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第三章 3.1 3.1.3一、选择题1．若tan(π4－α)＝3，则cot α等于( )A ．－2B ．－12C ．12D ．2[答案] A[解析] ∵tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan α＝3，∴tan α＝－12，∴cot α＝－2.2．设tan α、tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 [答案] A[解析] 由已知，得tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.3．若tan28°tan32°＝m ，则tan28°＋tan32°＝( ) A ．3m B ．3(1－m ) C ．3(m －1) D ．3(m ＋1) [答案] B[解析] tan28°＋tan32°＝tan(28°＋32°)(1－tan28°tan32°) ＝tan60°(1－tan28°tan32°) ＝3(1－m )．4．tan20°＋tan40°＋3tan20°·tan40°的值为( ) A ．－ 3 B ． 3 C ．3 D ．33 [答案] B[解析] 原式＝tan60°(1－tan20°tan40°)＋3tan20°·tan40°＝tan60°＝ 3.5．已知tan α＝13，tan β＝－2，则cot(α－β)的值为( )A ．17B ．－17C ．1D ．－1[答案] A[解析] cot(α－β)＝1tan (α－β)＝1＋tan αtan βtan α－tan β＝17.故选A ．6．已知α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1 [答案] A[解析] ∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－1，∴tan α＋tan β＝tan α·tan β－1， ∴原式＝1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2. 二、填空题7．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，α为第二象限角，则tan β＝________.[答案] －7[解析] ∵sin α＝45，α为第二象限角，∴cos α＝－35，tan α＝－43，tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝1－⎝⎛⎭⎫－431＋1×⎝⎛⎭⎫－43＝－7.8．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝－13，则tan α＋β2＝________. [答案] 17[解析] tan α＋β2＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2＝12＋⎝⎛⎭⎫－131－12×⎝⎛⎭⎫－13＝17.三、解答题9．求下列各式的值： (1)tan70°－tan10°＋tan120°tan70°tan10°；(2)tan50°－tan20°－33tan50°tan20°. [解析] (1)原式 ＝tan (70°－10°)(1＋tan70°tan10°)－3tan70°tan10°＝3＋3tan70°tan10°－3tan70°tan10°＝ 3.(2)tan50°－tan20°－33tan50°tan20° ＝tan(50°－20°)(1＋tan50°tan20°)－33tan50°tan20° ＝tan30°(1＋tan50°tan20°)－33tan50°tan20° ＝33＋33tan50°tan20°－33tan50°tan20°＝33. 10．(2015·广东文，16改编)已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2 α＋sin αcos α－2cos 2α的值．[解析] (1) tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝tan α＋11－tan α＝2＋11－2＝－3， (2) sin 2αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1.一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A ．17B ．7C ．－17D ．－7[答案] A[解析] 由于α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35， ∴cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34.∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝1－341＋34＝17，故选A ． 2.cot70°tan (－50°)－1tan20°－tan50°的值是( )A ． 3B ．33 C ．－33D ．－ 3[答案] A[解析] 原式＝－tan20°·tan50°－1tan20°－tan50°＝－1tan20°－tan50°1＋tan20°·tan50°＝－1tan (20°－50°)＝－1－tan30°＝ 3.3．(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)的值为( ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．2[答案] C[解析] (1＋tan21°)(1＋tan24°) ＝1＋tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＝1＋tan(21°＋24°)(1－tan21°tan24°)＋tan21°tan24° ＝1＋1－tan21°tan24°＋tan21°tan24°＝2，同理(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2， 故原式＝4.4．已知tan α、tan β是方程x 2－3x ＋4＝0的两个根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，则α＋β的是( )A ．π6B ．5π6C ．π6或－5π6D ．－π3或2π3[答案] B[解析] 由韦达定理得⎩⎨⎧tan α＋tan β＝3tan α·tan β＝4，∴tan α>0，tan β>0， ∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α＋β∈(0，π)．又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－4＝－33，∴α＋β＝5π6.二、填空题5．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为________． [答案] 17[解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)·tan α＝3－21＋3×2＝17.6．已知点P (sin3π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则tan(θ＋π3)的值为________． [答案] 2－ 3[解析] ∵sin 3π4＝22，cos 3π4＝－22，∴点P 的坐标为P (22，－22)． ∴tan θ＝yx ＝－1.∴tan(θ＋π3)＝tan θ＋tanπ31－tan θtanπ3＝tan θ＋31－3tan θ＝－1＋31＋3＝2－ 3.三、解答题7．求证：tan(α＋β)－tan(α－β)－tan2β＝tan(α＋β)·tan(α－β)·tan2β. [解析] ∵tan2β＝tan[(α＋β)－(α－β)] ＝tan (α＋β)－tan (α－β)1＋tan (α＋β)·tan (α－β)，∴tan2β[1＋tan(α＋β)·tan(α－β)] ＝tan(α＋β)－tan(α－β)，∴tan2β＋tan(α＋β)·tan(α－β)·tan2β ＝tan(α＋β)－tan(α－β)， ∴tan(α＋β)－tan(α－β)－tan2β ＝tan(α＋β)·tan(α－β)·tan2β.8．已知tan A 与tan(－A ＋π4)是方程x 2＋px ＋q ＝0的根，且3tan A ＝2tan(π4－A )，求p 与q 的值．[解析] 设t ＝tan A ，则tan(π4－A )＝1－tan A 1＋tan A ＝1－t 1＋t ，∴3tan A ＝2tan(π4－A )，∴3t ＝2(1－t )1＋t ，解得t ＝13或t ＝－2.当t ＝13时，有tan(π4－A )＝1－t 1＋t＝1－131＋13＝12，∴p ＝－[tan A ＋tan(π4－A )]＝－(13＋12)＝－56，q ＝tan A tan(π4－A )＝13×12＝16.