考单招——上高职单招网2016山西体育职业学院单招数学模拟试题(附答案)1．已知集合M ＝，N ＝，则M ∩N ＝____________.2．复数的虚部为____________. 3．已知椭圆上的一点P ，到椭圆一个焦点的距离为３，则P 到另一焦点距离为____________.4．如果实数满足条件 ，那么的最大值为____________ .5. 已知函数f(x)=mx+6在闭区间上存在零点，则实数m 的取值范围是 .6．已知是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题：①若；②若；③如果相交； ④若 其中正确的命题是 ____________ .7. 若的值为 . 8. 已知，，，则与夹角的度数为 ___{}|03x x <<{}|||2x x >ii+-121162522=+y x x y 、101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩2x y -[]3,2-βα,βαβα⊥⊂⊥，则m m ,βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂ααα与是异面直线，那么、n n m n m ,,⊄⊂.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且⊄⊄=⋂)127cos(,31)12sin(παπα+=+则||1a =||2b =()a a b ⊥+a b考单招——上高职单招网9.已知定义在R 上的函数满足，且，. 则有穷数列{}( ）的前项和大于的概率是____________ .10. 已知抛物线有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 ____________.11．7位同学中需选派4位按一定的顺序参加某演讲比赛，要求甲，乙两人必须参加，那么不同的安排方法有____________种.12．已知正方体棱长1，顶点A 、B 、C 、D 在半球的底面内，顶点A 1、B 1、C 1、D 1在半球球面上，则此半．球的体积是 . 13．已知，把数列的各项排列成如右侧的三角形状： 记表示第m 行的第n 个数，则____________.14．在正方体的8个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几何图形的4个顶点，这些几何图形是 ．（写出所有正确结论的编号．．）． ①梯形； ②矩形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边 三角形的四面体；)()(x 、g x f ()()x f x a g x ='()()()'()f x g x f x g x <25)1()1()1()1(=--+g f g f )()(n g n f 1,2,3,,10n =n 16151)0(222222=->=by a x p px y 与双曲线1111ABCD A B C D -n a n ={}n a (,)A m n (10,2)A =…………………………………… 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a考单招——上高职单招网④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是等腰直角三角形的四面体. 二．解答题15.已知向量：，设函数，若图象的相邻两对称轴间的距离为.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若对任意实数，恒有成立，求实数的取值范围.16. ．如图，多面体的直观图及三视图如图所示，分别为的中点．（1）求证：平面； （2）求多面体的体积； （3）求证：．2,,(2sin ,cos )(cos 0a x x b x ωωωω==>向量其中()f x a b =⋅)(x f π)(x f ]3,6[ππ∈x 2|)(|<-m x f m AEDBFC N M ,BC AF ,//MN CDEF CDEF A -AF CE ⊥考单招——上高职单招网17. 设数列的各项都是正数, 且对任意都有记为数列的前n 项和.(1) 求证: ；(2) 求数列的通项公式； (3) 若(为非零常数, ), 问是否存在整数, 使得对任意,都有.18. 已知，，点满足，记点的轨迹为，直线过点且与轨迹交于、两点．(1)无论直线绕点怎样转动，在轴上总存在定点，使恒成立，求实数的值． (2)过、作直线的垂线、，垂足分别为、，记，求的取值范围．19. 如右图（1）所示，定义在区间上的函数，如果满}a {n *∈N n 33332123(),n n a a a a S ++++=n S }a {n n n 2n a S 2a -=}a {n n a1n n n 2)1(3b ⋅λ-+=-λ*∈N n λ*∈N n n 1n b b >+），（02F 1-），（02F 2P 2|PF ||PF |21=-P E l 2F E P Q l 2F x ），（0m M MQ MP ⊥m P Q 21x =PA QB A B |AB ||QB ||PA |+=λλD )(x f考单招——上高职单招网足：对，常数A ，都有成立，则称函数．．在．区间．．上有下界．．．．，其中称为函数的下界．．．．．. （提示：图(1)、 （2）中的常数、可以是正数，也可以是负数或零）（Ⅰ）试判断函数在上是否有下界？