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第9章 多元函数微分法及应用第2节 偏导数函数在点处对y 的偏导数定义为),(y x f z =),00y x （yy x f y y x f y ∆∆+→∆),(-),(lim 00000记法：),(,,00,,,000000y x f Z y f yz y y y x x yy y x x y y x x 或======∂∂∂∂定理：如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域D 内连续，那么),(y x f z =x y z∂∂∂2y2∂∂∂x z在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。
*拉普拉斯方程：①满足；22ln y x z +=0y2222=∂∂+∂∂zx z ②满足。
)(,1222z y x r r u ++==0zy 222222=∂∂+∂∂+∂∂u u x u 第3节 全微分全增量：)(),(),(),(22y x y B x A y x f y y x x f z ∆+∆=+∆+∆=-∆+∆+=∆ρρο全微分：y yzx x z dz ∆∂∂+∆∂∂=习惯上分别记作dx,dy,并分别称自变量x,y 的微分。
y x ∆∆,通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加定理。
zzu y y u x x u du ∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=第4节 多元复合函数的求导法则定理1：如果函数及都在点t 可导，函数在对应点（u,v)具有)(t u ϕ=)(t v ψ=),(v u f z =连续导数，则复合函数在点t 可导，且有全导数：)](),([t t f z ψϕ=dtdv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂=全微分形式不变性：设函数具有连续偏导数，则有全微分，如果u,v 又是),(v u f z =dv vzdu u z ∂∂+∂∂=dz 中间变量，即，且这个函数也具有连续偏导数，则复合函数),(),,(y x v y x u ψϕ==的全微分为，无论u,v 是自变量还是中间变量，)],(),,([y x y x f z ψϕ=dy yzdx z ∂∂+∂∂=x dz 函数的全微分形式是一样的。
多元函数微分学的应用教案主题：多元函数微分学的应用引言：多元函数微分学是数学分析的重要组成部分，它研究的是多元函数的导数及其在不同情境下的应用。
多元函数微分学的应用广泛涉及到自然科学、工程技术以及经济管理等领域。
本教案将以不同的实际问题为例，通过解析几何、极值、曲线等概念的引入，让学生掌握多元函数微分学的基本知识和应用技巧。
第一节：解析几何及曲线的切线与法线1. 引入解析几何的概念，介绍多元函数与坐标系的关系。
2. 定义多元函数在某点的偏导数，解释其几何意义。
3. 推导多元函数的全微分公式，并解释其意义。
4. 引入曲线的概念，讨论曲线在某点处的切线与法线的几何特性。
5. 通过具体例子，让学生理解切线与法线的应用意义。
第二节：多元函数的极值1. 引入多元函数的极值概念，定义极大值与极小值。
2. 推导多元函数取得极值的必要条件，即驻点的导数为零。
3. 推导多元函数取得极值的充分条件，即驻点的二阶导数的正负性。
4. 通过求解具体的极值问题，让学生掌握多元函数求解极值的方法。
5. 引入拉格朗日乘数法，解决带有约束条件的极值问题。
第三节：函数的Taylor级数与泰勒展开式1. 介绍函数的Taylor级数与泰勒展开式的概念。
2. 推导函数的Taylor级数公式，讨论其收敛性与逼近性质。
3. 通过具体例子，演示函数的泰勒展开式的计算方法。
4. 讨论泰勒展开式在近似计算中的应用，例如在物理问题中的应用。
第四节：二重积分的应用1. 回顾二重积分的概念及计算方法。
2. 引入二重积分在几何与物理问题中的应用，例如求解面积、质量、重心等问题。
3. 通过具体的几何与物理问题，让学生掌握二重积分的应用技巧。
第五节：多元函数的偏导数与偏微分方程1. 引入多元函数的偏导数及其计算方法。
2. 介绍偏微分方程的概念及其解的求解方法。
3. 推导拉普拉斯方程在某点的解析解，并讨论其物理意义。
4. 通过具体例子，让学生理解偏微分方程的应用范围与解题方法。
第九章多元函数微分法及其应用【教学目标与要求】1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。
2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。
3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
5、掌握多元复合函数偏导数的求法。
6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。
7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。
8、了解二元函数的二阶泰勒公式。
9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
【教学重点】1、二元函数的极限与连续性；2、函数的偏导数和全微分；3、方向导数与梯度的概念及其计算；4、多元复合函数偏导数；5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法；6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；【教学难点】1、二元函数的极限与连续性的概念；2、全微分形式的不变性；3、复合函数偏导数的求法；4、二元函数的二阶泰勒公式；5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；6、拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。
