在Rt ABD △中，,,90BD AD a DAB =∠= ， AB ∴=.222AC BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥.取11A B 的中点E ，则易证1C E ⊥平面1BDA ，连结DE ，则1C E ⊥BD ， 已知BD DC ⊥1，BD ∴⊥平面1DC E ，BD ∴⊥DE ，1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角.在1Rt C DE △中，1111sin 2C EC DE C D∠===，130C DE ∴∠= .即二面角11C BD A --的大小为30.20、解: (Ⅰ)由对称性可知,BFD △为等腰直角三角形,斜边上的高为p ,斜边长2BD p =.点A 到准线l的距离d FB FD ===.由ABD S =△,11222BD d p ⨯⨯=⨯=2p ∴=.圆F 的方程为()2218x y +-=.(Ⅱ)由对称性,不妨设点(),A A A x y 在第一象限,由已知得线段AB 是圆F 的在直径,90o ADB ∠=,2BD p ∴=,32A y p ∴=,代入抛物线:C py x 22=得A x . 直线m的斜率为3AF k ==.直线m的方程为0x =. 由py x 22= 得22x y p=,x y p '=.由3x y p '==, 3x p =.故直线n 与抛物线C的切点坐标为6p ⎫⎪⎪⎝⎭, 直线n的方程为06x -=. 所以坐标原点到m ，n3=. 21、解: (Ⅰ) 1()(1)(0)x f x f ef x -''=-+,令1x =得,(0)1f =, 再由121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+,令0x =得()1f e '=. 所以)(x f 的解析式为21()2x f x e x x =-+. ()1x f x e x '=-+,易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数,且(0)0f '=.所以()00,()00,f x x f x x ''>⇔><⇔<所以函数)(x f 的增区间为()0,+∞,减区间为(),0-∞.(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(恒成立,即()()21()102x h x f x x ax b e a x b =---=-+-≥恒成立， ()()1x h x e a '=-+ ,(1)当10a +<时,()0h x '>恒成立, ()h x 为R 上的增函数,且当x →-∞时, ()h x →-∞,不合题意;(2)当10a +=时,()0h x >恒成立, 则0b ≤,(1)0a b +=;(3)当10a +>时, ()()1xh x e a '=-+为增函数,由()0h x '=得()ln 1x a =+, 故()()()0ln 1,()0ln 1,f x x a f x x a ''>⇔>+<⇔<+当()ln 1x a =+时, ()h x 取最小值()()()()ln 111ln 1h a a a a b +=+-++-.依题意有()()()()ln 111ln 10h a a a a b +=+-++-≥,即()()11ln 1b a a a ≤+-++, 10a +> ,()()()()22111ln 1a b a a a ∴+≤+-++,令()()22ln 0 u x x x x x =->,则()()22ln 12ln u x x x x x x x '=--=-, ()00()0u x x u x x ''>⇔<<⇔,所以当x =, ()u x取最大值2e u =.故当12a b+==时, ()1a b+取最大值2e.综上, 若baxxxf++≥221)(，则ba)1(+的最大值为2e.22、证明：(Ⅰ) ∵D，E分别为ABC△边AB，AC的中点，∴//DE BC.//CF AB,//DF BC,CF BD∴ 且=CF BD，又∵D为AB的中点，CF AD∴ 且=CF AD，CD AF∴=.//CF AB，BC AF∴=.CD BC∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BC GF，GB CF BD∴==，BGD BDG DBC BDC∠=∠=∠=∠BCD GBD∴△∽△.23、解：(Ⅰ)依题意，点A，B，C，D的极坐标分别为.所以点A，B，C，D的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-；(Ⅱ) 设()2cos,3sinPϕϕ，则2222||||||||PDPCPBPA+++())2212cos3sinϕϕ=-+()()222cos13sinϕϕ++-()()2212cos3sinϕϕ+--+)()222cos13sinϕϕ++--2216cos36sin16ϕϕ=++[]23220sin32,52ϕ=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.24、解：(Ⅰ) 当3a =-时，不等式3)(≥x f ⇔ |3||2|3x x -+-≥⇔ ()()2323x x x ≤⎧⎪⎨----≥⎪⎩或()()23323x x x <<⎧⎪⎨-++-≥⎪⎩或()()3323x x x ≥⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩⇔或4x ≥.所以当3a =-时，不等式3)(≥x f 的解集为{1x x ≤或}4x ≥. (Ⅱ) ()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[，即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立，即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立，即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立， 所以2122a a --≤⎧⎨-≥⎩，即30a -≤≤.所以a 的取值范围为[]3,0-.。

2013年高考理科数学试题汇总解析4、数列1.新课标1、7、设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，若,3,0,211==-=+-m m m s s s 则m= (A) 3 (B)4 (C)5 (D)6解：,3,2111=-==-=++-m m m m m m s s a s s a 则公差1=d ，021=⨯+=m a a s mm m m a a a a -=⇒=+⇒110，)1(2)1(21111+⨯+-=+⨯+=+++m a a m a a s m m m m 3)1(21=+⨯=m ，5=∴m 选C 2.新课标1、12、设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,，n n n C B A ∆的面积为n s ， ,3,2,1=n .