(word完整版)2017年高职数学第二轮复习六解析几何椭圆双曲线抛物线

高考数学二轮复习专题 6 分析几何第二讲椭圆、双曲线、抛物线文对圆锥曲线的方程与性质的考察是高考的要点，一般是综合题，常用到一元二次方程根与系数的关系、平面向量等知识，该类试题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、不等式、向量知识交汇，形成求方程、求参数、求面积、定值的证明等综合题．展望 2016 年高考多以解答题形式出现，考察学生利用数学知识剖析、解决问题的能力，考察论证、推理、运算能力，考察数形联合的思想．椭圆的定义与几何性质1．椭圆的定义．平面内的动点的轨迹是椭圆一定知足的两个条件．(1)到两个定点 F1，F2的距离的和等于常数2a.(2)2 a＞ | F1F2|.2．椭圆的标准方程和几何性质．双曲线的定义与几何性质1．双曲线的定义．平面内动点的轨迹是双曲线一定知足的两个条件：(1)到两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a.(2)2 a＜ | F1F2|.2．双曲线的标准方程和几何性质．3.等轴双曲线．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2－ y2＝λ(λ≠0)，离心率 e＝2，渐近线方程为y＝±x．抛物线的定义与几何性质1．抛物线的定义．平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( l 不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程和几何性质．曲线的方程与方程的曲线若二元方程 f ( x，y)＝0是曲线 C的方程，或曲线 C是方程 f ( x，y)＝0的曲线，则一定知足以下两个条件：1．曲线上点的坐标都是二元方程f(x，y)＝0的解(纯粹性)．2．以这个方程的解为坐标的点都是曲线C上的点(齐备性)．判断下边结论能否正确( 请在括号中打“√”或“×”) ．(1)平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )(2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1， F2组成△ PF1F2的周长为2a＋2c(此中 a 为椭圆的长半轴长， c 为椭圆的半焦距)．(√)(3) 椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．( √)x2y2y2x2(4) a2＋b2＝1( a>b>0) 与a2＋b2＝ 1( a>b>0) 的焦距同样． ( √ )x2y2(5)方程m－n＝ 1( mn>0) 表示焦点在x轴上的双曲线． ( ×)1．平面内到点A(0，1)、B(1，0)距离之和为2 的点的轨迹为 ( A)A．椭圆B．一条射线C．两条射线 D ．一条线段分析：由于点到两定点AB距离之和为2＞|AB|＝2，因此该点的轨迹为椭圆．应选 A.x2y22．已知 F 是双曲线4－ 12＝1的左焦点，A(1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA| 的最小值为 __________________________________________________________ ．分析：注意到 A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′(4，0)，于是由双曲线性质|| －|′|＝2 ＝4，PF PF a而 | PA| ＋ | PF′| ≥|AF′| ＝ 5，两式相加得 |PF|＋| PA|≥9，当且仅当A、 P、 F′三点共线时等号建立．答案： 93．(2015 ·新课标Ⅰ卷 ) 一个圆经过椭圆x2y2＋＝ 1 的三个极点，且圆心在x轴的正半轴164上，则该圆的标准方程为__________________ ．分析：由题意知＝ 4，＝2，上、下极点的坐标分别为(0 ，2) ， (0 ，－ 2) ，右极点的a b坐标为 (4 ，0) ．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0 ，2) ，(0 ，－ 2) ，(4 ，0) 三点．设圆的322m＝2，＋ 4＝ r，m标准方程为 ( x－m) 2＋y2＝r 2(0＜ m＜4，r ＞0)，则（4－m）2＝r2，解得2 25因此圆的标r ＝.432225准方程为 ( x－2)＋ y＝4 .32225答案： ( x － 2) ＋ y ＝ 424．(2015 ·北京卷 ) 已知双曲线x2－ y 2 ＝ 1( a ＞ 0) 的一条渐近线为3 x ＋ y ＝ 0，则 a ＝a________．x 2 2x分析：双曲线 a 2－ y ＝ 1 的渐近线为 y ＝± a ，已知一条渐近线为3x ＋y ＝ 0，即 y ＝－ 3x ，由于1 3 ，因此 a 3＞ 0，因此 ＝ ＝ .a a 3答案：33。

左老师备战考高基础复习资料椭圆〔焦点在 x 轴〕〔焦点在 y 轴〕标准x 2y2y 2x2方程22 1(a b 0)1(a b 0)a b a 2b2第必然义：平面内与两个定点F1， F2的距离的和等于定长〔定长大于两定点间的距离〕的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫焦点，两定点间距离焦距。

M MF1MF22a 2a F1F2定义范围极点坐标对称轴对称中心焦点坐标离心率准线方程y yMF2MF1O F2x O xF1第二定义：平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于 1 的正常数时，这个动点的轨迹叫椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线。

yyM MF2MF1F2xF1xMx a y b x b y a(a,0)(0,b)(0, a)(b,0)x 轴，y轴；长轴长为2a，短轴长为 2b原点O(0,0)F1 (c,0)F2 (c,0)F1 (0, c)F2 (0, c)焦点在长轴上， ca2b2；焦距： F1F22cec( 0 e 1), e2 c 2 a 2b2，a a 2ae 越大椭圆越扁， e 越小椭圆越圆。

xa2ya 2c c左老师备战考高基础复习资料准线垂直于长轴，且在椭圆外；两准线间的距离：2a2 c极点到极点 A1〔 A2〕到准线 l 1〔 l 2〕的距离为a2ac准线的距离〕到准线 l2〔 l1〕的距离为a2极点 A1〔 A2ac焦点到焦点 F1〔 F2〕到准线l1〔l2〕的距离为a2cc准线的距离〕的距离为a2焦点 F1〔 F2〕到准线 l 2〔 l1cc椭圆上最大距离为： a c到焦点最小距离为： a c的最大相关应用题：远日距离 a c〔小〕距近期距离 a c离椭圆的x a cos 〔x b cos 〔参数方为参数〕为参数〕程y bsin y a sin椭圆上利用参数方程简略：椭圆x a cos0 的的点到y〔为参数〕上一点到直线 Ax By C b sin给定直|Aa cos Bb sin C|线的距离距离为： dA2B2椭圆 x 2y21与直线 y kx b 的地址关系：a 2b2直线和x2y21利用a2b2转变成一元二次方程用鉴识式确定。

