初三数学九下锐角三角函数所有知识点总结和常考题型练习题

最新初三年级锐角三角函数知识点总结、典型例题、练习[精选]锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方. 222c b a =+2、如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：定 义表达式取值范围关 系正弦 斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin 1sin 0<<A (∠A 为锐角)B A cos sin =B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=cos c bA =cos 1cos 0<<A (∠A 为锐角) 正切 的邻边的对边A tan ∠∠=A A b aA =tan 0tan >A (∠A 为锐角)3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数 0° 30°45°60°90° αsin 0 21 22 23 1 αcos1 23 2221 0 αtan33 1 3-5、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小. 6、正切的增减性：当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个,其中必有一边）→所有未知的边和角. 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义.(注意：尽量避免使用中间数据和除法))90cos(sin A A -︒=)90sin(cos A A -︒=BA cos sin =BA sin cos =A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A对边邻边斜边 ACBba c8、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角.仰角铅垂线水平线视线视线俯角(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比).用字母i表示,即hil=.坡度一般写成1:m的形式,如1:5i=等.把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角),那么tanhilα==.3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角.如图3,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°.4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角.如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东45°（东北方向） , 南偏东45°（东南方向）, 南偏西45°（西南方向）, 北偏西45°（西北方向）.类型一：直角三角形求值例1．已知Rt△ABC中,,12,43tan,90==︒=∠BCAC求AC、AB和cos B．例2．已知：如图,⊙O的半径OA＝16cm,OC⊥AB于C点,⋅=∠43sin AOC求：AB及OC的长．:i h l=hlα例3.已知A∠是锐角,178sin=A,求Acos,Atan的值对应训练：1．在Rt△ABC中,∠ C＝90°,若BC＝1,AB=5,则tan A的值为A．55B．255C．12D．22．在△ABC中,∠C=90°,sin A=53,那么tan A的值等于（）.A．35B.45C.34D.43类型二. 利用角度转化求值：例1．已知：如图,Rt△ABC中,∠C＝90°．D是AC边上一点,DE⊥AB于E点．DE∶AE＝1∶2．求：sin B、cos B、tan B．例2．如图,直径为10的⊙A经过点(05)C，和点(00)O，,与x轴的正半轴交于点D,B是y 轴右侧圆弧上一点,则cos∠OBC的值为（）A．12B．32C．35D．45对应训练:3.如图,O⊙是ABC△的外接圆,AD是O⊙的直径,若O⊙的半径为32,2AC=,则sin B的值是（）DCBAOyx第8题图A．23B．32C．34D．434. 如图4,沿AE折叠矩形纸片ABCD,使点D落在BC边的点F处．已知8AB=,10BC=,AB=8,则tan EFC∠的值为 ( )Ａ．34Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45A DECBF类型三. 化斜三角形为直角三角形例1 如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB的长．例2．已知：如图,在△ABC中,∠BAC＝120°,AB＝10,AC＝5．求：sin∠ABC的值．对应训练1．如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形．若AB=2,求△ABC 的周长．（结果保留根号）2．已知：如图,△ABC中,AB＝9,BC＝6,△ABC的面积等于9,求sin B．3. △ABC中,∠A=60°,AB=6 cm,AC=4 cm,则△ABC的面积是A.23 cm2B.43 cm2C.63 cm2D.12 cm2类型四：利用网格构造直角三角形例1 如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255对应训练：1．如图,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,则sin A =_______.2．