第7章4 动静法2

， ，
aA
O r A a
把此式投影到a的方向上 则有 a 所以
τ aB aDB
而
τ aDB a Br
t aDB
aB
aB a A aB r
n aDB r D B a aB
3.受力分析：作系统的受力图如图所示。其中， GA=GB=mg， FIB=maB， 1 2 1
M IA mr a A 2
2
34.1rad/s2
例7-26 如图所示，均质圆柱体A和B的质量均为m，半径 均为r，一绳缠在绕固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一 端绕在圆柱B上，直线绳段铅垂，摩擦不计。求：（1） 圆柱体B下落时质心的加速度；（2）若在圆柱体A上作 用一逆时针转向，矩为M力偶，试问在什么条件下圆柱 体B的质心加速度向上。 解： 1.研究对象：这是由两个物体组 成的系统，先以系统为研究对象， 若方程不够再补充选择其中的一 个物体为研究对象。
l
M IA F G1 A Fx Fy aC
C FIA
M A 0,
即
r M IA F G1 l sinq 0 cosq
r 2 m1 r1 a A F m1 g l sin q 0 cos q
轮O：因不必计算约束力，故只选取一个对瞬心的力 矩方程
M P 0,
所以，又可得到
a A aO cos 2 q
3.受力分析：对杆AB与轮O分别作受力图如图所示， 皆为平面力系。杆AB的惯性力系向转轴A简化，主矢 FIA=m1aC，主矩MIA=JAaA。轮O的惯性力系向质心简化， 主矢FIO=m2aO，主矩MIO=JOaO；轮与地面的摩擦力FS 的方向向左。
B
4.建立方程： 杆AB：因不必计算约束力，故只 选取一个对转轴的力矩方程
al
2
A
可以求得：
τ aCy aCB
a
FIx
t aCB
aCy C FIy aCx
1 cosq al cosq 2
2aCy l cos q
G
q
B aB FN
x
或
a
MI y A 3.受力分析： aCy 作受力图如图所示，为平面 a C aCx 力系。重力G=mg。 FIx t 惯性力系向质心C简化，主矢 aCB FIy B aB G q FIx=maCx，FIy=maCy； x 主矩MI= JCa。 FN 4.建立方程：
y O FI C G aP P FN FS aC F MI
F a 40.0rad/s 2 25 83 mr ( ) 64 320
a
x
Fx 0,
FS FI 0
5 FS FI mar 8
Fy 0,
FN F G 0
FN F G
半球不滑动的条件是：
解得
aCy
g 1 1 3 cos 2 q
Fy 0,
FN FIy mg 0
mg FN m( g aCy ) 1 3 cos 2 q
因此，剪断绳索后的瞬 时杆对水平面的压力为
A MI y aCy FIx C FIy aCx
a
t aCB
mg 1 3 cos 2 q
e Fy maCy e Fz 0 e 2 M x J xza J yzw e 2 M y J yza J xzw e M z J za
e F x maCx
这是平面运动刚体的动力方程，它综合反映了平面 运动刚体的运动、主动力及约束力的关系。
FIB D B GB r MIB
由 及
1 2 M mr (a A a B ) maB 2r mg 2r 0 2
aB a A aB r
解得
2(2mgr M ) aB 5mr
（1）令M=0，得：圆柱体B下落时的加速度为
4 aB g 5
（2）令aB<0，得：圆柱体B的质心加速度向上的条件 为
τ aC aCP
5 a CP ar 8
3.受力分析：作受力图如图所示，为平面力系。P点有向 左滑动趋势，摩擦力FS向右。半球平面运动，惯性力系 向质心C简化，主矢FI=maC，主矩MI=JCa。重力G=mg。 4.建立方程：
M P 0,
解得：
FI CP M I F r 0
此式简化了主动力与约束力，突出了平面运动刚体的运 动量计算，也称为刚体平面运动的微分方程。
例7-23 如图所示，质量m=20kg，半径r=25cm的均质半 球静止地放在水平面上，球心为O，质心为C且有
3 OC r 8
83 JC mr 2 320
现在其边缘上作用一个力F=130N，如果在力F作用的瞬 时，半球不发生滑动，接触处的摩擦因数至少应该多大？ 并求此时的角加速度。
FS fFN ，所以得到
5 mar FS f 8 0.38 FN F mg
因此，半球不发生滑动，接触处的摩擦因数至少应该为 0.38。
例7-24 如图所示，均质杆AB质量为m，长为l，其A端用 绳索悬挂起来，另一端B搁置在光滑水平面上。已知杆 与水平面的夹角为q。试求剪断绳索后的瞬时杆对水平 面的压力。
7.2.5 平面运动刚体的动力方程 1. 一般平面运动刚体的动力方程
如图所示，刚体平面运动时，取质心C为基点，
建立原点在质心C的直角坐标系，使Cxy面平行于运动
平面；则平面运动可分解为随质心C的平移和绕过质
心C的z轴的转动。设刚体的角速度与角加速度分别是
w与a，质心的加速度为aC。
它的惯性力系向质心C简化，得到
Fx 0,
M B 0,
FIx 0
l l l FIx sinq FIy cosq mg cosq M I 0 2 2 2
2aCy l l 1 2 即 maCy cos q mg cos q ml ( )0 2 2 12 l cos q
B ar O
aO
aO
t ae
aA
A P
aO aOr
以轮轴O为动点，动系固连在杆AB上，牵连运动是定 轴转动。分析O点的加速度。因为此瞬时尚在静止状态， 所以 n
ae aC 0
? τ ae a r
B
由
?