并说明理由； （Ⅱ）又如具有右图（2）特征的函数称为在区间上有上界.请你类比函数有下界的定义，给出函数在区间上 有上界的定义，并判断（Ⅰ）中的函数在上是否 有上界？并说明理由；（Ⅲ）若函数在区间上既有上界又有下界，则称函数在区间上有界，函数叫做有界函数．试探究函数 （是常数）是否是（、是常数）上的有 界函数？x D ∀∈∃()f x A ≥()f x D A A B 348()f x x x=+(0,)+∞D ()f x D (,0)-∞()f x D ()f x D ()f x 3()b f x ax x=+0,a >0b >,a b [,]m n 0,0,m n >>m n考单招——上高职单招网参考答案1. ｛x |2＜x ＜3｝2.3. 74. 1 5，m 或m 6. ①④ 7. -1/38. 120 9. 10. 11. 24013. 8314．②③④二，解答题15. 解∵相邻两对称轴的距离为（II ） ，又若对任意，恒有23-2-≤3≥05312+)2cos 1(32sin )32,(cos )cos ,sin 2()(2x x x x x b a x f ωωωωω++=⋅=⋅=3)32sin(2++=πωx 21,222,=∴=∴ωπωππ3)3sin(2)(++=∴πx x f ]32,2[3],3,6[πππππ∈+∴∈x x 32)(32+≤≤∴x f m x f m m x f +<<+-∴<-2)(2,2|)(|]3,6[ππ∈x ⎪⎩⎪⎨⎧+≥+≤+-<-322322,2|)(|m m m x f 则有成立考单招——上高职单招网解得16. （1）证明：由多面体的三视图知， 三棱柱中,底面是等腰直 角三角形，，平面, 侧面都是边长为的正方形． 连结，则是的中点， 在△中，，且平面，平面， ∴∥平面．（2） 因为平面，平面, ,又⊥，所以，⊥平面， ∴四边形 是矩形, 且侧面⊥平面取的中点,,且平面．所以多面体的体积．（3）∵平面，∥，∴平面，3223+≤≤m AEDBFC BFC AED -DAE 2==AE DA ⊥DA ABEF ABCD ABFE ,2EB M EB EBC EC MN //EC ⊂CDEF MN ⊄CDEF MN CDEF ⊥DA ABEF EF ⊂ABEF AD EF ⊥∴EF AE EF ADE CDEF CDEF DAE DE ,H ⊥DA ,AE 2==AE DA 2=∴AH ⊥AH CDEF CDEF A -383131=⋅⋅=⋅=AH EF DE AH S V CDEF ⊥DA ABEF DA BC ⊥BC ABEF考单招——上高职单招网∴， ∵面是正方形， ∴， ∴，∴．（本题也可以选择用向量的方法去解决）17. 证明：(1)在已知式中, 当时, ∵∴. 当时, ① ②由①－②得,∵∴即∴适合上式, .(2)由(1)知, ③当时, ④由③－④得,.∵, ∴, 数列是等差数列,首项为1,公差为1, 可得.(3) ∵, ∴AF BC ⊥ABFE AF EB ⊥BCE AF 面⊥AF CE ⊥1n =,a a 2131=,0a 1>1a 1=2n ≥33332121()n n n a a a a S -++++=33321211()n n a a a S --+++=31(2)n n n n a a S a -=+,0a n >212,n n n a S a -=+,a S 2a n 12n -=1a 1=)N n (a S 2a n n 2n +∈-= )N n (a S 2a n n 2n +∈-=2n ≥ 1n 1n 21n a S 2a ----=1n n 1n n 21n 2n a a )S S (2a a ---+--=-1n n n a a a 2-+-=1n n a a -+=0a a 1n n >+-1a a 1n n =--}a {n n a n =n a n =,2)1(32)1(3b n1n n a 1n n n n ⋅λ-+=⋅λ-+=--考单招——上高职单招网∴,∴⑤当时, ⑤式即为⑥ 依题意, ⑥式对都成立, 当时,⑤式即为 ⑦依题意, ⑦式对都成立, ∴………(13分) ∴又, ∴存在整数, 使得对任意, 都有.18. 解：（1）由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，由，，∴，故轨迹的方程为：（Ⅰ）当直线的斜率存在时，设直线方程为，，，与双曲线方程联立消得，∴ 解得02)1(332]2)1(3[2)1(3b b n 1n n n 1n n 1n n 1n n 1n >⋅-λ-⋅=⋅λ-+-⋅λ-+=---+++1n 1n )23()1(--<λ⋅- ,3,2,1k ,1k 2n =-=2k 2)23(-<λ ,3,2,1k = ,3,2,1k ,k 2n ==1k 2)23(-->λ,3,2,1k =23->λ,123<λ<-0≠λ1-=λ+∈N n n 1n b b >+||2||||2121F F PF PF <=-P E 1F 2F 2=c 22=a 32=b E )1(1322≥=-x y x l )2(-=x k y ),(11y x P ),(22y x Q y 0344)3(2222=++--k x k x k ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-+=⋅>-=+>∆≠-0334034003222122212k k x x k k x x k 32>k考单招——上高职单招网，∴故得对任意的恒成立，∴，解得 ∴当时，（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由，及知结论也成立， 