反比例函数的图象与性质
- 格式:doc
- 大小:318.00 KB
- 文档页数:6
反比例函数的图像和性质反比例函数是数学中的一种基本函数类型,其图像和性质具有一定的特点。
本文将从图像和性质两个方面进行论述。
一、图像反比例函数的基本形式为y=k/x,其中k为常数,且k不等于0。
根据函数的定义域和值域,可得反比例函数的图像具有如下特点:1. 对称轴:对于反比例函数y=k/x来说,其对称轴为y轴和x 轴,即函数图像关于y轴和x轴对称。
2. 渐近线:反比例函数的图像会与y轴、x轴以及非对称轴(y=k/x中对称轴为y轴和x轴)形成三条渐近线。
当x趋近于正无穷大或负无穷大时,函数值趋近于0;当y趋近于正无穷大或负无穷大时,函数值趋近于0。
3. 图像形状:反比例函数的图像呈现双曲线的形状,即左右两侧趋近于无穷大而且不相交。
二、性质除了图像特点外,反比例函数还具有以下性质:1. 变化趋势:反比例函数的特殊之处在于当自变量x增大时,因为分母逐渐增大,所以函数值y会逐渐减小;反之,当x减小时,函数值y会逐渐增大。
2. 强调比值关系:反比例函数中,自变量和因变量之间存在着比值关系。
当自变量增大或减小时,因变量的大小相应呈现相反的变化。
3. 零点和定义域:反比例函数在定义域内除了零点x=0外,它的函数值不为零。
定义域一般为除零点的所有实数。
4. 单调性:反比例函数在定义域内通常是单调的,当自变量增大时,因变量会单调减小;当自变量减小时,因变量会单调增大。
5. 特殊情况:当反比例函数中的常数k为正数时,其图像位于第一象限和第三象限;当k为负数时,图像位于第二象限和第四象限。
这决定了函数图像关于原点的对称性。
综上所述,反比例函数的图像呈现双曲线的形状,具有对称轴、渐近线等特点。
同时,反比例函数的性质包括变化趋势、比值关系、零点和定义域、单调性以及特殊情况等。
在实际问题中,反比例函数具有广泛的应用,比如经济学中的供需关系、物理学中的电阻和电流关系等。
通过研究反比例函数的图像和性质,可以更好地理解和应用数学知识。
易加益教育培训中心——溧阳校区 小学、初中创新教育专家反比例函数图像及其性质一、函数定义一般的,如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成 xk y (k 为常数,k ≠0),其中k 叫做反比例系数,x 是自变量,y 是自变量x 的函数,x 的取值范围是不等于0的一切实数,且y 也不能等于0。
k 大于0时,图像在一、三象限。
k 小于0时,图像在二、四象限。
k 的绝对值表示的是x 与y 的坐标形成的矩形的面积。
二、函数的性质1、单调性当k>0时,图象分别位于第一、三象限,从左往右,y 随x 的增大而减小,为减函数; 当k<0时,图象分别位于第二、四象限,从左往右,y 随x 的增大而增大,为增函数。
2、相交性因为y=k/x(k ≠0)中,x 不能为0,y 也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x 轴相交,也不可能与y 轴相交,只能无限接近x 轴,y 轴。
3、图像表达⑴ 反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴:y=x 和y=-x (即第一三,二四象限角平分线),对称中心是坐标原点。
⑵ 反比例函数图像不与x 轴和y 轴相交的渐近线为:x 轴与y 轴。
⑶ k 值相等的反比例函数重合,k 值不相等的反比例函数永不相交。
⑷ |k|越大,反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
三、重点知识⑴ 过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段,这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。
⑵ 对于双曲线y=k/x ,若在分母上加减任意一个实数(即y=k/(x ±m ),m 为常数),就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。
(加一个数时向左平移,减一个数时向右平移)四、反比例函数图像。
反比例函数的图象和性质一、反比例函数的定义函数ky x=(k 为常数,0k ≠)叫做反比例函数,其中k 叫做比例系数,x 是自变量,y 是函数,自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.二、反比例函数的图象反比例函数ky x=(k 为常数,0k ≠)的图象由两条曲线组成,每条曲线随着x 的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴,反比例函数的图象属于双曲线.反比例函数k y x =与ky x=-(0k ≠)的图象关于x 轴对称,也关于y 轴对称.三、反比例函数的性质反比例函数ky x=(k 为常数,0k ≠)的图象是双曲线; 当0k >时,函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内,它们关于原点对称,在每一个象限内,y 随x 的增大而减小;当0k <时,函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内,它们关于原点对称,在每一个象限内,y 随x 的增大而增大.注意:⑴反比例函数ky x=(0k ≠)的取值范围是0x ≠.因此,①图象是断开的两条曲线,画图象时,不要把两个分支连接起来. ②叙述反比例函数的性质时,一定要加上“在每一个象限内”,如当0k >时,双曲线ky x=的两支分别在一、三象限,在每一个象限内,y 随x 的增大而减小.这是由于0x ≠,即0x >或0x <的缘故.如果笼统地叙述为0k <时,y 随x 的增大而增大就是错误的.⑵由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零,所以图象和x 轴、y 轴都没有交点,但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势. ⑶在画出的图象上要注明函数的解析式.