【教学课时分配】(18学时)第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6第7次课§7 第8次课§8 第9次课习题课【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.[3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社§91 多元函数的基本概念一、平面点集n 维空间1．区域由平面解析几何知道 当在平面上引入了一个直角坐标系后 平面上的点P 与有序二元实数组(x y )之间就建立了一一对应 于是 我们常把有序实数组(x y )与平面上的点P 视作是等同的 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面二元的序实数组(x y )的全体 即R 2R R {(x y )|x y R }就表示坐标平面 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合 称为平面点集 记作 E {(x y )| (x y )具有性质P }例如 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 C {(x y )| x 2y 2r 2}如果我们以点P 表示(x y ) 以|OP |表示点P 到原点O 的距离 那么集合C 可表成 C {P | |OP |r } 邻域设P 0(x 0 y 0)是xOy 平面上的一个点 是某一正数 与点P 0(x 0 y 0)距离小于的点P (x y )的全体 称为点P 0的邻域 记为U (P 0 即}|| |{),(00δδ<=PP P P U 或})()( |) ,{(),(20200δδ<-+-=y y x x y x P U邻域的几何意义 U (P 0 )表示xOy 平面上以点P 0(x 0 y 0)为中心、 >0为半径的圆的内部的点P (x y )的全体点P 0的去心邻域 记作) ,(0δP U ο即 }||0 |{) ,(00δδ<<=P P P P U ο注 如果不需要强调邻域的半径 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域 点P 0的去心邻域记作)(0P U ο点与点集之间的关系任意一点P R 2与任意一个点集E R 2之间必有以下三种关系中的一种(1)内点 如果存在点P 的某一邻域U (P ) 使得U (P )E 则称P 为E 的内点 (2)外点 如果存在点P 的某个邻域U (P ) 使得U (P )E 则称P 为E 的外点 (3)边界点 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点 也有不属于E 的点 则称P 点为E 的边点E 的边界点的全体 称为E 的边界 记作EE 的内点必属于E E 的外点必定不属于E 而E 的边界点可能属于E 也可能不属于E 聚点如果对于任意给定的0 点P 的去心邻域),(δP U ο内总有E 中的点 则称P 是E的聚点由聚点的定义可知点集E的聚点P本身可以属于E也可能不属于E例如设平面点集E{(x y)|1x2y22}满足1x2y22的一切点(x y)都是E的内点满足x2y21的一切点(x y)都是E的边界点它们都不属于E满足x2y22的一切点(x y)也是E的边界点它们都属于E点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点开集如果点集E的点都是内点则称E为开集闭集如果点集的余集E c为开集则称E为闭集开集的例子E{(x y)|1<x2y2<2}闭集的例子E{(x y)|1x2y22}集合{(x y)|1x2y22}既非开集也非闭集连通性如果点集E内任何两点都可用折线连结起来且该折线上的点都属于E则称E为连通集区域(或开区域)连通的开集称为区域或开区域例如E{(x y)|1x2y22}闭区域开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域例如E{(x y)|1x2y22}有界集对于平面点集E如果存在某一正数r使得E U(O r)其中O是坐标原点则称E为有界点集无界集一个集合如果不是有界集就称这集合为无界集例如集合{(x y)|1x2y22}是有界闭区域集合{(x y)| x y1}是无界开区域集合{(x y)| x y1}是无界闭区域2 n维空间设n为取定的一个自然数我们用R n表示n元有序数组(x1x2x n)的全体所构成的集合即R n R R R{(x1x2x n)| x i R i12 n}R n中的元素(x1x2x n)有时也用单个字母x来表示即x(x1x2x n)当所有的x i(i1 2n)都为零时称这样的元素为R n中的零元记为0或O在解析几何中通过直角坐标R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应因而R n中的元素x(x1x2x n)也称为R n中的一个点或一个n维向量x i称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量特别地R n中的零元0称为R n中的坐标原点或n维零向量二多元函数概念例１圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系V r2h这里当r、h在集合{(r h) | r>0h>0}内取定一对值(r h)时V对应的值就随之确定 例2一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系VRT p =其中R 为常数 这里 当V 、T 在集合{(V T ) | V >0 T >0}内取定一对值(V T )时 p 的对应值就随之确定定义1 设D 是R 2的一个非空子集 称映射f D R 为定义在D 上的二元函数 通常记为z f (x y ) (x y )D (或z f (P ) P D )其中点集D 称为该函数的定义域 x y 称为自变量 z 称为因变量上述定义中 与自变量x 、y 的一对值(x y )相对应的因变量z 的值 也称为f 在点(x y )处的函数值 记作f (x y ) 即z f (x y ) 值域 f (D ){z | z f (x y ) (x y )D }函数的其它符号 z z (x y ) z g (x y )等类似地可定义三元函数u f (x y z ) (x y z )D 以及三元以上的函数一般地 把定义1中的平面点集D 换成n 维空间R n 内的点集D 映射f D R 就称为定义在D 上的n 元函数 通常记为u f (x 1 x 2 x n ) (x 1 x 2 x n )D 或简记为u f (x ) x (x 1 x 2 x n )D 也可记为u f (P ) P (x 1 x 2 x n )D关于函数定义域的约定 在一般地讨论用算式表达的多元函数u f (x )时 就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域 因而 对这类函数 它的定义域不再特别标出 例如函数z ln(x y )的定义域为{(x y )|x y >0}(无界开区域)函数z arcsin(x 2y 2)的定义域为{(x y )|x 2y 21}(有界闭区域)二元函数的图形 点集{(x y z )|z f (x y ) (x y )D }称为二元函数z f (x y )的图形 二元函数的图形是一张曲面 三多元函数的极限与一元函数的极限概念类似 如果在P (x y )P 0(x 0 y 0)的过程中 对应的函数值f (x y )无限接近于一个确定的常数A 则称A 是函数f (x y )当(x y )(x 0 y 0)时的极限定义2 ：设二元函数f (P )f (x y )的定义域为D P 0(x 0 y 0)是D 的聚点 如果存在常数A对于任意给定的正数总存在正数使得当),(),(0δP U D y x P ο⋂∈时都有|f (P )A ||f (x y )A |成立 则称常数A 为函数f (x y )当(x y )(x 0 y 0)时的极限 记为A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00 或f (x y )A ((x y )(x 0 y 0))也记作 A P f P P =→)(lim 0或f (P )A (P P 0)上述定义的极限也称为二重极限例4. 