课题：1742反比例函数的图象和性质

反比例函数的图象和性质
(1)是非零常数；
学做思一：你能作出反比例函数的图像
例：画出函数
导学：画出函数图象一般分为列表，描点、连线三个步骤，
这个
的取值
范围是不等于零的一切
用表里各组对
在直角坐
．连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一分支。

这两个分支合起来，就是反比例函数的图象，如图所示。

这种
画出函数的图象。

学
教师注意指导画函数图象有困难的学生，并评
这个函数的图象在哪两个象限
联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函随着自变量
导做：在充分讨论、交流后达成共识：
时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象跟内
时，函数的图象在第二、四象限，在
3。

17．1．2 反比例函数的图象和性质教学目标1．知识与技能会画反比例函数的图象，并知道该图象与正比例函数、一次函数图象的区别，能从反比例函数的图象上分析出简单的性质．能用反比例函数的定义和性质解决实际问题．2．过程与方法通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图象的分析能力．同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征．3．情感、态度与价值观由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣．教学重点难点重点：反比例函数图象的画法及探究，反比例函数的性质的运用．难点：反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析．课时安排 2课时第1课时（一）创设情境，导入新课问题：1．若y=(21)(1)n nx-+是反比例函数，则n必须满足条件 n≠12或n≠-1 ．2．用描点法画图象的步骤简单地说是列表、描点、连线．3．试用描点法画出下列函数的图象：（1）y=2x；（2）y=1-2x．（二）合作交流，解读探究问题：我们已知道，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，•那么反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象是什么样呢？尝试用描点法来画出反比例函数的图象．画出反比例函数y=6x和y=-6x的图象．描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点．连线，用平滑的曲线把所描的点依次连接起来．探究反比例函数y=6x和y=-6x的图象有什么共同特征？它们之间有什么关系？做一做把y=6x和y=-6x的图象放到同一坐标系中，观察一下，看它们是否对称．归纳反比例函数y=6x和y=-6x的图象的共同特征：（1）它们都由两条曲线组成．（2）随着x的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴（x轴、y轴）．（3）反比例函数的图象属于双曲线（hyperbola）．此外，y=6x的图象和y=-6x的图象关于x轴对称，也关于y轴对称．做一做在平面直角坐标系中画出反比例函数y=3x和y=-3x的图象．交流两个函数图象都用描点法画出？【分析】由y=6x和y=-6x的图象及y=3x和y=-3x的图象知道，（1）它们有什么共同特征和不同点？（2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？（3）在每一个象限内，y随x的变化而如何变化？猜想反比例函数y=kx（k≠0）的图象在哪些象限由什么因素决定？•在每一个象限内，y随x的变化情况如何？它可能与坐标轴相交吗？【归纳】（1）反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线．（2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y•值随x值的增大而减小．（3）当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y•值随x值的增大而增大．（三）应用迁移，巩固提高例题指出当k>0时，下列图象中哪些可能是y=kx与y=kx（k≠0）•在同一坐标系中的图象（）【分析】对于y=kx来说，当k>0时，图象经过一、三象限，当k<0时，图象经过二、四象限；对于y=kx来说，当k>0时，图象在一、三象限，当k<0时，图象在二、四象限，所以应选B．【答案】 B备选例题1．（中考·泉州）请你写出一个反比例函数的解析式，使它的图象在第一、三象限．2．（中考·宣昌）如图所示的函数图象的关系式可能是（• ）A．y=x B．y=1xC．y=x2 D．y=1||x（四）总结反思，拓展升华1．画反比例函数的图象．2．反比例函数的性质．3．反比例函数的图象在哪个象限由k决定，且y值随x值变化只能在“每一个象限内”研究．4．在y=kx（k≠0）中，由于x≠0，同时y≠0，因此双曲线两个分支不可能到达坐标轴．（五）课堂跟踪反馈夯实基础1．已知反比例函数y=kx的图象如图所示，则k > 0，在图象的每一支上，•y值随x的增大而减小．2．下列图象中，是反比例函数的图象的是（D）3．（中考·东营）在反比例函数y=kx（k<0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1>x2>0，则y1-y2的值为（A）（A）正数（B）负数（C）非正数（D）非负数提升能力4．（中考·苏州）已知反比例函数y=2kx的图象在第一、三象限内，则k的值可是________（写出满足条件的一个k值即可）．【答案】略5．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为倒数，•则这点一定在函数图象上y=1x（填函数关系式）．6．若一次函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数y=kbx的图象一定在 二、四 象限． 开放探究7．两个不同的反比例函数的图象是否会相交？为什么？【答案】 不会相交，因为当k 1≠k 2时，方程1k x ＝2k x 无解． 8．点A （a ，b ）、B （a-1，c ）均在反比例函数y=1x的图象上，若a<0，则b < c ．第2课时（一）创设情境，导入新课老师在黑板上写了这样一道题：“已知点（2，5）在反比例函数y=?x的图象上，•试判断点（-5，-2）是否也在此图象上．”题中的“？•”是被一个同学不小心擦掉的一个数字，请你分析一下“？”代表什么数，并解答此题目． （二）合作交流，解读探究探究 点（2，5）在反比例函数图象上，其坐标当然满足函数解析式，因此，代入后易求得？