高二数学课件 圆锥曲线基本知识-椭圆

椭圆（讲义）知识点睛一、曲线与方程1． 曲线C 上的点与二元方程()0f x y =，的对应关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 2． 求曲线的方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件p 的点M 的集合{|()}P M p M =；（3）用坐标表示条件p (M )，列出方程()0f x y =，； （4）化方程()0f x y =，为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 二、椭圆及其标准方程我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 如图，设( )M x y ，是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2(0)c c >， 那么焦点1F ，2F 的坐标分别为( 0)c -，，( 0)c ，． 又设M 与1F ，2F 的距离的和等于2(0)a a >．由椭圆的定义，椭圆就是集合12{|||||2}P M MF MFa =+=．因为12|| ||MF MF ==所以2a =．为化简这个方程，将左边的一个根式移到右边，得2a =将这个方程两边平方，得22222()44()x c y a x c y ++=--+，整理得2a cx -=上式两边再平方，得4222222222222a a cx c x a x a cx a c a y -+=-++，整理得22222222()()a c x a y a a c -+=-，两边同除以222()a a c -，得222221x y a a c+=-． ① 由椭圆的定义可知，22220a c a c a c >>->，即，所以．由图可知，1212|||| |||| ||PF PF a OF OF c PO =====，，令||b PO ==那么①式就是22221(0)x y a b a b+=>>．椭圆的标准方程：22221(0)x y a b a b+=>>．三、椭圆的几何性质精讲精练1. 已知点P 是直线230x y -+=上的一个动点，定点(12)M -，，Q 是线段PM 延长线上的一点，且||||PM MQ =，则点Q 的轨迹方程是（ ） A ．210x y ++= B ．250x y --= C ．210x y --=D ．250x y -+=2. 已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2．一条曲线也在l 的上方，它上面每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．3. 过原点的直线与圆22650x y x +-+=相交于A ，B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．4. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）4a =，1b =，焦点在x 轴上； （2）4a =，c =，焦点在y 轴上； （3）10a b +=，c =．5. 如图，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，纵坐标等于短半轴长的23，则椭圆的离心率为__________．6. 设e 是椭圆2214x y k +=的离心率，且1(1)2e ∈，，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(03)，B ．16(3)3，C ．16(03)()3+∞U ，，D ．(02)，7. 设1F ，2F 分别是椭圆221259x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是1F P 的中点，O 为坐标原点，||3OM =，则点P 到椭圆左焦点的距离为（ ） A ．4 B ．6 C ．3D ．78. 已知椭圆的方程是2221(5)25x y a a +=>，它的两个焦点分别为 1F ，2F ，且12||8F F =，过点1F 的直线AB 交椭圆于A ，B 两点，则△2ABF 的周长为（ ） A ．10B ．20C．D．9. 已知点P 是椭圆221259x y +=上的一点，M ，N 分别是两圆： 22(4)1x y ++=和22(4)1x y -+=上的点，则||||PM PN +的最小值、最大值分别为（ ） A ．9，12 B ．8，11C ．8，12D ．10，1210. 如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点．线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点 Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？11. 点M 与定点(2 0)F ，的距离和它到定直线x = 8的距离之比是1:2，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．12. 如图，从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ．又点A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，点B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB∥OP，1||F A =，求该椭圆的方程．13.如图，已知椭圆221259x y+=，直线l：45400x y-+=．椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？14.如图，椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点(30)F，，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为(11)-，，求E的方程．回顾与思考________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________【参考答案】 知识点睛三、对称轴：x 轴、y 轴； 对称中心：原点；2a2b2c(01)，22a b -精讲精练1．D2．21(0)8y x x =≠3．2230x x y -+=4．（1）22116x y +=；（2）22116y x +=；（3）2213616x y +=或2213616y x +=5．36．C 7．A8．D9．C10．点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，以r 为长轴长的椭圆．11．点M 的轨迹方程是2211612x y +=， 轨迹是以(2，0)、(-2，0)为焦点，以8为长轴长的椭圆．12．221105x y +=1314．221189x y +=椭圆（随堂测试）1. 经过定点( )(0)A a b a ≠，作互相垂直的两条直线1l 和2l ，分别与x 轴、y 轴交于B ，C 两点，求线段BC 的中点M 的轨迹方程．2. 设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A．3B．6C ．13D ．163. 已知P 为椭圆221259x y +=上任一点，F 为椭圆的左焦点，(21)A ，为椭圆内一点，则||||PA PF +的最大值为__________．【参考答案】1．2222ax by a b +=+ 2．A 3．10椭圆（作业）例1： 过点(3 4)P ，的动直线与x 轴、y 轴的交点分别为A ，B ，过A ，B 分别作x轴、y 轴的垂线，两垂线交于点M ，求点M 的轨迹方程．【思路分析】设点M 的坐标为(x ，y )，用(x ，y )表达出点A ，B 的坐标，利用A ，B ，P 三点共线，求出x ，y 之间的关系式，此即为所求点M 的轨迹方程． 【过程示范】根据题意画出符合题意的图形，如图，设点()M x y ，，则(0)A x ，，(0)B y ，， ∵A ，B ，P 三点共线， ∴AP −−→，PB −−→共线，∵(34)AP x −−→=-，，(34)PB y −−→=--，，∴(3)(4)4(3)x y --=⨯-，整理得43x y xy +=， 即430x y xy +-=，∴点M 的轨迹方程为430x y xy +-=．例2： 如果椭圆2218125x y +=上一点M 到此椭圆一个焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，O 是坐标原点，则ON 的长为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．32【思路分析】令左、右焦点分别为1F ，2F ，根据椭圆的定义，先求出2MF△12MF F 的中位线，求出ON 的长．如图所示：由椭圆方程：2218125x y +=，可知9a =，由椭圆的定义，知12||||218MF MF a +==，∴2||16MF =，∵ON 是△12MF F 的中位线， ∴21||||82ON MF ==．故选C ．例3： 已知中心在原点，一个焦点为(0F 的椭圆被直线 32l y x =-：截得的弦的中点横坐标为12，求此椭圆的方程．【思路分析】根据焦点位置设出椭圆的方程，与直线方程联立，得一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦的中点坐标，建立等式求解． 【过程示范】∵焦点(0F 在y 轴上，且c =，∴设所求的椭圆方程为22221y x a b+=，且2250a b -=，①联立2222132y x a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得222222(9)12(4)0a b x b x b a +-+-=，设两交点为1122() ()A x y B x y ，，，，则21222129b x x a b+=+， ∵弦AB 的中点的横坐标为12，∴12122x x +=，即2221219b a b =+，解得223a b =，② 由①②得，275a =，225b =，故椭圆的方程为2217525y x +=．15.已知一曲线是到点(00)O，与到点(30)A，的距离之比为1:2的点的轨迹，求这条曲线的方程．16.设P为曲线22440x y--=上一动点，O为坐标原点，M为线段PO的中点，求点M的轨迹方程．17.一动圆截直线30x y-=和30x y+=所得弦长分别为8，4，求动圆圆心的轨迹方程．18.求适合下列条件的椭圆的标准方程．（1）经过点(0)P-，(0Q；（2）长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3 0)P ，； （3）焦距是8，离心率为0．8．19. 已知椭圆方程为22236x y +=，则该椭圆的焦距为（ ）A ．2B ．3 C． D．20. 若椭圆222211x y m m +=-(1m >)上一点P 到其左焦点的距离为 3，到右焦点的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．12C ．13D ．321. 若椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则椭圆C 的方程是（ ）A ．2218172x y +=B ．221819x y +=C ．2218145x y +=D ．2218136x y +=22. 已知方程221221x yk k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1( 2)2，B ．(1 )+∞，C ．(1，2)D ．1( 1)2，23. 已知1F ，2F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于若22||||12FA FB +=，则||AB =__________．24. 已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的右顶点的坐标为(1，0)，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆C 的方程为_____________________．25. 如图，椭圆2212516x y +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，P 是椭圆上一点，若1F ，2F ，P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到x 轴的距离是__________．26. 求过点(2 0)A ，，且与圆224320x x y ++-=内切的圆的圆心的轨迹方程．27. 已知椭圆22149x y +=，一组平行直线的斜率是32． （1）这组直线何时与椭圆相交？（2）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上．【参考答案】1．22x y++=(1)4 2．22-=x y41 3．10xy=4．（1）22185x y+=；（2）2219xy+=或221819y x+=；（3）221259x y+=或221259y x+=5．A6．B7．A8．C9．810．2214yx+=11．16512．221 95x y+=13．（1）当这组直线在y轴上的截距的取值范围是(-时，直线与椭圆相交；（2）这些弦的中点都在直线320x y+=上21。