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线圆锥曲线的定义及标准方程 共研典例 类题通法1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后定量”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“定量”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．(1)(2016·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1 (2)设F 1，F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，且|PF 1→＋PF 2→|＝23，则∠F 1PF 2＝( )A.π6B.π4C.π3D.π2(3)设抛物线y ＝14x 2上的一点P 到x 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离为________．【解析】 (1)由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(2)法一：设∠F 1PF 2＝θ，根据余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos θ，即12＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos θ.由|PF 1→＋PF 2→|＝23，得12＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|cos θ.两式相减得4|PF 1|·|PF 2|cos θ＝0，cos θ＝0，θ＝π2.法二：因为PF 1→＋PF 2→＝2PO →，O 为坐标原点，|PF 1→＋PF 2→|＝23，所以|PO →|＝3，又|OF 1|＝|OF 2|＝3，所以P ，F 1，F 2在以点O 为圆心的圆上，且F 1F 2为直径，所以∠F 1PF 2＝π2.(3)抛物线的标准方程为x 2＝4y ，准线方程为y ＝－1，x 轴与准线间的距离为1，故点P 到抛物线准线的距离为4＋1＝5，所以点P 到该抛物线焦点的距离为5.【答案】 (1)A (2)D (3)5(1)圆锥曲线定义的应用①已知椭圆、双曲线上一点及焦点，首先要考虑使用椭圆、双曲线的定义求解． ②应用抛物线的定义，灵活将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化使问题得解．(2)圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．①定型．就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． ②计算．即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．[题组通关]1．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 28＋y 26＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 A [解析] 依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1，故选A. 2．(2016·兰州实战考试)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与双曲线C 的渐近线交于A ，B 两点，△OAB (O 为坐标原点)的面积为42，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝43xA [解析] 因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，所以b ＝2a ，故双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .又抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p2，故|AB |＝2p .又△OAB 的面积为42，x 轴是∠AOB 的角平分线，所以12³p2³2p ＝42，得p ＝4.则抛物线的方程为y 2＝8x ，故选A.3．(2016·贵州适应性考试)在一次导弹实验中，为了确定爆炸点的位置，设立了A ，B ，C 三个观测点．已知B 在A 的正西方向4a 米处，C 在A 的正南方向a 米处．实验中，在B ，C 两点听到导弹着地时的爆炸声比在A 点分别晚2秒和1秒，且声速v ＝a 米/秒，则此导弹爆炸点离A 点的距离为( )A ．a 米B ．2a 米C ．3a 米D ．4a 米C [解析] 以BA 所在直线为x 轴，AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A (2a ，0)，B (－2a ，0)，C (2a ，－a )，设爆炸点为P (x ，y )(x >0)，由|PB |－|P A |＝2a ，得点P 的轨迹方程是x 2a 2－y 23a2＝1(x >0)，则由|PC |－|P A |＝a 得（x －2a ）2＋（y ＋a ）2－（x －2a ）2＋y 2＝a ，化简得x ＝2a ，则P A ⊥x 轴，|P A |＝b 2a＝3a ，选项C 正确．圆锥曲线的几何性质 共研典例 类题通法 1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2； (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．(1)(2016·广州市高考模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为( )A ．2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．3x ±4y ＝0(2)(2016·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．【解析】 (1)双曲线的右焦点到左顶点的距离等于a ＋c ，右焦点到渐近线y ＝±ba x 的距离为bc a 2＋b 2＝b ，a ＋c ＝2b ，c ＝2b －a ，a 2＋b 2＝c 2＝(2b －a )2，所以3b ＝4a ，b a ＝43，所以所求渐近线方程为4x ±3y ＝0.