高考数学模拟试题—最后一套

2024年湖南省长沙高考数学最后一卷（答案在最后）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}|2M x x =≤，{|ln 1}N x x =<，则M N = （）A ．[)2,e B ．[]2,1-C ．[)0,2D ．(]0,22．若复数z 满足i z z =⋅，则z 可以为（）A ．1i-B ．1i+C ．12i+D ．12i-3．已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，且()()220.3P X k P X k <-=>+=，0k >，则()22P X k <≤+=（）A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.84．已知直线l ：0kx y -+=，圆O ：221x y +=，则“1k <”是“直线l 上存在点P ，使点P 在圆O 内”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在平行四边形ABCD 中，24AC BD ==，点P 为该平行四边形所在平面内的任意一点，则2222PA PB PC PD +++ 的最小值为（）A ．6B ．8C ．10D ．126．地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯·里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为0lg lg M A A =-，其中M 表示某地地震的里氏震级，A 表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，0A 表示这次地震中的标准地震振幅．假设在一次地震中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000，且这次地震的标准地震振幅为0．002，则该地这次地震的里氏震级约为（）（参考数据：lg 20.3≈）A ．6.3级B ．6.4级C ．7.4级D ．7.6级7．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，P 为C 的渐近线上一点．若12PF F △2，2123PF PF c ⋅= ，则C 的离心率为（）A B ．2C ．D 8．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 是棱1CC 的中点，空间中的动点P 满足DP BM ⊥，且11D P =，则动点P 的轨迹长度为（）A ．5B ．3C ．2πD ．5二、多选题：本题共3小题，共18分。

2024年河北省石家庄市高考数学模拟试卷附解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}2024180,Z A k k αα︒==-︒+⋅∈∣中的最大负角α为（）A ．2024-︒B ．224-︒C ．44-︒D ．24-︒2．已知()41i 1iz +=-，则z 的虚部为（）A ．2iB ．2i-C ．2-D ．23．已知平面内的向量a 在向量b 上的投影向量为12b，且1a b == ，则2a b - 的值为（）AB ．1C ．34D ．324．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且3a -，2a ，4a 成等差数列，则2024S 与2024a 的关系是（）A ．2024202421S a =-B ．2024202421S a =+C ．2024202443S a =-D ．2024202441S a =+5．已知变量x 和y 的统计数据如表：x 12345y66788根据上表可得回归直线方程0.6y x a =+，据此可以预测当8x =时，y =（）A ．8.5B ．9C ．9.5D ．106．现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三人，要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为（）A ．216B ．432C ．864D ．10807．已知椭圆221222:1(0),,x y C a b F F a b+=>>为左､右焦点，P 为椭圆上一点，1260F PF ∠=，直线:l y x t =-+经过点P .若点2F 关于l 的对称点在线段1F P 的延长线上，则C 的离心率是（）A ．13B ．22C ．12D ．238．已知函数()xf x x =，()0,x ∈+∞，则下列命题不正确的是（）A ．()f x 有且只有一个极值点B ．()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增C ．存在实数()0,a ∈+∞，使得()1ef a =D ．()f x 有最小值1e1e二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法中，正确的是（）A ．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位数为12B ．两组样本数据1x ，2x ，3x ，4x 和1y ，2y ，3y ，4y 的方差分别为21s ，22s ，若已知10i i x y +=（1,2,3,4i =），则2212s s =C ．已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()()261P X P X ≥-+≥=，则2μ=D ．已知一系列样本点(),i i x y （1,2,3,i =⋅⋅⋅）的回归方程为ˆˆ3y x a =+，若样本点(),3m 与()2,n 的残差（残差＝实际值i y －模型预测值ˆy）相等，则310m n +=10．若关于x 的不等式22e 2ln x x ax x x -+-≥在()0+∞，上恒成立，则实数a 的值可以是（）A ．1eB ．12C ．e 3D ．211．已知定义在实数集R 上的函数()f x ，其导函数为()f x '，且满足()()()f x y f x f y xy +=++，()()110,12f f '==，则（）A ．()f x 的图像关于点()1,0成中心对称B ．()322f '=C ．()202410122023f =⨯D ．20241()10122024k f k ='=⨯∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知集合{}{}22230,0,M x x x N x x ax x =--<=-<∈Z ，若集合M N ⋂恰有两个元素，则实数a 的取值范围是.13．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若213PF PF =，则双曲线的离心率为.14．如图，在梯形ABCD 中，190,22ABC BAD AB BC AD ∠=∠====，将BAC 沿直线AC 翻折至1B AC △的位置，13AM MB =，当三棱锥1B ACD -的体积最大时，过点M 的平面截三棱锥1B ACD -的外接球所得的截面面积的最小值是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数()e e axf x x b =--在0x =处的切线为x 轴．(1)求,a b 的值；(2)求()f x 的单调区间．16．如图，三棱锥A BCD -中，,,,AD CD AD CD ADB BDC E ∠∠⊥==为线段AC 的中点.(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设3,2,0AB BD BF FD EF BD ===⋅=，求直线CF 与平面ABC 所成角的正弦值.17．有无穷多个首项均为1的等差数列，记第()*N n n ∈个等差数列的第()N,2m m m ∈≥项为()m a n ，公差为()0n n d d >.(1)若()()22212a a -=，求21d d -的值；(2)若m 为给定的值，且对任意n 有()()12m m a n a n +=，证明：存在实数,λμ，满足1λμ+=，10012d d d λμ=+；(3)若{}n d 为等比数列，证明：()()()()()1122mm m m m a a n n a a a n +⎡⎤⎣⎦+++≤ .18．设椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>经过点()2,1P -，且离心率e =:3m x =垂直x 轴交x 轴于T ，过T 的直线l 1交椭圆E 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，连接PA ，PB ，PT ．(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ．（ⅰ）求12k k +的值；（ⅱ）如图：过P 作x 轴的垂线l ，过A 作PT 的平行线分别交PB ，l 于M ，N ，求||||MN MA 的值．19．在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式00型或∞∞型极限的一种重要方法，其含义为：若函数()f x 和()g x 满足下列条件：①()lim 0x a f x →=且()lim 0x a g x →=（或()lim x a f x →=∞，()lim x ag x →=∞）；②在点a 的附近区域内两者都可导，且()0g x '≠；③()()lim x af x Ag x →'='（A 可为实数，也可为±∞），则()()()()limlimx ax af x f x Ag x g x →→'=='．(1)用洛必达法则求0limsin x xx→；(2)函数()()232112!3!21!n x x x f x x n -=+++++- （2n ≥，*n ∈N ），判断并说明()f x 的零点个数；(3)已知()()2cos g x g x x =⋅，()01g =，ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()g x 的解析式．参考公式：()()lim lim x a x af x f x →→=，()()lim lim x a x a kf x k f x →→=．1．C【分析】利用任意角的定义与集合A 所表示的角即可得解.【详解】因为04420211481︒=-︒-⨯︒-，所以集合{}2024180,Z A k k αα︒==-︒+⋅∈∣中的最大负角α为44-︒.故选：C.2．D【分析】利用复数的乘方运算和四则运算法则求出复数z ，继而得z 的虚部.【详解】由()42221i [(1i)](2i)4(1i)2(1i)22i 1i 1i 1i (1i)(1i)z ++-+=====-+=------+，则22i z =-+，z 的虚部为2.故选：D.3．A【分析】先根据条件，确定向量的夹角，再根据向量数量积的性质求模.【详解】因为2·1·2a b b b b = ⇒2·12a b b= ，又1a b == ，所以·12·a b a b =⇒1cos ,2a b = ⇒,60a b =︒ .所以：()2222a b a b-=-= 2214·41411432a ab b -+=-⨯⨯⨯+=，所以2a b -= 故选：A 4．A【分析】先利用等比数列的通项公式列方程求公比，然后求出2024S 和2024a 观察它们之间的关系即可.【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，0q >因为3a -，2a ，4a 成等差数列，所以2342a a a =-+，所以232q q q =-+，解得2q =，所以()20241202420241211a q S q-==--，20232023202412a a q==，则2024202421S a =-.故选：A.5．D【分析】根据给定的数表，求出样本的中心点，进而求出a 即可得解.【详解】依题意，1234535x ++++==，6678875y ++++==，即样本的中心点为(3,7)，于是70.63a =⨯+，解得 5.2a =，即0.6 5.2y x =+，当8x =时，预测0.68 5.210y =⨯+=.故选：D 6．B【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合分组分配列式计算得解.【详解】求不同的安排种数需要分成3步，把3名心理教师分配到三所学校，有33A 种方法，再把4名语文教师按2:1:1分成3组，并分配到三所学校，有2343C A 种方法，最后把2名数学教师分配到只有1名语文教师的两所学校，有22A 种方法，由分步乘法计数原理得不同的安排种数为32323432A C A A 432⋅⋅=.故选：B 7．B【分析】根据题意，得到点M 与点2F 关于PH 对称，从而2120F PM ∠=，在12PF F △中，利用正弦定理得到121212sin15sin105sin PF PF F F F PF +=+∠ ，结合sin 60sin15sin105c e a ==+，即可求解.【详解】由直线:l y x t =-+，且点2F 关于l 的对称点在线段1F P 的延长线上，如图所示，可得点M 与点2F 关于PH 对称，且1260F PF ∠=,故在2PF M 中，则2120F PM ∠= ,故230PF M ∠=又PH 的倾斜角为135 ，则245HF M ∠=，故在12PF F △中，有1260F PF ∠= ，21105PF F ∠=，1215PF F ∠= ，又由1212211212sin sin sin PF PF F F PF F PF F F PF ==∠∠∠，可得121212sin15sin105sin PF PF F F F PF +=+∠，即1222sin15sin105sin a cF PF =+∠ ，又因为1sin15sin(4530)22224=-⨯-⨯=，1sin105sin(6045)2=++ ，所以sin 602sin15sin1052c e a ===+.故选：B.8．C【分析】由条件可得函数ln z x x =可以看作为函数ln z y =与函数x y x =的复合函数，然后求导判断其单调性与极值，即可得到结果.【详解】由x y x =得ln ln y x x =，令ln z x x =，则函数ln z x x =可以看作为函数ln z y =与函数x y x =的复合函数，因为ln z y =为增函数，所以ln z x x =与x y x =单调性、图象变换等基本一致，ln 1z x '=+，由0z '=得1ex =，列表如下：x10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1e 1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭z '－＋z1e-由表知，ln z x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在1ex =时，取得极小值（最小值）1e -，所以()xf x x =在1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，即B 正确；在1e x =时，取得唯一极值（极小值，也是最小值）1e 1e e->，即A 、D 都正确，C 错误.故选：C 9．BC【分析】A 选项，根据百分位数的运算公式得到答案；B 选项，利用平均数定义得到10y x =-，根据方差的计算公式得到()()()()2222123422214s x x x x x x x xs -++-++-++-+==；C 选项，由正态分布的对称性得到C 正确；D 选项，由题意得到()()ˆˆ336m an a -+=-+，得到D 错误.【详解】A 选项，0010404⨯=，故从小到大从第4个和第5个数的平均数作为第40百分位数，即121312.52+=，A 错误；B 选项，12344x x x x x +++=，12344y y y y y +++=，因为10i i x y +=，（1,2,3,4i =），故123410101010104x x x x y x -+-+-+-==-，故()()()()22221423124s x x x x x x x x-+-+--=+，()()()()2222123422*********s y x y x y x y x-++-++-++-+=()()()()2222123410101010101010104x x x x x x x x --++--++--++--+=()()()()222212344x x x x x x x x-++-++-++-+=，故2212s s =，B 正确；C 选项，因为()2,X N μσ ，()()261P X P X ≥-+≥=，2,6X X =-=关于x μ=对称，所以2622μ-+==，C 正确；D 选项，由题意得()()ˆˆ336m an a -+=-+，整理得39m n +=，D 错误.故选：BC 10．AB【分析】根据题意分12a ≤和12a >两种情况讨论，当12a ≤时，有222ln e e 12ln 1ln e 1ln x x x x ax x x x x x x x----+-++-+=+-+≥，通过求导，判断函数的单调性，确定函数的最值得出2ln e 1ln 0x x x x --+-+≥结论验证；当12a >时，令()2ln u x x x =--，求导判断出函数存在零点设为0x ，即可判断020000e 12ln (12)0x ax x a x x -+-+=-<，最后综合得出a 的取值范围.【详解】依题意，2e 12ln 0x ax x x -+-+≥在()0+∞，上恒成立，当12a ≤时，222ln e e 12ln 1ln e 1ln x x x x ax x x x x x x x----+-++-+=+-+≥，令2ln t x x =--，则()e 1t h t t =--，()e 1t h t '=-，故当t (,0)∈-∞时，()0h t '<，当(0,)t ∈+∞时，()0h t '>，故()(0)0h t h >=，故2ln e 1ln 0x x x x --+-+≥，则不等式成立；当12a >时，令()2ln u x x x =--，因为(1)10u =-<，(4)22ln 20u =->，故()x μ在()1,4内必有零点，设为0x ，则002ln x x -=，则020ex x -=，故020000e 12ln (12)0x ax x a x x -+-+=-<，不合题意，舍去；综上所述，12a ≤.