四、反比例函数解析式的求法反比例函数的解析式(0)ky k x=≠中,只有一个系数k ,确定了k 的值,也就确定了反比例函数的解析式.因此,只需给出一组x 、y 的对应值或图象上一点的坐标,利用待定系数法,即可确定反比例函数的解析式.五、比例系数k 的几何意义过反比例函数()0ky k =≠,图象上一点()P x y ,,做两坐标轴的垂线,两垂足、原点、P 点组成一个矩一、反比例函数的定义及解析式的确定【例1】 下列关于x 的函数中:①2y x =;②43y x -=;③ky x=;④22m y x +=中,一定是反比例函数的有( )A .1个B . 2个C . 3个D . 4个【巩固】已知y 与2x 成反比例,当3x =时,4y =,则y 是x 的( )A . 正比例函数B .一次函数C .反比例函数D .以上都不是【例2】 若函数||1a y x-=是反比例函数,则a 的值为( ). A . a 为任意实数 B . 0a > C . 1a ≠ D . 1a ≠±【巩固】已知()2212m m y m m x +-=+是关于x 的反比例函数,求m 的值及函数的解析式.【例3】 已知反比例函数的图象经过点()3,2和(),2m -,则m 的值是 .【巩固】已知212y y y =+,其中1y 与x 成正比例,2y 与x 成反比例,且当2x =和3x =时,y 的值都为l9,求y 与变量x 的函数关系式.二、反比例函数的图象分布及增减性【例4】在下图中,反比例函数21kyx+=的图象大致是()ABC D【巩固】函数kyx=(0k>)的图象可能是()A. B. C. D.【例5】函数kyx=与y kx b=+在同一坐标系的图象大致是图中的()ABCD【巩固】函数(0)ky k x=≠的图象如图所示,那么函数y kx k =-的图象大致是( )AD【例6】 已知0a ≠,0b ≠,0a b +≠则函数y ax b =+与a by x+=在同一坐标系中的图象不可能是() A. B. C. D.【巩固】如图,反比例函数1k y x-=与一次函数(1)y k x =+只可能是( )A. B. C. D.【例7】 反比例函数2(0)k y k x=≠的图象的两个分支分别位于 .【巩固】已知点()1P a ,在反比例函数ky x=(0k ≠)的图象上,其中223a m m =++(m 为实数),则这个函数的图象在第_____象限.【例8】 在反比例函数5k y x-=图象的每一支曲线上,y 都随x 的增大而减小,则k 的取值范围是 ( ) A .5k > B .0k > C .5k < D .0k <【巩固】已知反比例函数12my x-=的图象上两点A (1x ,1y ),B (2x ,2y ),当120x x <<时,有12y y <,则m 的取值范围是__ ___.【例9】 已知3b =,且反比例函数1by x+=的图象在每个象限内,y 随x 的增大而增大,如果点(a ,3)在双曲线上1by x+=,则_____a =.【例10】 若A (1a ,1b ),B (2a ,2b )是反比例函数2y x=-图象上的两个点,且 12a a <,则1b 与2b 的大小关系是( )A .12b b <B .12b b = C .12b b > D .大小不确定【巩固】已知反比例函数ky x=的图象在第二、第四象限内,函数图象上有两点()()1227,,5,A y B y ,则1y 与2y 的大小关系为( )A .12y y >B . 12y y =C . 12y y <D . 无法确定【例11】 反比例函数3y x=-的图象上有三点,(2-,a ),(1-,b ),(1,c ) ,比较a ,b ,c 大小.【巩固】若点A (1-,1y )、B (2,2y )、B (π,3y )都是反比例函数21k y x+=的图象上,试比较1y 、2y 、3y 的大小关系 .1. 已知函数1mm y x-=是y 关于x 的反比例函数,求m 的值.2.如图,点P 在反比例函数()10y x x=>的图象上,且横坐标为2. 若将点P 先向右平移两个单位,再向上平移一个单位后所得的像为点'P .则在第一象限内,经过点'P 的反比例函数图象的解析式是( )A .()50y x x =->B .()50y x x=>C .()60y x x =->D .()60y x x =>3.函数y x m =+与(0)my m x=≠在同一坐标系内的图象可以是()4.已知反比例函数的图象经过点()21P -,,则这个函数的图象位于( ) A .第一、三象限B .第二、三象限C .第二、四象限D .第三、四象限5.反比例函数()2231m y m x -=-的图象所在的象限内,y 随x 增大而增大,则反比例函数的解析式是( ) A .4y x =B .4y x =-C .4y x =或4y x=- D .不能确定6.反比例函数21m y x-=的图象如图所示,1(1)A b -,,2(2)B b -,是该图象上的两点. ⑴比较1b 与2b 的大小; ⑵求m 的取值范围.。
第五章反比例函数
5.2反比例函数的图象与性质(一)
执教者:揭东县锡场镇世德初级中学林燕玲
【教学目标】
〈知识目标〉1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤,会作反比例函数的图象。
2.体会函数的三种表示方法的相互转换,对函数进行认识上的整合。
3.培养学生从函数图象中获取信息的能力,初步探索反比例函数的性质。
〈能力训练要求〉通过学生自己动手列表,描点,连线,提高学生的作图能力;通过观察图象,概括反比例函数图象的有关性质,训练学生的概括总结能力. 〈情感与价值观要求〉让学生积极参与到数学学习活动中去,增强他们对数学学习的好奇心和求知欲。
【教学重难点】
教学重点:作反比例函数图象并认识图象的特点。
教学难点:作反比例函数图象。
【教学方法】
1.提出问题—分小组讨论—启发引导—解决问题。
2.多媒体教学。
【教具】
三角板,小黑板。
【教学过程】
(第一环节)回顾交流,问题牵引(幻灯片1)
1.什么叫做反比例函数?