当t ＝－2时，有tan(π4－A )＝1－t 1＋t ＝－3，∴p ＝－[tan A ＋tan(π4－A )]＝－[(－2)＋(－3)]＝5，q ＝tan A tan(π4－A )＝(－2)×(－3)＝6.综上可知，p ＝－56，q ＝16或p ＝5，q ＝6.9. 在锐角△ABC 中，(1)求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ； (2)化简：tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A2.[解析] (1)∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ， ∴tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ．∴tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan C ＝－tan C (1－tan A tan B )＋tan C ＝－tan C ＋tan A tan B tan C ＋tan C ＝tan A tan B tan C ．(2)∵A ＋B ＋C ＝π，∴B ＋C 2＝π2－A2，∵tan B ＋C 2＝tan(π2－A 2)＝cot A2.∴原式＝tan A 2(tan B 2＋tan C 2)＋tan B 2·tan C2＝tan A 2tan B ＋C 2(1－tan B 2tan C 2)＋tan B 2·tan C2＝tan A 2tan(π2－A 2)(1－tan B 2tan C 2)＋tan B 2tan C 2＝tan A 2cot A 2(1－tan B 2tan C 2)＋tan B 2tan C 2＝1－tan B 2tan C 2＋tan B 2tan C 2＝1.。
3.1.2 两角和与差的正弦课后篇巩固探究 一、A 组 基础巩固1.sin 10°cos 35°-sin 260°sin 145°的值是( ) A.√22 B.-√22C.sin 25°D.-sin 25°2.已知sin α=-35,α∈(π,3π2),则sin (α+π4)的值为( ) A .3√210 B .7√210 C .-√210D .-7√210α∈(π,3π),sin α=-3,∴cos α=-4, sin (α+π4)=sin αcos π4+cos αsin π4 =-35×√22+(-45)×√22=-7√210.3.在△ABC 中,A=15°,则√3sin A-cos(B+C )的值为( ) A .√32B .√22C .√2D .2=√3sin A+cos A=2sin(A+30°)=2sin45°=√2.4.在△ABC 中,2cos B sin A=sin C ,则△ABC 的形状一定是( ) A .等腰直角三角形 B .直角三角形C .等腰三角形D .等边三角形2cos B sin A=sin C ,∴2cos B sin A=sin(A+B ).∴2cos B sin A=sin A cos B+cos A sin B. ∴sin A cos B-cos A sin B=0,∴sin(A-B )=0. ∵A ,B 是△ABC 的内角,∴A=B. ∴△ABC 是等腰三角形.5.已知α∈(π,3π2),sin α=-14,β∈(3π2,2π),cos β=45,则α+β为( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角6.已知向量a =(cos x ,sin x ),b =(√2,√2),a ·b =85,则cos (x -π4)= .7.已知sin α=12,sin β=13,则sin(α+β)sin(α-β)= .8.导学号73764075已知cos (π4-α)=35,sin (3π4+β)=513,其中π4<α<3π4,0<β<π4,求sin(α+β)的值.α+β+π2=3π4+β-(π4-α),所以sin(α+β)=-cos [π2+(α+β)] =-cos [(3π4+β)-(π4-α)] =-cos (3π4+β)cos (π4-α)-sin (3π4+β)sin (π4-α). 又因为π4<α<3π4,0<β<π4, 所以-π2<π4-α<0,3π4<3π4+β<π. 所以sin (π4-α)=-45,cos (3π4+β)=-1213.所以sin(α+β)=-(-1213)×35−513×(-45)=5665. 9.已知M (1+cos 2x ,1),N (1,√3sin 2x+a ),若f (x )=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点). (1)求f (x )的解析式;(2)当x ∈[0,π2]时,f (x )的最大值为4,求a 的值.f (x )=OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+cos2x+√3sin2x+a , ∴f (x )=cos2x+√3sin2x+a+1. (2)f (x )=cos2x+√3sin2x+a+1 =2sin (2x +π6)+a+1,∵x ∈[0,π2],∴2x+π6∈[π6,7π6].∴当2x+π6=π2时,即x=π6时,f (x )取得最大值为3+a ,∴3+a=4,∴a=1.二、B 组 能力提升1.已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=13,则lo g √5(tanαtanβ)2等于( )A.2B.3C.4D.62.sin7°+cos15°sin8°cos7°-sin15°sin8°的值等于( ) A.2+√3 B.2+√32 C.2-√3D.2-√32=sin (15°-8°)+cos15°sin8°cos (15°-8°)-sin15°sin8°=sin15°cos8°cos15°cos8°=sin15°cos15°=√6-√246+24=2-√3.3.已知f (x )=sin(3x+θ)-cos(3x+θ)是奇函数,且在[0,π]上是减函数,则θ的一个值是( ) A .π4B .πC .43πD .54π(x )=√2sin (3x +θ-π4),∵f (x )是奇函数,∴f (0)=√2sin (θ-π4)=0,∴θ=k π+π4,k ∈Z . ∵f (x )在[0,π6]上是减函数,∴k 为奇数. 当k=1时,θ=5π.4.在△ABC 中,已知sin(A-B )cos B+cos(A-B )sin B ≥1,则△ABC 是( ) A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .直角三角形D .等腰非直角三角形sin(A-B )cos B+cos(A-B )sin B=sin(A-B+B )=sin A ≥1,且0≤sin A ≤1,∴sin A=1,即A=π2,∴△ABC 是直角三角形.5.函数y=sin x+cos x+2(x ∈[0,π2])的最小值是( ) A .2-√2 B .2+√2 C .3D .1sin x+cos x+2=√2sin (x +π4)+2.∵x ∈[0,π2],∴x+π4∈[π4,34π], ∴y min =√2×√22+2=3.6.已知A (3,0),B (0,3),C (cos α,sin α),若AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1,则sin (α+π4)= .AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos α-3,sin α),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos α,sin α-3),∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=cos 2α-3cos α+sin 2α-3sin α=1-3√2sin (α+π4)=-1.∴sin (α+π4)=√23.7.已知sin α+cos α=√62,α∈(0,π4),则sin (α-5π4)= .(α-5π4)=sin αcos 5π4-cos αsin 5π4=√22cos α-√22sin α=√22(cos α-sin α).∵α∈(0,π4),∴cos α>sin α, ∴(sin α+cos α)2=32,(sin α-cos α)2=12,∴cos α-sin α=√22. ∴sin (α-5π)=√2×√2=1.8.已知f (x )=sin 2x+√3cos 2x-1,x ∈[0,π2]. (1)求f (x )的最大值;(2)求f (x )在定义域上的单调递增区间.f (x )=2sin (2x +π3)-1.∵0≤x ≤π2,∴π3≤2x+π3≤4π3. ∴f (x )max =1.(2)由π3≤2x+π3≤π2,得0≤x ≤π12.∴f (x )在定义域上的单调递增区间为[0,π12].9.