若111112,a c b c b =+>，2,11n n n n n a c b a a +==++，21nn n a b c +=+，则 (A){}n s 为递减数列 (B){}n s 为递增数列 (C) {}12-n s 为递增数列， {}n s 2为递减数列 (D) {}12-n s 为递减数列， {}n s 2为递增数列解：取特殊值，以111C B A Δ的边111,,c a b 顺序设边长分别是：2.5，2，1.5；则第二个三角形 三边是：1.75，2，2.25；则第三个三角形三边是：2.15，2，1.875；……周长为定值4，形状越来越接近正三角形，也就是面积越来越大.选B.另解：设a a =1，则a c b 211=+，a a n =.由已知可得n nn n n a b c c b ++=+++211 当1=n 时，a a b c c b 2211122=++=+，当2=n 时，a a bc c b 2222233=++=+当3=n 时，,,2233344 a a b c c b =++=+即 a c b n n 2=+则n n n C B A ∆顶点n A 在以)(1n B B 也就是和)(1n C C 也就是为焦点，a 2为长轴的椭圆M 上，有因为n n n n c b c b -=-++2111，即11121c b c b n n n -⎪⎭⎫ ⎝⎛=--，n b 和n c 两边的差值越来越小，顶点n A 越来越靠近椭圆M 的上（或下）顶点，n n n C B A ∆边n n C B 上高越来越大，底边n n C B 长 为定值a ，所以面积越来越大.选B. 3.新课标1、14、若数列{}n a 的前n 项和3132+=n n a s ，则{}n a 的通项公式是n a . 解：1113132a a s =+=，所以11=a ，13132222+=+=a a s ，所以22-=a1>n 时，113232---=-=n n n n n a a s s a ， 12--=∴n n a a 1)2(--=∴n n a4.新课标2、（3）等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知12310a a s += ，a 5 = 9，则a 1=（A ）31 （B ）-31 （C ） 91 （D ）91- 解：12321310a a a a a s +=++= 99213=⇒=⇒q a a 又919811141=⇒==a a q a ，选C. 5.新课标2、（16）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10=0，S 15 =25，则nS n 的最小值为________. 解：由S 10=0，S 15 =25，则09201101=+⇒=+d a a a ；5213251518=+⇒=d a a32,31=-=∴d a ，n n n n n d n n na s n 31031)1(313)1(2121-=-+-=-+= 2331031)(n n ns n f n -==，320,00320)(2==⇒=-='n n n n n f )(n f 在6≤n 时为递减，在7≥n 时为递增，所以 486310631)6(23-=-=f ,497310731)7(23-=-=f ,n ns 的最小值是-49. 6.安徽14、如图，互不-相同的点 n A A A A ,,,321和12,,,n B B B 分别在角O 的两条边上，所有n nA B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等。

数列一、选择题1.辽宁4、下面关于公差d>0的等差数列{}n a 的四个命题：P1：数列{}n a 是递增数列； P2：数列{}n na 是递增数列P3：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列； P4：数列{}+3n a nd 是递增数列。

其中的真命题为( )A ．P1，P2 B. P3，P4 C. P2，P3 D. P1，P42.全国（3）等比数列{a n }的的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1 =( )（A ）13 （B ）- 13 （C ）19 （D ）- 193.福建9. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，记m n m n m n m n a a a b +-+-+-+⋅⋅⋅++=)1(2)1(1)1(，m n m n m n m n a a a b +-+-+-*⋅⋅⋅**=)1(2)1(1)1(，()*,N n m ∈，则以下结论一定正确的是（ ）A. 数列{}n b 为等差数列，公差为m q B. 数列{}n b 为等比数列，公比为m q 2 C. 数列{}n c 为等比数列，公比为2m q D. 数列{}n c 为等比数列，公比为m mq 4.江西3.等比数列x ，3x+3，6x+6，…的的第四项等于（ ）A.-24 B.0 C.12 D.24二、填空题5.全国（16）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10 = 0，S 15 = 25，则nS n 的最小值为 .6.北京10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q = ；前n 项和S n = .7.重庆（12）已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若1a 、2a 、5a 称等比数列，则8S = ．8.陕西14. 观察下列等式:211=22123-=-2221263+-=2222124310-+-=-…照此规律, 第n 个等式可为 .9.湖北14.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,...，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+.记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 211(,3)22N n n n =+， 四边形数 2(,4)N n n =，五边形数 231(,5)22N n n n =-， 六边形数 2(,6)2N n n n =-，…可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N = .10.安徽（14）如图，互不相同的点12,,,n A A X 和12,,,n B B B 分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等。