=10，即反比例函数关系式为y=10x，再当x=-5时，代入易求得y=-2，说明点（-5，•-2）适合此函数解析式，进而说明点（-5，-2）一定在其函数图象上． 交流 与同学们分享成功的喜悦． （三）应用迁移，巩固提高例1已知反比例函数的图象经过点A （2，6）（1）这个函数的图象分布在哪些象限？y 随x 的增大而如何变化？（2）点B （3，4）、C （-212，-445）和D （2，5）是否在这个函数的图象上？ 解：（1）设这个反比例函数为y=k x ，因为它过点A （2，6），所以把坐标代入得6=2k，•解得k=12，此反比例函数式为y=12x，又因k=12>0，所以图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小．（2）把点B 、C 、D 的坐标分别代入y=12x，知点B 、C 的坐标满足函数关系式，点D•的坐标不满足函数关系式，所以点B 、C 在函数y=12x的图象上，点D 不在这个函数的图象上．例2（中考·河南）三个反比例函数（1） y=1k x （2）y=2kx（3）y=3k x在x 轴上方的图象如图所示，由此推出k 1，k 2，k 3的大小关系【分析】 由图象所在的象限可知，k 1<0，k 2>0，k 3>0；在（2）（3）中，为了比较k 2与k 3的大小，可取x=a>0，作直线x=a ，与两图象相交，找到y=2k x 与y=3k x的对应函数值b•和c ，由于k 2=ab ，k 3=ac ，而c>b>0，因而k 3>k 2>k 1．【答案】 k 3>k 2>k 1．例3直线y=kx 与反比例函数y=-6x的图象相交于点A 、B ，过点A 作AC 垂直于y 轴于点C ，求S △ABC ．解：反比例函数的图象关系原点对称，又y=kx 过原点，故点A 、B 必关于原点对称，从而有OA=OB ，所以S △AOC =S △BOC ． 设点A 坐标为（x 1，y 1），则xy=-6，且由题意AC=│x 1│，OC=│y 1│． 故S △AOC =12AC ·OC=12│x 1y 1│=12×6=3， 从而S △ABC =2S △AOC =6．备选例题1．（中考·兰州）已知函数y=-kx （k ≠0）和y=-4x的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为C ，则S △BOC =_________．2．（2005年中考·常德）已知正比例函数y=kx 和反比例函数y=3x的图象都过点A （m ，1），求此正比例函数解析式及另一交点的坐标． 【答案】 1．2； 2．y=13x ，（-3，-1） （四）总结反思，拓展升华 反比例函数的性质及运用（1）k 的符号决定图象所在象限．（2）在每一象限内，y 随x 的变化情况，在不同象限，不能运用此性质． （3）从反比例函数y=kx的图象上任一点向一坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形面积S △=12│k │． （4）性质与图象在涉及点的坐标，确定解析式方面的运用． （五）课堂跟踪反馈 夯实基础1．判断下列说法是否正确（1）反比例函数图象的每个分支只能无限接近x 轴和y 轴，•但永远也不可能到达x 轴或y 轴．（∨）（2）在y=3x中，由于3>0，所以y 一定随x 的增大而减小．（×） （3）已知点A （-3，a ）、B （-2，b ）、C （4，c ）均在y=-2x的图象上，则a<b<c ．（×）（4）反比例函数图象若过点（a ，b ），则它一定过点（-a ，-b ）．（∨） 2．设反比例函数y=3mx的图象上有两点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），且当x 1<0<x 2时，有y 1<y 2，则m 的取值范围是 m<3 ． 3．点（1，3）在反比例函数y=kx的图象上，则k= 3 ，在图象的每一支上，y 随x•的增大而 减小 ．4．正比例函数y=x 的图象与反比例函数y=kx的图象有一个交点的纵坐标是2，求（1）x=-3时反比例函数y 的值；（2）当-3<x<-1时，反比例函数y 的取值范围． 【答案】 （1）-43， （2）-4<9-43提升能力5．（2005年中考·资阳）已知正比例函数y=k 1x （k 1≠0）与反比例函数y=2k x（k 2≠0）•的图象有一个交点的坐标为（-2，-1），则它的另一个交点的坐标是（A ） A ．（2，1） B ．（-2，-1） C ．（-2，1） D ．（2，-1） 6．（2005年中考·沈阳）如图所示，已知直线y 1=x+m 与x 轴、y•轴分别交于点A 、B ，与双曲线y 2=kx（k<0）分别交于点C 、D ，且C 点坐标为（-1，2）． （1）分别求直线AB 与双曲线的解析式； （2）求出点D 的坐标；（3）利用图象直接写出当x 在什么范围内取何值时，y 1>y 2．【答案】（1）直线：y=x+3，双曲线：y=-2x；（2）（-2，1）；（3）-2<x<-17．画出y=-2x与y=-2||x的图象，并加以区别．【答案】略开放探究8．（2005年中考·湖州）两个反比例函数y=3x，6x，在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，…，P2005在反比例函数y=6x图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，…，x2005，•纵坐标分别1，3，5，…，共2005年连续奇数，过点P1，P2，P3，…，P2005分别作y轴的平行线，与y=3x的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2005（x2005，y2005），则y2005= 2004.5 ．教学反思上节的练习中，我们画出了问题1中函数vst =的图象，发现它并不是直线．那么它是怎么样的曲线呢？本节课，我们就来讨论一般的反比例函数xky =（k 是常数，k ≠0）的图象，探究它有什么性质． 二、探究归纳 1.画出函数xy 6=的图象． 分析 画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x ≠0．解 1．列表：这个函数中自变量x 的取值范围是不等于零的一切实数，列出x 与y 的对应值：2.描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出在京各点点(－6,－1)、(－3,－2)、(－2,－3)等．3.连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．学生讨论、交流以下问题，并将讨论、交流的结果回答问题．1.这个函数的图象在哪两个象限？和函数xy 6=的图象有什么不同？。