故选：AB.【点睛】恒成立问题求参数注意分类讨论；适当的构造函数通过函数的最值分析参数的取值.11．BCD【分析】对A 、B ，利用赋值法进行计算即可得；对C 、D ，利用赋值法后结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和即可得.【详解】对A ：令0x y ==，则有()()()0000f f f =++，即()00f =，令1x y ==，则有()()()2111f f f =++，又()10f =，故()21f =，()f x 不关于()1,0对称，故A 错误；对于B ，令1y =，则有()()()()11f x f x f x f x x +=++=+，两边同时求导，得()()11f x f x +='+'，令1x =，则有()()13211122f f =+=+=''，故B 正确；对C ：令1y =，则有()()()11f x f x f x +=++，即()()1f x f x x +-=，则()()()()()()()2024202420232023202211f f f f f f f =-+-+-+ ()2023120232023202210101220232+⨯=++++==⨯ ，故C 正确；对D ：令1y =，则有()()()11f x f x f x +=++，即()()1f x f x x +=+，则()()11f x f x +='+'，即()()11f x f x +-'='，又()112f '=，故()11122f k k k -'=+=-，则()20241112024202422101220242k f k =⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭==⨯'∑，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题C 、D 选项关键在于利用赋值法，结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和.12．(2,)+∞【分析】解二次不等式化简集合M ，再利用二次不等式解的形式与交集的结果即可得解.【详解】因为{}2230{13}M x x x xx =--<=-<<∣，{}20,{()0,}N x x ax x x x x a x =-<∈=-<∈Z Z ∣，又集合M N ⋂恰有两个元素，所以M N ⋂恰有两个元素1和2，所以2a >.故答案为：(2,)+∞.13【分析】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，运用双曲线的定义和条件可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】解：设过2F 与双曲线的一条渐近线b y x a=平行的直线交双曲线于点P ，由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=，由12||3||PF PF =，可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，由12tan b F F P a ∠=可得12cos a F F P c ∠=，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得：222121221212||||||2||||cos PF PF F F PF F F F F P =+-∠ ，即有2229422aa a c a c c=+- ，化简可得，223c a =，则双曲线的离心率==c e a【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和定义法，以及余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．14．3π4【分析】当三棱锥1B ACD -的体积最大时，此时1B 到底面ACD 的距离最大，即此时平面1⊥B AC 平面ACD ，取AC 的中点E ，AD 的中点O ，O 是三棱锥1B ACD -的外接球球心，当且仅当过点M 的平面与OM 垂直时，截外接球的截面面积最小，此时，截面的圆心就是点M ，从而求解.【详解】当三棱锥1B ACD -的体积最大时，由于底面ACD 的面积是定值，所以此时1B 到底面ACD 的距离最大，平面1⊥B AC 平面ACD ，且平面1B AC 平面ACD AC =，取AC 的中点E ，则1B E AC ⊥，故1B E ⊥平面ACD ，取AD 的中点O，则OE =1B E =1π2B EO ∠=，则12OB =，又∵2OA OD OC ===，故O 是三棱锥1B ACD -的外接球球心，且该外接球的半径2R =；显然，当且仅当过点M 的平面与OM 垂直时，截外接球的截面面积最小，此时，截面的圆心就是点M ，记其半径为r ，则222R OM r ==+；由于AC CD ⊥，CD ⊂平面ACD ，所以CD ⊥平面1B AC ，而1AB ⊂平面1B AC ，则1CD AB ⊥，则1π2AB D ∠=，在1B AD 中，12,4B A AD ==，故1π3B AD ∠=；又13AM MB = ，故12AM =，又2OA =，故由余弦定理有211π13422cos 4234OM =+-⨯⨯⨯=，∴22234r R OM =-=，故所求面积为3π4.故答案为：3π4【点睛】关键点点睛：取AD 的中点O ，由12OA OD OC OB ====，确定点O O 是三棱锥1B ACD -的外接球球心.15．(1)e a =，1b =(2)单调递减区间为(),0∞-，单调递增区间为()0,∞+【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得()00f =且()00f '=，即可得到方程组，解得即可；（2）求出函数的导函数()f x '，再利用导数说明()f x '的单调性，即可求出()f x 的单调区间.【详解】（1）因为()e e ax f x x b =--，所以()e e ax f x a '=-，依题意()00f =且()00f '=，所以00e 0e e 0b a ⎧-=⎨-=⎩，解得e 1a b =⎧⎨=⎩.（2）由（1）可得()e e e 1x f x x =--函数的定义域为R ，又()()e 1e e e e e 1x xf x +'=-=-，令()()e 1e e xg x f x +'==-，则()e 2e0x g x +'=>，所以()g x （()f x '）在定义域R 上单调递增，又()00f '=，所以当0x <时()0f x '<，当0x >时()0f x ¢>，所以()f x 的单调递减区间为(),0∞-，单调递增区间为()0,∞+.16．(1)证明见解析(2)15【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一及全等三角形的性质，利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可求解；（2）利用线面垂直的判定定理及性质定理，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出直线CF 的方向向量与平面ABC 的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与线面角的关系即可求解.【详解】（1）因为DA DC =，E 为线段AC 的中点，所以DE AC⊥因为DA DC =，DB DB =，ADB CDB ∠=∠，所以ADB CDB ≌，故AB CB =．又E 为线段AC 的中点，所以BE AC ⊥．又DE BE E ⋂=，,DE BE ⊂平面BED .所以AC ⊥平面BED又AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD ．（2）取DA 的中点G ，连接EG ，BG ，因为EG 为中位线，所以//EG CD ，又AD CD ⊥，所以AD EG ⊥．因为AB BD =，G 为DA 的中点，所以AD BG ⊥．又⋂=EG BG G ，,EG BG ⊂平面BEG ，所以AD ⊥平面BEG ，BE ⊂平面BEG ，所以AD BE ⊥，因为BA BC =，E 为AC 的中点，所以AC BE ⊥，又AC AD A = ，,AC AD ⊂平面ACD ，所以BE ⊥平面ACD ．以E 为坐标原点，分别以EA 、EB 、ED 所在的直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -，如图所示设(),0,0A a ，(),0,0B b ，则()0,0,0E ，()0,0,D a ，()0,,0B b ，20,,33b a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．20,,33b a EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,,BD b a =- ，由22222||92033AB a b b a EF BD ⎧=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，解得a b ⎧⎪⎨=⎪⎩．所以,33CF ⎫=⎪⎪⎭.又平面ABC 的法向量()0,0,1n = ．设直线CF 与平面ABC 所成角为θ，则232153sin cos ,15CF n CF n CF nθ⋅===⋅ ,所以直线CF 与平面ABC.17．(1)212d d -=；(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）代入等差数列的通项公式，即可求解；（2）根据已知条件，代入等差数列的通项公式，得到数列{}n d 的递推公式，再通过构造得到数列{}n d 的通项公式，并根据（1）的结果，证明等式；（3）根据题意，结合等差数列和等比数列的综合应用，首先证明()()()()11m m m m a n i a i a n a +-+≤+，再利用求和，即可证明.【详解】（1）由题意得()()()2221212111a a d d d d -=+-+=-，又()()22212a a -=，所以212d d -=；（2）证明：因为()()12m m a n a n +=，所以()()111211n n m d m d ++-=+-⎡⎤⎣⎦，即1121n n d d m +=+-，所以111211n n d d m m +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，因此99100111211d d m m ⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，所以99100111211d d m m ⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭，又21121d d m =+-，即21121d d m =--，因此()()()()99999910012121122222221d d d d d d d d =+---=-+-，所以存在实数999922,21λμ=-=-，满足100121,d d d λμλμ+==+；（3）证明：因为{}n d 为等比数列，所以11n n d d q -=，其中q 为{}n d 的公比，于是()()1111n m a n m d q -=+-，当1i n ≤≤时，()()()()11m m m m a n i a i a n a +-+-+⎡⎤⎣⎦()()11111n i i n m d q q q ---=-+--()()()11111n i i m d q q --=----，因为0,0,10q n i i >-≥-≥，因此()()1110m i i q q ----≥，又()110m d --<，所以()()()()11m m m m a n i a i a n a +-+≤+，因此()()()()111nm m m m m a n i a i n a n a =+-+≤+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑，即()()()()()2121m m m m m a a a n n a n a +++≤+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ，所以()()()()()1122mm m m n a a n n a a a n +⎡⎤⎣⎦+++≤ .【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用题意，并能正确表示()m a n 和公差为n d .18．(1)22163x y +=(2)（i ）2；（ii ）1【分析】（1）根据条件，列出关于,,a b c 的方程组，利用待定系数法，即可求解；（2）（ⅰ）首先设直线1l 的方程，并联立椭圆方程，转化为关于斜率的一元二次方程，利用韦达定理，即可求解；（ⅱ）首先设直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ,根据正弦定理利用角表示边长MN ，AN ，再求比值，利用（ⅰ）的结论，即可求解.【详解】（1）由题意知2222241122a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得ab c ==所以椭圆E 的方程为22163x y +=；（2）（ⅰ）易知()3,0T ，1PT k =，11112y k x +=-，22212y k x +=-，设直线1l 的方程为()()211m x n y -++=，由直线1l 过()3,0T 知1m n +=，联立方程()()22163210x y m x n y ⎧+=⎪⎨⎪-++=⎩得()()()()()()()2224144211420n y n m x y m x -++--+++-=，变形得：()()211244414022y y n n m m x x ++⎛⎫-+-++= ⎪--⎝⎭，即()1244144842424242n n n m n k k n n n ----+====---；（ⅱ）设直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ,则1tan k α=，2tan k β=，5π4NMP β∠=-，π2MPN β∠=-,π4PAN α∠=-，π2APN α∠=-，在PMN 中，πsin sin πsin 2sin 4PN PNMN MPN NMP ββ⎛⎫=∠=- ⎪∠⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，在PAN △中，πsin sin πsin 2sin 4PN PN AN APN PAN αα⎛⎫=∠=- ⎪∠⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，所以()ππsin sin cos sin cos tan 1242ππtan 1sin sin 422MN AN βαβαααββα⎛⎫⎛⎫-⋅--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===--⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由122k k +=知，tan tan 2αβ+=，即tan 11tan 1αβ-=--，故1MNAN =..【点睛】关键点点睛：本题第一问的转化比较巧妙，转化为关于斜率的方程，利用韦达定理即可求解，第二问巧妙设倾斜角，利用三角函数表示MN AN 的值.19．(1)1(2)仅在(),0x ∈-∞时存在1个零点，理由见解析(3)()()()sin ,π,00,π,1,0.x x g x x x ⎧∈-⋃⎪=⎨⎪=⎩【分析】（1）利用洛必达法则求解即可；（2）构造函数()e x f x ，结合()e xf x 的单调性求解即可；（3）利用累乘法求出()2n g x x g ⎛⎫ ⎪⎝⎭的表达式，然后结合()01g =，利用洛必达法则求极限即可.【详解】（1）001lim lim 1sin cos x x x x x →→==（2）()()2321123!21!n x x x f x x n -=+++++- ，()()232212!3!22!n x x x f x x n -'=+++++- ，所以()()()2121!n x f x f x n -'-=--，()()()()21e e e 21!n x x xf x f x f x x n -⎡⎤'-='=-⎢⎥-⎣⎦．当0x >时，()0e x f x ⎡⎤'<⎢⎥⎣⎦，函数()e x f x 在()0,∞+上单调递减，当0x <时，()0e x f x ⎡⎤'>⎢⎥⎣⎦，函数()e x f x 在(),0∞-上单调递增，()lime xx f x →-∞=-∞，()01f =，当0x >时，()0e x f x >，所以仅在(),0x ∈-∞时存在1个零点．（3）()()2cos g x x g x =，所以()cos 22g x x x g =⎛⎫ ⎪⎝⎭，2cos 44x g x x g ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，12cos 22n n n x g x x g -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭将各式相乘得()cos cos cos 2422n n g x x x x x g =⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭ cos cos cos sin 1sin 24222sin sin 22n n n n nx x xxx x x ⋅⋅⋅⋅=⋅ ，两侧同时运算极限，所以()1sin sin 22lim lim lim sin sin 222n n n n n n n n x x g x x x x x x g →+∞→+∞→+∞⋅==⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()()sin 2lim 0sin 2n n n x g x x xg x →+∞=，令2nx t =，原式可化为()()0sin lim 0sin t g x x t g x t →=，又()01g =，由（1）得0lim1sin t t t →=，故()()sin 0x g x x x=≠，由题意函数()g x 的定义域为()π,π-，综上，()()()sin ,π,00,π,1,0.x x g x x x ⎧∈-⋃⎪=⎨⎪=⎩【点睛】方法点睛：本题考查新定义，注意理解新定义，结合洛必达法则的适用条件，构造函数()2n g x x g ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而利用洛必达法则求极限.。