2.反比例函数自变量x 的取值范围是什么?
3.下列等式中,哪个等式表示y 是x 的反比例函数 ( ) (A ) k y x
= (B ) 23y x =
(C ) 121
y x =+ (D ) 21xy -= (第二环节)合作交流(幻灯片2)
1.一次函数 y = kx + b ( k 为常数,k ≠ 0 )的图象是什么形状? 2.用描点法作函数图象的一般步骤是什么形状?
3.对于反比例函数 y= x
k ( k 是常数,k ≠ 0 )的图象,我们能否像探究一次函数的图象那样进行探究? (第三环节)探求新知(幻灯片3) 例题精讲:作反比例函数x
y 4=的图象。
思考:这个函数中自变量x 的取值范围是什么? 解:(1)列表:
x
… … …
…
(2)描点:(幻灯片4) (3)连线:(幻灯片5)
x y 4
=x
y 4
=
(1)
(2)
(3)(4)
议一议:你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题?与同伴进行交流。
(幻灯片6)
(1)如果在列表时所选取的数值不同,那么图象的形状是否相同?
(2)连线时能否连成折线?为什么必须用光滑的曲线连接各点?
(3)曲线的发展趋势如何?
(学生先分小组进行讨论,而后小组汇报) 做一做:作反比例函数x y 4
-=
的图象。
(幻灯片7)
(学生动手画图,相互观摩)(幻灯片8) 想一想:观察函数x
y 4
=和x
y 4
-=的图象,它们有什么相同点和不同点? (幻灯片9)
(学生小组讨论,弄清上述两个图象的异同点) 相同点:
1.图象分别都是由两支曲线组成.它们都不与坐标轴相交。
2.两个函数图象自身都是轴对称图形,它们各有两条对称轴.
3.两个函数图象自身都是中心对称图形,对称中心是坐标原点。
不同点:
当k >0 时,两支曲线分别位于第一、三象限内; 当 k <0 时,两支曲线分别位于第二、四象限内。
(第四环节)归纳与概括(幻灯片10)
反比例函数 y = x k
有下列的性质:反比例函数y = x
k 的图象是由两支曲线组成的。
(这两支曲线简称双曲线)
x
y o
x
y
o
当 k >0 时,两支曲线分别位于第一、三象限内, 当k <0 时,两支曲线分别位于第二、四象限内。
(第五环节 )随堂练习(幻灯片11)
1.
2.反比例函数x
y 4
-=
的图象是________,过点(2-,____),其图象分布在_ __象限内; 3.已知函数1
k y x
+=
的图象分布在第二、四象限内,则k 的取值范围是_________;
4.双曲线k
y x
=经过点(2-,3),则_____=k ; (第六环节)课堂小结(板书设计)(幻灯片12)
反比例函数的图象与性质(一)
反比例函数y = x
k 的图象是由两支曲线组成的。
当 k >0 时,两支曲线分别位于第一、三象限内, 当 k <0 时,两支曲线分别位于第二、四象限内。
(第七环节)布置作业(幻灯片13)
课内:习题5.2 知识技能 第1题
??2
,2
2
为什么的图象吗你知道哪一个是的图象和下图给出了反比例函数
x
y x
y x
y -=
-==
课外:联系拓广(幻灯片14)
2与函数y=x-1 的图象,并利用
1.在同一坐标系内作岀函数y=
x
图象求它们的交点坐标。