正方形网格中,AOB∠如图放置,则tan AOB∠的值是（）A．55B.2 55C.12D. 2类型五:取特殊角三角函数的值1）.计算：︒-︒+︒60tan45sin230cos2．2）计算：︒-︒+︒30cos245sin60tan2.3)计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°4)．计算：30tan2345sin60cos221⎪⎪⎭⎫⎝⎛︒-︒+︒+．5)．计算：tan45sin301cos60︒+︒-︒；CBAABO类型六：解直角三角形的实际应用例1．如图,从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°,如果此时热气球C 处的高度CD为100米,点A、D、B在同一直线上,则AB两点的距离是（）A．200米B．200米C．220米D．100（）米例2．已知：如图,在两面墙之间有一个底端在A点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°,∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离m 23=DE,求点B到地面的垂直距离BC．例3如图,一风力发电装置竖立在小山顶上,小山的高BD=30m．从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角∠DCA=60°,测得山顶B的仰角∠DCB=30°,求风力发电装置的高AB的长．对应训练:1..如图,小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高,已知小聪和树都与地面垂直,且相距33米,小聪身高AB为1.7米,求这棵树的高度.2．如图,为测量某物体AB的高度,在D点测得A点的仰角为30°,朝物体AB方向前进20米,到达点C,再次测得点A的仰角为60°,则物体AB的高度为（）ABCDEA ． 10米B ． 10米C ． 20米D ．米类型七:三角函数与圆：例1． 如图,直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，,与x 轴的正半轴交于点D ,B 是y轴右侧圆弧上一点,则cos∠OBC 的值为（ ） A ．12 B ．32 C ．35D ．45例2. 已知：在⊙O 中,AB 是直径,CB 是⊙O 的切线,连接AC 与⊙O 交于点D, (1) 求证：∠AOD=2∠C (2) 若AD=8,tanC=34,求⊙O 的半径.对应训练:1.如图,DE 是⊙O 的直径,CE 与⊙O 相切,E 为切点.连接CD 交⊙O 于点B,在EC 上取一个点F,使EF=BF.（1）求证:BF 是⊙O 的切线; （2）若54C cos , DE =9,求BF 的长．DB OACD C B A Oyx第8题图CFDOBECB A作业： 1．已知21sin =A ,则锐角A 的度数是( ) A ．75︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒ 2．在Rt△ABC 中,∠ C ＝90°,若BC ＝1,AB =5,则tan A 的值为( )A ．55 B ．255 C ．12D ．2 3．在△ABC 中,∠C =90°,sin A=53,那么tan A 的值等于（ ）.A ．35B . 45C . 34D . 434. 若sin α=32,则锐角α＝ . 5．将∠α放置在正方形网格纸中,位置如图所示,则tan α的值是A ．21B ．2C ．25D ．5526．如图,AB 为⊙O 的弦,半径OC ⊥AB 于点D ,若OB 长为10,3cos 5BOD ∠=, 则AB 的长是A . 20 B. 16 C. 12 D. 87.在Rt△ABC 中,∠C=90°,如果cosA=54,那么tanA 的值是( ) A ．53 B ．35 C ．43 D ．348． 如图,在△ABC 中,∠ACB =∠ADC= 90°,若sin A =35,则cos∠BCD 的值为 ．9.计算：︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 210．计算︒+︒-︒-︒45tan 30tan 345cos 260sin 2.αDCBA11．计算：22sin 604cos 30+sin 45tan 60-⋅oooo．12．已知在Rt△ABC 中,∠C＝90°,a=64,b=212.解这个直角三角形13. 已知：在⊙O 中,AB 是直径,CB 是⊙O 的切线,连接AC 与⊙O 交于点D, (3) 求证：∠AOD=2∠C (4) 若AD=8,tanC=34,求⊙O 的半径.14．如图,某同学在楼房的A 处测得荷塘的一端 B 处的俯角为30︒,荷塘另一端D 处C 、B 在 同一条直线上,已知32AC =米,16CD =米, 求荷塘宽BD 为多少米？（结果保留根号）15．如图,一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向,距离灯塔100海里的A 处,它计划沿正北方向航行,去往位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处.（1）B 处距离灯塔P 有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB 的延长线上,距离灯塔200海里的O 处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里,进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B 处是否有触礁的危险,并说明理由．DBOAC。