最新高考数学模拟最后一卷（文科）一、选择题1．若复数z满足z=1﹣i+，则z的虚部为（）A．﹣i B．﹣ C． i D．2．设集合M={x|x2+x≤0}，N={x|2x＞}，则M∪N等于（）A．[﹣1，0] B．（﹣1，0）C．（﹣2，+∞）D．（﹣2，0]3．函数f（x）=x2﹣|x|﹣6，则f（x）的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知向量，满足||=2，||=1，（ +）•=0，那么向量，的夹角为（）A．30° B．60° C．150°D．120°5．直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0相切，则b=（）A．3或17 B．3或﹣17 C．﹣3或﹣17 D．﹣3或176．如图给出的是计算+++…++的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A．i≤4030？B．i≥4030？C．i≤4032？D．i≥4032？7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（）A．πB．34π C．πD．17π8．设a，b，c为三角形ABC三边长，a≠1，b＜c，若sinA+cosA=，且+=2，则B角大小为（）A ．B ．C ．D ．9．设抛物线C ：y 2=16x ，斜率为k 的直线l 与C 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，O 为坐标原点，则l 恒过定点（ ） A ．（8，0） B ．（4，0） C ．（16，0） D ．（6，0） 10．已知数列a n =lg，S n 为{a n }的前n 项和，若S n ＜2，则项数n 的最大值为（ ）A ．98B ．99C ．100D ．10111．定义域为R 的可导函数y=f （x ）的导函数f ′（x ），满足f （x ）＞f ′（x ），且f （0）=2，则不等式f （x ）＜2e x 的解集为（ ） A ．（﹣∞，0） B ．（﹣∞，2） C ．（0，+∞） D ．（2，+∞） 12．设函数f （x ）=，若f （f （））=8，则m=（ ） A ．2B ．1C ．2或1D ．二、填空题13．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=2，b=3，cosC=，则sinA= ．14．已知不等式组则z=的最大值为 ．15．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4，E 、F 分别是棱AB ，BB 1的中点，A 1E 与C 1F 所成的角的余弦值是 ． 16．过双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 作渐近线的垂线，设垂足为P （P 为第一象限的点），延长FP 交抛物线y 2=2px （p ＞0）于点Q ，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若=（+），则双曲线的离心率的平方为 ．三、解答题17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边， =，且a+c=2．（1）求角B ；（2）求边长b 的最小值．18．某市运会期间30位志愿者年龄数据如表： 年龄（岁） 人数（人） 19 7 21 2 28 3 30 4 31 5 32 3 40 6 合计 30（1）求这30位志愿者年龄的众数与极差；（2）以十位为茎，个位数为叶，作出这30位志愿者年龄的茎叶图； （3）求这30位志愿者年龄的方差．19．在三棱锥D ﹣ABC ，AB=BC=CD=DA=9，∠ADC=∠ABC=120°，M 、O 分别为棱BC ，AC 的中点，DM=4．（1）求证：平面ABC ⊥平面MDO ； （2）求点M 到平面ABD 的距离．20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0），F 1，F 2分别是其左、右焦点，A 是椭圆上一点，•=0，直线AF 1的斜率为，长轴长为8．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线y=kx+（k ≠0）交椭圆C 于不同的点E ，F ，且E ，F 都在以B （0，﹣2）为圆心的圆上，求k 的值．21．已知f （x ）=x 3﹣x 2﹣2x+5．（1）求f （x ）的单调区间；（2）过（0，a ）可作y=f （x ）的三条切线，求a 的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．BD 是等腰直角三角形△ABC 腰AC 上的中线，AM ⊥BD 于点M ，延长AM 交BC 于点N ，AF ⊥BC 于点F ，AF 与BD 交于点E ． （1）求证；△ABE ≌△ACN ； （2）求证：∠ADB=∠CDN ．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：ρsin 2θ﹣6cos θ=0，直线l 的参数方程为：（t 为参数），l 与C 交于P 1，P 2两点．（1）求曲线C 的直角坐标方程及l 的普通方程； （2）已知P 0（3，0），求||P 0P 1|﹣|P 0P 2||的值．[选修4-5：不等式选讲]24．函数f （x ）=|x|﹣2|x+3|． （1）解不等式f （x ）≥2；（2）若存在x ∈R 使不等式f （x ）﹣|3t ﹣2|≥0成立，求参数t 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题1．若复数z满足z=1﹣i+，则z的虚部为（）A．﹣i B．﹣ C． i D．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】化简z，从而求出z的虚部即可．【解答】解：∵z=1﹣i+=1﹣i+=﹣，则z的虚部是﹣，故选：B．2．设集合M={x|x2+x≤0}，N={x|2x＞}，则M∪N等于（）A．[﹣1，0] B．（﹣1，0）C．（﹣2，+∞）D．（﹣2，0]【考点】并集及其运算．【分析】化简集合M，N，然后求出它们的并集即可．【解答】解：由x2+x≤0，即x（x+1）≤0，解得﹣1≤x≤0，即M=[﹣1，0]，由2x＞=2﹣2，即x＞﹣2，即N=（﹣2，+∞），则M∪N=（﹣2，+∞）故选：C．3．函数f（x）=x2﹣|x|﹣6，则f（x）的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】函数零点的判定定理．【分析】解方程，根据方程的根的个数，即可得出f（x）的零点个数．【解答】解：x＞0时，x2﹣x﹣6=0，解得x=﹣2或3，∴x=3；x＜0时，x2+x﹣6=0，解得x=2或﹣3，∴x=﹣3；∴f（x）的零点个数为2个．故选：B．4．已知向量，满足||=2，||=1，（ +）•=0，那么向量，的夹角为（）A．30° B．60° C．150°D．120°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】展开（+）•=0，代入数量积公式即可求得向量，的夹角．【解答】解：设向量，的夹角为θ，由||=2，||=1，（ +）•=0，得，即2×1×cosθ=﹣1，∴cos．∵θ∈[0°，180°]，∴θ=120°．故选：D．5．直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0相切，则b=（）A．3或17 B．3或﹣17 C．﹣3或﹣17 D．﹣3或17【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先求出圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0的圆心和半径，由直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y ﹣2=0相切，得到圆心到直线3x+4y=b的距离等于半径，由此能求出b．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0的圆心（1，1），半径r==2，∵直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0相切，∴圆心（1，1）到直线3x+4y=b的距离d==2，解得b=﹣3或b=17．故选：D．6．如图给出的是计算+++…++的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A．i≤4030？B．i≥4030？C．i≤4032？D．i≥4032？【考点】程序框图．【分析】程序的功能是求S=+++…++的值，且在循环体中，S=S+表示，每次累加的是的值，故当i≤4032应满足条件进入循环，进而得到答案．【解答】解：∵程序的功能是求S=+++…++的值，且在循环体中，S=S+表示，每次累加的是的值，故当i≤4032应满足条件进入循环，i＞4032时就不满足条件分析四个答案可得条件为：i≤4032，故选：C7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（）A ．πB ．34πC ．πD ．17π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，并画出对应的长方体，由三视图求出几何元素的长度，由长方体求出外接球的半径，由球体的表面积公式求出该四棱锥外接球的表面积． 【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥P ﹣ABCD ，如图： 且四棱锥P ﹣ABCD 是长方体的一部分，AP=4、AB=AD=3， ∴该四棱锥和正方体的外接球相同，设外接球的半径是R ， 则2R==，R=，∴该四棱锥外接球的表面积S=4πR 2=34π， 故选：B ．8．设a ，b ，c 为三角形ABC 三边长，a ≠1，b ＜c ，若sinA+cosA=，且+=2，则B 角大小为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】余弦定理． 【分析】+=2，化为=2，可得c 2=b 2+a 2，．由sinA+cosA=，可得2=，A ∈，解得A ．即可得出B ．【解答】解：∵+=2，∴log a （c ﹣b ）+log a （c+b ）==2，∴c 2﹣b 2=a 2，即c 2=b 2+a 2， ∴． ∵sinA+cosA=，∴2=，A ∈，∴A+=，解得A=．则B==．故选：D ．9．设抛物线C ：y 2=16x ，斜率为k 的直线l 与C 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，O 为坐标原点，则l 恒过定点（ ） A ．（8，0） B ．（4，0） C ．（16，0） D ．（6，0） 【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线l ：x=my+b ，代入抛物线y 2=16x ，利用韦达定理及向量数量积公式即可得到结论．【解答】解：设直线l ：x=my+b ，（b ≠0），代入抛物线y 2=16x ，可得y 2﹣16my ﹣16b=0． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=16m ，y 1y 2=﹣16b ， ∴x 1x 2=（my 1+b ）（my 2+b ）=b 2， ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2+y 1y 2=0， 可得b 2﹣16b=0，∵b ≠0，∴b=16，∴直线l ：x=my+16， ∴直线l 过定点（16，0）． 故选：C ．10．已知数列a n =lg，S n 为{a n }的前n 项和，若S n ＜2，则项数n 的最大值为（ ）A ．98B ．99C ．100D ．101 【考点】数列的求和．【分析】利用对数的运算性质展开a n ，累加后求得S n ，再由S n ＜2求得项数n 的最大值． 【解答】解：由a n =lg=lg （n+1）﹣lgn ，得S n =a 1+a 2+…+a n =（lg2﹣lg1）+（lg3﹣lg2）+（lg4﹣lg3）+…+[lg （n+1）﹣lgn]=lg （n+1）． 由S n ＜2，得lg （n+1）＜2，即n+1＜100，n ＜99， ∵n ∈N *，∴n 的最大值为98． 故选：A ．11．定义域为R 的可导函数y=f （x ）的导函数f ′（x ），满足f （x ）＞f ′（x ），且f （0）=2，则不等式f （x ）＜2e x的解集为（ ） A ．（﹣∞，0） B ．（﹣∞，2） C ．（0，+∞） D ．（2，+∞） 【考点】函数的单调性与导数的关系． 【分析】构造函数g （x ）=，通过导函数判断函数的单调性，利用单调性得出x 的范围．【解答】设g （x ）=， 则g'（x ）=，∵f （x ）＜f ′（x ），∴g'（x ）＞0，即函数g （x ）单调递增． ∵f （0）=2，∴g（0）=f（0）=2，则不等式等价于g（x）＞g（0），∵函数g（x）单调递增．∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故选：C．12．设函数f（x）=，若f（f（））=8，则m=（）A．2 B．1 C．2或1 D．【考点】分段函数的应用；函数的值；函数的零点；函数的零点与方程根的关系．【分析】直接利用分段函数以及函数的零点，求解即可．【解答】解：函数f（x）=，若f（f（））=8，可得f（4﹣m）=8，若4﹣m＜1，即3＜m，可得5（4﹣m）﹣m=8，解得m=2，舍去．若4﹣m≥1，即m≤3，可得24﹣m=8，解得m=1．故选：B．二、填空题13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，b=3，cosC=，则sinA= ．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由余弦定理可得：解得c=3．△ABC是等腰三角形．于是cosC==sin，cos=．利用sinA=2sin cos即可得出．【解答】解：由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=22+32﹣2×2×3×=9，解得c=3．∴△ABC是等腰三角形．∴cosC==sin，cos==．∴sinA=2sin cos=，故答案为：．14．已知不等式组则z=的最大值为 3 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，结合的几何意义求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，的几何意义表示平面区域内的点与点A （﹣1，1）的直线的斜率， 结合图象直线过AB 时，斜率最大， 此时z==3，故答案为：3．15．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4，E 、F 分别是棱AB ，BB 1的中点，A 1E 与C 1F 所成的角的余弦值是．【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离．【分析】先建立空间直角坐标系以D 为坐标原点，DC 为x 轴，DA 为y 轴，DD 1为z 轴，规定棱长为1，再求出A 1E 与C 1F 直线所在的向量坐标，然后根据向量的夹角公式求出夹角的余弦值即可．【解答】解：以DC 为x 轴，DA 为y 轴，DD 1为z 轴；建立空间直角坐标系以D 为坐标原点，棱长为1． ∴A （0，1，0），B （1，1，0），B 1（1，1，1），C 1（1，0，1）． A 1（0，1，1）∴E （，1，0），F （1，1，） 可得=（），=（0，1，﹣）∴•=；||==，||==．则．故答案为：．16．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作渐近线的垂线，设垂足为P（P为第一象限的点），延长FP交抛物线y2=2px（p＞0）于点Q，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若=（+），则双曲线的离心率的平方为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由=（+），可得P为FQ的中点，设F（c，0），一条渐近线方程和垂直的垂线方程，求得交点P的坐标，由中点坐标公式可得Q的坐标，代入抛物线的方程，结合离心率公式，解方程可得所求值．【解答】解：由=（+），可得P为FQ的中点，设F（c，0），由渐近线方程y=x，①可设直线FP的方程为y=﹣（x﹣c），②由①②解得P（，），由中点坐标公式可得Q（﹣c，），代入抛物线的方程可得=2p•（﹣c），③由题意可得c=，即2p=4c，③即有c4﹣a2c2﹣a4=0，由e=，可得e4﹣e2﹣1=0，解得e2=．故答案为：．三、解答题17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， =，且a+c=2．（1）求角B；（2）求边长b的最小值．【考点】余弦定理的应用；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简表达式，求角B；个两角和与差的三角函数化简求解即可．（2）利用余弦定理求边长b的最小值．推出b的表达式，利用基本不等式求解即可．【解答】解：（1）在△ABC中，由已知，即cosCsinB=（2sinA﹣sinC）cosB，sin（B+C）=2sinAcosB，sinA=2sinAcosB，…4分△ABC 中，sinA≠0，故．