2017年春季学期新版新人教版九年级数学下学期28.1、锐角三角函数导学案19

人教版九年级数学下册： 28《锐角三角函数》《《锐角三角函数》教案》教案1一. 教材分析人教版九年级数学下册第28课《锐角三角函数》是学生在学习了三角函数概念和特殊角的三角函数值的基础上进行的一节实践性较强的课程。

本节课主要让学生了解锐角三角函数的概念，学会用锐角三角函数解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角函数的基本概念和特殊角的三角函数值，具备一定的数学基础。

但是，对于锐角三角函数的实际应用，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握锐角三角函数的概念，学会用锐角三角函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过自主学习、合作探究的方式，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的概念及应用。

2.难点：如何引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生了解锐角三角函数在实际生活中的应用。

2.自主学习法：鼓励学生自主探究，培养学生的学习能力。

3.合作学习法：学生进行小组讨论，提高学生的团队合作能力。

六. 教学准备1.准备相关的生活实例，用于引导学生了解锐角三角函数在实际生活中的应用。

2.准备多媒体教学课件，帮助学生直观地理解锐角三角函数的概念。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活实例，如测量山的高度、计算建筑物的斜面积等，引导学生了解锐角三角函数在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，介绍锐角三角函数的概念，让学生了解锐角三角函数的定义和性质。

同时，教师可以通过讲解特殊角的三角函数值，帮助学生巩固已学的知识。

CB A 锐角三角函数课题：28.1锐角三角函数（第一课时） 序号学习目标：1、知识和技能： 了解锐角的正弦的概念，并能利用概念求一个角的正弦。

2、过程和方法：经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。

能根据正弦概念正确进行计算。

3、情感、态度、价值观：认识数学的相互联系。

学习重点：理解正弦（sinA ）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．学习难点：当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。

导学过程：一、课前导学：阅读教材P74-75页。

二、课堂导学：情境导入：• 为什么在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于12。

2、出示任务，自主学习：经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。

能根据正弦概念正确进行计算3、合作探究：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边的比值是一个定值吗？•如果是，是多少？结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值三、展示与反馈：1.《导学案》P80页“自主测评”2.《导学案》P81页“评价归纳随堂练习 ：1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是﹙ ﹚A ．43B ．34C ．53D ．542．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o ，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA ＝（ ） A ．35 B ．45 C ．34 D ．433． 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=23，则边AC 的长是( ) A ．13 B ．3 C ．43D ． 5 4．如图，已知点P 的坐标是（a ，b ），则sin α等于（ ）CB AA．ab B．ba C．2222.a bDa b a b++四、学习小结：1.锐角的正弦的概念2.能根据正弦概念正确进行计算五、达标检测：《导学案》P81页“深化拓展”课后练习：课本第85页习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与正弦函数有关的部分）板书设计： 28.1锐角三角函数1、锐角三角函数。

年 班 姓名_________________ ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆C B CBACBA斜边c对边abC B A(2)1353CB A(1)34CB A导学案年级：九年级 课 型： 新授课 使用时间：课题：28．1锐角三角函数（1） 执笔人： 审 核 人： 目标导航： 【学习目标】⑴: 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。

⑵: 能根据正弦概念正确进行计算 【学习重点】理解正弦（sinA ）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实． 【学习难点】当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。

【导学过程】 一、自学提纲：1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ，•求AB2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，•求BC二、合作交流：问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，•在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ ；结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边 的比值是一个定值吗？•如果是，是多少？结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值从上面这两个问题的结论中可知，•在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于12，是一个固定值；•当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的A 取其他一定度数的锐角时，•它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°， ∠A=∠A ′=a ，那么''''BC B C AB A B 与有什么关系．你能解释一下吗？结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，•∠A 的对边与斜边的比 正弦函数概念：规定：在Rt △BC 中，∠C=90，∠A 的对边记作a ，∠B 的对边记作b ，∠C 的对边记作c ．在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记作sinA ，即sinA= =ac ． sinA ＝A a A c∠=∠的对边的斜边 例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=；当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ．四、学生展示：例1 如图，在Rt △ABC 中， ∠C=90°，求sinA 和sinB 的值．随堂练习 （1）： 做课本第79页练习．年 班 姓名_________________ ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆随堂练习 （2）：1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是﹙ ﹚A ．43 B ．34 C ．53 D ．542．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA ＝（ ）A ．35B ．45C ．34D ．433． 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=23，则边AC 的长是( )A ．13B ．3C ．43D ． 54．如图，已知点P 的坐标是（a ，b ），则sin α等于（ ）A ．a bB ．ba CD五、课堂小结：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A •的对边与斜边的比都是 ．在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A •的 ，•记作 ，六、作业设置：课本 第85页 习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与正弦函数有关的部分）七、自我反思：本节课我的收获: 。