三角函数专项复习锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

222c b a =+2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：定 义表达式取值范围关 系正弦 斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin 1sin 0<<A (∠A 为锐角)B A cos sin =B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=cos c bA =cos 1cos 0<<A (∠A 为锐角) 正切 的邻边的对边A tan ∠∠=A A b aA =tan 0tan >A (∠A 为锐角)3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数 0° 30°45°60°90° αsin 0 21 22 23 1 αcos1 23 2221 0 αtan33 1 3-5、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

6、正切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

(注意：尽量避免使用中间数据和除法) )90cos(sin A A -︒=)90sin(cos A A -︒=BA cos sin =BA sin cos =A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A对边邻边斜边 ACBba c8、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

锐角三角函数知识点③坡面的铅直高度h和水平宽度I 的比叫做坡度（坡比）。

用字母i 表示,2、如下图，在Rt △ ABC 中，/ C 为直角， 则/ A 的锐角三角函数为（Z A 可换成/ B ）:定义 表达式取值范围 关 系正弦A 的对边si nA ———— --斜边 asin A —c 0 sin A 1 （Z A为锐角）sin A cosB cosA sin B sin 2 Acos 2 A 1余弦AA 的邻边cos A ------ - -------斜边 .b cos A —c0 cosA 1 （Z A为锐角）正切A 的对边tan A -------- 厶…,A 的邻边atan Abtan A 0 （Z A 为锐角）3 cos （90 A ） sin A sin （90 A ）cos A4三角函数 0° 30°45° 60° 90° sin 0 122逅21 cos1 逅2212 0 tan逅31<3不存在5当0°w <90°时，sin 随 的增大而增大，cos 随 的增大而减小。

6、正切的增减性：当0 ° < <90°时，tan 随 的增大而增大。

1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边所有未知的边和角。

依据：①边的关系： 2 . 2 2a bC ；②角的关系：A+B=90°;③边角关系：三角函数的定义。

2、应用举例：① 仰角：视线在水平线上方的角; ② 俯角：视线在水平线下方的角。

1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方a 2b 2sin A cosBcosA sin B由 A B 90 得 B 90 A6、计算 tan60o 「2 sin45o 2cos30o 的结果是)i ——即 l 。

坡度一般写成1:m 的形式，女口 i 1:5等。

初三锐角三角函数知识点总结、典型例题、练习47903三角函数专项复习锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

6、正切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

(注意：尽量避免使用中间数据和除法)A90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A 邻 C B8、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

仰角铅垂线水平线视线视线俯角(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即hi l=。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东45°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西45°（西南方向），北偏西45°（西北方向）。

锐角三角函数知识点总结与复习1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角， 则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A邻边A4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。

1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

(注意：尽量避免使用中间数据和除法)A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A2、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角； (2)俯角：视线在水平线下方的角。

(3)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即h i l=。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i lα==。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

如图4：OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。

28. 锐角三角函数知识点一： 正弦的定义及其表示方法1. 在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦，如：∠A 的正弦记作sinA ，即sinA = ∠A 的对边斜边 = a c.2. 求锐角的正弦值，要以正弦的概念为依据，在直角三角形中求解。

若题目中给出的角不是在直角三角形中，应先构造直角三角形再求解。

3. 画出符合题意的图形，弄清所求角的对边与斜边。

4. 没有直接给出对边与斜边的题目，一般先根据勾股定理，求出所需的边长再求解。

例1：判断：在Rt△ABC 中，∠A 的正弦，记作cosA.______（填”对”或“错”） 例2：判断：在Rt△ABC 中，∠A 的正弦都等于∠A 的邻边与对边的比.______（填”对”或“错”）例3：Rt△ABC 中，∠C＝90°，a 、b 、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边，下列式子中，正确的是( )A. a=b ⋅sinA ；B. a=c ⋅sinA ；C. b=a ⋅sinA ；D. c=b ⋅sinA ； 例4：下列说法中，不正确的有______个.①直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边②直角三角形中，锐角的正弦为斜边比对边③直角三角形中，锐角的正弦为一条直角边比另一条直角边④直角三角形中，锐角的正弦为任意一条直角边比斜边例5：下列说法中，正确的有______个.①一个锐角的正弦值是一个无单位的量②某一锐角的正弦值与这个锐角所在的三角形的大小无关③sinA 既是一个完整的符号，同时也可以表示为sin×A 的乘积关系④在所有的ΔABC中，都可以计算出sinA= BC AB【答案】1.错； 2.错； 3.B； 4. 3； 5. 2；知识点二：余弦的定义及其表示方法1.如图，在直角三角形中，∠C＝90°，我们把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A =∠A的邻边斜边=bc.2.注意：（1）余弦也是建立在直角三角形中的，当锐角度数一定时，不论直角三角形的大小，它的邻边与斜边的比是一个固定值，换句话说，余弦值只与锐角的大小有关。