…6分．（2）a+c=2，由（1），因此b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac …9分由已知b2=（a+c）2﹣3ac=4﹣3ac …10分…11分故b 的最小值为1．…12分18．某市运会期间30位志愿者年龄数据如表：年龄（岁）人数（人）19 721 228 330 431 532 340 6合计30（1）求这30位志愿者年龄的众数与极差；（2）以十位为茎，个位数为叶，作出这30位志愿者年龄的茎叶图；（3）求这30位志愿者年龄的方差．【考点】极差、方差与标准差；频率分布表；茎叶图．【分析】（1）根据表格读出即可；（2）按要求作出茎叶图即可；（3）根据求平均数和方差的公式求出即可．【解答】解：（1）众数为19，极差为21．…2分，（2）茎叶图如图下：．…5分（3）年龄的平均数为：，…8分故这30位志愿者年龄的方差为：．…12分19．在三棱锥D﹣ABC，AB=BC=CD=DA=9，∠ADC=∠ABC=120°，M、O分别为棱BC，AC的中点，DM=4．（1）求证：平面ABC ⊥平面MDO ； （2）求点M 到平面ABD 的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定． 【分析】（I ）证明OD ⊥OM ．OD ⊥AC ．推出OD ⊥平面ABC ，然后证明平面ABC ⊥平面MDO ． （Ⅱ）利用V M ﹣ABD =V D ﹣MAB ，求出相关几何体的底面面积，以及高，求解点M 到平面ABD 的距离．【解答】解：（I ）证明：由题意：OM=OD=4， ∵，∴∠DOM=90°，即OD ⊥OM ．又∵在△ACD 中，AD=CD ，O 为AC 的中点，∴OD ⊥AC ． ∵OM ∩AC=O ，∴OD ⊥平面ABC ，又∵OD ⊂平面MDO ，∴平面ABC ⊥平面MDO ．… （Ⅱ）由（I ）知OD ⊥平面ABC ，OD=4 △ABM 的面积为．又∵在Rt △BOD 中，OB=OD=4，得，AB=AD=8，∴．∵V M ﹣ABD =V D ﹣MAB ，即∴，∴点M 到平面ABD 的距离为．…20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0），F 1，F 2分别是其左、右焦点，A 是椭圆上一点，•=0，直线AF 1的斜率为，长轴长为8．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线y=kx+（k ≠0）交椭圆C 于不同的点E ，F ，且E ，F 都在以B （0，﹣2）为圆心的圆上，求k 的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（1）利用直线的斜率，求出离心率，通过长轴长求解椭圆的几何量，然后求解椭圆的方程． （2）联立直线与椭圆方程，通过韦达定理求出D 的坐标，然后求解BD 的斜率，求解k 的值． 【解答】解：（1）F 1，F 2分别是其左、右焦点，A 是椭圆上一点，•=0，A （c ，），直线AF 1的斜率为，∴，，，，，，2a=8，∴a=4，，∴b 2=4，∴．…（2），消去y ，可得，（1+4k 2）x 2+12kx ﹣7=0，，，中点，…由题意，∴，，，．…21．已知f （x ）=x 3﹣x 2﹣2x+5．（1）求f （x ）的单调区间；（2）过（0，a ）可作y=f （x ）的三条切线，求a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（2）设切点为（x 0，f （x 0）），表示出切线方程，求出a 的表达式，通过求出求出a 的范围即可． 【解答】解：（1）f ′（x ）=3x 2﹣x ﹣2=（3x+2）（x ﹣1）， 故，x ∈（1，+∞），（﹣∞，﹣）时，f （x ）单调递增，单调递减．…（Ⅱ）过（0，a ）可作y=f （x ）的切线， 设切点为（x 0，f （x 0）），则切线的方程为：y ﹣f （x 0）=f ′（x 0）（x ﹣x 0）， 即，又（0，a ）在切线上， 故， 即．…由已知得：y=a 与有三个交点， y'=﹣6x 2+x ，令y'=0，得，…，，故a 的取值范围为．…[选修4-1：几何证明选讲]22．BD 是等腰直角三角形△ABC 腰AC 上的中线，AM ⊥BD 于点M ，延长AM 交BC 于点N ，AF ⊥BC 于点F ，AF 与BD 交于点E ． （1）求证；△ABE ≌△ACN ； （2）求证：∠ADB=∠CDN ．【考点】相似三角形的判定． 【分析】（1）通过证明∠BAE=∠C ，AB=AC ，∠ABD=∠NAC ，即可判定△ABE ≌△ACN ．（2）由AE=NC ，AD=CD ，∠EAD=∠C ，可证明△ADE ≌△CDN ，利用全等三角形的性质即可证明∠ADB=∠CDN ． 【解答】（本题满分为10分） 证明：（1）∠BAE=∠C=45°， AB=AC ，∠ABD=∠NAC （∠ADB 的余角）， ∴△ABE ≌△ACN ．…（2）由（1）可得AE=NC ， AD=CD ，∠EAD=∠C=45°， ∴△ADE ≌△CDN ， ∴∠ADB=∠CDN ．…[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：ρsin 2θ﹣6cos θ=0，直线l 的参数方程为：（t 为参数），l 与C 交于P 1，P 2两点．（1）求曲线C 的直角坐标方程及l 的普通方程； （2）已知P 0（3，0），求||P 0P 1|﹣|P 0P 2||的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）根据极坐标和普通坐标之间的关系进行转化求解．（2）将直线的参数方程代入抛物线方程，利用参数方程的几何意义进行求解． 【解答】解：（ 1）∵ρsin 2θ﹣6cos θ=0， ∴ρ2sin 2θ﹣ρ6cos θ=0， 由得y 2=6x ，即C 的直角坐标方程，直线l 消去参数t 得x=3+（2y ），整理得．（2）将l 的参数方程代入y 2=6x ，得．设P 1，P 2对应参数分别为t 1，t 2，，t 1•t 2=﹣72，所求．[选修4-5：不等式选讲]24．函数f （x ）=|x|﹣2|x+3|．（1）解不等式f （x ）≥2；（2）若存在x ∈R 使不等式f （x ）﹣|3t ﹣2|≥0成立，求参数t 的取值范围． 【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】去掉绝对值符号，化简函数的解析式为分段函数， （ I ）不等式转化为或或，求出解集即可．（Ⅱ）求出f （x ）max =3，转化不等式为f （x ）max ﹣|3t ﹣2|≥0，然后求解参数t 的取值范围． 【解答】解：，…（ I ）或或，∴﹣4≤x ＜﹣3或或ϕ．∴不等式f （x ）≥2的解集为．…（Ⅱ）∵f （x ）max =3∴只需f （x ）max ﹣|3t ﹣2|≥0，即3﹣|3t ﹣2|≥0， 亦即|3t ﹣2|≤3，解之得：，∴参数t 的取值范围．…2016年9月6日。

2022年高考模拟演练 数学参考解答一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。

1. 设向量(3,2)=a ，(,2)m =-b ，若m ⋅=a b ，则+=a bA . (1,0)B . (2,0)C . (4,0)D . (5,0)【解析】由题，34m m =⋅=-a b ，解得2m =，所以(3,2)(2,2)(5,0)+=+-=a b .【命题分析】本题属于简单题，考察向量坐标形式的加法运算和数乘运算.2. 已知集合()(2,)P Q =-+∞R ，(2,1)P Q =-，则Q =A . (2,)-+∞B . (,1)-∞C . (,2]-∞-D . [1,)+∞ 【解析】根据右边的Venn 图：I 区表示()P Q R ；II 区表示P Q ； III 区表示()Q P R ；IV 区表示()P Q R .由题，集合()P Q R 对应于I 区，II 区，IV 区的并集，所以III 区对应(,2]-∞-，从而Q 对应II 区，III 区的并集，故(,1)Q =-∞.【命题分析】本题属于简单题，考察集合的交、并、补运算. 在确保试题难度合理的同时适当创新，引导考生通过Venn 图进行直观思考，避免了繁琐的集合运算，通过图解即可得到答案. 需要注意的是，解析中的四个分区可能有空集（这时存在集合间的包含关系），但两两相交一定是空集.3. 若圆22()(1)4x a y -+-=(0)a >与单位圆恰有三条公切线，则实数a 的值为AB . 2 C. D.【解析】由题，两圆恰有三条公切线，说明两圆为外切关系（两条外公切线，一条内公21=+，结合0a >解得a =.【命题分析】本题属于简单题，考察圆与圆的位置关系与公切线问题. 近年高考题中大多考察圆与直线的位置关系，但圆与圆的位置关系也是很重要的知识点，不可忽略. III III4. 以下结论中错误的是A . 经过不共面的四点的球有且仅有一个B . 平行六面体的每个面都是平行四边形C . 正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直D . 棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直【解析】D 选项错误，棱台的侧棱只要求汇于一点，并不要求与底面不垂直.【命题分析】本题属于简单题，考察几何体的概念与基本性质、立体几何中的基本定理等. 棱锥、棱柱、棱台、圆锥、圆柱、圆台、球是立体几何的基本几何体，其中的概念需要熟练掌握；特别地，直棱柱、正棱柱、平行六面体等更为精细的概念，更需要回归课本，加以区分.5. 数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明. 四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数222222221231112220=+++=+++. 设222225a b c d =+++，其中a ，b ，c ，d 均为自然数，则满足条件的有序数组(,,,)a b c d 的个数是A . 28B . 24C . 20D . 16【解析】显然a ，b ，c ，d 均为不超过5的自然数，下面进行讨论.最大数为5的情况：①2222255000=+++，此时共有14A 4=种情况；最大数为4的情况：②2222254300=+++，此时共有24A 12=种情况；③2222254221=+++，此时共有24A 12=种情况.当最大数为3时，222222223322253321+++>>+++，故没有满足题意的情况. 由分类加法计数原理，满足条件的有序数组(,,,)a b c d 的个数是4121228++=.【命题分析】本题属于中档偏易题，以四平方和定理为命题背景，考察分类讨论和计数原理. 数论被高斯誉为“数学中的皇冠”，其中的颇多问题吸引着无数的数学家和数学爱好者研究，例如其中最负盛名的Goldbach 猜想、孪生素数猜想、Fermat 大定理、Riemann 猜想等问题，仍然是当今数学界耀眼的明珠. 2018年全国II 卷就曾以Goldbach 猜想为 背景，考察古典概型，而本题可谓是对该题的致敬.6. “熵”是用来形容系统混乱程度的统计量，其计算公式为1ln nB i i i S k p p ==-∑，其中i表示所有可能的微观态，i p 表示微观态i 出现的概率，B k 为大于0的常数. 则在以 下四个系统中，混乱程度最高的是A . 1212p p == B . 113p =，223p = C . 12313p p p === D . 116p =，213p =，312p = 【解析】对选项逐一验证（不考虑负号和玻尔兹曼常数）.A . 系统的混乱程度1111ln ln ln 22222A S +=-； B . 系统的混乱程度11222ln ln ln 2ln3ln 333333BS +=-=-； C . 系统的混乱程度11111ln ln ln 3ln 333333CS++=-； D . 系统的混乱程度11111111ln ln ln ln 2ln 366332232D S ++=--=- 其中C S 最小，从而C 选项对应的系统混乱程度最高.【命题分析】本题属于中档题，以“熵”为命题背景，考察信息提取能力（重点）和对数大小的比较（次重点）. “熵”是统计物理学和信息学常用的概念，高考曾多次或直接或间接地进行考察，例如2005年全国I 卷22题，2020年新高考卷12题. 本题要求 相对而言较低，考生只需读懂公式，针对具体的情况进行计算即可. 选项的设置类似于 2020年全国III 卷3题，给出四种情形下的概率分布，但本题需要逐一求解，相对耗费 时间更多.7. 已知α，(0,)∈πβ，tan()32π+=α，cos()63π+=β，则cos(2)-=αβ AB C . D . 【解析】根据待求式的结构，可以考虑这样的构造：22()()362πππ-=+-+-αβαβ. 根据诱导公式，cos(2)cos[2()()]sin[2()()]36236πππππ-=+-+-=+-+αβαβαβ. 22tan()3sin[2()]33tan ()13π+π+==π++ααα，22tan ()113cos[2()]33tan ()13π+-π+==-π++ααα；cos()6π+=β，()(0,)62ππ+∈β，所以sin()6π+=β，故cos(2)-=αβ. 【命题分析】本题属于中档题，考察诱导公式和三角恒等变换.8. 下图为正三棱柱ABC DEF -的一个展开图，若A ，1A ，2A ，D ，1D ，2D 六点在同一个圆周上，则在原．．正．三棱柱中．．．．，直线AE 和直线BF 所成角的余弦值是A . 58B . 57C .D . 7 【解析】六点共圆的示意图如图所示.设原正三棱柱的底面边长为2a ，高为2b ，圆的半径为r .则有方程组222,3.b r b a r ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得2r b ==..设直线AE 和直线BF 所成角为θ，则cos ||||AE BF AE BF ⋅=⋅θ.由勾股定理，||||(2)4AE BF a a ==+=；()()AE BF AB BE BE EF ⋅=+⋅+2BE AB EF =+⋅222(2)(2)(2)cos 103b a a a π=+⋅=. 故22105cos 816||||AE BF a a AE BF ⋅===⋅θ. 【命题分析】本题属于中档偏难题，涉及的知识点较多，主要考察几何体的展开图、异面直线所成的角等. 题干以“六点共圆”为条件，是创新的体现. 棱柱中异面直线的夹角在高考中考察多次，例如2018年全国II 卷9题、2017年全国II 卷10题等，方法较多，需要熟练掌握.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023~2024学年普通高等学校招生模拟考试数学试卷本试卷共6页，共19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效，4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i 为虚数单位，且复数2024i 6z =，则下列说法中正确的是（ ）.A. 复数z 实数B. 2024i i =C. 复数z 为纯虚数D. 6i z =-2. 已知集合{}31,Z A x x k k ==+∈，则下列表示正确的是（ ）. A. 2A -∈ B. 2023A ∉ C. 231k A +∉D. 35A -∉3. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为积为（ ） A. 100πB. 128πC. 144πD. 192π4. 若a ，b 都是正数，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为（ ） A. 4 B. 8C.D.5. 神舟十五号飞行任务是中国载人航天工程2022年的第六次飞行任务，也是中国空间站建造阶段最后一次为飞行任务，航天员乘组将在轨工作生活6个月.某校为了培养学生们的航天精神，特意举办了关于航天知识的知识竞赛，竞赛一共包含两轮.高三（9）班派出了u 和v 两位同学代表班级参加比赛，每轮竞赛u 和v 两位同学各答1题.已知u 同学每轮答对的概率是45，v 同学每轮答对的概率是34，每轮竞赛中u 和v 两位同学答对与否互不影响，每轮结果亦互不影响，则u 和v 两位同学至少答对3道题的概率为（ ）.A.39200B.129200C.12950D.39506. 椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>左顶点为M ，点,A B 均在E 上，且点,A B 关于点y 轴对称，若直线,MA MB 均存在斜率，且斜率之积为18，记E 的离心率为e ，则2e =（ ）.A.18B.C.78D.147. 若直线π4x =是πsin()4y x ω=-(0)>ω的一条对称轴，且在区间π[0,12上不单调，则ω的最小值为（ ） A. 9B. 7C. 11D. 38. 设函数()f x 在R 上满足()()22f x f x -=+，()()77f x f x -=+，且在区间[]07，上只有()()130f f ==，则方程()0f x =在闭区间[]20232023-，上根的个数为（ ）. A. 806B. 810C. 807D. 811二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 如图，在下列给出的正方体中，点M N ，为顶点，点O 为下底面的中心，点P 为正方体的棱所在的中点，则OP 与MN 不垂直的是（ ）.A. B.C. D.10. 已知直线2:0l mx ny r +-=与圆222:C x y r +=，点(),P m n ，则下列命题中是假命题的是（ ）.的A. 若点P 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离B. 若点P 在圆C 内，则直线l 与圆C 相交C. 若点P 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切D. 若点P 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切11. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a ，b ，m （m >0）为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a ≡b （mod m ）.