已知函数f (x )=A sin(x+φ)(A>0,0<φ<π,x ∈R )的最大值是1,其图象经过点M (π3,12).(1)求f (x )的解析式;(2)已知α,β∈(0,π2),且f (α)=35,f (β)=1213,求f (α-β)的值.因为函数f (x )的最大值为1,所以A=1.因为f (x )的图象经过点M (π3,12), 所以sin (π3+φ)=12.因为0<φ<π,所以π3<π3+φ<4π3. 所以π3+φ=5π6.所以φ=π2. 所以f (x )=sin (x +π2)=cos x. (2)因为f (α)=cos α=35,f (β)=cos β=1213, 且α,β∈(0,π2),所以sin α=45,sin β=513.所以f (α-β)=cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β =35×1213+45×513=5665. 10.导学号73764076已知函数f (x )=sin (2x +π6)+sin (2x -π6)+cos 2x+a (a ∈R ,a 为常数).(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间; (2)当x ∈[0,π]时,f (x )的最小值为-2,求a 的值.∵f (x )=2sin2x cos π+cos2x+a=√3sin2x+cos2x+a=2sin (2x +π6)+a ,∴f (x )的最小正周期T=2π2=π. 当2k π-π2≤2x+π6≤2k π+π2,k ∈Z ,即k π-π≤x ≤k π+π(k ∈Z )时,函数f (x )单调递增, 故所求区间为[kπ-π3,kπ+π6](k ∈Z ). (2)当x ∈[0,π2]时,2x+π6∈[π6,7π6], ∴x=π2时,f (x )取得最小值. ∴2sin (2×π2+π6)+a=-2, ∴a=-1.。
3.1.3 两角和与差的正切一、基础过关1． 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值等于( ) A.17B ．7C ．－17D ．－72． 若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( ) A.43 B ．－43C ．－7D ．－173． 已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( ) A.π4B.3π4C.5π4D.7π44． A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定5．1＋tan 75°1－tan 75°＝________.6． 已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为______． 7． 如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，则sin α＋βcos α－β＝________.8． 求下列各式的值：(1)sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°； (2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)．二、能力提升9． 化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( )A ．1B ．2C ．tan 10°D.3tan 20°10．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.11．在△ABC 中，求证：tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A2＝1.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255. 求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．三、探究与拓展13．已知在△ABC 中，0<A<π2，0<B<π2，sin A ＝210，tan(A －B)＝－211.求：(1)tan B 的值；(2)A ＋2B 的大小．答案1．A 2.C 3.C 4.A 5．－ 3 6.23 7.－32 8．(1)2－3 (2)2 9.A 10.111．证明 ∵A＋B ＋C ＝180°，∴A 2＋B 2＋C2＝90°. ∴A ＋B 2＝90°－C 2.∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B 2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫90°－C 2＝1tanC 2.∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B 2·tan C 2＝1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫tan A 2＋tan B 2tan C21－tan A 2tanB 2＝1，∴tan A 2tan C 2＋tan B 2tan C2＝1－tan A 2tan B 2.即tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C2＋tan C 2tan A2＝1.12．(1)－3 (2)3π413．解 (1)∵A，B 是锐角，sin A ＝210， ∴cos A＝7210，tan A ＝17，∴tan B＝tan[A －(A －B)] ＝tan A －tan A －B1＋tan A·tan A －B＝17＋2111＋17× －211 ＝13(或解tan(A －B)＝tan A －tan B1＋tan A·tan B ＝17－tan B 1＋17tan B＝－211，∴ta n B ＝13)．(2)∵tan B＝13，∴tan 2B＝2tan B 1－tan 2B ＝231－19＝34， ∴tan(A＋2B)＝tan A ＋tan 2B1－tan A·tan 2B＝17＋341－17×34＝1.又tan A ＝17<1，tan B ＝34<1.∵A ，B 是锐角，∴0<A<π4，0<B<π4，∴0<A＋2B<3π4.∴A＋2B ＝π4.。
和角公式3．1.3两角和与差的正切预习课本P140～141，思考并完成以下问题(1)如何利用两角差(和)的正、余弦公式导出两角差(和)的正切公式？(2)公式T()α±β的应用条件是什么？[新知初探]两角和与差的正切公式 [点睛] (1)在两角和与差的正切公式中，角α，β，α＋β，α－β均不等于k π＋π2(k ∈Z)，这是由正切函数的定义域决定的．(2)在应用两角和与差的正切公式时，只要tan α，tan β，tan(α＋β)(或tan(α－β))中任一个的值不存在，就不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法解题．如化简tan ⎝⎛⎭⎫π2－β，因为tan π2的值不存在，所以不能利用公式T (α－β)进行化简，应改用诱导公式来化简，即tan ⎝⎛⎭⎫π2－β＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－βcos ⎝⎛⎭⎫π2－β＝cos βsin β. [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( ) (2)对任意α，β∈R ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．( )答案：(1)√ (2)×2．已知tan α＝－34，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A ．－17 B ．－7 C.17 D ．7答案：D3．若tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝3，则tan α的值为( ) A ．－2 B ．－12C.12 D ．2答案：B 4.tan 17°＋tan 43°1－tan 17°tan 43°＝________.答案： 3给角求值问题[典例] 求值：(1)tan(－15°)； (2)tan 74°＋tan 76°1－tan 74°tan 76°； (3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°. [解] (1)tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝12－636＝2－3，tan(－15°)＝－tan 15°＝3－2. (2)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－33. (3)∵tan 60＝3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23° tan 37°，∴tan 23°＋tan 37°＝3－3tan 23°tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3.