c ，则有： s in A = a = cos B ， cos A = = sin B ， tan A = ，这就是锐角三角函数所以 cos B = sin(90 - B) = sin A = ．在 Rt△BCD 中， cos B = ，所以 = ．， cos A = ， =（sin 2A 、cos 2A 分别表示 sin A 、cos A 2 2锐角三角函数我们知道，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为 a 、b 、b ac c b的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系．一、余角关系由上面的定义我们已得到 sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ．因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换．例１ 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于 D ，已知 sin A =＝2，求 BC 的长．解：由于∠A ＋∠B ＝90°，12BD 2 1BC BC 2所以 BC ＝4．二、平方关系a b 由定义知 sin A = c c1 2 ，BD所以 sin 2 A + cos 2 A = a 2 b 2 a 2 + b 2+ c c c 2的平方）．又由勾股定理，知 a 2+b 2=c 2，所以 sin 2A +cos 2A = c 2 c 2=1．应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算．例 2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．=⎪⎪ + 1 = 由定义中 sin A = a， cos A = ，得 = c = ⨯ = = tan A ．所以原式 = = =- ．5 12 5 12所以 sin B = = ．应选(B)．5解：由余角关系知 sin56°=cos（90°-56°）=cos34°．所以原式＝sin245°+（sin234°+cos234°）⎛ 2 ⎫2 ⎝ 2 ⎭3 2 ．三、相除关系b c casin A a c a cos A b c b bc利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单．例 3 已知 α 为锐角，tan α =2，求 3sin α + cos α 4cos α - 5sin α的值．解：因为 tan α = sin α cos α= 2 ，所以 sin α =2cos α ，6cos α + cos α 6 + 1 74cos α - 10cos α 4 - 10 6求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．四、设参数法例 4 如图 △1，在 ABC 中，∠C =90°，如果 t a n A =(A)(B) (C) (D)13 13 12 55 12 ，那么 sin B 等于（ ）分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质．因为 tan A = a 5 =b 12，所以可设 a =5k ，b =12k (k >0)，根据勾股定理得 c =13k ，图 1b 12c 13五、等线段代换法例 5如图 2，小明将一张矩形的纸片 ABC D 沿 C E 折叠，B 点恰好落在 A D 边上，设此点为 F ，若 BA ：BC =4：，则 c os∠DCF 的值是______．分析：根据折叠的性质可知 E △B C ≌ EF C ，所以 C F=CB ，又 C D=AB ，AB ：BC =4：5， 所以 C D ：C F=4：5，图 2=．113911，即=，所以C E=，在Rt△A E C中，tan∠CA E==3=．所以tanα=．C3445所以DB==，所以tanα=，选(A)．在Rt D△C F中，c os∠D C F=DC4 CF5六、等角代换法例6如图3，C D是平面镜，光线从A点出发经C D上点E反射后照射到B点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥C D，B D⊥C D，垂足分别为C、D，且AC＝3，B D＝6，C D＝11，则tanα的值为（）B（A）（B）（C）（D）311119A分析：根据已知条件可得∠α=∠CA E，所以只需求出tan∠CA E．α根据条件可知△A C E∽B DE，所以AC CE3CE=BD ED611-CEC E图3D11311CE11AC39119七、等比代换法例7如图4，在Rt△ABC中，ACB=90，D⊥AB于点D，BC=3，AC=4，设BC D=α，tanα的值为（）(A)(B)(C)(D)435分析：由三角形函数的定义知tanα=DB DC，由Rt△C D△B∽Rt ACB，BC33DC AC44图4（ ：锐角三角函数测试1．比较大小：sin41°________sin42°． 2．比较大小：cot30°_________cot22°． 3．比较大小：sin25°___________cos25°． 4．比较大小：tan52°___________cot52°． 5．比较大小：tan48°____________cot41°． 6．比较大小：sin36°____________cos55°．7、下列命题①sin α 表示角α 与符号 sin 的乘积；② 在△ABC 中，若∠C=90°，则 c=α sinA 成立；③任何锐角的正弦和余弦值都是介于 0 和 1 之间实数.其正确的为（）A 、②③B.①②③C.②D. ③8、若 △R t ABC 的各边都扩大 4 倍得到 △R t A ′B ′C ′,那么锐角 A 和锐角 A ′正切值的关系为()A.tanA ′=4tanA B.4tanA ′=tanAC.tanA ′=tanAD.不确定.9（新疆中考题） 1）如图（1）、 2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定， 变化而变化．试探索随着锐角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律，试比较 18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的 大小和余弦值的大小。