28.1锐角三角函数(一)学习目标、重点、难点【学习目标】1.初步了解正弦、余弦、正切概念.2.能较正确地用sinA 、cosA 、tanA 表示直角三角形中两边的比.3.熟记30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数. 【重点难点】1.正弦，余弦，正切概念2.用含有几个字母的符号组sinA 、cosA 、tanA 表示正弦，余弦，正切知识概览图锐角三角函数的定义：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数 特殊角的三角函数值sin 2 A ＋cos 2A ＝1sin(90°－A )＝cos A ，cos(90°－A )＝sin A正弦(正切)值随角度的增大而增大余弦值随角度的增大而减小O ＜sin α＜1，0＜cos α＜1(0°＜α＜90°)tan α＞0(0°＜α＜90°)，新课导引【生活链接】 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为了使出水口的高度为35 m ，那么需要准备多长的水管?【问题探究】 这个问题可以归结为：如右图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝35 m ，求AB ．根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即12A BC AB ==∠的对边斜边，可得AB ＝2BC ＝70 m ，也就是说，需要准备70 m 长的水管．在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m ，那么需要准备多长的水管?教材精华知识点1 当锐角A 的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有唯一确定的值(1)任意画一个锐角A ，在锐角A 的一边上任取一点B ，自点B 向另一边作垂线，垂足为C ，从而得到一个Rt △ABC ，如图28－1所示．Rt △ABC 中的三条边每两边构成一个比，一共可以得到如下六个比例式：,,,,.BC AC AB AC AB BC AB AB BC BC AC AC， (2)在锐角A 的AB 边上再另取一点B 1，自点B 1向另一边作垂线，垂足为C 1，从而得到另一个Rt △AB 1C 1，Rt △AB 1C 1中的三条边也构成如下六个比例式：11111111,B C AC ABAB AB B C ，,11111111,A AC AB B C B C C AC ，. 那么由两个直角三角形所得到的对应比有怎样的关系呢?锐角三角函数同角、互为余角的三角函数关系锐角三角函数值的变化情况及取值范围∵BC ⊥AC ，B 1C 1⊥AC 1，∴BC ∥B 1C 1，∴Rt △ABC ∽Rt △AB 1C 1，∴11111111111,,,B C B C AC AC BC BC AC ACAB AB AC AC AB AB B C BC====，…都为定值． ∵点B 1在AB 边上是任取的，∴前面的操作方法具有普遍性．∴当锐角A 的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有唯一确定的值．知识点2 正弦和余弦的定义由知识点1可知，当锐角A 固定时，∠A 的对边与斜边的比值是一个固定的值，∠A 的邻边与斜边的比值也是一个固定的值．在Rt △ABC 中，设∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，如图28－2所示．(1)我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦．记作sin A ，即sin A ＝A a c =∠的对边斜边.(2)我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦．记作cos A ，即cos A ＝b A c =∠的邻边斜边.拓展 (1)正弦、余弦都是一个比值，是没有单位的数值． (2)正弦、余弦只与角的大小有关，而与三角形的大小无关． (3)sin A ，cos A 是整体符号，不能写成sin ·A ，cos ·A ．(4)当用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如sin ∠ABC ．(5)sin 2 A 表示(sin A )2，而不能写成sin A 2． (6)三角函数还可以表示成sin α，cos β等．探究交流 计算30°，45°，60°角的正弦、余弦值．点拨 如图28－3所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，∠B ＝60°． 由在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可知BC ＝12AB ，再由勾股定理AB 2＝BC 2＋AC 2，得AB 2＝AC 2＋(12AB )2，即AC 2＝34AB 2，∴AC 3AB ，∴sin A ＝1122ABBC AB AB ==，cos A ＝332AB AC AB AB == 即sin 30°＝12，cos 303．类似地，sin 603,cos 60°＝12. 如图28－4所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝45°，∠B ＝45°．∴CB ＝CA ，由勾股定理AB 2＝BC 2＋AC 2，得AB 2BC 2AC ，即222BC AC AB AB ===． ∴sin A ＝22BC AB =cos A ＝2AC AB =，即sin 45°＝cos 452. 知识点3 正切的定义由知识点1可知，当锐角A 固定时，∠A 的对边与邻边的比值是一个固定的值，如图28－5所示．在Rt △ABC 中，把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．记作tan A ，即tan A ＝A aA b=∠的对边∠的邻边.拓展 (1)正切是一个比值，是一个没有单位的数值． (2)正切只与角的大小有关，而与三角形的大小无关． (3)tan A 是整体符号，不能写成tan ·A ．(4)当用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如tan ∠ABC ．(5)tan 2A 表示(tan A )2，而不能写成tan A 2． (6)三角函数也可以表示成tan α等．探究交流 计算30°，45°，60°角的正切值．点拨 如图28－6所示，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°．∴BC ＝12AB ，AC 3AB ；∴tan A ＝1323ABBC AC AB ==. 类似地，tan B ＝3ACBC即tan 303，tan 603如图28－7所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝45°，∠B ＝45°． ∴∠A ＝∠B ，∴CA ＝CB ，∴tan A ＝BC AC ＝1，tan B ＝ACBC＝1，即tan 45°＝1．知识点4 锐角三角函数的定义锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数．(1)三角函数的实质是一个比值，这些比值只与角的大小有关，当角的大小确定时，它的三角函数值就确定了，也就是说，三角函数值随角度的变化而变化． (2)由定义可知，0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0．令y ＝sin A ，y ＝cos A ，y ＝tan A ，则函数中自变量的取值范围均为0°＜A ＜90°． 函数的增减性分别为：①y ＝sin A 在自变量的取值范围内，y 随A 的增大而增大． ②y ＝cos A 在自变量的取值范围内，y 随A 的增大而减小． ③y ＝tan A 在自变量的取值范围内，y 随A 的增大而增大．(3)锐角α三角函数30°45° 60° sin α 12 22 32cos α 32 2212 tan α3313拓展 (1)锐角的三个三角函数都是一个比值．当锐角不变时，该角的正弦、余弦、正切值也不变．(2)锐角的三角函数值与角的两边的长短无关．(3)当锐角A所在的三角形不是直角三角形时，可适当地作辅助线，构造出直角三角形，从而求出sin A，cos A，tan A．知识点5 同角三角函数之间的关系如图28－8所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，令∠A＝α，则sinα＝ac，cos a＝bc，tan α＝ab．(1)平方关系．∵sin2α＋cos2α＝(ac)2＋(bc)2＝222a bc+，又∵a2＋b2＝c2，∴sin2α＋cos2α＝22cc＝1．(2)商数关系．∵sin:cosa b ac c bαα==，tan α＝ab，∴sincosαα＝tan α．