(2)由题意可得B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C⎝⎛⎭⎫32a ，b 2，F (c ，0)，则由∠BFC ＝90°得BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫c ＋32a ，－b 2·⎝⎛⎭⎫c －32a ，－b 2＝c 2－34a 2＋14b 2＝0，化简得3c ＝2a ，则离心率e ＝c a ＝23＝63. 【答案】 (1)C (2)63圆锥曲线性质的应用(1)分析圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．[注] 求椭圆、双曲线的离心率，常利用方程思想及整体代入法，该思想及方法利用待定系数法求方程时经常用到．[题组通关]1．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率为( )A ．4＋23B ．2 C.3＋12D.3＋1D [解析] 因为MF 1的中点P 在双曲线上，所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ，△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ，所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1，故选D.2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝4px (p >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则椭圆的离心率是________．[解析] 依题意，抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点F (p ，0)也是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点，所以a 2＝b 2＋p 2.因为点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，横坐标为p ，代入抛物线方程得A (p ，2p )或A (p ，－2p )，将其代入椭圆方程中得p 2a 2＋4p 2b 2＝1，又a 2＝b 2＋p 2，所以p 2a 2＋4p 2a 2－p 2＝1.而椭圆的离心率e ＝p a ，e 2＝p 2a 2，所以p 2a 2＋4p 2a 2－p 2＝p 2a 2＋4p 2a 2a 2－p 2a 2＝e 2＋4e 21－e2＝1，得e 2＝3±2 2.又因为椭圆离心率的取值范围为(0，1)，所以e 2＝3－22＝(2－1)2，即e ＝2－1.[答案] 2－1直线与圆锥曲线 高频考点 多维探明 1．直线与圆锥曲线位置关系与“Δ”的关系将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量(如y )得到方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0. ①若A ＝0，则：圆锥曲线可能为双曲线或抛物线，此时直线与圆锥曲线只有一个交点． ②若A ≠0，则：当Δ＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点(相交)；当Δ＝0时，直线与圆锥曲线有一个交点(相切)；当Δ＜0时，直线与圆锥曲线没有交点(相离)．2．直线与圆锥曲线相交时的弦长设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入，即当直线与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2²|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|， 其中|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.研究直线与圆锥曲线的位置关系(2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |； (2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由． 【解】 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝pt x ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p.因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．由直线与圆锥曲线的位置关系研究直线或圆锥曲线的方程及性质(2016·河北三市第二次联考)已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A 、B 两点，|AB |＝233. (1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C 、D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1，0)，求k 的值．【解】 (1)设焦距为2c ， 因为e ＝c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，所以b a ＝33，因为b 2a ＝33，所以b ＝1，a ＝3， 所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入椭圆方程，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0，又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)>0，解得k 2>1.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2， 若以CD 为直径的圆过E 点，则EC →·ED →＝0，即(x 1＋1)·(x 2＋1)＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4，则(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝9（k 2＋1）1＋3k 2－12k （2k ＋1）1＋3k 2＋5＝0，解得k ＝76，满足k 2>1.