最新整理初二数学教案运用公式法
2.3运用公式法(第2课时)
(一)本课目标
本课时学习运用完全平方公式分解因式的方法,让学生了解公式特点,掌握运用技巧,熟练地运用公式.
(二)教学流程
1.情境导入
一块长为a米的正方形实验田,因需要将其边长增加b米,形成四块实验田(如图2-3-4所示),以种值不同的新品种.
(多媒体显示题目并动画演示图形变化过程)
互动1
(师):你能用不同的形式表示实验田的总面积吗?
(生):可以表示为(a+b)2.
(生):若将此田分成四块看:还可以表示为:a2+ab+ba+b2,即a2+2ab+b2.
(师):很好,于是我们可以得到一个等式:(a+b)2=a2+2ab+b2.
(生):还可以表示为a2+2ab+b2=(a+b)2.
(师):这位同学说得很好,接下来我们看一看这两个等式:
(a+b)2=a2+2ab+b2①
a2+2ab+b2=(a+b)2②
第一个式子是七年级学过的公式,大家还记得吗?
(生):是整式乘法中的完全平方公式的一种.
(师):观察这两个式子有何联系?
(生):它们是互逆的关系.
(师):大家观察②的形式,你知道它是一种怎样的变形过程?
(生):因式分解.
(师):与此类似a2-2ab+b2=(a-b)2也成立.
(师):因此我们把a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2看作是因式分解的完全平方公式.
(师):由分解因式与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.
明确在实际情境下,通过计算面积得出因式分解的完全平方公式,并通过整式乘法的完全平方公式的比较,加深对因式分解的完全平方公式的认识.了解运用公式法的意义.
2.解读探究
a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2
互动2
(师):大家观察上式有怎样的结构特点?
(生):所给多项式有三项,其中有两项的符号相同,并且这两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.
(师):在以上公式中涉及几个数或式子?
(生):在公式中涉及两个数或式子.
(师):公式中的a、b分别代表什么?
(生):与平方差公式一样,a、b可代表数,也可以代表代数式,这里既可为多项式,也可为单项式.
(师):你能用自己语言表述上面的公式吗?
(生):两个数(式)的平方和加上(减去)这两个数(式)积的2倍,等于这两个
数(式)的和(差)的平方.
(师):凡是符合完全平方公式特征的多项式都可以运用公式分解因式.
(师):形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式,大家观察此式的结构特点.
(生):完全平方式都是二次三项,若以a为字母,则第三项(b2)是中间一项的系数(±ab)的一半的平方.
明确通过分析公式特征,让学生准确掌握公式,熟练而灵活地利用公式分解因式,了解完全平方式的组成.
例1把下列完全平方式分解因式:
(1)x2+14x+49(2)(m+n)2-6(m+n)+9
分析(1)中可化为x2+2×7×x+72,这里a相当于x,b相当于7,然后“对号入座”套用公式分解因式;(2)中将(m+n)作为一个整体,此式可化为(m+n)2-2×3(m+n)+32,这里a相当于(m+n),b相当于3.
例2把下列各式分解因式:
(1)3ax2+6axy+3ay2(2)-x2-4y2+4xy
互动3
(师):在(1)中,如何分解因式?
(生):此式有公因式3a可提,应先提公因式,再套用公式.
(师):说得很好,对于(2),又如何处理呢?
(生):先提出“－”号，得-(x2+4y2-4xy),然后再按字母x的降幂排列为-(x2-4xy+4y2),显然括号里的二次三项式恰好满足完全平方公式的条件.
明确引导学生进一步体会若有公因式要先提公因式,然后分解因式.
例3已知x2+2x-y2+6y-8=0,且x+y≠2,求x-y的值.
分析观察发现,由x2+2x联想到1,由y2和6y联想到9,于是可以把-8拆成1和-9,原式可写成x2+2x+1-y2+6y-9=0,即(x+1)2-(y-3)2=0,使原式变为A2-B2=0的形式,左边可以利用平方差公式再继续分解为(A+B)(A-B)=0的形式,从而由A+B=0或A-B=0求值,因为x+y≠2,所以可求出x-y的值.
3.学习小结
(1)内容总结
通过本节课的学习,你了解因式分解的完全平方公式吗?你了解完全平方式的意义吗?(因式分解的完全平方公式是整式乘法的完全平方公式的逆运用.)
(2)方法归纳
如何运用完全平方公式分解因式?(了解公式的结构特征,“对号入座”套用公式.)
4.目标检测
课本第51页随堂练习.
补充:(1)若x=156,y=144,求代数式.
(2)若9x2+kx+16是一个完全平方式,则k=_____.
(3)已知a+b=1,ab=-12,则a2+b2的值为________.
(4)当x取何值时,多项式x2+4x+9取得最小值?
答案(1)45000(2)±24(3)25(4)-2
(三)延伸拓展
1.链接生活
链接一:一天,小明在纸上写了一个算式为4x2+8x+11,并对小刚说:“无论x 取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?”小刚动笔演算许多次,结果正如小明所说,小刚很困惑,你能运用你所学的知识说明一下其中的道理吗?
答案4x2+8x+11=4(x2+2x+1)+7=4(x+1)2+7,而(x+1)2≥0则4x2+8x+11》0.
点评通过对代数式的变形,加强对完全平方式的认识及对非负数的再认识,培养学生的结合思维能力.
链接二:某商场有四层,第一层有商品(a+b)2种,第二层有商品a(a+b)种,第三层有商品(a+b)b种,第四层有商品(a+b)3种,则这商场共有商品多少种?
答案(a+b+2)(a+b)2种.
点评在实际情境下,提高学生应用分解因式解决问题的能力.
2.实践探索
(1)实践活动
①自编几道应用完全平方公式来分解因式的习题,同学之间写几道完全平方式并互相检查.
②阅读课本第51页了解“智慧数”并会写相应的“智慧数”.
(2)巩固练习
课本第53页习题2.5.
(四)板书设计
运用公式法
完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
完全平方式:a2+2ab+b2或a2-2ab+b2
例1例2例3.。