2013年全国高考理科数学分类汇编一、集合与简易逻辑辽宁2013（2）已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x AB =<<=≤=，则A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， 辽宁2013（4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p 江西2013.1.已知集合M={1,2，zi}，i ，为虚数单位,N={3,4}，则复数z=A.-2iB.2iC.-4iD.4i 全国1.1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( ) A 、A∩B=∅ B 、A ∪B=R C 、B ⊆A D 、A ⊆B全国2.1.已知集合{}{}3,2,1,0,1,,4)1(|2-=∈<-=N R x x x M ，则=⋂N M （ ）A {}2,1,0B {}2,1,0,1-C {}3,2,0,1-D {}3,2,1,0北京2013.1.已知集合A={－1，0，1}，B={x |－1≤x ＜1}，则A∩B= ( ) A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1}四川1．设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则AB =（ ）（A ）{2}- （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）∅ 重庆（1）已知集合{1,2,3,4}U =，集合={1,2}A ，={2,3}B ，则()U AB =ð（A ）{1,3,4} （B ）{3,4} （C ）{3} （D ）{4} 天津卷(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1]2013安微（1）设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中元素的个数为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6山东（2）设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( )A. 1B. 3C. 5D.9重庆（2）命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为（A ）对任意x R ∈，使得20x < （B ）不存在x R ∈，使得20x <（C ）存在0x R ∈，都有200x ≥ （D ）存在0x R ∈，都有200x <2013广东1.设集合M={x ∣x 2+2x=0,x ∈R},N={x ∣x 2-2x=0,x ∈R},则M ∪N= A. {0} B. {0，2} C. {-2,0} D {-2,0,2} 北京2013.3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的” A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件四川4．设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ） （A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （B ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉ （C ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （D ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈2013广东8.设整数n ≥4，集合X=｛1，2，3……，n ｝。

2013年全国高考理科数学分类汇编一、集合与简易逻辑辽宁2013（2）已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x AB =<<=≤=，则A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， 辽宁2013（4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p 江西2013.1.已知集合M={1,2，zi}，i ，为虚数单位,N={3,4}，则复数z=A.-2iB.2iC.-4iD.4i 全国1.1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( )A 、A∩B=∅B 、A ∪B=RC 、B ⊆AD 、A ⊆B全国2.1.已知集合{}{}3,2,1,0,1,,4)1(|2-=∈<-=N R x x x M ，则=⋂N M （ ）A {}2,1,0B {}2,1,0,1-C {}3,2,0,1-D {}3,2,1,0北京2013.1.已知集合A={－1，0，1}，B={x |－1≤x ＜1}，则A∩B= ( ) A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1}四川1．设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则AB =（ ）（A ）{2}- （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）∅ 重庆（1）已知集合{1,2,3,4}U =，集合={1,2}A ，={2,3}B ，则()UA B =（A ）{1,3,4} （B ）{3,4} （C ）{3} （D ）{4} 天津卷(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2](D) [－2,1]2013安微（1）设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中元素的个数为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 山东（2）设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x ∈A, y ∈A }中元素的个数是()A. 1B. 3C. 5D.9重庆（2）命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为（A ）对任意x R ∈，使得20x < （B ）不存在x R ∈，使得20x <（C ）存在0x R ∈，都有200x ≥ （D ）存在0x R ∈，都有200x <2013广东1.设集合M={x ∣x 2+2x=0,x ∈R},N={x ∣x 2-2x=0,x ∈R},则M ∪N= A. {0} B. {0，2} C. {-2,0} D {-2,0,2} 北京2013.3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的” A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件四川4．设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ） （A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （B ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉ （C ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （D ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈2013广东8.设整数n≥4，集合X=｛1，2，3……，n ｝。