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)； (3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解． [跟踪训练]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，且经过点(6，1)，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)圆O 是以椭圆E 的长轴为直径的圆，M 是直线x ＝－4在x 轴上方的一点，过M 作圆O 的两条切线，切点分别为P 、Q ，当∠PMQ ＝60°时，求直线PQ 的方程．[解] (1)由题意可得e ＝c a ＝22，因为椭圆E 经过点(6，1)，所以6a 2＋1b 2＝1，又a 2－b 2＝c 2，解得a ＝22，b ＝2， 所以椭圆E 的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)法一：连接OM ，OP ，OQ ，OM 与PQ 交于点A ，依题意可设M (－4，m )．由圆的切线性质及∠PMQ ＝60°，可知△OPM 为直角三角形且∠OMP ＝30°， 因为|OP |＝22，所以|OM |＝42， 所以（－4）2＋m 2＝42，又m >0， 解得m ＝4，所以M (－4，4)， 所以直线OM 的斜率k OM ＝－1， 由MP ＝MQ ，OP ＝OQ 可得OM ⊥PQ ， 所以直线PQ 的斜率k PQ ＝1， 设直线PQ 的方程为y ＝x ＋n ，因为∠OMP ＝30°，所以∠POM ＝60°，所以∠OP A ＝30°， 由|OP |＝22知|OA |＝2，即点O 到直线PQ 的距离为2， 所以|n |12＋（－1）2＝2，解得n ＝±2(舍去负值)，所以直线PQ 的方程为x －y ＋2＝0. 法二：同法一求得M (－4，4)，设P (x 1，y 1)，则由圆的切线性质知∠OPM 为直角，故有k OP ²k PM ＝－1， 即y 1x 1·y 1－4x 1＋4＝－1， 整理得x 21＋y 21＝4y 1－4x 1，又点P (x 1，y 1)在圆O ：x 2＋y 2＝8上，故有x 21＋y 21＝8，所以4y 1－4x 1＝8，即y 1－x 1＝2， 同理设Q (x 2，y 2)，则有y 2－x 2＝2， 所以直线PQ 的方程为x －y ＋2＝0.课时作业1．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，2 B ．(1，＋∞) C ．(1，2)D.⎝⎛⎭⎫12，1C [解析] 由题意可得，2k －1>2－k >0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>2－k ，2－k >0，解得1<k <2，故选C. 2．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3，0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 B [解析] 右焦点为F (3，0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3.又离心率为ca ＝32，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y 25＝1，故选B. 3．若焦点在x 轴上的双曲线x 22－y 2m ＝1的离心率为62，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±2xA [解析] 由题意可得a 2＝2，b 2＝m .因为e ＝c a ＝62，所以c 2a 2＝2＋m 2＝32，解得m ＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .故选A.4．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2D [解析] 易知抛物线的焦点为F (1，0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛物线方程得y P ＝2(－2舍去)，把P (1，2)代入曲线y ＝kx(k >0)得k ＝2.5．已知离心率e ＝52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ，A 两点，若△AOF 的面积为4，则a 的值为( )A ．2 2B ．3C ．4D ．5C [解析] 因为e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52，所以b a ＝12，|AF ||OA |＝b a ＝12，设|AF |＝m ，|OA |＝2m ，由面积关系得12·m ·2m ＝4，所以m ＝2，由勾股定理，得c ＝m 2＋（2m ）2＝25，又ca ＝52，所以a ＝4，故选C. 6．(2016·高考全国卷丙)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34A [解析] 由题意，不妨设点P 在x 轴上方，直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )(k ＞0)，分别令x ＝－c 与x ＝0，得|FM |＝k (a －c )，|OE |＝ka ，设OE 的中点为G ，由△OBG ∽△FBM ，得|OG ||FM |＝|OB ||BF |，即ka 2k （a －c ）＝a a ＋c，整理得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率e ＝13，故选A. 7．(2016·石家庄第一次模考)已知椭圆x 2a 2＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点F 1关于直线y ＝－x 的对称点P 仍在椭圆上，则△PF 1F 2的周长为________．[解析] 椭圆左焦点F 1(－c ，0)关于直线y ＝－x 的对称点P (0，c )仍在椭圆上，则c ＝b ＝1，a ＝2，则△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝22＋2.[答案] 2＋2 28．(2016·武汉模拟)双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为54，焦点到渐近线的距离为3，则C 的实轴长等于________．[解析] 因为e ＝c a ＝54，所以c ＝54a ，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ab x ，即ax －by ＝0，焦点为(0，c )，所以bc a 2＋b2＝b ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2516a 2－9，所以a 2＝16，即a ＝4，故2a ＝8.[答案] 89．