拓展对公式sin2α＋cos 2α＝1(α为锐角)的理解与应用要注意：sin2α代表的含义是sinα的平方(即比值的平方)，书写格式应为sin2α，而不是sinα2．知识点6 互为余角的三角函数关系观察下列等式：sin 30°=cos 60°＝12，sin 45°＝cos 452．cos 30°=sin 603，cos 45°＝sin 452．不难发现等式有下面三个特点：(1)三角函数名称互换，即正弦变余弦，余弦变正弦；(2)角度互余；(3)三角函数值相等．上述规律可以推广到任意锐角，即sin A＝cos(90°－A)，cos A＝sin(90°－A)．用语言叙述上述规律为：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．拓展对公式sin A＝cos(90°－A)和cos A＝sin(90°－A)的理解要注意以下两点：(1)∠A为锐角．(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的邻边与斜边的比，实际上就是∠B(即90°－∠A)的对边与斜边的比．规律方法小结求锐角三角函数值时，应构造一个直角三角形，运用数形结合思想来解决数量问题．课堂检测基础知识应用题1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则cos B的值为 ( )A. 45B．35C．43D．342、在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝35，则BC：AC等于 ( )A．3：4 B．4：3C．3：5 D．4：53、在Rt△ABC中，如果各边都缩小4倍，则锐角A的正切值 ( )A．缩小4倍 B．扩大4倍 C．没有变化 D．不能确定 4、如图28－10所示，在Rt△OPQ中，求sin P，cos P，sin Q，cos Q的值．5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．(1)求AB的长；(2)求sin A，cos A的值；(3)求sin2A＋cos2A的值；(4)比较sin A与cos B的大小；(5)比较tan A与sincosAA的大小．6、在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A 3，则cos B的值为 ( )A．12B2C3D37、sin 30°＋cos 60°－cos 45°－tan 60°·tan 30°＝．8、若sin α＝2m－3(α为锐角)，求m的取值范围．综合应用题9、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，0)和点B(0，－4)，则cos∠OAB等于 ( )A．34B．－34C．35D．4510、如图28－12所示，已知△ABC的两边长AC＝3，AB＝5，且第三边长BC为关于x 的方程x2－4x＋m＝0的两个正整数根之一，求sin A的值．11、已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个根分别是一个直角三角形两锐角的余弦值，且－n＝15m-，求m，n的值．12、已知△ABC的三边a，b，c中，b＝5，c＝3，锐角θ的正弦值是关于x的方程5x2－15x－ax＋3a＝0的一个根，试求a的取值范围．13、已知0°＜θ＜90°，且关于x的方程x2－2x tan θ－3＝0的两个根的平方和等于10，求以tan θ，1sinθ为根的一元二次方程．14、如图28－13所示，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AB－AC＝22，求BC 的长．15、如图28－14所示，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，EC ＝1，sin B ＝513，求四边形AECD 的周长．探索与创新题16、用几何方法求tan15°的值．17、曙光中学有一块三角形形状的花圃，现可直接测得∠A ＝30°，AC ＝40米，BC ＝25米，请你求出这块花圃的面积．18、阅读下面的材料，再回答问题．三角函数中有常用公式：sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，求sin(A ＋B )的值． 例如：sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30232162622+==试用公式cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B 求cos 75°的值．19、(1)如图28－18所示，在△ABC 中，∠B ，∠C 均为锐角，其对边分别为b ，c ，求证sin sin b c B C =； (2)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝2，∠B ＝45°，则这样的△ABC 有几个?请作出来(不写作法和理由)，并求出∠C 的度数．体验中考如图28－20(1)所示，在正方形网格中，sin ∠AOB 等于 ( )A ．5 B ．25 C ．12D ．2学后反思附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测1、分析 由勾股定理可知AB 2243+＝5，根据余弦的定义可知cos B ＝B ∠的邻边斜边，即cos B ＝B C AB ＝35．故选B ． 2、分析 根据题意画出图形，如图28－9所示，由正弦的定义可知sin A ＝A ∠的对边斜边，即sin A ＝BC AB ＝35，故可设BC ＝3 k ，AB ＝5 k (k ＞0)，由勾股定理可知AC ＝4 k ，∴BC ：AC ＝(3k )：(4k )＝3：4．故选A ．【解题策略】 本题中BC ：AC 的值实际上是∠A 的正切值，即tan A ，可借助图形来解决问题．3、分析 锐角A 的正切值是一个比值，它只与∠A 的大小有关，而与△ABC 的大小无关．故选C.4、分析 无论直角三角形如何放置，其顶点字母如何标记，正弦值总是等于这个锐角的对边比斜边，余弦值总是等于这个锐角的邻边比斜边，本题已知直角边长，应先求斜边长． 解：在Rt △OPQ 中，∠O ＝90°，OP，OQ ＝2，由勾股定理,得PQ=， ∴sin Pcos P= 同理，sin Q，cos Q【解题策略】 此类问题考查的是三角函数的定义与特征，数形结合思想是解决此类问题时常用的思想方法．5、解：(1)∵∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，∴AB=＝13． (2)sin A ＝BC AB ＝513,cos A ＝AC AB ＝1213． (3)sin 2A ＋cos 2A ＝(513)2＋(1213)2＝25144169169+＝1． (4)∵cos B ＝BC AB ＝513，∴sin A ＝cos B ． (5)∵tan A ＝CBC A ＝512，5sin 1312cos 13A A =＝512，∴tan A ＝sin cos AA． 【解题策略】 解答本题的关键是正确理解锐角三角函数的概念，并找准相应的边． 6、分析 利用特殊角的三角函数值即可求得cos B 的值．在Rt △ABC 中，∵sin A，∴∠A ＝60°，∠B ＝30°，∴cos B ＝cos 30.故选C. 【解题策略】 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即sin A ＝cos(90°－A )．任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，即cos A ＝sin(90°－A )，同时有sin 2α＋cos 2α＝1(α为锐角)，tan α＝sin cos αα． 7、分析 sin 30°＋cos 60°－cos 45°－tan 60°·tan 30°＝12＋12＝1－1. 【解题策略】 解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．8、分析 由α为锐角，0＜sin α＜1，知0＜2m －3＜1，由此可求得m 的取值范围．解：∵0°＜α＜90°，∴0＜sin α＜1，即0＜2m －3＜1，∴32＜m ＜2．【解题策略】 当α为锐角时，正弦值随着a 的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着α的增大(或减小)而减小(或增大)．9、分析 如图28－11所示，易知OA ＝3，OB ＝4，则AB =＝5，此时cos ∠OAB ＝35OA AB =．故选C. 【解题策略】 本题从表面上看是三角函数与平面直角坐标系的综合应用，实际上还是在直角三角形中研究边与角的关系，注意运用转化思想来求解．10、解：设x 1，x 2是关于x 的方程x 2－4x ＋m ＝0的两个正整数根，由根与系数的关系可知x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝m ．又∵x 是正整数，∴x 1＝1，x 2＝3，或x 1＝x 2＝2，或x 1＝3，x 2＝1， ∴BC 只能取1，2，3．根据三角形三边之间的关系可知5－3＜BC ＜5＋3， 即2＜BC ＜8，∴BC ＝3．过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，∴AC ＝BC ＝3，AD ＝12AB ＝12×5＝2.5．在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，CA ＝3，AD ＝2.5，∴CD ，∴sin A ＝23CD CA ==. 【解题策略】 解题的关键是先根据根与系数的关系求出BC 的值，再构造直角三角形求出sin A 的值．11、分析 利用两锐角的余弦值、根与系数的关系组成方程组，求得m ，n 的值，再检验m ，n 是否符号题意.解：设方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个根分别为cos α，cos β(α＋β＝90°)， 由根与系数的关系得cos cos ,cos cos .m n αβαβ+=-⎧⎨=⎩g∵α＋β＝90°，∴cos β＝sin α， ∴cos sin ,cos sin ,m n αααα+=-⎧⎨=⎩g ①②将①两边同时平方，得1＋2sin αcos α＝m 2，③把②代入③，得1＋2·n ＝m 2，∴m 2－2n －1＝0．④又∵－n ＝15m -，即m ＋5n －1＝0，⑤ ∴2210,510,m n m n ⎧--=⎨+-=⎩解得111,0,m n =⎧⎨=⎩或227,512.25m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当m 1＝1，n 1＝0时，sin α＋cos α＝－m ＝－1＜0，应舍去，即7,512.25m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解题策略】 此题综合运用根与系数的关系以及锐角的三角函数值来求解．12、分析 对于a ，实际上有两个限制条件：(1)a 是△ABC 的一边，则5－3＜a ＜5＋3，即2＜a ＜8；(2)由5x 2－15x －ax ＋3a ＝0，得(x －3)(5x －a )＝0，因为sin θ是该方程的根，所以必有5sin θ－a ＝0，即a ＝5sin θ，再由sin θ来确定a 的取值范围．解：由5x 2－15x －ax ＋3a ＝0，得(x －3)(5x －a )＝0，∴x 1＝3，x 2＝5a ． ∵sin θ是该方程的根，且0＜sin θ＜1(θ是锐角)， ∴5a ＝sin θ，即a ＝5sin θ，∴0＜a ＜5．① 又∵a 是△ABC 的一边，∴b －c ＜a ＜b ＋c ，即5－3＜a ＜5＋3，∴2＜a ＜8，②由①②得a 的取值范围是2＜a ＜5．【解题策略】 此题综合运用了锐角正弦值的取值范围以及三角形的三边关系，这些都是确定不等关系的依据．13、分析 构造一元二次方程的关键是求tan θ＋1sin θ和tan θ·1sin θ的值，故应由已知条件求出θ的度数．解：设x 1，x 2是方程x 2－2x tan θ－3＝0的两个根.由根与系数的关系可知x 1＋x 2＝2tan θ，x 1x 2＝－3．∵x 12＋x 22＝10，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝10，即(2tan θ)2－2×(－3)＝10，∴4tan 2 θ＝4，tan θ＝±1．又∵0°＜θ＜90°，∴tan θ＝－1不符合题意，舍去，∴tan θ＝1，θ＝45°,∴1sin θ＝1sin 45︒， ∴tan θ＋1sin θ＝1tan θ·1sin θ＝1∴以tan θ，1sin θ为根的一元二次方程是x 2－(1x＝0. 【解题策略】 此类题是锐角三角函数与一元二次方程的有关知识相结合的题目，主要考查综合运用知识的能力． 14、分析 BC 不在直角三角形中，故应作辅助线将其转化到直角三角形中，因此可作AD ⊥BC ，垂足为D ，此时分BC 的两条线段CD ，BD 可分别在Rt △ACD 和Rt △ADB 中求得． 解：过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ．在Rt △ACD 中，sin C ＝AD AC，∠C ＝45°，∴AD ＝AC ·sin C ＝AC ·sin 45AC ．① 在Rt △ADB 中，sin B ＝AD AB ，∠B ＝30°， ∴AD AB＝sin 30°，∴AD ＝AB ·sin 30°＝12AB ．②AC ＝12AB ，∴AB ③又∵AB －AC ＝2－AC ＝2AC∵cos C ＝CD AC，∴CD ＝AC ·cos C ·cos 45＝1．∵cos B ＝BD AB =，∴BD AC ·cos B cos 30°＝2＝∴BC=CD ＋DB =1【解题策略】 对于非直角三角形，常通过添加辅助线构造直角三角形来求解．15、分析 要求四边形的周长，就要知道各边长，利用勾股定理及三角函数值可求得各边长．解：在菱形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ．∵AE ⊥BC ，∴∠AEB ＝90°．在Rt △ABE 中，sin B ＝513AE AB =， 设AE ＝5x ，则AB ＝13x ，由勾股定理得BE ＝12x ，∵EC ＝1，∴BC －BE ＝1，即AB －BE ＝1，∴13x －12x ＝1，x ＝1，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝13，AE ＝5，EC ＝1，∴四边形AECD 的周长为AE ＋EC ＋CD ＋DA ＝5＋1＋13＋13＝32．【解题策略】 解此类问题时，首先应明确所求的边(或角)在哪个三角形中，然后根据图形并结合已知条件选择合适的方法来求解．16、分析 同求30°，45°，60°角的三角函数值一样，要把15°角放在一个直角三角形中，如图28－15所示，考虑到15°＝12×30°，所以可以通过构造∠BDC ＝30°，从而表示出各边长．解：作如图28－15所示的直角三角形，使∠C ＝90°，∠A ＝15°，在AC 上取一点D ，使∠BDC ＝30°，∵∠BDC ＝∠A ＋∠DBA ，∴∠DBA ＝15°，∴DA ＝DB ．设BC ＝x ，则BD ＝DA ＝2x ，DC ，∴AC ＝AD ＋DC ＝2x ＝(2x .在Rt △ACB 中，tan15°＝23(23)23BC AC x ==-++【解题策略】 此题的方法使我们进一步加深了对锐角三角函数的概念的理解，此题的方法还可以用来求75°角的三角函数值．17、解：①如图28－16所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，在Rt △ADC 中，∠A ＝30°，AC ＝40，∴CD ＝20，AD ＝AC ·cos 30°＝3米)．在Rt △CDB 中，CD ＝20，CB ＝25，∴DB 22222520CB CD -=-15，∴S △ABC ＝12AB ·CD ＝12(AD ＋DB )·CD ＝12315)×20＝3150(米2)． ②如图28－17所示，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于D ，由①可知CD ＝12AC ＝20，AD ＝3BD ＝15， ∴S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12AD ·CD －12BD ·CD ＝12(AD － BD )·CD ＝12315)×20＝3150(米2)． 【解题策略】 解此题的关键是应用分类讨论思想，千万不要忽略第二种情况．18、分析 欲求cos 75°的值，必须牢记特殊角的三角函数值，然后代入已知公式求解即可．解：∵cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，∴cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°232162622-=. 【解题策略】 解此题的关键是将75°分解为45°和30°的和．19、证明：(1)过点A 作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ABD 中，AD ＝AB ·sin B ，即AD ＝c ·sin B ，在Rt △ACD 中，AD ＝AC ·sin C ，即AD ＝b ·sin C ，∴c ·sin B ＝b ·sin C ，∴sin sin b c B C=. 解：(2)符合条件的△ABC 有两个，如图28－19所示的△ABC 1和△ABC 2，此时∠AC 1B ＝120°或∠C 2＝60°．【解题策略】 解此题的关键是将斜三角形转化为直角三角形．体验中考分析 如图28－20(2)所示，设OD ＝l ，则CD ＝2，从而由勾股定理得OC 22125+，∴sin ∠AOB ＝sin ∠COD ＝255CD OC ==．故选B ．【解题策略】解此题的关键是找出锐角∠AOB所在的直角三角形．。