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为9≡21（mod 6）.若0122222222222222C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅ ，a ≡b （mod 10），则b 的值可以是（ ）. A. 2019B. 2023C. 2029D. 2033三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知向量a 与b相互垂直，且3a = ，2b = ，则()()a b a b +⋅-= _____.13. 已知符号“lim ”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①0sin lim1x xx →=；②10lim(1)e x x x →+=，则依据两个公式，类比求0sin cos limx x xx→=_____；1sin cos 0lim(1sin 2)x x x x →+= ________. 14. 已知函数()2e e e xxxg x x x =--，若方程()g x k =有三个不同实根，则实数k 的取值范围是_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 当今社会面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业､创新的方式实现人生价值.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近5个月的家乡特产收入y （单位：万元）情况，如表所示. 月份 5 6 7 8 9 时间代号t 1 2 3 4 5 家乡特产收入y 32.42.221.8（1）根据5月至9月的数据，求y 与t 之间的线性相关系数（精确到0.001），并判断相关性；（2）求出y 关于t 的回归直线方程（结果中b 保留两位小数），并预测10月收入能否突破1.5万元，请说明理由.的附：相关系数公式：nnt y nt yr ==.（若0.75r >，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）②一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),nnx y ，其回归直线方程y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ni ii ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑ ， a y bx=- .③参考数据：2.91≈.16. 已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，2n na b n-=. （1）证明：数列{}n b 也等差数列；（2）若13a d ==，数列{}n c 是以数列{}n b 的公差为首项，2为公比的等比数列，数列{}n n b c 的前n 项和n T ，证明：1n T ≥.17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．（1）求证：MN ∥平面11BCC B ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值． 条件①：AB MN ⊥； 条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18. 已知1(2,0)F -，2(2,0)F ，点P 满足122PF PF -=，记点P 的轨迹为E .直线l 过点2F 且与轨迹E 交为于P 、Q 两点.（1）无论直线l 绕点2F 怎样转动，在x 轴上总存在定点(,0)M m ，使MP MQ ⊥恒成立，求实数m 值；（2）在（1）的条件下，求MPQ 面积的最小值. 19. 已知当π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2()πxf x =，()sin g x x =，()h x x =. （1）证明：()()()f x g x h x ＜＜；（2）已知()()()0f x g x h x --＜，证明：()π()2πh x g x -（π可近似于3.14）. 参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i 为虚数单位，且复数2024i 6z =，则下列说法中正确的是（ ）.A. 复数z 为实数B. 2024i i =C. 复数z 为纯虚数D. 6i z =-【答案】A 【解析】【分析】借助复数的运算法则计算即可得. 【详解】()()1012101220242i i 11==-=，故6z =，故A 正确，B 、C 、D 错误. 故选：A.2. 已知集合{}31,Z A x x k k ==+∈，则下列表示正确的是（ ）. A. 2A -∈ B. 2023A ∉ C. 231k A +∉ D. 35A -∉【答案】A 【解析】【分析】令31k +分别为选项中不同值，求出k 的值进行判定.的【详解】当1k =-时，2x =-，所以2A -∈，故A 正确；当674k =时，367412023x =⨯+=，所以2023A ∈，故B 错误； 当1k =或0k =时，23131k k +=+，所以231k A +∈，故C 错误； 当12k =-时，123135x =-⨯+=-，所以35A -∈，故D 错误. 故选：A3. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为积为（ ） A. 100π B. 128πC. 144πD. 192π【答案】A 【解析】【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，所以1222r r ==123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d =，2d =121d d -=或121d d +=1=，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==． 故选：A ．4. 若a ，b 都是正数，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为（ ）A. 4B. 8C. D.【答案】A 【解析】【分析】将1ab =代入，利用基本不等式直接求解即可得出结论． 【详解】若a ，b 都是正数，且1ab =∴11888422222b a a b a b a b a b a b +++=++=+=+++≥， 当且仅当4a b +=时等号成立， 故选：A.5. 神舟十五号飞行任务是中国载人航天工程2022年的第六次飞行任务，也是中国空间站建造阶段最后一次飞行任务，航天员乘组将在轨工作生活6个月.某校为了培养学生们的航天精神，特意举办了关于航天知识的知识竞赛，竞赛一共包含两轮.高三（9）班派出了u 和v 两位同学代表班级参加比赛，每轮竞赛u 和v 两位同学各答1题.已知u 同学每轮答对的概率是45，v 同学每轮答对的概率是34，每轮竞赛中u 和v 两位同学答对与否互不影响，每轮结果亦互不影响，则u 和v 两位同学至少答对3道题的概率为（ ）.A.39200B.129200C.12950D.3950【答案】D 【解析】【分析】分别求出答对4道题，答对3道题的概率，再求和事件的概率即可.【详解】若u 和v 两位同学答对4道题，则其概率为224395425⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若u 和v 两位同学答对3道题，则其概率为22143134212255444550⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故u 和v 两位同学至少答对3道题的概率为92139255050+=. 故选：D.6. 椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左顶点为M ，点,A B 均在E 上，且点,A B 关于点y 轴对称，若直线,MA MB 均存在斜率，且斜率之积为18，记E 的离心率为e ，则2e =（ ）.A.18B.C.78D.14【答案】C 【解析】【分析】根据题意得到,,M A B 的坐标，进而利用两点距离公式与点在椭圆上得到关于,a b 的齐次方程，从而得解.【详解】由题可得(),0M a -，设()()0000,,,A x y B x y -. 则20002200018AM BMy y y k k x a a x a x ⋅=⋅==+--， 又222222000022222118x y y a x b a b b a a -+=⇒=⇒=， 则22222287a b c a b b ==-=,.则222227788c b e a b===. 故选：C 7. 若直线π4x =是πsin()4y x ω=-(0)>ω的一条对称轴，且在区间π[0,12上不单调，则ω的最小值为（ ） A. 9 B. 7C. 11D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件求出ω的关系式，再求出函数πsin()4y x ω=-含0的单调区间即可判断作答.【详解】因直线π4x =是πsin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的一条对称轴，则ππππ,Z 442k k ω-=+∈，即43,Z k k ω=+∈，由πππ242x ω-≤-≤，得π3π44x ωω-≤≤，则πsin()4y x ω=-在π3π[,44ωω-上单调递增， 而πsin(4y x ω=-在区间π[0,12上不单调，则3ππ412ω<，解得9ω>， 综上，ω的最小值为11. 故选：C8. 设函数()f x 在R 上满足()()22f x f x -=+，()()77f x f x -=+，且在区间[]07，上只有()()130f f ==，则方程()0f x =在闭区间[]20232023-，上根的个数为（ ）. A. 806 B. 810C. 807D. 811【答案】B 【解析】【分析】先根据条件确定函数周期，然后确定一个周期内的根的个数，进而得到在闭区间[]20232023-，上根的个数.【详解】因为()()22f x f x -=+，所以()()4f x f x -=+， 又()()77f x f x -=+，所以()()14f x f x -=+， 所以()()414f x f x +=+，即()()10f x f x =+， 所以函数()f x 的周期为10，在区间[]07，上只有()()130f f ==， 所以()0f x =在(]4,7上无解， 则()70f x -=在(]0,3上无解， 又()()77f x f x -=+，所以()70f x +=在(]0,3上无解，，即()0f x =在(]7,10上无解， 即一个周期[]0,10内，方程的根只有1,3，闭区间[]20202020-，上含有404个周期，此时有4042808⨯=个根， 在区间(]20202023，内，()()()()202110,202330,f f f f ==== 对于区间[)2023,2020--，根据周期等价于区间[)7,10，该区间上无解，故方程()0f x =在闭区间[]20232023-，上根的个数为810. 故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 如图，在下列给出的正方体中，点M N ，为顶点，点O 为下底面的中心，点P 为正方体的棱所在的中点，则OP 与MN 不垂直的是（ ）.A. B.C. D.【答案】CD 【解析】【分析】建立适当空间直角坐标系，利用空间向量分析判断即可. 【详解】设正方体的棱长为2，对A ：建立如图所示空间直角坐标系，则(2,2,2),(0,2,0),(0,0,1),(1,1,0)M N P O ，可得(2,0,2),(1,1,1)MN OP =--=-- ，则2020MN OP ⋅=+-=，所以MN OP ⊥，即MN OP ⊥，故A 错误；对B ：建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,2),(2,0,0),(2,0,1),(1,1,0)M N P O ，可得(2,0,2),(1,1,1)MN OP =-=- ，则2020MN OP ⋅=+-=，所以MN OP ⊥，即MN OP ⊥，故B 错误；对C ：建立如图所示空间直角坐标系，则(0,2,0),(0,0,2),(2,1,2),(1,1,0)M N P O ，可得(0,2,2),(1,0,2)MN OP =-= ，则0040MN OP ⋅=++≠，所以MN 与OP不垂直，即MN 与OP 不垂直，故C 正确；对D ：建立如图所示空间直角坐标系，则(2,0,2),(0,2,2),(0,2,1),(1,1,0)M N P O ，可得(2,2,0),(1,1,1)MN OP =-=- ，则2200MN OP ⋅=++≠，所以MN 与OP不垂直，即MN 与OP 不垂直，故D 正确.故选：CD.10. 已知直线2:0l mx ny r +-=与圆222:C x y r +=，点(),P m n ，则下列命题中是假命题的是（ ）. A. 若点P 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离 B. 若点P 在圆C 内，则直线l 与圆C 相交 C. 若点P 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切 D. 若点P 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】AB【解析】【分析】根据直线和圆相切、相交、相离的等价条件进行求解即可. 【详解】对于A ，因为点(),P m n 在圆C 外，所以222m n r +>， 则圆心()0,0C 到直线l的距离为d r <，所以直线l 与圆C 相交，故命题A 是假命题；对于B ，因为点(),P m n 在圆C 内，所以222m n r +<， 则圆心()0,0C 到直线l的距离为d r >，所以直线l 与圆C 相离，故命题B 是假命题；对于C ，因为点(),P m n 在圆C 上，所以222m n r +=， 则圆心()0,0C 到直线l的距离为d r =，所以直线l 与圆C 相切，故命题C 是真命题；对于D ，因为点(),P m n 在直线l 上，所以2220m n r +=-，即222m n r +=， 则圆心()0,0C 到直线l的距离为d r =，所以直线l 与圆C 相切，故命题D 是真命题； 故选：AB.11. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a ，b ，m （m >0）为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a ≡b （mod m ）.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为9≡21（mod 6）.若0122222222222222C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅ ，a ≡b （mod 10），则b 的值可以是（ ）. A. 2019 B. 2023 C. 2029 D. 2033【答案】AC 【解析】【分析】先利用二项式定理化简得223a =；再利用二项式定理将()11221139101==-展开可得到a 除以10所得的余数是9，进而可求解.【详解】因为()22012222222222222222C C 2C 2C 2123a =+⋅+⋅++⋅=+=()()112211011110101101019101111111111111139101C 10C 10C 10C 10C 10C 10C 19==-=⨯-⨯++⨯-=⨯-⨯++-+所以a 除以10所得的余数是9. 又因为a ≡b （mod 10） 所以b 除以10所得的余数是9.而2019201109=⨯+，2023202103=⨯+，2029202109=⨯+，2033203103=⨯+ 故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知向量a 与b相互垂直，且3a = ，2b = ，则()()a b a b +⋅-= _____.【答案】5 【解析】【分析】根据向量的数量积运算法则即可求解.【详解】()()2222325a b a b a a b b a b +⋅-=⋅-⋅=-=-= ，故答案为：513. 已知符号“lim ”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①0sin lim1x xx →=；②10lim(1)e x x x →+=，则依据两个公式，类比求0sin cos lim x x x x→=_____；1sin cos 0lim(1sin 2)x x x x →+= ________. 【答案】 ①. 1②. 2e【解析】【分析】根据题意，结合极限的运算法则，准确计算，即可求解.【详解】由极限的定义知：①0sin lim1x xx→=；②10lim(1)e x x x →+=， 因为sin cos sin 22x x x x x =，sin 2t x =，可得sin 2sin 2x tx t =， 则00sin cos sin limlim 1x t x x tx t→→==； 又因为12sin cos sin 2(1sin 2)(1sin 2)x x x x x +=+，令sin 2t x =，可得22sin 2(1sin 2)(1)x t x t +=+， 所以12122sin cos 0lim(1sin 2)lim(1)lim (1e [)]x xt t x t t x t t →→→+=+=+=.故答案为：1；2e .14. 已知函数()2e e e xxxg x x x =--，若方程()g x k =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是_________. 【答案】()20,5e -【解析】【分析】通过求导得出函数的单调性和极值，即可得出有三个实根时实数k 的取值范围. 