锐角三角函数知识点1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边C的平方。

a2+h2 =c22、如下图，在RtAABC中,ZC为直角,则ZA的锐角三角函数为（ZA叮换成ZB）:定义表达式取值范围关系正弦.A 的对边sin A =————斜边人asin A =—c0 < sin A < 1（ZA为锐角）sin A = cos B cos A = sin Bsin2 A + cos2A = 1余弦4乙4的邻边cos A=———T—斜边A b cos A=—c0<cosA< 1（ZA为锐角）正切人,4的对边曲“ZA的邻边tan A =—btan A > 0 （ZA为锐角）3sin A - cos B由ZA + ZB = 90。

、sin A = cos（90° - A） cos A = sin B 得ZB = 90° - ZA>cos A - sin（90°一A）4三角函数0°30°45°60°90°sin a01T VI2迴21COSO1迴2VT ~2~10tana0迥31不存在5、正弦、余弦的增减性:当0。

W Q W90°时，sina随。

的增大而增大，cos 6^随Q的增大而减小。

6、正切的增减性：当0。

<«<90°时，tan（7随Q的增大而增大。

1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其屮必有一边）一所有未知的边和角。

依据：①边的关系：a2+h2=c2.②角的关系：A+B二90。

；③边角关系：三角函数的定义。

2、应用举例：①仰角：视线在水平线上方的角;②俯角：视线在水平线下方的角。

③ 坡面的铅直高度h 和水平宽度I 的比叫做坡度（坡比）o 用字母：表示,,=h即 7。

坡度一般写成1：加的形式，如，=1：5等。

把坡面与水平面 ・h ,i = — = tana的夹角记作Q （叫做坡角），那么 I 。

人教版九年级数学下册第28章 锐角三角函数知识点及典型例题知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义：在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA= ， ∠A 的余弦可表示为cosA=∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．第1题图①斜边)(sin =A ＝______， 斜边)(sin =B ＝______； ②斜边)(cos =A ＝______，斜边)(cos =B ＝______；③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，)(tan 的对边B B ∠=＝______．例2. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．例3．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．典型例题：类型一：直角三角形求值1．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC求：AB 及OC 的长．3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．4. 已知A ∠是锐角，178sin =A ，求A cos ，A tan 的值对应训练：（西城北）3．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5tan A 的值为A ．55 B ．255 C ．12D ．2 (房山)5．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=53，那么tan A 的值等于（ ）.A ．35B . 45C . 34D . 43类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）A ．12B ．32C ．35D ．453.（孝感中考）如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ．4.（庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5A =，则这个菱形的面积D C B A Oy x第8题图= cm 2．5.（齐齐哈尔中考）如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．23B ．32C ．34D ．436. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45AD EC B F7. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠= ，则AD 的长为( )A ．2B ．2C ．1D ．228. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD =3316求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长.DABC图6类型三. 化斜三角形为直角三角形例1 （安徽）如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．例2．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，⋅=31sin A(1)求AB 边上的高CD ； (2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ．例3．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5．求：sin ∠ABC 的值．对应训练1．（重庆）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）2．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．3. ABC 中，∠A =60°，AB =6 cm ，AC =4 cm ，则△ABC 的面积是3 cm 23 cm 23 cm 2D.12 cm 2类型四：利用网格构造直角三角形例1 （内江）如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ） A ．12 B ．55 C ．1010 D ．255对应练习：1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.2．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为CBAA.41B. 31C.21D. 13．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（ ）A ． 5 5 B. 2 5 5 C.12 D. 2特殊角的三角函数值当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．（昌平）1）.计算：︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2．（朝阳）2）计算：︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2.