第2课时 锐角三角函数1.掌握余弦、正切的定义.2.了解锐角∠A 的三角函数的定义.3.能运用锐角三角函数的定义求三角函数值.阅读教材P64-65,自学“探究”与“例2”.自学反馈 学生独立完成后集体订正①在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c;∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的 ，即cosA= ；∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的 ，即tanA= .②锐角A 的正弦、余弦、正切叫做∠A 的 .③在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a=3、b=4，则cosB= ，tanB= .④在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则sinA=（）（）= ，cosA= （）（）= ,tanA=（）（）= . ⑤在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，则sinA= （）（）= ，cosA= （）（）= ，tanA=（）（）= . ⑥在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，则sinA= （）（）= ，cosA= （）（）= ，tanA= （）（）= .锐角三角函数是在直角三角形的前提下.活动1 小组讨论例1 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.解:在Rt △ABC 中，根据勾股定理得BC=22AB AC -=221312-=5, ∴sinA=cosB=BC AB =513,cosA=sinB=AC AB =1213,tanA=BC AC =512,tanB=AC BC =125.利用勾股定理求出第三边，再直接运用三角函数定义即可.活动2 跟踪训练(独立完成后小组内展示学习成果)1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 是AB 的中点，若CD=BC ，则tanA= .2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，c=13，a=12，那么sinA= ，cosA= ，tanA= .3.在Rt △ABC 中，∠C=90°，c=2，sinB=12，则a= ，b= ,S △ABC= .均可先求出直角三角形的边长，再用锐角三角函数的关系来做.活动1 小组讨论例2 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，tanA=34，求sinA 和cosB 的值.解:∵tanA=BC AC, ∴BC=AC ×tanA=8×34=6. ∵AB=22BC AC +=2268+=10,∴sinA=BC AB =610=35,cosB=BC AB =610=35.先求Rt △ABC 的边长，再求sinA 、cosB 的值.例3 如图，在△ABC 中，AB=15，AC=13，S △ABC =84，求sinA 的值.解:过点C 作CD ⊥AB 于点D.∵S △ABC =12AB ·CD, ∴CD=2ABC S AB =28415⨯=565. 在Rt △ACD 中，sinA=CD AC =56513=5665.求sinA 的值，由正弦定义可知，必须在直角三角形中，图中没有直角三角形，应想办法构造，题中又提供了三角形的面积及边AB 的长，故可通过C 作高CD.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.在△ABC 中，∠C=90°，且tanA=13,则cosB 的值是 . 2.如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AB ∶BC=2∶5，S △ABC =103，求tanC 的值.活动3 课堂小结1.本节学习的数学知识，锐角的余弦、正切及锐角三角函数的定义.2.本节还学到了类比的思想.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学】自学反馈①余弦bc正切ab②锐角三角函数③3543④⑤⑥略【合作探究1】活动2 跟踪训练1.3 32.12135131253.3 13 2【合作探究2】活动2 跟踪训练1.10 102.3 4。