【详解】由题意，()2e e e xxxg x x x =--中，()()2e2xg x xx '=+-，当()0g x '=时，解得2x =-或1，当()0g x '<即2<<1x -时，()g x 单调递减， 当()0g x '>即<2x -，1x >时，()g x 单调递增，∵()()()2222222e 2e e 5e g -----=----=，()1111e e e e g =--=-，当()()22,1e0xx g x x x -=--，方程()g x k =有三个不同的实根， ∴()02k g <<-即205e k -<<， 故答案为：()20,5e-.【点睛】易错点点点睛：本题考查函数求导，两函数的交点问题，在研究函数的图象时很容易忽略()()22,1e 0x x g x x x -=--这个条件.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 当今社会面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业､创新的方式实现人生价值.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近5个月的家乡特产收入y （单位：万元）情况，如表所示. 月份 5 6 7 8 9 时间代号t 1 2 3 4 5 家乡特产收入y32.42.221.8在（1）根据5月至9月的数据，求y 与t 之间的线性相关系数（精确到0.001），并判断相关性；（2）求出y 关于t 的回归直线方程（结果中b 保留两位小数），并预测10月收入能否突破1.5万元，请说明理由.附：相关系数公式：nnt y nt yr ==.（若0.75r >，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）②一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),nnx y ，其回归直线方程y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ni ii ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑ ， a y bx=- .③参考数据：2.91≈.【答案】（1）0.962r ≈-，y 与t 具有很强的线性相关关系（2） 0.28 3.12y t =-+，10月收入从预测看不能突破1.5万元，理由见解析 【解析】【分析】（1）直接套公式求出y 与t 之间的线性相关系数，即可判断； （2）套公式求出系数b 、a ，即可得到回归方程，并求出10月份的收入.小问1详解】（1）由5月至9月的数据可知1234535t ++++==，3 2.4 2.22 1.82.285y ++++==，51132 2.43 2.2425 1.831.4i i i t y ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，()5214101410i i t t=-=++++=∑，()522222210.720.120.080.280.480.848ii y y =-=++++=∑，所以所求线性相关系数【为550.962t yr ===≈-.因为相关系数的绝对值0.9620.9620.75r =-=>， 所以认为y 与t 具有很强的线性相关关系. 【小问2详解】 由题得522222211234555ii t==++++=∑，51522215 3.1453 2.28 2.80.285553105i ii i i t y t ybt t==--⨯⨯-====--⨯-∑∑ ， 所以 ()2.280.283 3.12a y bt=-=--⨯= ， 所以y 关于t 的回归直线方程为 0.28 3.12y t =-+. 当6t =时， 0.286 3.12 1.44y =-⨯+=，因为144 15<．．，所以10月收入从预测看不能突破1.5万元. 16. 已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，2n na b n-=. （1）证明：数列{}n b 也为等差数列；（2）若13a d ==，数列{}n c 是以数列{}n b 的公差为首项，2为公比的等比数列，数列{}n n b c 的前n 项和n T ，证明：1n T ≥. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）通过计算1n n b b +-为定值可证明等差数列；（2）先求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求n T ，根据n T 的结构即可证明不等式. 【小问1详解】∵2n na b n-=， ∴2n n b a n =-，∴()()1112122n n n n n n b b a n a n a a +++⎡⎤-=-+--=--⎣⎦， 又∵数列{}n a 是公差为d 的等差数列， ∴1n n a a d +-=， ∴12n n b b d +-=-，∴数列{}n b 是以2d -为公差的等差数列； 【小问2详解】 ∵13a d ==，∴112321b a =-=-=，2321d -=-=， ∴数列{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列. ∴1(1)1n b n n =+-⨯=，∴数列{}n c 是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴11122n n n c --=⨯=，∴1·2n n n b c n -=，∴1121112222n n T n ---=⨯+⨯++⨯ ①，∴2n T =()21112122n n n n --⨯+++⨯⨯- ②，∴②-①得，11222n n n T n n -=----⨯+⨯()11222n n n n -=-+++⨯+⨯12212n n n -=-+⋅-122n n n =-+⋅()121n n =-+，∵1n ≥且n 为正整数， ∴10n -≥，20n ＞，∴()1211nn T n =-+≥（当1n =时取等）.17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．（1）求证：MN ∥平面11BCC B ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值． 条件①：AB MN ⊥； 条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，可证平面//MKN 平面11BCC B ，从而可证//MN 平面11BCC B .（2）选①②均可证明1BB ⊥平面ABC ，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值. 【小问1详解】取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，由三棱柱111ABC A B C -可得四边形11ABB A 为平行四边形， 而11,B M MA BK KA ==，则1//MK BB ，而MK ⊄平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，故//MK 平面11BCC B ， 而,CN NA BK KA ==，则//NK BC ，同理可得//NK 平面11BCC B ， 而,,NK MK K NK MK =⊂ 平面MKN ，故平面//MKN 平面11BCC B ，而MN ⊂平面MKN ，故//MN 平面11BCC B ， 【小问2详解】因为侧面11BCC B 为正方形，故1CB BB ⊥，而CB ⊂平面11BCC B ，平面11CBB C ⊥平面11ABB A ， 平面11CBB C ⋂平面111ABB A BB =，故CB ⊥平面11ABB A ， 因为//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ， 因AB ⊂平面11ABB A ，故NK AB ⊥，若选①，则AB MN ⊥，而NK AB ⊥，NK MN N = ， 故AB ⊥平面MNK ，而MK ⊂平面MNK ，故AB MK ⊥，所以1AB BB ⊥，而1CB BB ⊥，CB AB B ⋂=，故1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ，故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===，设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =，则0n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =-，则()2,2,1n =-- ，设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则42sin cos ,233n AB θ===⨯ .若选②，因为//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ，而KM ⊂平面11ABB A ， 故NK KM ⊥，而11,1B M BK NK ===，故1B M NK =， 而12B B MK ==，MB MN =，故1BB M MKN ≅ ， 所以190BB M MKN ∠=∠=︒，故111A B BB ⊥，为而1CB BB ⊥，CB AB B ⋂=，故1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ，故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===，设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =，则00n BN n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =-，则()2,2,1n =-- ， 设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则42sin cos ,233n BA θ===⨯ .18. 已知1(2,0)F -，2(2,0)F ，点P 满足122PF PF -=，记点P 的轨迹为E .直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点.（1）无论直线l 绕点2F 怎样转动，在x 轴上总存在定点(,0)M m ，使MP MQ ⊥恒成立，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，求MPQ 面积的最小值. 【答案】18. 1m =-19. 9 【解析】【分析】（1）由双曲线定义即可得点P 的轨迹方程，设出直线l 方程，联立双曲线方程可得与x 有关韦达定理，借助向量垂直数量积为0可计算出M 点坐标；（2）借助弦长公式与点到直线的距离公式可表示出面积，再借助换元法计算即可得解.【小问1详解】由12122PF PF F F -=<知，点P 的轨迹E 是以1F 、2F 为焦点的双曲线的右支，设轨迹E 的方程为22221(1)x y x a b-=≥，0a >，0b >，2c = ，22a =，23b ∴=，故轨迹E 的方程为221(1)3y x x -=≥，当直线l 的斜率存在时，设直线方程为(2)y k x =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，与双曲线方程联立2213(2)y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，可得()222234430k x k x k --++=， 有()()24222122212230Δ16434304034303k k k k k x x k k x x k ⎧-≠⎪=--+>⎪⎪⎪⎨+=>⎪-⎪+⎪⋅=>⎪-⎩，解得23k >， ()()()12121MP MQ x m x m y y x m ⋅=--+=-.()()()221222x m k x x -+--()()()22221212124k x x k m x x m k =+-++++()()()222222214342433k k k k m m k k k +++=-++--2223(45)3m k m k -+=+- ()()222245313m m k m k --+-=-MP MQ ⊥ ，0MP MQ ∴⋅=， 故得()()22231450mk mm -+--=对任意的23k >恒成立，2210,450,m m m ⎧-=∴⎨--=⎩解得1m =-， ∴当1m =-时，MP MQ ⊥.当直线l 斜率不存在时，可得(2,3)P ，则(2,3)Q -，此时有()()3312121-⋅=-----，即此时结论也成立，综上，当1m =-时，MP MQ ⊥；【小问2详解】由（1）知(1,0)M -，当直线l的斜率存在时，()222613k PQ x k +=-=-，点M 到直线PQ 的距离为d，则d =，1||2MPQS PQ d ∴====令23(0)k t t-=>，则MPQ S = 10t> ，9MPQ S ∴=> ， 当直线l 的斜率不存在时，13692MPQ S =⨯⨯= ， 综上可知，MPQ S 的最小值为9.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式； （5）代入韦达定理求解.19. 已知当π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2()πx f x =，()sin g x x=，()h x x =. 的（1）证明：()()()f x g x h x ＜＜；（2）已知()()()0f x g x h x --＜，证明：()π()2πh x g x -（π可近似于3.14）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）令π()()()sin ,02F x h x g x x x x ⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭，，求导得到函数单调性，得到sin x x >，要证()()f x g x ＜，只需证2sin πx x ＜，构造πsin 2()x G x x =-，π(0)2x ∈，，二次求导得到单调性，得到π()02G x G ⎛⎫= ⎪⎝⎭＞，证明出()(),(0)π2f x g x x ∈＜，，证明出不等式；（2）变形得到0ππ(2)sin x x --<，两边同时除以(2)s πin 0x -<得到：πsin 2πx x -＞，证明出不等式. 【小问1详解】令π()()()sin ,02F x h x g x x x x ⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭，，∴()1cos 0F x x =->'在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上恒成立，∴()F x 在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调递增， ∴()(0)0F x F =＞， ∴sin x x >，∴π()(),(0)2g x h x x ∈＜，， 要证()()f x g x ＜，只需证2sin πxx ＜， ∵π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴只需证2sin πx x ＜， 令πsin 2()x G x x =-，π(02x ∈，，∴2cos sin ()x x xG x x -'=，∴22cos tan cos cos ()(tan )x x x x xG x x x x x-'==-， 令()tan M x x x =-，π(02x ∈，，∴2221cos 1()1cos cos x M x x x-'=-=， 又∵当π(02x ∈，时，20cos 1x ＜＜， ∴当π(0)2x ∈，时，()0M x '＜， ∴()M x 在(0)π2，上单调递减， ∴()(0)0M x M =＜， ∴当π(0)2x ∈，时，()0G x '＜， ∴()G x 在(0π2，上单调递减∴π()02G x G ⎛⎫= ⎪⎝⎭＞，∴2sin πx x＜， ∴()(),(0)π2f x g x x ∈＜，， ∴综上所述，当π(02x ∈，时，()()()f x g x h x ＜＜，证毕.【小问2详解】∵当π(0)2x ∈，时，()()()0f x g x h x --＜，∴2sin 0πxx x --＜， ∴2sin 0πππx x x--＜， ∴0ππ2)i π(s n x x--＜，① 将①式两边同时乘以π得到：0ππ(2)sin x x --<，② ∵20π-＜，但当π(02x ∈，时，sin 0x >，∴(2)s πin 0x -<，将②式两边同时除以(2)s πin 0x -<得到：(2)sin 0(2)n ππsi πx xx-->-，∴0πsin 2πx x ->-， ∴πsin 2πx x -， ∴当π(0)2x ∈，时，()π()2πh x g x -＞，证毕. 【点睛】方法点睛:证明不等式或比较两函数大小，需构造函数，并根据导函数得到函数单调性，结合特殊点函数值得到结论.。