实用文档 2013年全国高考数学试题分类解析——数列部分一、选择题1、（全国大纲理4、文6）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）52、(安徽文科第7题）若数列}{n a 的通项公式是()()n n a n =-1⋅3-2,则a a a 1210++=（A ） 15 (B) 12 (C ) -12 (D) -153、（四川文科9）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，n n S a 31=+（1≥n ），则=6a（A ）443⨯ （B ）1434+⨯ （C ）44 （D ）144+．4、（江西文科5）.设{}n a 为等差数列，公差2-=d ，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（） A.18 B.20 C.22 D.245、（江西理科5）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足:m n m n S S S +=+,且11=a ,那么=10a ( )A. 1B. 9C. 10D. 55实用文档6、（上海理18）设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形的面积（1,2,i =），则{}n A 为等比数列的充要条件是 （ ）（A ）{}n a 是等比数列．（B ）1321,,,,n a a a -或242,,,,n a a a 是等比数列． （C ）1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列． （D ）1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同．7、（陕西文10）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳．．．．坑位的编号为（ ） （A ）⑴和⒇ （B ）⑼和⑽ (C) ⑼和 ⑾ (D) ⑽和⑾8、（辽宁文5）若等比数列{}n a 满足n n n a a 161=⋅+，则公比为（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）169、（四川理科8）数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且)(*1N n a a b n n n ∈-=+ .若则23-=b ，1210=b ，则8a（A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）11实用文档二、填空题10、（重庆文1）在等差数列{}n a 中， 22a =，3104,a a =则＝A ．12B ．14C ．16D ．1811、（湖南理科12）设n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S = 。

2013 年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列一、选择题1 ．（ 2013 年高考上海卷（理） ） 在数列 { a n } 中, a n2n 1 , 若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素 a i , j a i a ja i a j ,( i 1,2,,7; j 1,2,,12 ) 则该矩阵元素能取到的不一样数值的个数为 ( )(A)18(B)28(C)48(D)63【答案】 A.2 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试纲领版数学（理）WORD 版含答案（已校正） ） 已知数列a n 知足 3a n 1 a n 0,a 24的前 10, 则 a n项和等于3(A)61 310(B)1 1 3 10(C)3 13 10(D)3 1+3 10【答案】 C93 ．（ 2013 年高考新课标1（理）） 设A nB nC n 的三边长分别为 a n , b n ,c n , A n B n C n 的面积为S n , n 1,2,3,, 若 b 1 c 1,b 1 c 1 2a 1 , a n 1a n ,b n1c na n, c n 1b n an, 则 ( )A.{ S n } 为递减数列B.{ S n } 为递加数列 22C.{ S 2n-1 } 为递加数列 ,{ S 2n } 为递减数列D.{ S 2n-1 } 为递减数列 ,{ S 2n } 为递加数列【答案】 B4 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））函数 y=f (x) 的图像以下图 , 在区间a,b 上可找到 n(n2) 个不一样的数 x 1,x 2...,x n , 使得f (x 1 )f (x 2 ) f (x n )则 n 的取值范围是x 1 ==,x 2 x n(A) 3,4(B)2,3,4 (C)3,4,5(D)2,3【答案】 B5 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版））已知等比数列 { a n }的公比为 q, 记 b nam( n 1) 1 a m( n 1) 2...am (n 1) m ,c n am(n 1) 1am( n 1) 2... am (n 1)m (m, nN * ), 则以下结论必定正确的选项是( )A. 数列{b n}为等差数列, 公差为q mB.数列 { b n} 为等比数列,公比为 q2mC.数列{ c n}为等比数列, 公比为q m2D.数列 { c n } 为等比数列,公比为 q m m【答案】 C6 （． 2013 年一般高等学校招生一致考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯 WORD版含答案））等比数列a n的前 n 项和为 S ,已知 S a210a , a9 ,则a1n3151(B)111(A)3(C)(D)399【答案】 C7 （． 2013年高考新课标1（理））设等差数列a的前 n 项和为 S n , S m 12, S m 0, S m 1 3,n则 m ( )A.3B.4C.5D.6【答案】C8 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试辽宁数学（理）试题（ WORD版））下边是对于公差d0的等差数列a n的四个命题:p1 : 数列a n是递加数列；p2 : 数列na n是递加数列；p3: 数列a nn是递加数列；p4 : 数列a n3nd是递加数列；此中的真命题为(A) p1, p2(B)p3 , p4(C)p2 , p3(D)p1 , p4【答案】 D9 ．（ 2013 年高考江西卷（理））等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于A.-24B.0C.12D.24【答案】 A二、填空题10．（ 2013 年高考四川卷（理））在等差数列{ a n}中,a2a18 ,且 a4为 a2和 a3的等比中项,求数列 { a n} 的首项、公差及前n 项和.【答案】解 : 设该数列公差为 d ,前n项和为s n.由已知,可得2a1 2d8, a12a1 d a1 8d . 