锐角三角函数一、新课导入1、如图28-1-1，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝1 cm ，根据“在直角三角形中，30°角所对的边 等于斜边的________”得到AB ＝______ cm ，然后根据勾股定理，得AC ＝______ cm.2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝45°，BC ＝1 cm ，则AC ＝______ cm ， AB ＝______ cm.二、学习目标1.初步理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值就是这个锐角的正弦的定义；2.能把实际中的数量关系表示为数学表达式.3.通过类比正弦函数，了解锐角三角函数中余弦函数、正切函数的定义.4.会求解简单的锐角三角函数.三 、研读课本认真阅读课本的内容，完成以下练习。

（一）划出你认为重点的语句。

（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。

研读一、认真阅读课本理解正弦的概念。

一边阅读一边完成检测一。

检测练习一、如图，在Rt △A BC 中，∠C ＝90°，求sinA ．研读二、认真阅读课本完成例题。

一边阅读一边完成检测二。

检测练习二、已知△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝13，BC ＝2，求AC ，AB 的长．研读三、认真阅读课本A C 610理解余弦和正切的概念。

一边阅读一边完成检测三。

检测练习三、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求co sA,tanA ．研读四、认真阅读课本 完成例题。

一边阅读一边完成检测四。

检测练习四、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝1517，求sinA 、tanA 的值．研读五、问题探究： 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.1.求证：sinA=cosB ，sinB=cosA2.求证：sin tan .cos A A AA C 610 A C A C解:(1)因为sin s sin s BC BC A co B AB AB AC AC B co A AB AB ====所以sinA=cosB ，sinB=cosA(2)因为sin s sin s tan sin tan s BCACA co A AB ABBC A BCAB AC co A ACAB BCA ACAA co A==∴===∴=四、完成跟踪训练(PPT)五、归纳小结（一）这节课我们学到了什么？ （二）你认为应该注意什么问题？六、作业布置：完成课后练习.中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣2（x+1）2+1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2﹣1【答案】B【解析】∵函数y=-2x2的顶点为（0，0），∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），∴将函数y=-2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y=-2（x-1）2+1，故选B．【点睛】二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．2．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（）A．10分钟B．13分钟C．15分钟D．19分钟【答案】D【解析】设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，根据计价规则计算出小王的车费和小张的车费，建立方程求解.【详解】设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，依题可得：1.8×6+0.3x=1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5-7）,10.8+0.3x=16.5+0.3y,0.3（x-y ）=5.7,x-y=19,故答案为D.【点睛】本题考查列方程解应用题，读懂表格中的计价规则是解题的关键.3．如图，反比例函数k y x=（x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别于AB 、BC 交于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为9，则k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C 【解析】本题可从反比例函数图象上的点E 、M 、D 入手，分别找出△OCE 、△OAD 、矩形OABC 的面积与|k|的关系，列出等式求出k 值．【详解】由题意得：E 、M 、D 位于反比例函数图象上，则OCE OAD kkS S 22∆∆==，，过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，作MN ⊥x 轴于点N ，则S □ONMG =|k|．又∵M 为矩形ABCO 对角线的交点，∴S 矩形ABCO =4S □ONMG =4|k|，∵函数图象在第一象限，k ＞0，∴k k94k++=．22解得：k=1．故选C．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．4．如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】根据全等三角形的判定定理进行判断．【详解】解：A、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意；B、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意；C、如图1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3，所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意；D、如图2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C，∴△BDE≌△CEF，所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意；由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形，故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，注意三角形边和角的对应关系是关键．5．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（）A．11910813x yy x x y=⎧⎨+-+=⎩（）（）B．108 91311y x x y x y+=+⎧⎨+=⎩C．91181013x yx y y x （）（）=⎧⎨+-+=⎩D．91110813 x yy x x y=⎧⎨+-+=⎩（）（）【答案】D【解析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．【详解】设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：91110813x yy x x y=⎧⎨+-+=⎩（）（），故选：D．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．6．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，若AD＝3，BE＝1，则DE＝( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根据余角的性质，可得∠DCA与∠CBE的关系，根据AAS可得△ACD与△CBE的关系，根据全等三角形的性质，可得AD与CE的关系，根据线段的和差，可得答案．【详解】∴∠ADC=∠BEC=90°.∵∠BCE+∠CBE=90°,∠BCE+∠CAD=90°，∠DCA=∠CBE，在△ACD和△CBE中,ACD CBEADC CEB AC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△CBE(AAS)，∴CE=AD=3，CD=BE=1，DE=CE−CD=3−1=2，故答案选：B.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质.7．已知平面内不同的两点A（a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，则a的值为( )A．﹣3 B．﹣5 C．1或﹣3 D．1或﹣5【答案】A【解析】分析：根据点A（a＋2，4）和B（3，2a＋2）到x轴的距离相等，得到4＝|2a＋2|，即可解答．详解：∵点A（a＋2，4）和B（3，2a＋2）到x轴的距离相等，∴4＝|2a＋2|，a＋2≠3，解得：a＝−3，故选A．点睛：考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：到x轴和y轴的距离相等的点的横纵坐标相等或互为相反数．8．如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB＝100米，BC＝200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．点A B．点B C．A，B之间D．B，C之间【答案】A【解析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．【详解】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和＝15×100+10×300＝1（米），②以点B为停靠点，则所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米），③以点C为停靠点，则所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米），④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）＝1+5m＞1，⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200﹣n）＝5000+35n＞1．∴该停靠点的位置应设在点A；故选A．【点睛】此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短．9．若ab＜0，则正比例函数y=ax与反比例函数y=bx在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据ab＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，b＜0和a＜0，b＞0两方面分类讨论得出答案．【详解】解：∵ab＜0，∴分两种情况：（1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y=ax数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；（2）当a＜0，b＞0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D符合．故选D【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．10．如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示sinα的值，错误的是（）A．CDBCB．ACABC．ADACD．CDAC【答案】D【解析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．【详解】∵∠BDC=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°，即∠BCD+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠B=α，A 、在Rt △BCD 中，sinα=CD BC ，故A 正确，不符合题意；B 、在Rt △ABC 中，sinα=AC AB ，故B 正确，不符合题意； C 、在Rt △ACD 中，sinα=AD AC ，故C 正确，不符合题意； D 、在Rt △ACD 中，cosα=CD AC ，故D 错误，符合题意， 故选D ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 二、填空题（本题包括8个小题）11．已知a+1a ＝2，求a 2+21a ＝_____． 【答案】1【解析】试题分析：∵21()a a +=2212a a ++=4，∴221a a +=4-1=1．故答案为1． 考点：完全平方公式．12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （1，1），以点O 为旋转中心，将点A 逆时针旋转到点B 的位置，则AB 的长为_____．2π 【解析】由点A(1，1)，可得OA 的长，点A 在第一象限的角平分线上，可得∠AOB=45°，，再根据弧长公式计算即可．【详解】∵A(1，1)，∴22112+=A 在第一象限的角平分线上，∵以点O 为旋转中心，将点A 逆时针旋转到点B 的位置，∴∠AOB=45°，∴AB 的长为452180π⨯=24π， 故答案为：24π． 【点睛】本题考查坐标与图形变化——旋转，弧长公式，熟练掌握旋转的性质以及弧长公式是解题的关键.本题中求出OA=2以及∠AOB=45°也是解题的关键．13．如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABO 的顶点O 与原点重合，顶点B 在x 轴上，∠ABO=90°，OA 与反比例函数y=k x的图象交于点D ，且OD=2AD ，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点C ．若S 四边形ABCD =10，则k 的值为 ．【答案】﹣1【解析】∵OD=2AD ，∴23OD OA =， ∵∠ABO=90°，DC ⊥OB ，∴AB ∥DC ，∴△DCO ∽△ABO ，∴23DC OC OD AB OB OA ===， ∴22439ODC OAB S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∵S 四边形ABCD =10，∴S △ODC =8，∴OC×CD=8，OC×CD=1，∴k=﹣1，故答案为﹣1．14．若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则b a=_______．【答案】12．【解析】∵点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，∴b=﹣1，a=2，∴b a=12 =12．故答案为12．考点：关于原点对称的点的坐标．15．已知一组数据1，2，0，﹣1，x，1的平均数是1，则这组数据的中位数为_____．【答案】2【解析】解:这组数据的平均数为2，有16（2+2+0-2+x+2）=2，可求得x=2．将这组数据从小到大重新排列后，观察数据可知最中间的两个数是2与2，其平均数即中位数是（2+2）÷2=2．故答案是：2．16．如图所示，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△BDE：S四边形DECA的值为_____．【答案】1：1【解析】根据题意得到BE：EC=1：3，证明△BED∽△BCA，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】∵S△BDE：S△CDE=1：3，∴BE：EC=1：3，∵DE∥AC，∴△BED∽△BCA，∴S△BDE：S△BCA=（BEBC）2=1：16，∴S△BDE：S四边形DECA=1：1，故答案为1：1．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 17．已知x+y ＝8，xy ＝2，则x 2y+xy 2＝_____．【答案】1【解析】将所求式子提取xy 分解因式后，把x+y 与xy 的值代入计算，即可得到所求式子的值．【详解】∵x+y=8，xy=2，∴x 2y+xy 2=xy （x+y ）=2×8=1．故答案为：1．【点睛】本题考查的知识点是因式分解的应用，解题关键是将所求式子分解因式．18x <<x 的值是_____．【答案】3，1【解析】直接得出23，15，进而得出答案．【详解】解：∵23，15， ∴x <<x 的值是：3，1．故答案为：3，1．【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近的有理数是解题关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．