aO
ar O
aO
aO
t ae
投影到
τ ae
方向上解得
aA
A P
a Ar aO 2 cos q
O r A
B
r
2.运动分析：圆柱A定轴转动，圆柱B平面运动。设A 的角加速度为aA，B的角加速度为aB，B的质心的加速 度为aB。圆柱A的圆周上点的切向加速度 a a r
A
设绳与圆柱B的切点是D，则绳上D 点的加速度为a。 以B为基点，圆柱B上D点的加速度
τ n aD aB aDB aDB
x
q
2.运动分析：设A的加速度为a， AB的角速度为w，角加速度为a。 则AB杆的质心C的加速度为
n aC a A aCA τ aCA
n 2l aCA w 2l q
A
n a CA
a
t a CA a
C
w a
B
其中，
aA a x
τ aCA al q l
M 2m gr
例7-27 如图所示，在光滑水平面上滑动的质量为m1的滑 块用刚度为k的弹簧连结在基础上。滑块上安装一个长 度为2l，质量为m2的均质摆杆，摩擦忽略不计。试推导 系统的运动微分方程。 y 解： 1.研究对象：先取系统为研究对 象，系统由两个物体组成。滑块A 在水平面平移，建立直角坐标系 描述其运动，x轴为水平方向，坐 标系原点取在弹簧自由长度时滑 块的位置；摆杆AB平面运动，以A 为基点，与铅垂方向的夹角为q。
M IB mr 2a B 2
4.建立方程：为了避免出现不需计算的约束力，选择 方程
FOy
M O 0, M M IA M IB FIB 2r m g 2r 0
M IA
M r O A GA
FOx
即为
1 2 M mr (a A a B ) maB 2r mg 2r 0 2
1. 求解运动
求解运动类的问题包括求加速度，建立运动微分 方程等，此类问题的未知量是与加速度相关的惯性力。 在不需求约束力的场合，应该恰当地选择研究对象， 对每个研究对象尽量选取不含约束力的方程，以减少
未知量的数目，提高解决问题的效率。
例7-25 如图所示，绕A点转动的AB杆上有一导槽，套 在于水平面上作纯滚动的轮子的轴上。已知AB杆的质 量为m1=24kg，质心离A点l=8cm，对于A轴的回转半径 为r1=10cm；轮子的质量为m2=16kg，半径为r=6cm， 对于轮心的回转半径为r2=3cm；除轮子与地面间有足 够大的摩擦力外，其它摩擦阻力皆不计。求在图示位 置无初速地开始运动时轮子的角加速度。
2 2 O
M IO FIO r F cos q r 0
即
m2 r a m2aO r F cosq r 0
MIO F’ FIO O G2 P FN FS r
由以上各式的计算，得到
m1 gl sin q cos q aO 2 m1 r12 cos4 q m2 ( r 2 r2)
A C G
q
B
解： 1.研究对象：杆AB。
2.运动分析：剪断绳索后，杆在铅垂面作平面运动。设 质心C的加速度为aC，用两个正交分量表示；杆的角加 速度为a。B端的加速度沿水平面。若以B为基点，则有
τ aCx aCy aB aCB n aCB