利用公式T (α±β)化简求值的两点说明(1)分析式子结构，正确选用公式形式：T ()α±β是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“3”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan π4”，“3＝tan π3”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．[活学活用]1.sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°的值为________． 解析：原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan (45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3.答案：2－ 3 2.tan 18°＋tan 42°＋tan 120°tan 18°tan 42°tan 60°＝________.解析：观察可知18°＋42°＝60°，可运用两角和的正切公式求值． ∵tan 18°＋tan 42°＋tan 120°＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋tan 120° ＝－tan 60°tan 18°tan 42°， ∴原式＝－1. 答案：－1给值求值问题[典例] 已知cos α＝45，α∈(0，π)，tan (α－β)＝12，求tan β及tan (2α－β)．[解] ∵cos α＝45>0，α∈(0，π)，∴sin α>0. ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，∴tan α＝sin αcos α＝3545＝34.∴tan β＝tan [α－(α－β)]＝tan α－tan (α－β)1＋tan α·tan (α－β)＝34－121＋34×12＝211，tan (2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝tan α＋tan (α－β)1－tan α·tan (α－β)＝34＋121－34×12＝2.给值求值问题的两种变换(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值．(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．[活学活用]1．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：选A ∵tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根， ∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，∴tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.2．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan (α－β)＝2，则tan (β－2α)＝________.解析：由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2.因为 tan (α－β)＝2， 所以 tan (β－α)＝－2， 故 tan (β－2α)＝tan [(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43.答案：43[典例] 已知tan α＝2，tan β＝－13，其中0<α<π2，π2<β<π.(1)求tan (α－β)； (2)求α＋β的值．[解] (1)因为tan α＝2，tan β＝－13，所以tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2＋131－23＝7.(2)因为tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1，又因为0<α<π2，π2<β<π，所以π2<α＋β<3π2，所以α＋β＝5π4.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求tan (2α－β)的值． 解：因为tan (α－β)＝7，tan α＝2，所以tan (2α－β)＝tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)tan α＝7＋21－7×2＝－913.2．[变条件，变设问]若本例条件变为：tan α＝13，tan β＝17且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求2α＋β的值．解：因为tan α＝13，tan β＝17且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋171－13×17＝12>0，∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α＋β∈(0，π)， ∴tan (2α＋β)＝tan (α＋β)＋tan α1－tan (α＋β)tan α＝12＋131－12×13＝1，∴2α＋β＝π4.给值求角问题的解题策略(1)根据题设条件求角的某一三角函数值；(2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．层级一 学业水平达标1．1－tan 27°tan 33°tan 27°＋tan 33°的值为( )A.33B. 3 C ．tan 6°D.1tan 6°解析：选A ∵tan 27°＋tan 33°1－tan 27°tan 33°＝tan (27°＋33°)＝tan 60°，∴原式＝1tan 60°＝33.2．tan 15°＋tan 105°等于( ) A ．－2 3 B ．2＋ 3 C ．4D.433解析：选A tan 15°＋tan 105°＝tan (60°－45°)＋tan (45°＋60°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＋tan 45°＋tan 60°1－tan 45°tan 60°＝－23，故选A .3．已知tan (α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.1318 B.1322 C.322D.318解析：选C ∵tan (α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322.4．在△ABC 中，若tan A tan B>1，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．不能确定解析：选A 由tan A tan B>1，知tan A>0，tan B>0，从而A ，B 均为锐角．又tan (A ＋B)＝tan A ＋tan B1－tan A tan B<0，即tan C ＝－tan (A ＋B)>0，∴C 为锐角，故△ABC 为锐角三角形．5．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1＋ 2D ．1＋ 3解析：选B ∵tan 45°＝tan (20°＋25°)＝tan 20°＋tan 25°1－tan 20°tan 25°＝1，∴tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20°tan 25°，∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°·tan 25°＝1＋1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.6．已知tan α＝－2，tan (α＋β)＝17，则tan β的值为________．解析：将β化为(α＋β)－α，利用两角差的正切公式求解． tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3.答案：37.cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＝________. 解析：原式＝1－tan 15°1＋tan 15°＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝33. 答案：338．若1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，且α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则α＋β＝________. 