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y2 b2
1
（±c, 0）
焦点在Y轴
y2 a2
x2 b2
1
(0, ±c)
a2 b2 c2
e c a
x a2 c
ybx a
(e 1)
y a2 c
yax b
等轴双曲线：
• 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
• 特点：
• a=b,e= 2 渐近线: y=±x
共轭双曲线：
• 双曲线 曲线.
图形
标准方程 准线 焦点
通径端 范围 点
y ﹒o
xy 2
2 px
x
p 2
(
p 2
,0)
(
p 2
,
p)
X≥0 y∈R
﹒y o
x2 2 py
x
y
p 2
(0,
p) 2
( p,
p) 2
x ∈R y≤0
抛物线焦点弦的几条性质
设直线l过焦点F与抛物线y2=2px(p>0)相
交①于x1Ax(2x1,y1p)4,2B(②x2,yy21)两y2点,则: p2
它们都是与定点和定直线距离的比是常数e的点的集合（或轨迹）
（3）这三种曲线都是可以由平面截圆锥面得到的截线
练习：
1、已知A，B分别是椭圆
x
2
+
y
2
=1长轴的左右
36 20
两个端点，F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，
且位于x轴上方，PA PF，
（1）求点p的坐标。
（2）设M是椭圆长轴上的一点，M到AP的距离
x2 a2
y2 b2
1
与双曲线by22
x2 a2
1互为共轭双
6
• 特点: 4
• ①一个双曲线的实轴,虚轴分别
2
• 是另一个双曲线的虚轴和实轴.
b
• ②焦距长相等
-5
oa
5
10
•
③有共同的渐近线
y
b a
x
-2
-4
几种简化问题的设法
(1)与 x2 y2 1(a 0,b 0)具有相同渐近线的双曲线可以设为 x2 y2 λ
x2 λ
y2 c2
λ
1
(5)
x2 a2
y2 b2
1的渐近线求法只需令
x a
2 2
y2 b2
0再化简
(6)过（c, 0）直线方程可以设为x my c
抛物线的定义
• 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离 相等的点的轨迹叫做抛物线。
• 定点F叫做抛物线的焦点。定直线l 叫做抛 物线的准线。
• 注意：“平面内”是大前提，不可缺省
• 注意: • ①“平面内”三字不可省,这是大前提 • ②距离差要取绝对值,否则只是双曲线的一
支 • ③常数必须小于|F1F2|
双曲线 定义 标准方程
图形
顶点坐标 对称轴 范围
焦点在x轴
焦点在y轴
MF1 MF 2 2a(0 2a F1F 2 )
x2 y2 a2 b2 1
y6 4 2
-5
5
0-2
-4
-6
10
x
(±a, 0)
x轴，实轴长2a y轴，虚轴长2b
y2 x2 a2 b2 1
y8 6 4 2
-10
-5
0-2
5
10
15
x
-4
-6
-8
(0, ±a)
y轴，实轴长2a x轴，虚轴长2b
|x|≥a，y∈R
x∈R，|y|≥a
焦点坐标 a,b,c关系 离心率 准线 渐近线
焦点在X轴
x2 a2
准线方程 x a2
y a2
c
c
椭圆的参数方程
x a cos
y
b
sin
(a
b
0)
变形
x cos y sin
a
b
平方和
x2 a2
y2 b2
cos2
sin 2
1
几个重要结论：
设P是椭圆
x2 a2
y2 b2
1a b 0上的点，F1，F2是椭圆
的焦点，∠F1PF2=θ,则
B2
P
1、当P为短轴端点时， S△PF1F2有最大值=bc
4.已知椭圆C,
x a
2 2
y2 b2
1(a
b
0)的焦距为4，其短轴的
两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
1 求椭圆C的标准方程．
2 设F 为椭圆C的左焦点，T 为直线x＝－3上任意一点，
过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q. ①证明：OT 平分线段PQ(其中O为坐标原点)；
②当最小时，求点T的坐标
14
圆锥曲线的焦半径公式
M (x0, y0) 椭圆
在圆锥
x2 y2 (a b 0)
曲线上， a2 b2
F1，F2 是圆锥
曲线的 MF1 a ex0
左右焦
点
MF2 a ex0
双曲线
x2 y2 a2 b2 1
抛物线
y2 2px( p 0)
MF1 a ex0 MF
MF2 a ex0
A(x , y ), B(x , y )
11
22
时 AB
1 k 2 x1 - x2
1
1 k2
y -y
1
2
圆锥曲线统一性
（1）从方程形式看:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
x2 y2 a2 b2 1(a 0, b 0)
都属于二次曲线
y2 2 px( p 0)
（2）从点的集合（或轨迹）的观点看：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y
b
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
ya
o ax
ob
x
顶点坐标 a,0,0, b 0, a,b,0
对称性
x轴，长轴长2a y轴，长轴长2a
y轴，短轴长2b x轴，短轴长2b
焦点坐标 c,0, c a2 b2 0, c,c a2 b2
离心率
e
c a
0 e 1
a2 b2
a2 b2
（2）与
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)具有相同焦点的双曲线可以设为
a
x2 2
λ
y2 b2 -λ
1
（3）与 x2 y2 1(a 0, b 0)具有相同顶点的双曲线可以设为 x2 y2 1
a2 b2
a2 λ
（4）与
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)具有相同焦点的双曲线可以设为
A1 F1
F2 A2
x
B1
2、当P为短轴端点时，∠F1PF2为最大
3、椭圆上的点A1距F1最近，A2距F1最远
4、过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦为最短 (通径)
双曲线的定义
• 平面内与两个定点F1F2的距离的差的绝对 值曲等线于.这常两数个(定小点于叫|F1做F2双|)的曲点线的的轨焦迹点叫,两做焦双点 的距离叫双曲线的焦距.
p x0 2
相切
只有一个交点且 0
直 线
椭圆 两个交点 0
与
圆 锥
交于两点 0
曲 线
相交
双曲线 交于一点（直线与
的
渐近线平行）
位 置
交于两点 0
关 系
抛物线
交于一点(直线平行 于抛物线的对称轴)
相离
无公共点 0
弦长公式
当直线 y = kx + b 与圆锥曲线 f (x, y) 相交于两点
等于 MB ，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值。
2、已知半径为R的定圆F1及其内部距离点F1为2c的定点F2 , 建立适当的平面直角坐标系，求过点F2且与 F1相切 的动圆圆心的轨迹方程。
3、已知点M（2,1），C是椭圆 x 2 + y 2 =1的右焦点 16 7
A是椭圆上的动点，则 AM + AC 的最小值。
椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离和等于常数（大
于F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆。 F1，F2叫做椭圆的焦点，F1F2 叫做椭圆的焦距。
注意： 1、“平面内”是大前提，不可缺省
2、常数必须大于 F1F2 ，限制条件
椭圆
Байду номын сангаас
焦点在x轴上 焦点在y轴上
定义 标准方程 图形
MF1 MF2 2a(2a F1F2 )
③焦点弦长 AB x1 x2 p
6
4
A(x1,y1)
2
-5
o
p/2
5
x=-p/2
-2
B(x2,y2)
-4
-6
圆锥曲线的统一定义
平面内到一定 0<e<1 e>1 e=1
点F和一条定 直线l 的距离
之比等于常数 椭圆
e（点F在直线
双曲线 抛物线
l 外， e> 0）
定点F为焦点，定直线l为准
线,e为离心率。
作业：
已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，
直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且 |QF|＝|PQ|.
(1)求C的方程； (2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂 直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N 四点在同一圆上，求l的方程．