第一讲圆锥曲线之椭圆知识要点1、椭圆的定义 ● 第一定义：满足12+=PF PF ()122>a F F 的动点P 的轨迹是以为焦点，长轴长为2a 的椭圆● 第二定义：到一个定点F 与到一定直线l 的距离之比等于一个小于1的正数e 的点的轨迹叫椭圆其中F 是椭圆的一个焦点，l 是相应于F 的准线，定义式：()101PFe e PP =<<2、椭圆的方程 ● 焦点12,F F 在x 轴上：焦点()1,0F c -，()2,0F c ，●焦点12,F F 在y 轴上： ()222210y x a b a b +=>>焦点，，● 统一形式：()2210,0,Ax By A B A B +=>>≠●焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆的参数方程为：cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）3、几何性质①01e <<；②e越大，椭圆越扁；③e =4、点与椭圆的位置关系：已知椭圆22221x y C a b +=；，点00(,)P x y ，则： 220022220022220022111x y a b x y a b x y a b ⎧⇔+>⎪⎪⎪⇔+=⎨⎪⎪⇔+<⎪⎩点P 在椭圆C 外点P 在椭圆C 上点P 在椭圆C 内5、补充性质 （1）椭圆上一点P与两个焦点12,F F 所构成的12PF F ∆称为焦点三角形。

设12F PF θ∠=，则有：① 212cos 1b rr θ=-，当12r r =（即P 为短轴顶点）时，θ最大，此时222cos b c a θ-=②12PF F ∆的面积221201sin sin tan 21cos 2b S rr b c y θθθθ====+当0y b =（即P 为短轴顶点）时，S 最大，且max S bc =③ 22212b c PF PF b -≤⋅≤（2）经过焦点1F 或2F 的椭圆的弦AB ，称为焦点弦。

圆锥曲线椭圆
圆锥曲线是由在一个双曲面内沿直线切割形成的几何对象。

常见的圆锥曲线包括椭圆、双曲线以及抛物线。

椭圆是圆锥曲线的一种，它是在双曲面内切割的结果。

其定义为到两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹，称为椭圆的轨迹。

椭圆是一种连续的、闭合的曲线，具有对称性质。

在椭圆上，两个焦点到任意一点的距离之和都是一个常数，即半长轴的长度。

同样地，两个焦点到椭圆的中心的距离相等，中心位置在半长轴和半短轴的交点处。

椭圆是一个非常重要的几何对象，在数学、物理学、天文学等方面都有广泛应用。

例如在天文学中，行星绕太阳运动的轨道就是一个椭圆。

在工程学中，椭圆的性质被广泛用于设计发动机内部部件的形状和传输机构的工作原理。

总之，椭圆是一种重要的数学曲线，在多个领域都有着广泛的应用价值。