解析：因为1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0， 所以tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β)， 所以tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.又α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以π＜α＋β＜2π，故α＋β＝7π4. 答案：7π49．已知tan (α＋β)＝2，tan (α－β)＝3，求tan (3π＋2α)＋tan (4π＋2β)的值． 解：因为tan (α＋β)＝2，tan (α－β)＝3， 所以tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝2＋31－2×3＝－1，tan 2β＝tan [(α＋β)－(α－β)] ＝tan (α＋β)－tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)＝2－31＋2×3＝－17，所以tan (3π＋2α)＋tan (4π＋2β)＝tan 2α＋tan 2β ＝－1－17＝－87.10．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，求角α＋β的大小．解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4，∴tan α，tan β均为负， ∴－π2<α<0，－π2<β<0.∴－π<α＋β<0，又tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.∴α＋β＝－2π3.层级二 应试能力达标1．已知tan α＝12，tan (α－β)＝－25，那么tan (β－2α)的值为( )A ．－34B ．－112C ．－98D.98解析：选B tan (β－2α)＝－tan (2α－β) ＝－tan [α＋(α－β)] ＝－tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝－12－251＋12×25＝－112. 2．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 等于( )A.π3B.2π3C.π6D.π4解析：选A 由已知，得tan A ＋tan B ＝3(tan A tan B －1)，即tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，∴tan (A ＋B)＝－3，∴tan C ＝tan [π－(A ＋B)]＝－tan (A ＋B)＝3，∴C ＝π3.3．已知tan α＝12，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值是( )A ．2 B.12C ．－1D ．－3解析：选B 法一：因为tan α＝12，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4·tan α＝1＋tan α1－tan α＝3，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝3－11＋3＝12.故选B .法二：tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－tan π41＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·tan π4＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＝tan α＝12.故选B .4．(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)·…·(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)的值为() A ．222 B ．223C ．224D ．225解析：选B (1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋tan 44°＋tan 1°＋tan 44°tan 1°，∵tan 45°＝tan (1°＋44°)＝tan 1°＋tan 44°1－tan 1°tan 44°＝1， ∴(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋1－tan 1°tan 44°＋tan 44°tan 1°＝2，同理，得(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝(1＋tan 2°)(1＋tan 43°)＝ (2)∴原式＝222×(1＋tan 45°)＝223.5．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是__________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)解析：由已知得⎩⎨⎧tan A ＋tan B ＝53，tan A·tan B ＝13. ∴tan (A ＋B)＝tan A ＋tan B 1－tan A·tan B ＝531－13＝52， 在△ABC 中，tan C ＝tan [π－(A ＋B)]＝－tan (A ＋B)＝－52<0，∴C 是钝角，∴△ABC 是钝角三角形． 答案：钝角6．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的最小正值为______________________________． 解析：(tan α－1)(tan β－1)＝2⇒tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2⇒tan α＋tan β＝tan αtan β－1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1， 即tan (α＋β)＝－1，∴α＋β＝k π－π4，k ∈Z. 当k ＝1，α＋β取得最小正值3π4. 答案：3π4 7．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解：(1)因为tan(π＋α)＝－13，所以tan α＝－13，因为tan(α＋β)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α，所以tan(α＋β)＝－13＋25＋13＝516.(2)因为tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan(α＋β)－tan α1＋tan(α＋β)tan α，所以tan β＝516＋131－516×13＝3143.8．在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为13，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan(α＋β)－tan α2＋2tan(α＋β)·tan α的值．解：(1)由题意，得cos α＝13，cos β＝255.因为α，β为锐角，所以sin α＝223，sin β＝55，因此tan α＝22，tan β＝12，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝22＋121－22×12＝－9＋522.(2)tan(α＋β)－tan α2＋2tan(α＋β)·tan α＝12×tan(α＋β)－tan α1＋tan(α＋β)·tan α＝12×tan[(α＋β)－α]＝12×tan β＝12×12＝14.。
两角和与差的正切（2）1．已知tan ,tan αβ是方程22370x x +-=的两个实数根，则tan()αβ+的值为 . 2．已知2tan()5αβ+=, 1tan()44πβ-=, 则tan()4πα+的值为_________。
3．在锐角三角形ABC 中，31sin ,tan(),cos 53A A B C =-=-则的值 4．=-+015tan 115tan 1 ； 5．若31tan =x ，则=-x x x x 22cos 2sin cos sin _________________。