综上，当时， （2），，∴直线是双曲线的右准线， 由双曲线定义得：，， 方法一：∴，∴，故， 2121))((y y m x m x MQ MP +--=⋅Θ)2)(1())((21221--+--=x x k m x m x 222122124))(2()1(k m x x m k x x k ++++-+=2222222243)2(43)34)(1(k m k m k k k k k ++-+--++=2223)54(3m k k m +-+-=MQ MP ⊥Θ0=⋅MQ MP 0)54()1(3222=--+-m m k m 32>k ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-0540122m m m 1-=m 1-=m MQ MP ⊥l )3,2(P )3,2(-Q )0,1(-M 1-=m MQ MP ⊥1=Θa 2=c 21=x ||21||1||22PF PF e PA ==||21||2QF QB =||2||1||2||12122y y x x k AB PQ --+==λ22121221121||21|)(|2||1kk k x x k x x k +=+=--+=32>Θk 31102<<k 3321<<λ考单招——上高职单招网注意到直线的斜率不存在时，，此时， 综上，. 方法二：设直线的倾斜角为，由于直线与双曲线右支有二个交点，∴，过作，垂足为，则 ，∴由，得， 故. 19. （I ）解法1：∵，由得， ∵， ∴，∵当时，，∴函数在（0，2）上是减函数； 当时，，∴函数在（2，＋）上是增函数； ∴是函数的在区间（0，＋）上的最小值点，||||AB PQ =21=λ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈33,21λPQ θPQ 323πθπ<<Q PA QC ⊥C |2|θπ-=∠PQC θθπλsin 21)2cos(21||2||||2||=-===CQ PQ AB PQ 323πθπ<<1sin 23≤<θ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈33,21λ2248()3f x x x '=-()0f x '=224830x x-=416,x =(0,)x ∈+∞2x =02x <<'()0f x <)(x f 2x >'()0f x >)(x f ∞2x =∞min 48()(2)8322f x f ==+=考单招——上高职单招网∴对，都有，即在区间（0，＋）上存在常数A=32,使得对都有成立，∴函数在（0，＋）上有下界. [解法2： 当且仅当即时“＝”成立 ∴对，都有，即在区间（0，＋）上存在常数A=32,使得对都有成立，∴函数在（0，＋）上有下界.] （II ）类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义：定义在D 上的函数，如果满足：对，常数B ，都有≤B 成立，则称函数在D 上有上界，其中B 称为函数的上界.设则，由（1）知，对，都有，∴，∵函数为奇函数，∴ ∴，∴即存在常数B=－32，对，都有,(0,)x ∀∈+∞()32f x ≥∞(0,)x ∀∈+∞()f x A ≥348()f x x x=+∞0x >∴3348161616()32f x x x x x x x =+=+++≥=316x x=2x =(0,)x ∀∈+∞()32f x ≥∞(0,)x ∀∈+∞()f x A ≥348()f x x x=+∞)(x f x D ∀∈∃()f x )(x f 0,x <0x ->(0,)x ∀∈+∞()32f x ≥()32f x -≥348()f x x x=+()()f x f x -=-()32f x -≥()32f x ≤-∀(,0)x ∈-∞()f x B ≤考单招——上高职单招网∴函数在（－， 0）上有上界. （III ）∵， 由得，∵ ∴ ∵ ， ∴∵当时，，∴函数在（0）上是减函数； 当，∴函数，＋）上是增函数； ∴是函数的在区间（0，＋）上的最小值点，①当时，函数在上是增函数； ∴∵、是常数，∴、都是常数 令,∴对，常数A,B,都有348()f xx x=+∞22()3b f x ax x '=-()0f x '=2230b ax x -=0,0a b >>4,3b x a=[,](0,)m n ⊂+∞x =0x <<'()0f x <)(x f x >'()0f x >)(x f ∞x =∞3f a =+=m ≥)(x f [,]m n ()()()f m f x f n ≤≤m n ()f m ()f n (),()f m A f n B ==[,]x m n ∀∈∃()A f x B ≤≤考单招——上高职单招网即函数在上既有上界又有下界 ②当 时函数在上是减函数 ∴对都有∴函数在上有界. ③当时，函数在上有最小值 ＝ 令,令B=、中的最大者 则对，常数A,B,都有∴函数在上有界. 综上可知函数是上的有界函数. 3()b f x ax x=+[,]mn n ≤)(x f [,]m n [,]x m n ∀∈()()()f n f x f m ≤≤3()b f x ax x=+[,]mn m n <<)(x f [,]m n min ()fx 3f a =+=A =()f m ()f n [,]x m n ∀∈∃()A f x B ≤≤3()b f x ax x=+[,]m n 3()b f x ax x =+[,]m n。