化简求值：212(1)211x x x x -÷-+++，其中1x =．【解析】分析：先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可. 详解：原式2112,2111x x x x x x -+⎛⎫=÷- ⎪++++⎝⎭2112,211x x x x x -+-=÷+++ ()211,11x x x x -+=⋅-+1.1x =+ 当31x =-时，113.13311x ==+-+ 点睛：考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.20．2018年“植树节”前夕，某小区为绿化环境，购进200棵柏树苗和120棵枣树苗，且两种树苗所需费用相同．每棵枣树苗的进价比每棵柏树苗的进价的2倍少5元，每棵柏树苗的进价是多少元.【答案】15元．【解析】首先设每棵柏树苗的进价是x 元，则每棵枣树苗的进价是(2x －5)元，根据题意列出一元一次方程进行求解.【详解】解：设每棵柏树苗的进价是x 元，则每棵枣树苗的进价是(2x －5)元.根据题意，列方程得：200=120(25)x x -， 解得：x=15答：每棵柏树苗的进价是15元.【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．21．如图，已知BD 是△ABC 的角平分线，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，ED ∥BC ，EF ∥AC ．求证：BE=CF ．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：先利用平行四边形性质证明DE=CF ，再证明EB=ED ，即可解决问题．试题解析：∵ED ∥BC ，EF ∥AC ，∴四边形EFCD 是平行四边形，∴DE=CF ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠EBD=∠DBC ，∵DE ∥BC ，∴∠EDB=∠DBC ，∴∠EBD=∠EDB ，∴EB=ED ，∴EB=CF ．考点：平行四边形的判定与性质．22．抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A ，B ，C ，D 四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：本次抽样调查共抽取了多少名学生？求测试结果为C 等级的学生数，并补全条形图；若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D 等级的学生有多少名？若从体能为A 等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．【答案】（1）50；（2）16；（3）56（4）见解析【解析】（1）用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；（2）用总人数分别减去A、B、D等级的人数得到C等级的人数，然后补全条形图；（3）用700乘以D等级的百分比可估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生数；（4）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）10÷20%=50（名）答：本次抽样调查共抽取了50名学生.（2）50-10-20-4=16（名）答：测试结果为C等级的学生有16名.图形统计图补充完整如下图所示：（3）700×450=56（名）答：估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名. （4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，所以抽取的两人恰好都是男生的概率=21 126．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A 或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．23．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF；如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD；运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积．【答案】（1）、（2）证明见解析（3）28【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质，可直接证明△CBE≌△CDF，从而得出CE=CF；（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，根据（1）知∠BCE=∠DCF，即可证明∠ECF=∠BCD=90°，根据∠GCE=45°，得∠GCF=∠GCE=45°，利用全等三角形的判定方法得出△ECG≌△FCG，即GE=GF，即可得出答案GE=DF+GD=BE+GD；（3）过C作CF⊥AD的延长线于点F．则四边形ABCF是正方形，设DF=x，则AD=12-x，根据（2）可得：DE=BE+DF=4+x，在直角△ADE中利用勾股定理即可求解；试题解析：（1）如图1，在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF，∴CE=CF；（2）如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF．∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°，又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°，∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG，∴GE=GF，∴GE=DF+GD=BE+GD；（3）过C作CF⊥AD的延长线于点F．则四边形ABCF是正方形．AE=AB-BE=12-4=8，设DF=x，则AD=12-x，根据（2）可得：DE=BE+DF=4+x，在直角△ADE中，AE2+AD2=DE2，则82+（12-x）2=（4+x）2，解得：x=1．则DE=4+1=2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，解决本题的关键是注意每个题目之间的关系，正确作出辅助线．24．某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：型号载客量租金单价A 30人/辆380元/辆B 20人/辆280元/辆注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元．求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围；若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案总费用最省？最省的总费用是多少？【答案】(1) 21≤x≤62且x为整数；(2)共有25种租车方案，当租用A型号客车21辆，B型号客车41辆时，租金最少，为19460元．【解析】（1）根据租车总费用=A、B两种车的费用之和，列出函数关系式，再根据AB两种车至少要能坐1441人即可得取x的取值范围；（2）由总费用不超过21940元可得关于x的不等式，解不等式后再利用函数的性质即可解决问题.【详解】(1)由题意得y＝380x＋280(62－x)＝100x＋17360，∵30x＋20(62－x)≥1441，∴x≥20.1，∴21≤x≤62且x为整数；(2)由题意得100x＋17360≤21940，解得x≤45.8，∴21≤x≤45且x为整数，∴共有25种租车方案，∵k＝100>0，∴y随x的增大而增大，当x＝21时，y有最小值，y最小＝100×21＋17360＝19460，故共有25种租车方案，当租用A型号客车21辆，B型号客车41辆时，租金最少，为19460元．【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用等，解题的关键是理解题意，正确列出函数关系式，会利用函数的性质解决最值问题．25．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝10t﹣5t1．小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？【答案】（1）小球飞行时间是1s时，小球最高为10m；(1) 1≤t≤3.【解析】（1）将函数解析式配方成顶点式可得最值；（1）画图象可得t的取值．【详解】（1）∵h＝﹣5t1+10t＝﹣5（t﹣1）1+10，∴当t＝1时，h取得最大值10米；答：小球飞行时间是1s时，小球最高为10m；（1）如图，由题意得：15＝10t﹣5t1，解得：t1＝1，t1＝3，由图象得：当1≤t≤3时，h≥15，则小球飞行时间1≤t≤3时，飞行高度不低于15m．【点睛】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．26．如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，．点在函数图像上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点．求、的值；如图①，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标；如图②，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．【答案】（1），；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为和【解析】（1）根据二次函数的对称轴公式，抛物线上的点代入，即可；（2）先求F的对称点，代入直线BE，即可；（3）构造新的二次函数，利用其性质求极值.【详解】解：（1）轴，，抛物线对称轴为直线点的坐标为解得或（舍去），（2）设点的坐标为对称轴为直线点关于直线的对称点的坐标为.直线经过点利用待定系数法可得直线的表达式为.因为点在上，即点的坐标为（3）存在点满足题意.设点坐标为，则作垂足为①点在直线的左侧时，点的坐标为点的坐标为点的坐标为在中，时，取最小值.此时点的坐标为②点在直线的右侧时，点的坐标为同理，时，取最小值.此时点的坐标为综上所述：满足题意得点的坐标为和考点：二次函数的综合运用.中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．在Rt △ABC 中∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，c ＝3a ，tanA 的值为（ ） A ．13B ．24C ．2D ．3【答案】B【解析】根据勾股定理和三角函数即可解答.【详解】解：已知在Rt △ABC 中∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，c=3a ， 设a=x,则c=3x,b=229x x =22x. 即tanA=22x x =24. 故选B. 【点睛】本题考查勾股定理和三角函数,熟悉掌握是解题关键.2．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC 的大小为（ ）A ．140°B ．160°C ．170°D ．150°【答案】B【解析】试题分析：根据∠AOD=20°可得：∠AOC=70°，根据题意可得：∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+70°=160°. 考点：角度的计算3．当ab ＞0时，y ＝ax 2与y ＝ax+b 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵ab ＞0，∴a 、b 同号．当a ＞0，b ＞0时，抛物线开口向上，顶点在原点，一次函数过一、二、三象限，没有图象符合要求；当a＜0，b＜0时，抛物线开口向下，顶点在原点，一次函数过二、三、四象限，B图象符合要求．故选B．4．对于反比例函数2yx，下列说法不正确的是（）A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上B．它的图象在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小【答案】C【解析】由题意分析可知，一个点在函数图像上则代入该点必定满足该函数解析式，点（-2，-1）代入可得，x=-2时，y=-1，所以该点在函数图象上，A正确；因为2大于0所以该函数图象在第一，三象限，所以B正确；C中，因为2大于0，所以该函数在x＞0时，y随x的增大而减小，所以C错误；D中，当x ＜0时，y随x的增大而减小，正确，故选C.考点：反比例函数【点睛】本题属于对反比例函数的基本性质以及反比例函数的在各个象限单调性的变化5．下列判断正确的是（）A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件【答案】C【解析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案．【详解】A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，错误；B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，错误；C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确；D、“a是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项错误．故选C．【点睛】此题主要考查了概率的意义以及随机事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．6．为了支援地震灾区同学，某校开展捐书活动，九（1）班40名同学积极参与．现将捐书数量绘制成频数分布直方图如图所示，则捐书数量在5.5～6.5组别的频率是（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B【解析】∵在5.5～6.5组别的频数是8，总数是40，∴=0.1．故选B．7．下列二次根式中，最简二次根式的是（）A 15B0.5C5D50【答案】C【解析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】A 155A选项错误；B0.52，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项错误；C5C选项正确；D5052D选项错误；故选C．考点：最简二次根式．8．不等式组12342xx+>⎧⎨-≤⎩的解集表示在数轴上正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据题意先解出12342x x +>⎧⎨-≤⎩的解集是，把此解集表示在数轴上要注意表示时要注意起始标记为空心圆圈，方向向右；表示时要注意方向向左，起始的标记为实心圆点，综上所述C 的表示符合这些条件. 故应选C.9．一次函数y=ax+b 与反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象如左图所示，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据题中给出的函数图像结合一次函数性质得出a ＜0，b ＞0，再由反比例函数图像性质得出c ＜0，从而可判断二次函数图像开口向下，对称轴：2bx a=-＞0，即在y 轴的右边，与y 轴负半轴相交，从而可得答案.【详解】解：∵一次函数y=ax+b 图像过一、二、四， ∴a ＜0，b ＞0， 又∵反比例 函数y=cx图像经过二、四象限， ∴c ＜0，∴二次函数对称轴：2bx a=-＞0，∴二次函数y=ax2+bx+c图像开口向下，对称轴在y轴的右边，与y轴负半轴相交，故答案为B.【点睛】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．10．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是弧AC的中点，则∠D的度数是()A．60°B．35°C．30.5°D．30°【答案】D【解析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB=12∠AOC，再根据圆周角定理即可解答.【详解】连接OB，∵点B是弧AC的中点，∴∠AOB＝12∠AOC＝60°，由圆周角定理得，∠D＝12∠AOB＝30°，故选D．【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，解题关键在于利用好圆周角定理.二、填空题（本题包括8个小题）11．某市对九年级学生进行“综合素质”评价，评价结果分为A，B，C，D，E五个等级．现随机抽取了500名学生的评价结果作为样本进行分析，绘制了如图所示的统计图．已知图中从左到右的五个长方形的高之比为2：3：3：1：1，据此估算该市80000名九年级学生中“综合素质”评价结果为“A”的学生约为_____人．。