6．tan13tan 47tan13tan 47)++=o o o o7． 已知11tan ,tan()23ααβ=-=- ，,αβ 均为锐角，则β 等于 .8．tan 70tan 5070tan 50︒+︒︒︒的值为9．已知54A B π+=,且,()2A B k k Z ππ≠+∈，求证：(1tan )(1tan )2A B ++=.10．已知α、β∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，sin α＝45，tan (α－β)＝－13，求cos β的值．参考答案1．13-【解析】 试题分析：依题意可得3tan tan 27tan tan 2αβαβ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以3tan tan 12tan()71tan tan 312αβαβαβ-++===--+. 考点：1.二次方程根与系数的关系；2.两角和与差的三角函数.2．322【解析】 试题分析：根据题意，2tan()5αβ+=, 1tan()44πβ-=, 则21tan()tan()3544tan()tan[()()]2144221tan()tan()1454παββππααββπαββ-+--+=+--===++-+⨯ 故可知答案为322 考点：两角和差的正切公式点评：主要是考查了两角和差的正切公式的运用，属于基础题。
3310 【解析】 试题分析：因为是在锐角三角形ABC 中，343sin ,cos tan 5543tan 1133104tan()tan ,cos cos()3392501tan 4A A AB A B BC A B B =∴=∴=--=-=∴==-+=+则Q 故可知答案为310250考点：两角和差的公式运用点评：解决的关键是根据两角差的正切公式，以及内角和定理和诱导公式得到，属于基础题。
双基达标(限时20分钟)1．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝()．A．sin(2α＋β) B．sin βC．cos(2α＋β) D．cos β解析原式＝cos[](α＋β)－α＝cos β，故选D.答案 D2．计算sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°的值是()．A.32 B.12C．－32D．－12解析原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12，故选B.答案 B3．若α＋β＝34π，则(1－tan α)(1－tan β)的值为()．A.12B．1C.32D．2解析(1－tan α)(1－tan β)＝1＋tan αtan β－(tan α＋tan β)①∵tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝tan 34π(1－tan αtan β)＝tan αtan β－1，∴①式＝2，故选D.答案 D4．已知tan α＝2，tan β＝3，α、β均为锐角，则α＋β的值是________．解析因为tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2＋31－2×3＝－1，又α、β是锐角，0<α＋β<π，所以由tan(α＋β)＝－1得α＋β＝3 4π.答案3π45．如果cos θ＝－1213，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值是________．解析 由cos θ＝－1213，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π知sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝－513， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos θcos π4－sin θsin π4＝22(cos θ－sin θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－713＝－7226.答案 －72266．证明：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β， 并用该式计算sin 220°＋sin 80°·sin 40°的值． 解 sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β) ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β ＝sin 2α(1－sin 2β)－(1－sin 2α)sin 2β ＝sin 2α－sin 2αsin 2β－sin 2β＋sin 2αsin 2β ＝sin 2α－sin 2β， ∴等式成立．于是，sin 220°＋sin 80°·sin 40° ＝sin 220°＋sin(60°＋20°)sin(60°－20°) ＝sin 220°＋sin 260°－sin 220° ＝sin 260°＝34.综合提高 (限时25分钟)7．已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β＝ ( )．A ．0B ．0或2425 C.2425D ．0或－2425解析 ∵0<α<π2<β<π，sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，∴cos α＝45，sin(α＋β)＝35或－35.∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝2425或0. ∵π2<β<π，∴sin β＝2425.故选C. 答案 C8．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为 ( )．A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析 由sin A sin B <cos A cos B ⇒cos A cos B －sin A sin B >0⇒cos(A ＋B )>0⇒cos C <0⇒C 是钝角，故选D.答案 D9．计算：sin 75°·sin 15°＝________. 解析 sin 75°sin 15°＝cos 15°cos 75° ＝cos(45°－30°)·cos(45°＋30°)＝(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)(cos 45°cos 30°－ sin 45°sin 30°)＝(cos 45°cos 30°)2－(sin 45°sin 30°)2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22×322－⎝ ⎛⎭⎪⎫22×122＝14.答案 1410．已知在锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15，则tan Atan B ＝________. 解析 ∵sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＋cos A sin B ＝35sin A cos B －cos A sin B ＝15⇔⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＝25cos A sin B ＝15⇔tan Atan B ＝2.答案 211.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.求tan(α＋β)的值．解 由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α、β为锐角，∴sin α＝ 1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55.由此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12. tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.12．(创新拓展)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.(1)若sin x ＝45，求函数f (x )的值； (2)求函数f (x )的值域． 解 (1)∵sin x ＝45，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，∴cos x ＝－35，f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －2cos x ＝3sin x －cos x ＝453＋35.(2)f (x )＝3sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∵π2≤x ≤π，∴π3≤x－π6≤5π6，12≤sin⎝⎛⎭⎪⎫x－π6≤1，∴函数f(x)的值域为[1,2]．。