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为________．[解析] 依题意，设M (x ，y )，|OF |＝p 2，所以|MF |＝2p ，x ＋p 2＝2p ，x ＝3p2，y ＝3p ，又△MFO 的面积为43，所以12³p2³3p ＝43，p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x .[答案] y 2＝8x10．(2016·山西重点中学协作体模拟)若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形，则椭圆C 的内接正方形的面积为________．[解析] 由已知得，a ＝1，b ＝c ＝22，所以椭圆C 的方程为x 2＋y 212＝1，设A (x 0，y 0)是椭圆C 的内接正方形位于第一象限内的顶点，则x 0＝y 0，所以1＝x 20＋2y 20＝3x 20，解得x 20＝13，所以椭圆C 的内接正方形的面积S ＝(2x 0)2＝4x 20＝43. [答案] 4311．(2016·东北四市教研联合体模拟)椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长等于圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径，且C 1的离心率等于12.直线l 1和l 2是过点M (1，0)，且互相垂直的两条直线，l 1交C 1于A ，B 两点，l 2交C 2于C ，D 两点．(1)求C 1的标准方程；(2)当四边形ACBD 的面积为12714时，求直线l 1的斜率k (k >0)．[解] (1)由题意得2a ＝4，即a ＝2. 因为c a ＝12，所以c ＝1，所以b ＝3，所以椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)直线AB ：y ＝k (x －1)，则直线CD ：y ＝－1k(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）3x 2＋4y 2＝12，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2， 所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）3＋4k 2. 因为圆心(0，0)到直线CD ：x ＋ky －1＝0的距离d ＝1k 2＋1， 又|CD |24＋d 2＝4，所以|CD |＝24k 2＋3k 2＋1， 因为AB ⊥CD ，所以S 四边形ACBD ＝12|AB |·|CD |＝12k 2＋14k 2＋3， 由12k 2＋14k 2＋3＝12147， 解得k ＝1或k ＝－1，由k >0，得k ＝1.12．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点， |AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率． [解] (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1.因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8.故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k .由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )， 化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0.而a ＋k >0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k .因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22. 13．(2016·高考全国卷丙)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．[解] 由题知F ⎝⎛⎭⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ，R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2 . 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.(1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.设AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a＝－ab a ＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a ||x 1－12|， S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得2³12|b －a ||x 1－12|＝|a －b |2， 所以x 1＝0(舍去)，x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)． 而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.14．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其中一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2，1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．[解] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由题意得b ＝3，c a ＝12， 解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)因为过点P (2，1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在， 故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）＋1，得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.①因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0.整理，得2k ＋1＝0，解得k ＝－12. 所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32.。