（黄石中考）计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°ABO(石景山)4．计算：030tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+．(通县)5．计算：tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒；例2．求适合下列条件的锐角α ．(1)21cos =α(2)33tan =α(3)222sin =α(4)33)16cos(6=- α（5）已知α 为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值（6）在ABC ∆中，若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数.例3. 三角函数的增减性 1．已知∠A 为锐角，且sin A <21，那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角，且030sin cos <A ，则 （ ）A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90° 例4. 三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．5.如图，△ABC 中，∠A=30°，3tan B =，43AC =AB 的长.DCBAACB解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____；==B A tan tan 1______． ④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________；BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．类型一例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ；(2)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ；(3)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；(4)已知：,9,23tan ==b B 求a 、c ；(5)已知：∠A＝60°，△ABC的面积,3S求a、b、c及∠B．12例2．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB及BC的长．例3．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．例4．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．求AB及BC的长．类型二：解直角三角形的实际应用仰角与俯角：例1．（福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A ． 200米B ． 200米C ． 220米D ． 100（）米例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC ＝60°，∠DAE ＝45°．点D 到地面的垂直距离m 23=DE ，求点B 到地面的垂直距离BC ．例3（昌平）19.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD =30m ．从水平面上一点C 测得风力发电装置的顶端A 的仰角∠DCA =60°，测得山顶B 的仰角∠DCB =30°，求风力发电装置的高AB 的长．例4 .如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB 为1.7米，求这棵树的高度.例5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ，求山的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号)．A B C D E例5．（泰安）如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）A．10米B．10米C．20米D．米例6．益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：，，，3，60千米/小时米/秒）类型四. 坡度与坡角例．（广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是13BC=50m，则应水坡面AB的长度是（）A ．100mB ．1003mC ．150mD ．503m类型五. 方位角1．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M 之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，732.13 )2．（恩施州）新闻链接，据[侨报网讯]外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退2012年5月18日，某国3艘炮艇追袭5条中国渔船．刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔政310”船人船未歇立即追往北纬11度22分、东经110度45分附近海域护渔，保护100多名中国渔民免受财产损失和人身伤害．某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救中国渔船，立即掉头离去．（见图1）解决问题如图2，已知“中国渔政310”船（A ）接到陆地指挥中心（B ）命令时，渔船（C ）位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国渔政310”船西南方向，“中国渔政310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向，AB=海里，“中国渔政310”船最大航速20海里/时．根据以上信息，请你求出“中国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间．综合题：三角函数与四边形：（西城二模）1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan∠BDC=6 3．(1) 求BD的长；(2) 求AD的长．18．如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．（1）求证：∠BAE=∠DAF；（2）若AE=4，AF=245，3sin5BAE∠=，求CF的长．三角函数与圆：1．如图，直径为10的⊙A经过点(05)C，和点(00)O，，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）A ．12 BC ．35D ．45（延庆）19. 已知：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接AC 与⊙O 交于点D,(1) 求证：∠AOD=2∠C(2) 若AD=8，tanC=34，求⊙O 的半径。