28.1.4锐角三角函数课题28.1.4锐角三角函数（第四课时）授课类型新授课标依据会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。

教学目标知识与技能1.用计算器求锐角三角函数及反三角函数；2.提高学生的计算器使用能力，并且加强对前面学过的锐角三角函数知识的理解；3.通过合作学习提升学生的数学学习兴趣。

过程与方法情感态度与价值观教学重点难点教学重点能准确的用计算器求锐角三角函数的值教学难点计算器的操作过程及如何取近似值教学师生活动设计意图过程设计一、复习检测考考你！你能快速准确的写出下列特殊角的三角函数值吗？cos45°= sin60°= tan30°= sin45°= cos30°=sin30°= tan45°= cos60°= tan60°=二、新课1、引入：如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？我们可以借助计算器求锐角的三角函数值．2、举例：（1）例如求sin18°．第一步：按计算器 sin 键，第二步：输入角度值18，（2）求 tan30°36'第一种方法：第一步：按计算器 tan 键，第二步：输入角度值30，分值36 （可以使用°‘’键），第二种方法：第一步：按计算器 tan 键，第二步：输入角度值30.6 （因为30°36'＝30.6°）（3）如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角．例如：已知sinA=0.501 8；用计算器求锐角A可以按照下面方法操作：第一种方法：第一步：按计算器 2nd F 和 si n 键，第二步：然后输入函数值0. 501 8屏幕显示答案： 30.119 158 67°（按实际需要进行精确）还以以利用 2nd F 和°‘’键，进一步得到∠A＝30°07'08.97"三、当堂训练与检测（见下表）1、用计算器求下列锐角三角函数值；（1） si n20°= cos70°= sin35°= cos55°=通过方法点拨，加深学生对所学知识的理解，掌握解决相关问题的基本方法。

第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数锐角三角函数(第1课时)学习目标1.理解认识正弦概念;2.在直角三角形中求出某个锐角的正弦值.学习过程一、自主探究得到概念1.为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35 m,那么需要准备多长的水管?这个问题可以归结为:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=35 m,求AB的长.思考:(1)如果使出水口的高度为50 m,那么需要准备多长的水管?如果使出水口的高度为a m,那么需要准备多长的水管?答:(2)在一个直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么不管三角形的大小如何,这角的对边与斜边的比值都等于.(3)直角三角形中,45°角的对边与斜边的比值是.(4)在直角三角形中,当锐角∠A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比都是一个固定值?答:(5)推理与证明:观察图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3,它们之间有什么关系?你能得到(4)中的结论吗?解:2.结论:在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比是一个,也即是对于锐角A的每一个确定的值,其对边与斜边的是唯一确定的.3.认识正弦如图,在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别记为a,b,c,∠C=90°,我们把锐角A的的比叫做∠A的正弦,记作sin A..sin A=∠的对边斜边4.追问:(1)∠B的正弦怎么表示?答:(2)在Rt△ABC中,若a=1,c=3,则sin A=sin B=.二、合作探究完成例题1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sin A和sin B的值.【思路点拨】根据勾股定理,先求出AC的长,再运用正弦的定义计算即可.解:,求AB的长.2.在△ABC中,∠C=90°,AC=5,sin A=3【思路点拨】根据正弦的定义可以得到BC与AB的比值,因而可以设BC=2x,则AB=3x,根据勾股定理即可求得x的值,进而得到AB的长度.解:三、课堂小结系统知识1.什么是正弦?答:2.根据你对正弦概念的理解,完成下列填空:(1)正弦是一个,没有单位.(2)正弦值只与的大小有关,与三角形的大小无关.(3)sin A是一个符号,不能写成sin ·A.(4)当用字母表示角时,角的符号“∠”不能省略,如sin∠ABC.(5)sin2A表示,不能写成sin A2.四、当堂训练提升能力1.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正弦函数值()A.不变B.缩小为原来的三分之一C.扩大为原来的3倍D.不能确定2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则sin A的值是()A.43B.34C.35D.453.如图所示,已知P点的坐标是(a,b),则sin α等于()A.B.C.D.4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,则sin B的值为.第4题图第5题图且AB=15,则BC=.5.在Rt△ABC中,已知∠C=90°,sin A=356.如图,在☉O中,过直径AB延长线上的点C作☉O的一条切线,切点为D.若AC=7,AB=4,求sin C的值.解:评价作业(满分100分)1.(8分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,AC=1,则sin B的值为()A. B.C.3D.22.(8分)三角形在正方形网格(每个小正方形的边长均为1)中的位置如图所示,则sin α的值是()A.34B.43C.35D.453.(8分)在△ABC中,∠C=90°,AB=15,sin A=3,则BC等于()A.45B.5C.5D.454.(8分)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,若AC=5,BC=2,则sin ∠ACD的值为()A.53B.55C.5D.35.(8分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=8,则sin A=.6.(8分)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,sin A=3,则AB=.7.(12分)如图所示,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,且AB=5,BC=3,则sin∠BAC=,sin∠ADC=,sin∠ABC=.8.(10分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1 cm,BC=2 cm,求sin A和sin B的值..9.(10分)如图所示,菱形ABCD的周长为40 cm,DE⊥AB,垂足为E,sin A=35(1)求BE的长;(2)求菱形ABCD的面积.10.(20分)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,BD为AC边上的中线,求sin∠ABD的值.参考答案学习过程一、1.自主探究得到概念思考:(1)答:100 m2a m.(2).(3).(4)答:是一个固定值.(5)解:∵Rt △AB 1C 1,Rt △AB 2C 2和Rt △AB 3C 3中,∠A 是它们的公共角, ∴Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2∽Rt △AB 3C 3,∴33 3.2.固定值 比值.3.对边与斜边4.追问:(1)答:sin B=∠ 的对边斜边.(2)33.二、合作探究 完成例题1.解:如图(2)所示,在Rt △ABC 中,由勾股定理得AC= - 3 -5 =12. 因此sin A= 5 3,sin B=3. 2.解:∵在直角△ABC 中,sin A=3,∴设BC=2x ,则AB=3x ,根据勾股定理可以得到:(3x )2-(2x )2=25,即5x 2=25,解得:x= 5, 则AB=3x=3 5.三、课堂小结 系统知识1.答:在Rt △ABC 中,∠C=90°,我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作si n A ,即sin A=∠ 的对边斜边. 2.(1)比值 (2)角 (3)整体 (4)三个 (5)(sin A )2四、当堂训练 提升能力 1.A 2.C 3.D 4. 35.96.解:连接OD ,∵CD 是☉O 的切线,∴∠ODC=90°, ∵AC=7,AB=4,∴半径OA=2, 则OC=AC-AO=7-2=5,∴sin C=5.评价作业1.A2.C3.B4.A5.396.67.3545458.解:由勾股定理可得AB=5(cm),所以sin A=555,sin B=555.9.解:(1)∵菱形ABCD的周长为40 cm, ∴AD=AB=10 cm.又∵DE⊥AB,sin A=35,∴35,即35,解得DE=6,在直角△ADE中,由勾股定理得到:AE=- 0-=8,则BE=AB-AE=10-8=2,即BE=2 cm.(2)由(1)知DE=6,则菱形ABCD的面积=AB·DE=10×6=60(cm2).10.解:如图所示,作DE⊥AB于E.设BC=AC=2x,∵BD为AC边上的中线,∴CD=AD=AC=x.在Rt△BCD中,根据勾股定理,得BD=5x.∵∠C=90°,AC=BC,∴∠A=∠CBA=45°,又∵DE⊥AB,∴∠A=∠EDA=45°,∴AE=DE=x,在Rt△BDE中,sin∠ABD=50 0 .。