3d所以 a1d4,d d 3a10 ,解得 a14, d0 ,或 a11,d 3 ,即数列a n的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.所以数列的前n 项和 s n 4n 或 s n 3n2n211（． 2013 年一般高等学校招生一致考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯 WORD版含答案））等差数列a n 的前 n 项和为 S n,已知 S100, S1525 ,则 nS n的最小值为________.【答案】4912．（ 2013 年高考湖北卷（理））古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各样多边形数. 如三角形数 1,3,6,10,,第 n 个三角形数为n n 11 n21n .记第 n 个 k边形数为222N n,k k 3 ,以以下出了部分k 边形数中第 n 个数的表达式:三角形数N n,3 1 n2 1 n22正方形数N n,4n2五边形数N n,53n21n22六边形数N n,62n2n能够推断 N n,k 的表达式,由此计算 N 10,24___________.选考题【答案】 100013．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学）（已校正纯 WORD版含附带题））在正项等比数列{ a n} 中,a51, a6a7 3 ,则知足 a1a2a n a1a2a n的最大2正整数 n 的值为_____________.【答案】1214．（ 2013 年高考湖南卷（理））设S n为数列a n的前 n 项和 , S n( 1)n a n1,n N , 则n2(1) a3_____; (2)S1S2S100___________.【答案】1;1 (10011)163215．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试福建数学（理）试题（纯 WORD版））当x R, x1时,有以下表达式 :1x x2...x n...11 . x111111两边同时积分得 :21dx2 xdx2 x2dx ...2 x n dx ...2dx.000001x进而获得以低等式 : 11 1 (1)2 1 (1)3 (1)1( 1 )n 1...ln 2.22232n2请依据以下资料所包含的数学思想方法,计算 :0 1 111212131n1n 1C n22 C n( 2)3 C n(2)...n1C n(2)_____【答案】n 1 [( 3)n 11] 1216．（ 2013年一般高等学校招生一致考试重庆数学（理）试题（含答案））已知 a n是等差数列,a1 1 ,公差 d0, S n为其前n项和 , 若a1, a2, a5成等比数列 ,则 S8_____【答案】6417．（ 2013 年上海市春天高考数学试卷( 含答案 ) ）若等差数列的前6项和为23,前9项和为 57,则数列的前 n 项和 S n = __________.【答案】5n27 n 6618．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试广东省数学（理）卷（纯 WORD版））在等差数列a n中,已知a3a810,则3a5a7_____.【答案】2019．（ 2013 年高考陕西卷（理））察看以下等式: 1211222322261231222324210照此规律 ,2- 2232-n -1n2 （- 1)n 1第 n 个等式可为___1（ -1）2n(n 1) ____.【答案】222（n -1 2（ -1)n 1(1)1- 23-）n n - 12n20．（ 2013 年高考新课标2a n1,则数列{a n}的通项1（理））若数列{a n}的前n项和为S n=33公式是 a n=______.【答案】a n = ( 2)n 1 .21．（ 2013年一般高等学校招生一致考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版）） 如图 , 互不 - 同样的点 A 1 , A 2 , X n , 和 B 1, B 2 , B n , 分别在角 O 的两条边上 , 全部 A n B n 互相平行 , 且全部梯形 A n B n B n 1A n 1 的面积均相等 . 设 OA n a n . 若 a 1 1,a 22, 则数列 a n 的通项公式是_________.【答案】 a n3n 2, n N *22．（ 2013 年高考北京卷（理） ）若等比数列 { a n } 知足 a 2+a 4=20, a 3+a 5=40, 则公比 q =_______;前 n 项和 S n =___________.【答案】 2, 2n 1223．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试辽宁数学（理） 试题（ WORD 版））已知等比数列a n 是递 增 数 列 , S n 是a的 前 n 项 和 , 若 a 1， a 3 是 方 程 x 25x 4 0 的 两 个 根 , 则nS 6 ____________.【答案】 63 三、解答题24．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版）） 设函数22nf n (x)1 xx 2 x 2 x2 (x R, n Nn ) , 证明 :2 3n( Ⅰ) 对每个( Ⅱ) 对随意nN n, 存在独一的 x n [ 2,1] , 知足 f n ( x n ) 0 ;31pN n , 由 ( Ⅰ ) 中x n 构成的数列x n 知足 0x nxn p.n【答案】解:( Ⅰ)x nx 2x 3x 4x n当 x 0时， y2 是单一递加的 f n ( x)1 x 222 2 是 x 的n2 34 n单一递加函数 , 也是 n 的单一递加函数 .且 f n (0)1 0, f n (1)1 10 .存在独一 x n (0,1], 知足 f n ( x n ) 0，且 1 x 1 x 2x 3 x n 0当 x(0,1).时, f n ( x)1 xx2x3x4xn22 22 22 220 f n ( x n )x n21(x n2)(3x n1 x nx n4 1综上 , 对每个 n N n, 存在独一的 x n[ 2,1] , 知足 f n ( x n )31x 21 x n 1x 21x1 1 x1 x4x 4 2) 0x n[2,1]30;( 证毕)(Ⅱ) 由题知 1x nxn p0, f n ( x n )1 x nx n 2 x n 3x n 4 x n n 022324 2n 2234nn 1npf n p ( x n p ) 1 x n pxn pxn pxn pxn pxn pxn p223242n2(n 1)2(n p)2上 式相减:x n2x n3x n4x nn2xn p 3xn p 4 xn p n xn p n 1n pxn pxn pxn px n23242n 22232 42 n 2( n 1) 2( n p) 22223344nnn 1n px n - x n p （x n p- x nx n p - x nx n p - x nx n p - x n ）（ x n px n p）2 23 24 2n 2(n 1) 2(n p) 21 1 1 x n - x n p1 . n n p nn法二 :25．