中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题（含答案）知识点一：锐角三角函数的定义 1.锐角三角函数 正弦: sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac余弦: cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc正切: tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝ab.来源:学&科&网]2.特殊角的三角函数值[来 度数三角函数[来源:Z 。

xx 。

]30°[来源:学#科#网] 45° 60°sinA1222 32 cosA32 2212tanA 331 33、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 变式练习1：如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为注意：根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.[(4，3)，那么cos α的值是( ) A. 34 B. 43 C. 35 D. 45【解析】D 如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.变式练习2：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则sinA ＝________． 【解析】∵在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝22AB BC +＝32＋42＝5，∴sin A ＝BC AC ＝45. 变式练习3：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB ＝( D )A ．4B ．6C ．8D ．10变式练习4：如图，若点A 的坐标为(1，3)，则sin ∠1＝__32__. ,知识点二 ：解直角三角形 1.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2.解直角三角形的常用关系在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2；(2)锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°； (3)边角之间的关系：,tan ,cos ,sin ;,tan ,cos ,sin abB c a B c b B b a A c b A c a A ======（sinA＝=cosB=ac，c osA＝sinB=bc，tanA＝ab.）变式练习1：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.变式练习2：如图，Rt△ACB中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于D.以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E＝30°，∠DCE＝90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG＝90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI ＝90°.若AC＝a，求CI的长．解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＝60°，∵AC＝a，∴CD＝AC·sin60°＝32a，依此类推CH＝(32)3a＝338a，在Rt△CHI中，∵∠CHI＝60°，∴CI＝CH·tan60°＝338a×3＝98a.变式练习3：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( D )A.433B．4 C．8 3 D．4 3,灵活选择解直角三角形的方法顺口溜：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.变式练习4：如图，一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了__100__米．, ,变式练习5：一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为___40＋4033___海里/小时．知识点三：解直角三角形的应用1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.（如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）2.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．注意：解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解变式练习1：如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10 m ，到达B 点，点B 处测得树顶C 的仰角为60°(A 、B 、D 三点在同一直线上)．请你根据他们的测量数据计算这棵树CD 的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈ 1.732)解：如解图，由题意可知∠CAB ＝30°，∠CBD ＝60°，AB ＝10 m ，∵∠CBD ＝∠CAB ＋∠BCA ，∴∠BCA ＝∠CBD －∠CAB ＝60°－30°＝30°＝∠CAB ， ∴BC ＝AB ＝10 m ． 在Rt △BCD 中，∵sin ∠CBD ＝CDBC，∴CD ＝BC ·sin ∠CBD ＝10×sin60°＝10×32＝53≈5×1.732≈8.7 m ． 答：这棵树CD 的高度大约是8.7 m ．变式练习2：如图，小山岗的斜坡AC 的坡度是tan α＝34，在与山脚C 距离200米的D 处，测得山顶A 的仰角为26.6°，求小山岗的高AB (结果取整数；参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)．解：设AB ＝x 米，在Rt △ABD 中，∠D ＝26.6°，∴BD ＝tan 26.6x≈2x ，在Rt △ABC 中，tan α＝AB BC ＝34，∴BC ＝43x ，∵BD －BC ＝CD ，CD ＝200，∴2x－43x＝200，解得x＝300.答：小山岗的高AB约为300米．变式练习3：如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5 m，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B 处测得M的仰角为30°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1 m，求旗杆MN的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：如解图，过点M的水平线交直线AB于点H，由题意，得∠AMH＝∠MAH＝45°，∠BMH＝30°，AB＝3.5 m，设MH＝x m，则AH＝x m，BH＝x·tan30°＝33x≈0.58x m，∴AB＝AH－BH＝x－0.58x＝0.42x＝3.5 m，解得x≈8.3，则MN＝x＋1＝9.3 m.答：旗杆MN的高度约为9.3 m.变式练习4：小明去爬山，如图，在山脚看山顶的角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走了1300米，此时小明看山顶的角度为60°，则山高为( )A. (600－2505)米B. (6003－250)米C. (350＋3503)米D. 500 3 米【解析】B如解图，∵BE∶AE＝5∶12，∴设BE＝5k，AE＝12k，∴AB＝2()5K＋(12k)2＝13k，∴BE∶AE∶AB＝5∶12∶13，∵AB＝1300米，∴AE＝1200米，BE ＝500米，设EC＝FB＝x米，∵∠DBF＝60°，∴DF＝3x米，则DC＝(3x＋500)米，又∵∠DAC＝30°，∴AC＝3CD，即1200＋x＝3(3x＋500)，解得x＝600－2503，∴DF＝3x＝(6003－750)米，∴CD＝DF＋CF＝(6003－250)米，即山高CD为(6003－250)米．变式练习5：某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)解：如解图，过点A作AD⊥BC交BC于点D，过点B作BH⊥水平线交水平线于点H，由题意∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，∵AB＝4×8＝32米，∴CD＝AD＝AB·sin30°＝16米，BD＝AB·cos30°＝32×32＝163米，∴BC＝CD＋BD＝(16＋163)米，∴BH＝BC·sin30°＝(16＋163)×12＝(8＋83)米．答：这架无人飞机的飞行高度为(8＋83)米．变式练习6：如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西30°的方向上，随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西60°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB.(结果保留小数点后一位，其中3≈1.732) 解：∵CD∥BE，∴∠EBC＋∠DCB＝180°.∵∠ABE＝60°，∠DCB＝30°，∴∠ABC＝90°.…………(4分)由题知，BC＝80×12＝40(海里)，∠ACB＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·tan60°＝403≈40×1.732≈69.3(海里)．答：此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB的长约为69.3海里．。