设22221sin )(),(y x y x y x f ++= 求证),(lim )0,0(),(=→y x f y x证 因为2222222222 |1sin ||| |01sin )(||0),(|y x y x y x y x y x y x f +≤+⋅+=-++=-可见 >0 取εδ= 则当δ<-+-<22)0()0(0y x 即),(),(δO U D y x P ο⋂∈时总有|f (x y )0|因此 0),(lim )0,0(),(=→y x f y x必须注意(1)二重极限存在 是指P 以任何方式趋于P 0时 函数都无限接近于A(2)如果当P 以两种不同方式趋于P 0时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0 0)有无极限提示 当点P (x y )沿x 轴趋于点(0 0)时00lim )0 ,(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f当点P (x y )沿y 轴趋于点(0 0)时0lim ) ,0(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→y y y x y f y x f当点P (x y )沿直线y kx 有22222022 )0,0(),(1lim lim k k x k x kx y x xy x kxy y x +=+=+→=→因此 函数f (x y )在(0 0)处无极限极限概念的推广 多元函数的极限多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似 例5 求x xy y x )sin(lim)2,0(),(→解y xy xy x xy y x y x ⋅=→→)sin(lim )sin(lim)2,0(),()2,0(),(y xy xy y x y x )2,0(),()2,0(),(lim )sin(lim→→⋅=122四 多元函数的连续性定义3 设二元函数f (P )f (x y )的定义域为D P 0(x 0 y 0)为D 的聚点 且P 0D 如果),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→则称函数f (x y )在点P 0(x 0 y 0)连续如果函数f (x y )在D 的每一点都连续 那么就称函数f (x y )在D 上连续 或者称f (x y )是D 上的连续函数二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数f (P )上去 例6设f (x ,y )sin x 证明f (x y )是R 2上的连续函数 证 设P 0(x 0 y 0) R 2 0 由于sin x 在x 0处连续 故0 当|x x 0|时 有|sin x sin x 0| 以上述作P 0的邻域U (P 0 ) 则当P (x y )U (P 0 )时 显然 |f (x y )f (x 0 y 0)||sin x sin x 0|即f (x y )sin x 在点P 0(x 0 y 0) 连续 由P 0的任意性知 sin x 作为x y 的二元函数在R 2上连续类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时 它们在各自的定义域内都是连续的定义4设函数f (x y )的定义域为D P 0(x 0 y 0)是D 的聚点 如果函数f (x y )在点P 0(x 0 y 0)不连续 则称P 0(x 0 y 0)为函数f (x y )的间断点 例如函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f其定义域D R 2 O (0 0)是D 的聚点 f (x y )当(x y )(0 0)时的极限不存在 所以点O (0 0)是该函数的一个间断点 又如函数11sin22-+=y x z 其定义域为D {(x y )|x 2y 21} 圆周C {(xy )|x 2y 21}上的点都是D 的聚点 而f (x y )在C 上没有定义 当然f (x y )在C 上各点都不连续 所以圆周C 上各点都是该函数的间断点注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数多元初等函数 与一元初等函数类似 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的例如2221y y x x +-+ sin(x y )222z y xe ++都是多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域 例7 求xy yx y x +→)2,1(),(lim一般地 求)(lim 0P f P P →时如果f (P )是初等函数 且P 0是f (P )的定义域的内点 则f (P )在点P 0处连续 于是 )()(lim 00P f P f P P =→例8 求xyxy y x 11lim)0 ,0(),(-+→五、多元连续函数的性质性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D 上的多元连续函数 必定在D 上有界 且能取得它的最大值和最小值性质1就是说 若f (P )在有界闭区域D 上连续 则必定存在常数M 0 使得对一切P D 有|f (P )|M 且存在P 1、P 2D 使得f (P 1)max{f (P )|P D } f (P 2)min{f (P )|P D }性质2 (介值定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值小结1. 区域的概念；2. 多元函数的定义；3. 多元函数的极限及其求解；4. 多元函数的连续性。