（2013 年高考上海卷（理））(3分 +6分 +9分 ) 给定常数c0,定义函数f ( x) 2 | x c 4 | | x c |,数列 a1 , a2 , a3 ,知足 a n 1 f (a n ), n N *.(1)若 a1 c 2 ,求 a2及 a3;(2)求证 : 对随意n N * ,a n1 a n c ,;(3)能否存在 a1,使得 a1 , a2 ,a n ,成等差数列 ? 若存在 , 求出全部这样的a1,若不存在,说明原因 .【答案】 :(1)因为 c0 ,a1(c2) ,故 a2 f (a1) 2 | a1 c 4 | | a1 c | 2 ,a3 f (a1) 2 | a2 c 4 | | a2 c | c 10(2)要证明原命题 , 只要证明f ( x)x c 对随意x R都建立,f ( x) x c2 | x c 4 | | x c | x c即只要证明 2 | x c 4 | | x c | + xc若 x c 0 , 明显有 2 | x c 4 | | x c | + x c=0 建立 ;若 xc 0 , 则 2 | x c4 | | xc | + x cx c 4x c 明显建立 综上 , f ( x) x c 恒建立 , 即对随意的 nN * , a n1a nc(3) 由 (2) 知, 若 { a n } 为等差数列 , 则公差 d c 0 , 故 n 无穷增大时 , 总有 a n 0此时 , a n 1f (a n ) 2(a n c 4) (a nc) a n c8即 d c 8故 a 2 f (a 1 ) 2 | a 1 c 4 | | a 1 c | a 1 c 8,即 2 | a 1 c 4 | | a 1 c | a 1c 8,当a 1 c0 时 , 等式建立 , 且 n 2 时 , a n 0 , 此时 { a n } 为等差数列 , 知足题意 ; 若 a 1 c 0 , 则 | a 1 c 4 | 4 a 1c 8 ,此时 , a 20, a 3 c 8, , a n(n 2)(c 8) 也知足题意 ;综上 , 知足题意的 a 1 的取值范围是 [ c,) { c 8} .26．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学） （已校正纯WORD 版含附带题） ）本小题满分 10 分 .k 个设 数 列：1， 2，2,3，,3,，3 ，4 ， 4，，4（ k- 1 k - 1,即 当a n -- -）4，，（）- - - - 1 k - 1k（ ）（） k 1k 1 k n k k 1k N时, an （- ）记S n a 1a 2a n n N,对221 k ,于 lN , 定义会合 P ln S n 是a n 的整数倍， n N ，且1 nl(1) 求会合 P 11 中元素的个数 ; (2)求会合 P 2000 中元素的个数 .【答案】 此题主要观察会合. 数列的观点与运算 . 计数原理等基础知识, 观察研究能力及运用数学概括法剖析解决问题能力及推理论证能力.(1)解:由数 列a n的 定义得 : a 1 1, a 22 , a3 2 , a4 3 , a5 3 , a6 3 , a7 4 , a8 4 , a9 4 ,a10 4 , a115∴ S11, S21, S33, S40, S53, S66, S72, S82, S9 6 , S1010 , S115∴ S1 1 a1, S40 a4,S5 1 a5, S6 2 a6, S11 1 a11∴会合 P11中元素的个数为5(2) 证明 : 用数学概括法先证Si ( 2i1)i (2i1)事实上 ,①当 i 1时,Si( 2i 1)S31(21)3故原式建立②假定当 i m 时,等式建立,即S m(2 m 1)m(2m1)故原式建立则: i m 1,时,S( m1)[ 2( m 1) 1}S( m1)(2 m3}Sm(2m1)(2m1)2( 2m2)2m(2m1) ( 2m1)2(2m 2) 2( 2m25m 3)(m1)(2m 3)综合①②得 : S i ( 2i 1)i (2i1) 于是S( i 1)[ 2i1}Si ( 2i1}(2i1)2i (2i1)(2i 1)2(2i1)(i1)由上可知 : S i ( 2i1}是 ( 2i1) 的倍数而a( i 1)( 2i1}j2i1( j1,2, ,2i1) ,所以 S i (2i 1)j Si( 2i 1)j (2i1) 是a(i 1)( 2 i1}j( j1,2,,2i1)的倍数又S( i 1)[ 2i1}(i1)(2i1) 不是2i2的倍数 ,而a( i 1)( 2i1}j( 2i2)( j1,2,,2i2)所以S( i 1)( 2 i 1) j S(i 1)( 2 i 1)j(22) (2 1)(i1)j(22)不是i i ia(i 1)( 2 i1}j ( j1,2,,2i2)的倍数故当 l i(2i1) 时,会合 P l中元素的个数为 1 3（2i - 1） i 2于是当 l i( 2i1)j（1j2i1）时,会合 P l中元素的个数为 i 2j又 2000 31 （2 31 1） 47故会合 P2000中元素的个数为31247 100827．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））在公差为d的等差数列 { a n } 中,已知 a110 ,且 a1 ,2a22,5a3成等比数列.(1) 求d, a n ; (2)若d0 ,求| a1|| a2 | | a3 || a n | .【答案】解:( Ⅰ) 由已知获得:(2a22)25a a4(a d1)250(a2d )(11d)225(5 d )131112122d d 212525d d23d 4 0d4或d1a n a n4n611 n;(Ⅱ)由(1)知 , 当d0时 , a11n ,n①当 1n11时,a n0 | a1 | | a2 | | a3 || a n | a1 a2a3a n n(10 11n)n(21 n)22②当12n 时,a n0 | a1 | | a2 | | a3 || a n | a1 a2a3a11(a12a13a n )2( a1a2 a3a11 ) (a1 a2 a3a n ) 211(21 11)n(21n) n221n 220 222n(21n),(1 n 11)所以 , 综上所述 : | a || a || a || a2; |123n n221n2202,( n12) 28．（ 2013 年高考湖北卷（理））已知等比数列a n知足 : a2a310 , a1a2 a3125 .(I)求数列 a n的通项公式;(II) 能否存在正整数m ,使得111 1 ?若存在,求 m 的最小值;若不存在,说a1a2a m明原因 .【答案】解 :(I)由已知条件得 :a2 5 ,又 a2 q 1 10 , q1或3,所以数列a n的通项或 a n 53n 2(II)若 q1,1111或 0 ,不存在这样的正整数m ;a1a2a m5m9, 不存在这样的正整数若 q3,111911m .a1a2a m1031029．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试山东数学（理）试题（含答案））设等差数列a n的前n 项和为S n , 且S44S2, a2 n2a n1.( Ⅰ) 求数列a n的通项公式 ;( Ⅱ) 设数列b n前 n 项和为Tn且 T na n1令cnb2n*. 求数,2n( 为常数 ).