3.1.3 两角和与差的正切1．两角和的正切公式 T α＋β：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.2．两角差的正切公式T α－β：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.思考：你能举出几个两角和与差的正切公式的变形式吗？ [提示] (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． (2)1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan (α＋β).(3)tan α＋tan β＋tan αtan β tan(α＋β)＝tan(α＋β)． (4)tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β).1．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( ) A ．－2－ 3 B ．－2＋3 C ．2－3D ．2＋ 3D[tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋3 31－33＝2＋ 3.故选D.]2.tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°＝()A．－2B． 2C．－ 3 D． 3D[原式＝tan (75°－15°)＝tan 60°＝ 3. ]3．设tan α＝12，tan β＝13，且角α，β为锐角，则α＋β的值是_________．π4[∵tan α＝12，tan β＝13∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1，又∵α，β均为锐角，即α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴0<α＋β<π，则α＋β＝π4.](1)tan 15°；(2)1－3tan 75°3＋tan 75°；(3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.[思路探究]把非特殊角转化为特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3))，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的．[解] (1)tan 15°＝tan(45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝2－ 3.(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1. (3)∵tan(23°＋37°)＝tan 60°＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°＝3，∴tan 23°＋tan 37°＝3(1－tan 23°tan 37°)，∴原式＝3(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3.1．公式T α＋β，T α－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．1．求下列各式的值： (1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°；(2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°. [解] (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－3 3.(2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－3tan 36°tan 84°＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°tan 84°＝tan 120°＝－ 3.始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．[思路探究]先由任意角的三角函数定义求出cos α，cos β，再求sin α，sin β，从而求出tan α，tan β，然后利用Tα＋β求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)进而得到α＋2β的值．[解]由条件得cos α＝210，cos β＝255，∵α，β为锐角，∴sin α＝7210，sin β＝55，∴tan α＝7，tan β＝1 2.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)·tan β＝－3＋121－(－3)×12＝－1，∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.1．通过先求角的某个三角函数值来求角． 2．选取函数时，应遵照以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．3．给值求角的一般步骤： (1)求角的某一三角函数值； (2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角．2．(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)如图所示，三个相同的正方形相接，试计算α＋β的大小．[解] (1)因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝35－45＝－34，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×1＝17. (2)由题图可知tan α＝13，tan β＝12，且α，β均为锐角， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋121－13×12＝1.因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4.1．判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？[提示] 根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等．2．在△ABC 中，tan(A ＋B )与tan C 有何关系？ [提示] 根据三角形内角和定理可得A ＋B ＋C ＝π， ∴A ＋B ＝π－C ，∴tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C .【例3】 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，判断△ABC 的形状．[思路探究] 化简条件→求出tan A ，tan C → 求出角A ，C →判断形状. [解] 由tan A ＝tan[π－(B ＋C )] ＝－tan(B ＋C )＝tan B＋tan Ctan B tan C－1＝3－3tan B tan Ctan B tan C－1＝－ 3.而0°＜A＜180°，∴A＝120°.由tan C＝tan[π－(A＋B)]＝tan A＋tan B tan A tan B－1＝tan A＋tan B3tan A＋3tan B＝33，而0°＜C＜180°，∴C＝30°，∴B＝30°.∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．公式Tα＋β的逆用及变形应用的解题策略(1)“1”的代换：在Tα＋β中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan 45°来代换，以达到化简求值的目的，如1－tan α1＋tan α＝tan⎝⎛⎭⎪⎫π4－α；3tan α＋3 1－tan α＝3tan⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4.(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．(教师用书独具)1．公式T(α±β)的适用范围和结构特征(1)由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋π2(k∈Z)．(2)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．2．两角和与差的正切公式的变形变形公式如：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α tan β)；tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan α tan β)；tan α tan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)等.1．设角θ的终边过点(2,3)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝( )A.15 B ．－15 C ．5D ．－5A [由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝32，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝32－11＋32＝15，选A.]2．tan 10°tan 20°＋3(tan 10°＋tan 20°)等于( ) A.33 B ．1 C. 3D. 6B [原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 30°(1－tan 10°tan 20°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.]3．计算3－tan 15°1＋3tan 15°＝________.1 [3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1.]4．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝14，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5的值． [解] ∵α＋π5＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝tan (α＋β)－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π51＋tan (α＋β)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝25－141＋25×143＝22.。
高中数学３．１和角公式３．１.3 两角和与差的正切优化训练新人教Ｂ版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（高中数学３.1 和角公式３.１.3 两角和与差的正切优化训练新人教Ｂ版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
1.3 两角和与差的正切5分钟训练（预习类训练,可用于课前） 1.与︒+︒-21tan 121tan 1相等的是（ )A ．tan ６６° Ｂ.tan24° Ｃ。
ta ｎ4２° D.ta ｎ2１°解析：由两角差的正切公式,原式=︒︒+︒-︒21tan 45tan 121tan 45tan =ｔa ｎ(45°-21°）=tan ２4°.答案:B 2。
︒-︒+75tan 175tan 1的值是（ ）A 。
3B 。
3-C 。
33 Ｄ.33- 解析：︒︒-︒+︒=︒-︒+75tan 45tan 175tan 45tan 75tan 175tan 1＝ta ｎ(45°+7５°)=taｎ1２０°=—ta ｎ60°=3-.答案：B3。
（2006河北唐山二模,9)在△ABＣ中，C=4５°，则(1-tanA ）(１－ｔanB)等于( )A.１ Ｂ.－1 C 。
2 Ｄ。
—2解析：(１—tanA)(1-t ａnB)=1＋tanA ｔanB －(t ａn Ａ+t ａnB) =1+tanAta ｎB-tan （A+B)（1-tanAtan Ｂ)=1+t ａnAtanB —ta ｎ１35°（1—ｔａnAta ｎB)＝2. 答案:C4．︒︒-︒+︒33tan 12tan 133tan 12tan ＝＿_＿______＿___，︒︒+︒-︒23tan 53tan 123tan 53tan =__＿__＿＿_____。
两角和与差的正切练习1．在△ABC中，已知tan A，tan B是方程3x2＋8x－1＝0的两根，则tan C等于( ) A．2 B．－2 C．4 D．－42．如果tan(α＋β)＝34，π1tan42β⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πtan4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值为( )A．1011B．211C．25D．23．在锐角△ABC中，tan A tan B的值( )A．不小于1 B．小于1C．等于1 D．大于14．设tan α和tan β是方程mx2＋(2m－3)x＋(m－2)＝0的两根，则tan(α＋β)的最小值是( )A．154B．34C．34- D．不确定5________. 6．如图所示，三个相同的正方形相接，则图中的α＋β＝__________.7．在△ABC中，若(1＋cot A)(1＋cot C)＝2，则log2sin B＝________.8．已知α为第二象限的角，3sin5α＝，β为第一象限的角，5cos13β＝，求tan(2α－β)的值．9．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值．参考答案1．解析：∵tan A ，tan B 是3x 2＋8x －1＝0的两根，∴8tan +tan =,31tan tan =,3A B A B ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩∴tan(A ＋B )＝8tan +tan 311tan tan 13A BA B-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝－2.∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝2. 答案：A2．解析：设πtan 4m α⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 则tan(α＋β)＝ππtan 44αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ＝ππ1tan tan 34421ππ411tan tan 244m mαβαβ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得211m =， 即π2tan 411α⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 答案：B3．解析：由于△ABC 为锐角三角形， ∴tan A ，tan B ，tan C 均为正数．∴tan C ＞0，∴tan[180°－(A ＋B )]＞0. ∴tan(A ＋B )＜0，即tan tan 01tan tan A BA B+<-.而tan A ＞0，tan B ＞0，∴1－tan A tan B ＜0，即tan A tan B ＞1. 答案：D4．解析：∵tan α和tan β是mx 2＋(2m －3)x ＋(m －2)＝0的两根，∴()()223tan +tan ,2tan tan ,0,23420.m m m mm m m m αβαβ-⎧=-⎪⎪-⎪=⎨⎪≠⎪⎪∆=---≥⎩∴94m ≤，且m ≠0.又tan(α＋β)＝23tan+tan23321tan tan221mmm mmmαβαβ---+===-+---，∴当94m=时，tan(α＋β)取最小值34-.答案：C5．解析：因为tan 60°＝tan(20°＋40°)＝tan20tan40 1tan20tan40︒+︒-︒︒6．解析：由题意，1tan2α＝，1tan3β＝，∴tan(α＋β)＝11tan+tan231111tan tan123αβαβ+==--⨯.∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴0＜α＋β＜π，∴α＋β＝π4.答案：π47．解析：由(1＋cot A)(1＋cot C)＝2，得tan1tan12 tan tanA CA C++⋅=，∴(tan A＋1)(tan C＋1)＝2tan A tan C．∴1＋tan A＋tan C＝tan A tan C．∴tan(A＋C)＝－1.又A，B，C是△ABC的内角，∴A＋C＝3π4.∴π4B＝.∴sin B∴log2sin B＝21 log2=-.答案：1 2 -8．解：∵α为第二象限的角，且3 sin5α＝，∴4 cos5α-＝，∴3 tan4α-＝.又∵β为第一象限的角，且5 cos13β＝，∴12sin13β＝，∴12tan5β＝.∴tan(α－β)＝312tan tan63453121tan tan16145αβαβ---==+⎛⎫+-⨯⎪⎝⎭.∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝()()tan tan1tan tanααβααβ+---＝3632044163632531416-+=⎛⎫--⨯⎪⎝⎭.9．解：由AB＋BP＝PD，得a＋BP23a BP＝.设∠APB＝α，∠DPC＝β，则tan α＝32ABBP=，tan β＝34CDPC=.从而tan(α＋β)＝tan tan1tan tanαβαβ+-＝－18.又∵∠APD＋(α＋β)＝π，∴tan∠APD＝tan[π－(α＋β)]＝－tan(α＋β)＝18.。