2021-2022年高三高考模拟最后一卷 数学文 含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{1,2,3,4,5},{2,4}UU MN MN ===，则N=( )A ． {1，4，5}B ．{1，3，5}C ．{1，2，3}D ．{2，3，4}2．已知复数z 满足为虚数单位），则复数所对应的点所在象限为 （ ）A ．第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ．第四象限 3．“”是“”的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件4．给出以下四个说法：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距； ②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好；③设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71说明若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ；④对分类变量与，若它们的随机变量的观测值越小，则判断“与有关系”的把握程度越大．其中正确的说法是 ( )A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③5．已知双曲线的左右焦点分别为,在双曲线右支上存在一点满足且,那么双曲线的离心率是 （ ） A ． B ． C ． D ．6．对某小区100户居民的月均用水量进行统计,得到样本的频率分布直方图,则估计此样本的众数、中位数分别为 （ ） A ．,B ．,C ．,D ．,7. 一艘海轮从A 处出发,以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行,30分钟后 到达B 处,在C 处有一座灯塔,海轮在X 处观察灯塔,其方向是东偏南20°,在B 处观察 灯塔,其方向是北偏东65°,则 B ．C 两点间的距离是（ ） A ．海里 B ． 海里 C ．海里 D ．海里8. 如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边长为2；侧视图一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且,则此几何体的体积是（ ）。

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟考数学满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知随机变量()23,X N σ ，且()24P x m<<=，()15P x n<<=，则()25P x <<的值为（）A.2m n + B.2n m - C.12m - D.12n -【答案】A 【解析】【分析】由正态分布曲线的性质即可得解.【详解】()()()()()112523352415222m n P x P x P x P x P x +<<=<≤+<<=<<+<<=.故选：A.2.已知101mx A x mx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，若2A ∈，则m 的取值范围是（）A.1122m -≤< B.1122m -≤≤ C.12m ≤-或12m >D.12m ≤-或12m ≥【答案】A 【解析】【分析】将2x =代入101mx mx +≤-，然后转化为一元二次不等式求解可得.【详解】因为2A ∈，所以21021m m +≤-，等价于()()21210210m m m ⎧+-≤⎨-≠⎩，解得1122m -≤<.故选：A3.若抛物线2y mx =的准线经过双曲线222x y -=的右焦点，则m 的值为（）A.4- B.4C.8- D.8【答案】C 【解析】【分析】根据题意，分别求得双曲线的右焦点以及抛物线的准线方程，代入计算，即可得到结果.【详解】因为双曲线222x y -=的右焦点为()2,0，又抛物线2y mx =的准线方程为4mx =-，则24m -=，即8m =-.故选：C4.已知三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，2AB =，3BC =，4CD =，5BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.29π4 B.19π2C.29πD.38π【答案】C 【解析】【分析】取BD 中点E ，根据已知可得E 为BCD △的外心，过E 作底面的垂线OE ，使12OE AB =，可得O 为三棱锥外接球的球心，计算球的半径，由球的表面积公式可得结果.【详解】在BCD △中，因为3BC =，4CD =，5BD =，所以222BC CD BD +=，所以BC CD ⊥，取BD 中点E ，则E 为BCD △的外心，且外接圆的半径为1522r BD ==，过E 作底面的垂线OE ，使12OE AB =，又AB ⊥平面BCD ，则O 为三棱锥外接球的球心，所以外接球的半径2222529144R OE BE =+=+=，所以三棱锥外接球的表面积为2294π4π29π4R =⨯=，故选：C.5.1024的所有正因数之和为（）A.1023B.1024C.2047D.2048【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列前n 项求和公式计算即可求解.【详解】由题意知，1010242=，则1024的所有正因数之和为11012101(12)2222204712⨯-++++==- .故选：C6.二维码与我们的生活息息相关，我们使用的二维码主要是2121⨯大小的特殊的几何图形，即441个点.根据0和1的二进制编码规则，一共有4412种不同的码，假设我们1万年用掉15310⨯个二维码，那么所有二维码大约可以用（）（参考数据：lg20.301,lg30.477≈≈）A.11710万年 B.12010万年C.12310万年D.12510万年【答案】A 【解析】【分析】利用取对数法进行化简求解即可．【详解】1 万年用掉15310⨯个二维码，∴大约能用441152310⨯万年，设441152310x =⨯，则44144115152lg lg lg2(lg3lg10)441lg2lg3154410.3010.47715117310x ==-+=--≈⨯--≈⨯，即11710x ≈万年．故选：A ．7.在一次数学模考中，从甲､乙两个班各自抽出10个人的成绩，甲班的十个人成绩分别为1210x x x ､､､，乙班的十个人成绩分别为1210,,,y y y .假设这两组数据中位数相同､方差也相同，则把这20个数据合并后（）A.中位数一定不变，方差可能变大B.中位数可能改变，方差可能变大C.中位数一定不变，方差可能变小D .中位数可能改变，方差可能变小【答案】A 【解析】【分析】不妨设12101210,x x x y y y ≤≤≤≤≤≤ ，表达出两组数据的中位数，根据中位数相同得到5566x y y x ≤≤≤或5566y x x y ≤≤≤，则合并后的数据中位数是562x x +或者562y y +，中位数不变，再设第一组数据的方差为2s ，平均数为x ，第二组数据的方差为2s ，平均数为y ，根据公式得到合并后平均数为ω，方差为2s '，2222211(()22s s x y s ωω=+-+-≥'，得到结论.【详解】不妨设12101210,x x x y y y ≤≤≤≤≤≤ ，则1210x x x ､､､的中位数为562x x +，1210y y y ､､的中位数为562y y +，因为565622x x y y ++=，所以5566x y y x ≤≤≤或5566y x x y ≤≤≤，则合并后的数据中位数是562x x +或者562y y +，所以中位数不变.设第一组数据的方差为2s ，平均数为x ，第二组数据的方差为2s ，平均数为y ，合并后总数为20，平均数为ω，方差为2s '，{}22222110()10(1010s s x s y ωω⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦'⎣⎦+222222221111((((.2222s x s y s x y s ωωωω⎡⎤⎡⎤=+-++-=+-+-≥⎣⎦⎣⎦如果均值相同则方差不变，如果均值不同则方差变大.故选：A.8.若曲线1exax y +=有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a 的值为（）A.14B.4C.13D.3【答案】A 【解析】【分析】设切点0001(,)ex ax x +，利用导数的几何意义求得切线方程，将原点坐标代入，整理得20010ax x ++=，结合Δ0=计算即可求解.【详解】设1()e x ax y f x +==，则1()e xax a f x -+-'=，设切点为0001(,)e x ax x +，则0001()e x ax a f x -+-'=，所以切线方程为0000011()e e x x ax ax a y x x +-+--=-，又该切线过原点，所以00000110(0)e e x x ax ax a x +-+--=-，整理得2010ax x ++=①，因为曲线()y f x =只有一条过原点的切线，所以方程①只有一个解，故140a ∆=-=，解得14a =.故选：A【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数的几何意义，切点未知，设切点坐标，由导数的几何意义求出切线方程，确定方程的解与根的判别式之间的关系是解决本题的关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若1b c >>，01a <<，则下列结论正确的是（）A.a a b c <B.log log b c a a >C.a a cb bc <D.log log c b b a c a>【答案】BC 【解析】【分析】由已知可得，由幂函数性质可判断A;由对数函数性质可判断B;由幂函数性质可判断C;由不等式的性质可判断D.【详解】对于A ：∵01a <<，幂函数a y x =在(0,)+∞上单调递增，且1b c >>，∴a a b c >，故选项A 错误；对于B ：∵01a <<，∴函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，又∵1b c >>，∴log log log 10a a a b c <<=，∴110log log b c c a>>，即0log log b c a a >>，故B 正确；对于选项C ：∵01a <<，则10a -<， 幂函数1a y x -=在(0,)+∞上单调递减，且1b c >>，∴11a a b c --<，∴a a cb bc <，故选项C 正确；对于选项D ：由选项B 可知：0log log b c a a >>，∴0log log b c a a <-<-，∵1b c >>，∴(log )(log )b c c a b a -<-，∴log log c b b a c a <，故D 错误.故选：BC.10.已知圆22:1O x y +=，圆22:()(1)4,R C x a y a -+-=∈，则（）A.两圆的圆心距OC 的最小值为1B.若圆O 与圆C 相切，则a =±C.若圆O 与圆C 恰有两条公切线，则a -<<D.若圆O 与圆C 相交，则公共弦长的最大值为2【答案】AD 【解析】【分析】根据两点的距离公式，算出两圆的圆心距1d ≥，从而判断出A 项的正误；根据两圆相切、相交的性质，列式算出a 的取值范围，判断出B,C 两项的正误；当圆O 的圆心在两圆的公共弦上时，公共弦长有最大值，从而判断出D 项的正误．【详解】根据题意，可得圆22:1O x y +=的圆心为(0,0)O ，半径1r =，圆22:()(1)4C x a y -+-=的圆心为(,1)C a ，半径2R =．对于A ，因为两圆的圆心距1d OC ==≥，所以A 项正确；对于B ，两圆内切时，圆心距||1d OC R r ==-=1=，解得0a =．两圆外切时，圆心距||3d OC R r ==+=3=，解得a =±．综上所述，若两圆相切，则0a =或a =±，故B 项不正确；对于C ，若圆O 与圆C 恰有两条公切线，则两圆相交，||(,)d OC R r R r =∈-+，(1,3)，可得13<<，解得a -<<0a ≠，故C 项不正确；对于D ，若圆O 与圆C 相交，则当圆22:1O x y +=的圆心O 在公共弦上时，公共弦长等于22r =，达到最大值，因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D 项正确．故选：AD ．11.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()eeyxf x f y f x y +=+，且()11f =，则（）A.()00f =B.()21ef -=C.()e xf x 为奇函数D.()f x 在()0+∞，上具有单调性【答案】AC 【解析】【分析】根据题意，令0x y ==即可判断A ，令1x =，1y =-，即可判断B ，令y x =-结合函数奇偶性的定义即可判断C ，令y x =即可判断D 【详解】对A ：令0x y ==，则有()()()0000eef f f =+，即()00f =，故A 正确；对B ：1x =，1y =-，则有()()()1111e 11e f f f -+--=，即()()()1e 1e0f f f =-+，由()00f =，()11f =，故()01e ef =-+，即()21e f -=-，故B 错误；对C ：令y x =-，则有()()()eexx f x f f x x x --=+-，即()()()e 0e x x x f f x f -=+-，即()()e exxf x f x --=-，又函数()f x 的定义域为R ，则函数()e x f x 的定义域为R ，故函数()e xf x 为奇函数，故C 正确；对D ：令y x =，则有()()()eexxf x f x f x x +=+，即()()22exf x f x =，即有()()22e x f x f x =，则当ln 2x =时，有()()ln 22ln 221ln 2e f f ==，即()()2ln 2ln 2f f =，故()f x 在()0,∞+上不具有单调性，故D 错误.故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()2cos isin 1iz θθθ+=∈+R 的实部为0，则tan2θ=______．【答案】43【解析】【分析】利用复数()2cos isin 1iz θθθ+=∈+R 的实部为0，求出tan 2θ=-，再利用二倍角公式得出结论．【详解】 复数()()()()()()2cos isin 1i 2cos sin sin 2cos i2cos isin 1i 1i 1i 2z θθθθθθθθθ+-++-+===∈++-R 的实部为0，2cos sin 0,tan 2θθθ∴+=∴=-．22tan 44tan21tan 143θθθ-∴===--．故答案为：43．13.已知空间中有三点()0,0,0O，()1,1,1A -，()1,1,0B ，则点O 到直线AB 的距离为______.【答案】305【解析】【分析】求出,OA AB 的坐标，求出cos ,OA AB，根据点O 到直线AB 的距离为sin ,OA OA AB 即可求解.【详解】因为()0,0,0O ，()1,1,1A -，()1,1,0B ，所以()()1,1,1,0,2,1OA AB =-=-,所以OA AB == ，()()1012113OA AB ⋅=⨯+-⨯+⨯-=-.所以cos ,OA ABOA AB OA AB⋅==-所以10sin ,5OA AB === .所以点O 到直线AB的距离为sin ,55OA OA AB ==.故答案为：305.14.设函数2()f x x ax b =++，对于任意的实数a ，b ，总存在0[0,4]x ∈，使得()f x t ≥成立，则实数t 的取值范围是________.【答案】2t ≤【解析】【分析】分情况讨论a 不同取值时函数2()u x x ax b =++在[0，4]上的范围，从而确定()f x 的最大值，将对任意实数a ，b ，总存在实数0[0x ∈，4]使得不等式0()f x t 成立，转化为min ][()max t f x ≤恒成立，即可解决．【详解】因为存在0[0,4]x ∈，使得()f x t ≥成立，所以max ()t f x ≤，因为对于任意的实数a ，b ，max ()t f x ≤,所以min ][()max t f x ≤恒成立，设()f x 的最大值为M （b ），令2()u x x ax b =++，二次函数的对称轴为2a x =-，当<02a-，即a>0时，()u x 单调递增，此时()16+4+b u x a b ，当28b a ≥--时，M （b ）16+4+a b =，当28b a <--时，M （b ）b =-，从而当0a >时，28b a =--时M （b ）取最小值，M （b ）2+8>8min a =，当40a -<£时，()u x 在[0，)2a -上单调递减，在[2a-，4]上单调递减，2()1644a b u x a b -+≤≤++，所以当21288b a a =--时，2min 1()2888M b a a =-++≥.当84a -≤≤-时，()u x 在[0，2a -上单调递减，在[2a-，4]上单调递减，2()4a b u x b -+≤≤，所以当218b a =时，2min 1()28M b a =≥.当a ＜-8时，()u x 单调递减，16+4a+()b u x b ≤≤，当28b a ≤--时，M （b ）164a b =---，当28b a >--时，M （b ）b =，从而当a ＜-8时，28b a =--时M （b ）取最小值，M （b ）28>8min a =--.综合得min ()2M b =.所以2t ≤.故答案为：2t ≤【点睛】本题主要考查函数的图象和性质的应用，考查函数的单调性和最值，考查恒成立和存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于难题．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.用1，2，3，4，5这五个数组成无重复数字的五位数，则（1）在两个偶数相邻的条件下，求三个奇数也相邻的概率；（2）对于这个五位数，记夹在两个偶数之间的奇数个数为X ，求X 的分布列与期望.【答案】（1）12（2）分布列见解析，()1E X =【解析】【分析】（1）设A =“数字2，4相邻”，设B =“数字1，3，5相邻”，利用排列数公式求出()n A ，()n AB ，最后根据古典概型的概率公式计算可得；（2）依题意X 的所有可能取值为0，1，2，3，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.