(n N )列 c n的前n项和R n.【答案】解:( Ⅰ) 设等差数列a n的首项为a1,公差为d,由S44S2,a2n2an1得4a16d 8a14da1(2 n 1) 2a12( n 1)d1,解得,a11, d2所以a n2n 1 ( n N * )T nn( Ⅱ) 由题意知 :2n1b n T n T n1n n 1所以 n 2 时,2n 12n 22n21n 1故,c n b2 n22n 1( n 1)(4)( n N * )所以R n0 (1)0 1 (1)1 2 (1)2 3 (1)3(n 1) (1)n 1, 444441R n 0 (1)11 (1)22 (1)3(n 2) ( 1)n 1( n 1) ( 1)n则 4444443R n(1)1 ( 1)2 (1)3( 1)n 1(n 1) ( 1) n两式相减得4444441 ( 1 )n14 4(n) n11)(144R n1 3n 1(44 n 1 ) 整理得9的前 n 项和R n1 3n 1所以数列数列c n 9 (44n 1)30．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学） （已校正纯WORD 版含附带题） ）本小题满分16 分 . 设 { a n } 是首项为 a , 公差为 d 的等差数列 (d0) , S n 是其前 n 项和 . 记b nnS n , n N * , 此中 c 为实数 .n 2 c(1) 若 c 0 , 且 b 1， b 2， b 4 成等比数列 , 证明 :Snkn 2S k ( k,nN * );(2) 若 { b n } 是等差数列 , 证明 : c0 .【答案】 证明 : ∵ { a n } 是首项为 a , 公差为 d 的等差数列 ( d 0) , S n 是其前 n 项和∴S nna n(n 1) d2(1) ∵ c0 ∴ b nS nan 1 dn2∵b 1， b 2， b 4 成等比数列∴ b 2 2b 1b 4 ∴ (a 1 d )2a(a 3 d )22∴1ad 1 d 20 ∴ 1 d( a1d ) 0 ∵ d 0 ∴ a1d ∴ d 2a2 4222∴ S nna n(n 1) d nan(n 1)2a n 2 a22∴左侧 = S nk(nk) 2 a n 2 k 2a右侧 = n 2 S kn 2 k 2a∴左侧 =右侧∴原式建立(2) ∵ { b n } 是等差数列∴设公差为d 1 , ∴ b n b 1 (n1)d 1 带入 b nnS n 得:n 2cb 1 (n 1) d 1nS n 1 3(b 1 d 11 d ) n2 cd 1 n c(d 1 b 1 ) 对n 2 c∴ ( d 1d ) na22nN 恒建立d 11 d2∴ b 1d 1a 1 d 02 cd 1 0c(d 1b 1 ) 0由①式得 :d 11 d ∵ d 0 ∴ d 12 由③式得 :c法二 : 证 :(1) 若 c0 , 则 a n a(n 1) d , S nn[( n 1)d 2a], b n(n 1)d 2a22 .当 b 1， b 2，b 4 成等比数列 , b 22b 1b 4 ,d 23d即:a a a , 得 : d 2 2ad , 又 d0 , 故 d 2a .22由此 : S n n 2a ,Snk( nk) 2 a n 2 k 2 a , n 2 S k n 2 k 2 a .故: S nkn 2S k ( k, n N * ).nS n n 2 (n 1)d2a(2)b n2,n2cn2cn 2 (n 1)d 2ac (n1) d 2ac (n1)d 2a 2n 2 2 2c (n 1)d2a c (n 1) d 2a2 .( ※)2n 2c若 { b } 是等差数列 , 则 bn An Bn 型.n察看 ( ※) 式后一项 , 分子幂低于分母幂 ,(n 1) d 2a故有 : c 20 , 即 c (n 1)d 2a0 ( n 1)d2a≠0,n2c2, 而2故 c 0 .经查验 , 当 c0 时 {b n } 是等差数列 .31．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试纲领版数学（理）WORD版含答案（已校正））等差数列a n的前n 项和为S n,已知S3 =a22, 且S1,S2, S4成等比数列, 求a n的通项式.【答案】32．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试天津数学（理）试题（含答案））已知首项为3 的等比2数列 {a n }不是递减数列 ,其前335544成等差数n 项和为S n( n N*) ,且 S + a ,S+ a ,S +a列.( Ⅰ)求数列 { a n} 的通项公式 ;( Ⅱ )设 T n S n 1( n N*),求数列 { Tn } 的最大项的值与最小项的值 . S n【答案】33 ．（2013年高考江西卷（理））正项数列 {a n} 的前项和 {a n}满足: s n2(n2n 1)s n( n2n) 0(1) 求数列 {a n} 的通项公式 a n;(2) 令b nn12, 数列 {b} 的前n项和为T n . 证明 : 对于随意的n*5 2n N, 都有T n(n2)a64【答案】 (1) 解 : 由S n2(n2n1)S n(n2n)0, 得S n(n2n)(S n1) 0.因为 a是正项数列 , 所以S n0, S n n2n .n于是 a1S12, n 2 时, a n S n S n 1n2n (n 1)2(n 1) 2n .综上 , 数列a n的通项 a n2n .(2) 证明 : 因为a n2n, b nn1. (n2)2 a n2则 b nn1111.16 n2(n2)24n2 (n 2)2111111⋯1111T n122423252(n 1)2(n 1)2n2(n 2)2 16321 11111 1516 2 22(n 2) 2(1 2 ).(n 1)16 26434．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版））设数列a n 的前 n项和为 S n . 已知 a 11, 2S na n12n2, n N *n 13 n3 .( Ⅰ) 求 a 2 的值 ;( Ⅱ) 求数列 a的通项公式 ;n( Ⅲ) 证明 : 对全部正整数n , 有 111 7 .a 1 a 2a n 4【答案】 .(1)解 :2S nan 11 2 n2 , nN .nn33当 n1 时 , 2a 1 2S 1 a 21 1 2a 2233又 a 1 1, a 2 4(2) 解:2S na n 1 1 n 2 n 2 , n N .n3 32S n na n 11 n 3 n 22n na n 1 n n 1n 2①333当 n 2 时 , 2S n 1n 1 a nn 1 n n 1②3由① — ②, 得 2S n 2S n 1 na n 1n 1 a n n n 12a n 2S n 2S n 12a n na n 1n 1 a nn n 1a n 1 a n 1数列 a n 是以首项为a 11 , 公差为 1 的等差数列 .n 1 nn1a n 1 1 n 1 n, a n n 2 n 2n当 n1 时 , 上式明显建立 .a nn 2 , n N *(3) 证明 : 由(2) 知 , a n n 2 , n N *①当 n1时 , 11 7 原不等式建立 .,a 14②当 n2 时 , 11 117 , 原不等式亦建立 .a 1 a 24 4③当 n 3 时,n 2n 1 n 1 , 11n 1n 2n 111 1 1 11 11111a 1a 2a n1222n21 32 4 n 2 n n 1 n 11 1 11 1 11 1 11 1 1 1 1 1132 2 42 3 52 n 2 n2 n 1 n 12 11 1 11 11 11 1 1 1132435n 2 n n 1 n 12 11 11 1 17111712 n n 14 2n n 142 1当 n3 时 ,,原不等式亦建立 .