锐角三角函数第一部分同角三角函数“做一做”三角函数角αsin α cos α tan α30021 23 33 45022 22 160023 21 3从表中不难得出：130cos 30sin 022=+ ， 0030tan 30cos 30sin = 145cos 45sin 022=+ ， 0045tan 45cos 45sin =160cos 60sin 022=+ ，0060tan 60cos 60sin =那么，对于任意锐角A ，是否存在1cos sin 22=+B A ，A AAtan cos sin =呢？ 事实上，同角三角函数之间，具有三个基本关系：如图，在090,=∠∆C ABC Rt ，C B A ∠∠∠,,所对的边依次为a ，b ，c 则 ①1cos sin 22=+B A （平方关系）②A A A cos sin tan =，AAA sin cos cot = （商的关系） ③1cot tan =⋅A A （倒数关系） 证明：①222,cos ,sin c b a cbA c a A =+==Θ1cos sin 222222222==+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∴c c c b a c b c a A A 即 1cos sin 22=+A A ②abA b a A c b A c a A ====cot ,tan ,cos ,sin Θ A ba b c c a c b c aA A tan cos sin ==⋅==∴ A aba c cb ca c bA A cot sin cos ==⋅== 即 A A A cos sin tan =，A AA sin cos cot =③abA b a A ==cot ,tan Θ1cot tan =⋅=⋅∴abb a A A即 1cot tan =⋅A A通过以上证明，可以得出以下结论：①对于任意锐角A ，A ∠的正弦与余弦的平方和等于1，即1cos sin 22=+A A ．②对于任意锐角A ，A ∠的正弦与余弦的商等于A ∠的正切，即A AA cos sin tan =． ③对于任意锐角A ，A ∠的余弦与正弦的商等于A ∠的余切，即AAA sin cos cot =．④对于任意锐角A ，A ∠的正切和余切互为倒数，1cot tan =⋅A A ． 运用以上关系，在计算、解题的过程中，可以简化计算过程． 例1 已知A ∠为锐角，,53cos =A 求A A tan sin ，． 解：A ∠Θ为锐角1sin 0<<∴A又Θ,1cos sin 22=+A A 53cos =A 542516531cos 1sin 22==⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∴A A345354cos sin tan ===∴A A A此题还可以利用定义求解，方法不唯一． 例2 计算02245tan 30sin 30cos -+ 解：原式=()130cos 30sin 0202-+=1-1 =0本题也可直接把特殊角的三角函数值代入计算，但过程较为复杂，同学们了解了同角三角函数之间的基本关系，不仿试解下面的题目．1．化简：0010cos 10sin 21+ 2．A ∠为锐角，化简cotAtanA 1sinA cosA 1+⋅⋅ 答案： 1．0010cos 10sin +（提示：1=02210cos 10sin +） 2．1 （提示： aAA A A A sin cos cot ,cos sin tan ==） 第二部分特殊角的三角函数特殊角的三角函数值有着广泛的应用，要求大家必须熟记，为了帮助记忆，可采用下面的方法．1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=21sin45°=cos45°=22tan30°=cot60°=33tan 45°=cot45°=12、列表法：30˚12 3145˚ 12 12 60˚ 3说明：正弦值随角度变化，即0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚变化；值从023 1变化，其余类似记忆．3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时，则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。

初三下学期锐角三角函数知识点总结及经典例题1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边邻边当0°<α<90°时，tanα随α的增大而增大，cotα随α的增大而减小。

8、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

仰角铅垂线水平线视线视线俯角(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。

用字母i表示，即hil=。

坡度一般写成1:m的形式，如1:5i=等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tanhilα==。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。

初三年级锐角三角函数知识点总结、典型例题、练习[精选]锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

222c b a =+2、如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：定 义表达式取值范围关 系正弦 斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin 1sin 0<<A (∠A 为锐角)B A cos sin =B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=cos c bA =cos 1cos 0<<A (∠A 为锐角) 正切 的邻边的对边A tan ∠∠=A A b aA =tan 0tan >A (∠A 为锐角)3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数 0° 30°45°60°90° αsin 0 21 22 23 1 αcos1 23 2221 0 αtan33 1 3-5、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。

6、正切的增减性：当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个,其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

(注意：尽量避免使用中间数据和除法))90cos(sin A A -︒=)90sin(cos A A -︒=BA cos sin =BA sin cos =A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A对边邻边斜边 ACBba c8、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

三角函数专项复习锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

222c b a =+2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：定 义表达式取值范围关 系正弦 斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin 1sin 0<<A (∠A 为锐角)B A cos sin =B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=cos c bA =cos 1cos 0<<A (∠A 为锐角) 正切 的邻边的对边A tan ∠∠=A A b aA =tan 0tan >A (∠A 为锐角)3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数 0° 30°45°60°90° αsin 0 2122 23 1 αcos1 232221 0 αtan33 1 3-5、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

6、正切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

(注意：尽量避免使用中间数据和除法)8、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即hi l=。