【小问1详解】设A =“数字2，4相邻”，设B =“数字1，3，5相邻”，则数字2，4相邻时的五位数有2424A A 48=个，数字2，4相邻，数字1，3，5也相邻的五位数的个数为232232A A A 24=，则()()()241482n AB P B A n A ===；【小问2详解】依题意X 的所有可能取值为0，1，2，3，由题意知“X 0=”表示2个偶数相邻，则()242455A A 20A 5P X ===，“1X =”表示2个偶数中间共插入了1个奇数，则()21323355A C A 31A 10P X ===，“2X =”表示2个偶数中间共插入了2个奇数，则()22223255A A A 12A 5P X ===；“3X =”表示2个偶数中间共插入了3个奇数，则()232355A A 13A 10P X ===，所以X 的分布列为X0123P2531015110则X 的期望为()231101231510510E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.16.已知在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，11AA =.（1）已知E ，F 分别为棱1AA ，BC 的中点，求证：//EF 平面11A B C ；（2）求直线1A B 与平面11A B C 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1510【解析】【分析】（1）G 为1B C 中点，通过证明1//EF A G ，证明//EF 平面11A B C ；（2）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，向量法求线面角的正弦值.【小问1详解】取1B C 中点G ，连接1A G ，FG .G ，F 分别为1B C ，BC 中点，1//GF BB ∴且112GF BB =，又E 为1AA 中点，11//A E BB ∴且1112A E BB =，1//GF A E ∴且1GF A E =，故四边形1A EFG 是平行四边形，1//EF A G ∴.而EF ⊄平面11A B C ，1A G ⊂面11A B C ，//EF ∴平面11A B C .【小问2详解】如图以A 为坐标原点，AC ，1AA 分别为y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()10,0,1A ，)3,1,0B，)13,1,1B ，()0,2,0C ，则())1110,2,1,3,1,0A C AB =-= .设平面11A B C 的法向量为(),,n x y z = ，则1112030A C n y z A B n x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，得3y =，3z =-，(1,3,3n ∴=-.又)13,1,1A B =- ，1332315cos ,1054A B n ∴=⨯.即直线1A B 与平面11A B C 所成角的正弦值是1510.17.三角学于十七世纪传入中国，此后徐光启、薛风祚等数学家对此深入研究，对三角学的现代化发展作出了巨大贡献，三倍角公式就是三角学中的重要公式之一，类似二倍角的展开，三倍角可以通过拆写成二倍角和一倍角的和，再把二倍角拆写成两个一倍角的和来化简.（1）证明：3sin 33sin 4sin x x x =-；（2）若11sin101n n ⎛⎫︒∈⎪+⎝⎭，，*n ∈N ，求n 的值.【答案】（1）证明见解析（2）5n =【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式及倍角公式证明即可；（2）将sin10︒转为方程314302x x -+=的一个实根，通过函数的单调性及零点存在性定理即可求解.【小问1详解】因为()sin 3sin 2sin 2cos cos 2sin x x x x x x x=+=+()22sin cos cos 12sin sin x x x x x=⋅+-()2332sin 1sin sin 2sin 3sin 4sin x x x x x x =-+-=-；【小问2详解】由（1）可知，31sin 303sin104sin 102︒︒︒=-=，即sin10︒是方程314302x x -+=的一个实根.令()31432f x x x =-+，()()()212332121f x x x x '=-=+-，显然10sin10sin 302︒︒<<=，当102x <<时，()0f x <′，所以()31432f x x x =-+在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又3114066f ⎛⎫⎛⎫=⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31111174305552250f ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11sin10,65︒⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即5n =.18.已知圆22:(1)16A x y ++=和点()1,0B ，点P 是圆上任意一点，线段PB 的垂直平分线与线段PA 相交于点Q ，记点Q 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）点D 在直线4x =上运动，过点D 的动直线l 与曲线C 相交于点,M N .（ⅰ）若线段MN 上一点E ，满足ME MD ENDN=，求证：当D 的坐标为()4,1时，点E 在定直线上；（ⅱ）过点M 作x 轴的垂线，垂足为G ，设直线,GN GD 的斜率分别为12,k k ，当直线l 过点()1,0时，是否存在实数λ，使得12k k λ=若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）12λ=【解析】【分析】（1）根据中垂线的性质可得42QA QB AB +=>=，由椭圆的定义可知动点Q 的轨迹是以,A B 为焦点，长轴长为4的椭圆，从而求出轨迹方程；（2）（ⅰ）设直线l 的方程为y kx m =+，设112200(,),(,),(,)M x y N x y E x y ，与椭圆联立韦达定理，把线段长度比转化为坐标比，代入韦达定理化简即可得点E 在定直线330x y +-=上；（ⅱ）利用坐标表示两个斜率，然后作商，将韦达定理代入即可判断.【小问1详解】由题意知圆心(1,0)A -，半径为4，且QP QB =，2AB =，则42QA QB QA QP PA AB +=+==>=，所以点Q 的轨迹为以,A B 为焦点的椭圆，设曲线的方程为()222210x y a b a b+=>>，则24,22a c ==，解得2,1a c ==，所以2223b a c =-=，所以曲线C 的方程为22143x y +=；【小问2详解】（ⅰ）因为直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为y kx m =+，因为D ()4,1在l 上，所以41k m +=，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222348430k x kmx m +++-=，()()()()22222Δ81634348430km k m k m =-+-=-+>，设112200(,),(,),(,)M x y N x y E x y ，则()21212224383434m km x x x x k k--+==++，，由ME MD EN DN =得10102244x x x x x x --=--，化简得()()1212120428x x x x x x x ⎡⎤+-=-+⎣⎦，则()202224388428343434m km km x k k k --⎛⎫⎛⎫⨯-⨯=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，化简得00330kx m x ++-=，又因为00y kx m =+，所以00330x y +-=，所以点E 在定直线330x y +-=上.（ⅱ）因为直线y kx m =+过()1,0，所以0k m +=，直线方程为y kx k =-，从而得()4,3D k ，1(,0)G x ，由（ⅰ）知，()221212224383434k k x x x x k k-+==++，2122113,4y k k k x x x ==--，所以()()()()12121212122121214444333x kx k k y x x x x x k x x k x x k x x -----+=⨯==---()()()22222222222222224384434413434282344334k k x x k x k k k k k x k x x k ---+-+-++===⎡⎤⎡⎤⎛⎫+-⎣⎦--⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦，所以存在实数12λ=，使得1212k k =.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.19.对于数列{}n a ，数列{}1n n a a +-称为数列{}n a 的差数列或一阶差数列.{}n a 差数列的差数列，称为{}n a 的二阶差数列.一般地，{}n a 的k 阶差数列的差数列，称为{}n a 的1k +阶差数列.如果{}n a 的k 阶差数列为常数列，而1k -阶差数列不是常数列，那么{}n a 就称为k 阶等差数列.（1）已知20，24，26，25，20是一个k 阶等差数列{}n a 的前5项.求k 的值及6a ；（2）证明：二阶等差数列{}n b 的通项公式为()()()()()121321111222n b b n b b n n b b b =+--+---+；（3）证明：若数列{}n c 是k 阶等差数列，则{}n c 的通项公式是n 的k 次多项式，即0kin ii c nλ==∑（其中iλ（01i k = ，，，）为常实数）【答案】（1）3k =，610a =（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据定义直接进行求解，得到3k =，并根据二阶差数列的第4项为5-，求出一阶差数列的第5项为10-，得到方程，求出610a =；（2）令1n n n d b b +=-，根据二阶等差数列的定义得到112213212n n n n d d d d d d b b b ----=-==-=-+ ，再利用累加法求出()()()()()321211112212n b n n b b b n b b b =---++--+；（3）数学归纳法证明出()1,nmi S m n i==∑为n 的1m +次多项式，利用引理可证出结论.【小问1详解】{}n a 的一阶差数列为4，2，1-，5-；二阶差数列为2-，3-，4-；三阶差数列为1-，1-，1-为常数列，故{}n a 为三阶等差数列，即3k =，二阶差数列的第4项为5-，故一阶差数列的第5项为10-，即6510a a -=-，故610a =.【小问2详解】令1n n n d b b +=-，因为{}n b 是二阶等差数列，所以112213212n n n n d d d d d d b b b ----=-==-=-+ ，因此()()()()()()1122113212112n n n n n d d d d d d d d n b b b b b ---=-++++-+=--++- ，所以()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-++++-+ 1211n n d d d b --=++++ ()()()()()()321211231021n n b b b n b b b =-+-+++-++--+ ()()()()()321211112212n n b b b n b b b =---++--+，命题得证.【小问3详解】证明：先证一个引理：记()1,nmi S m n i==∑，(),S m n 是n 的1m +次多项式，数学归纳法：当1m =时，()()11,12312S n n n n =++++=+ 是n 的2次多项式，假设(),S k n 是n 的1k +次多项式，对0,1,,1k m =- 都成立，由二项式定理，()11101C mm m k k m k n nn +++=+-=∑，规定001=，将n 取0，1，2，…，n ，得101-=，()110111C 1mm k km k ++=+-=∑，()111212C2mm m kkm k +++=+-=∑，……，()11101C mm m k km k n nn +++=+-=∑，求和可得()()111110011C1C2CC ,mmmmm k kk kk k k m m m m k k k k n n S k n +++++====+=++++=∑∑∑∑ ，则()()()()()111101C ,1C ,,m m k m m k mn n S k S m n n m S m -+++=+-=+=∑，故()()()11101C ,,1m m k m k n S k n S m n m -++=+-=+∑是n 的1m +次多项式，引理得证.回到本题，由（2）可知，2阶等差数列的通项是n 的2次多项式，假设k 阶等差数列{}n c 的通项公式是n 的k 次多项式，对于1k +阶等差数列，它的差数列{}n c '是k 阶等差数列，即0kin i i c n λ='=∑，故1111101n k nn i iii i jc c c c jλ--===⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭∑∑∑，由引理可知，此为n的k次多项式，命题得证.【点睛】数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.。

河南省部分2024届高三年级下册高考模拟考试数学试题及答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x≤a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（）A. a≥3B. a≤1C. a≥1D. a≤32. 已知函数f(x)=2x^3-3x^2-x+1，求f(x)的单调增区间是（）A. (-∞，0)和(1，+∞)B. (-∞，1)和(0，+∞)C. (-∞，0)和(0，1)D. (-∞，1)和(1，+∞)3. 设函数g(x)=x^2-2x+3，若g(x)在区间(2，3)内单调递增，则实数x的取值范围是（）A. (2，3)B. (-∞，3)C. (-∞，2]D. [2，3]4. 已知函数h(x)=x^3-3x，求h(x)的极值点坐标是（）A. (1，-2)B. (-1，2)C. (0，0)D. (1，2)5. 若函数y=f(x)的图象上任意一点P(x，y)的切线斜率等于2x+3，则f(x)的表达式是（）A. f(x)=x^2+3x+cB. f(x)=x^2+3x+cC. f(x)=x^2+3x+cD. f(x)=x^2+3x+c6. 若三角形ABC的三个内角A、B、C满足cosA+cosB+cosC=0，则三角形ABC一定是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定7. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=12，a4=5，则数列{an}的通项公式是（）A. an=2n+1B. an=2n-1C. an=3n-2D. an=3n+18. 若矩阵A=（），则矩阵A的逆矩阵A^{-1}等于（）\[\begin{bmatrix}2 &3 \\4 & 5\end{bmatrix}\]A. \[\begin{bmatrix} 5 & -3 \\-4 & 2\end{bmatrix} \]B. \[\begin{bmatrix} 2 & -3 \\-4 & 5\end{bmatrix} \]C. \[\begin{bmatrix} 5 & 3 \\4 & 2\end{bmatrix} \]\begin{bmatrix}2 &3 \\4 & 5\end{bmatrix}\]二、填空题（每题5分，共30分）9. 已知函数f(x)=x^3-3x^2-x+1，求f(x)的极值。

高考数学最后冲刺模拟训练试卷及参考答案1．设x 为直线的倾斜角，且cosx=a ，－1＜a ＜o,则x 的值为（ ）A ．a arccos -πB ．arccos a C. －arccos a D. a arccos +π 联想：（1）直线y=1sin 33-⋅x α的倾斜角的变化范围是 。

（2）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是（ ） A ．arccos215- B ．arcsin 215- C ．arccos 251- D ．arcsin 251- (3) 已知直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧--=+=160cos 320sin 5t y t x （t 为参数），则l 倾斜角为（ ）A ．20°B ．160°C ．70°D ．110° 2．若311-+a ＜312-，则a 的取值范围是（ ）A ．（－3，1）B ．（－3,-∞）∪ (1,+∞)C ．(3,-∞-)D ．(+∞-,3) 联想:(1)设f(x)=2x, g(x)=4x, 且g[g(x)]＞g[f(x)]＞f[g(x)],则x 的取值范围是（ ） A ．（1+∞） B ．（－∞，1） C ．（0，1） D ．（－∞，0） （2） 不等式x x x x a a log log +<+的解集为( )(其中a ＞0且a ≠1) （3）设a ＞0， a ≠1，解关于x 的不等式)1(log )3(log 2x x xxa a --++＜0 3．若函数y=bx x +-334有三个单调区间,则b 的取值范围是( ) A.b ＞0 B.b ≥0 C.b ＜0 D.b ≤0联想：（1）曲线y=2x 4上的点到直线y=－x －1的距离的最小值为（ ） A ．2 B ．22 C ． 32 D ．1625 （2）函数y=6[,63-∈-x x x 当,6]时，y 的最大值为（ ）A ．42B ．32C ．26D ．6 （3）已知函数f(x)=x 4－4x 3+10x 2－27,则方程f(x)=0在[2，10]上的根为（ ）A ．有3个B ．有2个C ．有且只有一个D ．不存在 （4）设函数f(x)=x 3－52212+-x x ,若对任意x ∈[－1,2], 都有f (x)＜m ，则实数m 的取值范围为 。