综上 , 对全部正整数 n , 有11 1 7 .a 1a 2a n 435．（ 2013 年高考北京卷（理） ）已知 { a n } 是由非负整数构成的无量数列 , 该数列前 n 项的最大值记为 n , 第n 项以后各项an 1 ,an 2 , 的最小值记为n,n= n -n .AB d A B(I) 若{ a } 为 2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个周期为 4 的数列 ( 即对随意*a n 4 a n ), 写出∈N ,nd 1, d 2 , d 3, d 4 的值 ;(II) 设 d 为非负整数 , 证明 : d n =- d ( n =1,2,3) 的充足必需条件为 { a n } 为公差为 d 的等差数列 ;(III) 证明 : 若 a 1=2, d =1( =1,2,3,), 则 { a } 的项只好是 1 或许 2, 且有无量多项为 1.nn【答案】 (I) d 1 d 2 1,d 3 d 4 3.(II)( 充足性 ) 因为 a n 是公差为 d 的等差数列 , 且 d 0 , 所以 a 1 a 2a n.所以 A na n , B n a n 1 , d n a na n1d (n 1,2,3, ) .( 必需性 ) 因为 d n d0 (n 1,2,3, ) , 所以 A n B n d n B n .又因为 a nA n , a n 1B n , 所以 a n a n 1 . 于是 A n a n , B n a n 1 .所以 a n 1 a n B n A nd nd , 即 a n 是公差为 d 的等差数列 .(III)因为 a12, d11,所以 A1a1 2 , B1A1d11.故对随意 n 1,a n B11.假定a n ( n 2) 中存在大于 2 的项 .设 m 为知足 a n 2 的最小正整数,则m2, 而且对随意1 k m, a k 2 ,.又因为 a1 2 ,所以 A m 1 2 ,且 A m a m2.于是 B m A m d m211,B min a , B 2 .m 1mm故 d m 1Am 1Bm 1 2 20 ,与 d m 11矛盾.所以对于随意 n1,有a n 2 ,即非负整数列a n的各项只好为1或2.所以对随意 n 1,a n2a1,所以 A n2.故 B n A n d n21 1 .所以对于随意正整数n ,存在 m 知足 m n ,且 a m 1,即数列 a 有无量多项为 1.n36．（ 2013 年高考陕西卷（理））设 { a n } 是公比为q的等比数列 .( Ⅰ) 导 { a n } 的前n项和公式 ;( Ⅱ ) 设q≠ 1,证明数列 { a n1} 不是等比数列 .【答案】解:( Ⅰ) 分两种状况议论 .①当 q 1时，数列 { a n } 是首项为 a1的常数数列，所以 S n a1a1a1na1 .②当 q1时， S n a1a2an 1a n qS n qa1 qa2qa n 1 qa n.上面两式错位相减:（1- q)S n a1(a2qa1 ) (a3S n a1qa n.a1(1 qn).1 - q1- qna1 ,③综上 ,S n a1 (1q n )1,q ( Ⅱ)使用反证法.qa2 )(a n qa n 1 ) qa n a1qa n .(q 1)(q 1)设 { a n } 是公比q≠1的等比数列 , 假定数列 { a n1} 是等比数列 . 则①当 n N *，使得 a n 1 =0建立,则{ a n1}不是等比数列 .②当 n*，使得 a n1a n11a1q n1恒为常数N0建立,则1 a q n 11a n1a1q n1a1 q n 11当 a10时, q1.这与题目条件q≠1矛盾 .③综上两种状况 , 假定数列 { a n1}是等比数列均不建立 , 所以当q≠1时,数列 { a n1} 不是等比数列 .。

数列一、选择题1.辽宁4、下面关于公差d>0的等差数列的四个命题：{}n a P1：数列是递增数列； P2：数列是递增数列{}n a {}n na P3：数列是递增数列； P4：数列是递增数列。

n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}+3n a nd 其中的真命题为( )A ．P1，P2 B. P3，P4 C. P2，P3 D. P1，P42.全国（3）等比数列{a n }的的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1 =( )（A ）（B ）- （C ）（D ）- 131319193.福建9.已知等比数列{}n a 的公比为q ，记m n m n m n m n a a a b +-+-+-+⋅⋅⋅++=)1(2)1(1)1(，m n m n m n m n a a a b +-+-+-*⋅⋅⋅**=)1(2)1(1)1(，()*,N n m ∈，则以下结论一定正确的是（ ）A. 数列{}n b 为等差数列，公差为m q　B. 数列{}n b 为等比数列，公比为m q 2C. 数列{}n c 为等比数列，公比为2mq　D. 数列{}n c 为等比数列，公比为mmq4.江西3.等比数列x ，3x+3，6x+6，…的的第四项等于（）A.-24B.0C.12D.24二、填空题5.全国（16）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10 = 0，S 15 = 25，则nS n 的最小值为.6.北京10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q =；前n 项和S n =.7.重庆（12）已知是等差数列，，公差，为其前项和，若、、{}n a 11a =0d ≠n S n 1a 2a 称等比数列，则．5a 8S =8.陕西14. 观察下列等式:211=22123-=-2221263+-=2222124310-+-=-…照此规律, 第n 个等式可为.9.湖北14.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数，1,3,6,10,...第个三角形数为.记第个边形数为，以下列出n 2(1)11222n n n n +=+n k (,)(3)N n k k ≥了部分边形数中第个数的表达式：k n 三角形数 ，211(,3)22N n n n =+四边形数 ，2(,4)N n n =五边形数 ，231(,5)22N n n n =-六边形数 ，2(,6)2N n n n =-…可以推测的表达式，由此计算= .(,)N n k (10,24)N 10.安徽（14）如图，互不相同的点和分别在角O 的两条12,,,n A A X 12,,,n B B B 边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等。