西北工业大学理论力学质点动力学.pptx

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质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
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§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
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§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k

( 式中 r r(t) 为质点矢径形式的运动方程 )
2.直角坐标形式
m
d2x dt 2
X
m
d2 dt
y
2
Y
m
d2 dt
y
2
Z
x x(t)
( 式中
y
y(t)
为质点直角坐标形式的运动方程 )
z z(t)
5
3.自然形式
m
d 2s dt 2
F
m
v2
Fn
0 Fb
(式中s s(t )为质点的弧坐标形式的 运动方程。F ,Fn ,Fb分别为力F在
Fgez '
FgCz '
17
自然轴投影：
m
d 2sr dt 2
F
Fge
特殊情况：
m vr2
Fn
Fgen FgCn
(1)当动系相对于静参考系作平动时，因ac=0，则FgC =0。于 是：
mar F Fge
(2)当动系相对于静参考系作匀速直线运动时，因ae=0和 ac=0 ，则Fge =0， FgC =0 ，于是：相对运动动力学基本方
令
Fge mae
——牵连惯性力
FgC maC ——科氏惯性力
16
则：
mar F Fge FgC
这就是质点相对运动动力学基本方程。
直角坐标投影： d 2 x' m dt 2 Fx' Fgex' FgCx'
m
d 2 y' dt 2
Fy '
Fgey '
FgCy '
m
d 2z' dt 2
Fz '
发射初速度大小与初发射角 0 为

小球在水平面内作匀速圆周运动。
a 0,
an
v2 r
12.5 m
s2
方向指向O点。
45º A B
60º
Or
A
FA
B
60º
FB O an
r
M
v
mg
建立自然坐标系得：
v2
m r FA sin 45 FB sin 60
(1)
0 mg FA cos 45 FB cos60 (2)
解得： FA 8.65 N, FB 7.38 N
9.3 质点动力学的两类基本问题
1. 力是常数或是时间的简单函数
v
t
mdv F(t)dt
v0
0
2. 力是位置的简单函数, 利用循环求导变换
dv dv dx v dv dt dx dt dx
v
x
mvdv F(x)d x
v0
x0
3. 力是速度的简单函数，分离变量积分
vm
t
d v dt
9.1 动力学的基本定律
第三定律（作用与反作用定律）
两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是 大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分 别作用在这两个物体上。
以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为 古典力学。
必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的 加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律 不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称 为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。
v0 F (v)
0
例例1 9如.1图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方
程为x＝a cos wt，y＝a sin wt，求作用在质点上的力F。
解：以质点M为研究对象。分析运 动：由运动方程消去时间 t，得

某一力学系统的 机械能 是该系统的 动能 与 势能 之 和
系统的
即 机械能
系统的
动能
系统的
势能
在一般情况下，系统的机械能并不保持恒定。
系统机械能发生变化的 外因： 系统外各种形式的力对系统做功，简称 内因：系统内存在非保守力做功（如摩擦消耗），简称
只有在一定条件下，系统的机械能才能保持恒定。
守恒条件与结果
第二章标题
本章内容 本章内C容ontents chapter 2
牛顿运动定律
Newton’s law of motion
动量守恒定律
law of conservation of momentum
机械能守恒定律
principle of conservation of mechanical energy
可对对相消，最终：
0
动量守恒定律
由质点系的动量定理
微分形式
或
积分形式
若
或
则
定律说明
随堂练习二
续练习二
练习4T三1、动量定理 动量守恒
1、解：
练习4
以M 和m 为系统，所受外力（重力、地面支持力）均
沿竖直方向，故水平方向动量守恒，竖直方向不守恒。
竖直方向：应用质点的动量定理
系统动量增量： ΔPy m2v
r2 r1 r1
卫星在A，B两点处 的势能差为
（请点击你要选择的项目）
（4） GMm
r2 r1 r2
近 卫星
地
m 质量
点
A
地球
M O 质量
选项2链接答案
（1）GMm
远
r2 r1
r1 r2
地
点

《理论力学》第九章质点动力 学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω

x
质点系中所有质点对于点O的 动量矩的矢量和，称为质点系 对点O的动量矩。
[LO ]z Lz
19
3. 定轴转动刚体对转轴的动量 矩
z
Lz M z (mivi ) mivi ri
miri2 miri2
ri
vi
mi
令：
mi
ri
2
Jz
Jz——刚体对 z 轴的转动惯量
y
x
Lz Jz
z
Mo(mv)
B
mv
O
r
h
A(x,y,z)
x
MO (mv) r mv
MO(mv) =mvh=2△OAB
MO(mv)
定位矢量
y
[MO (mv)]z M z (mv)
18
2. 质点系的动量矩
z
vi
LO MO (mivi )
m2
mi
ri
ri mvi
m1
O
y Lz M z (mivi )
aC g sin 0 FN mg cos
圆盘作平动
37
(b) 斜面足够粗糙
Σ Fx mg sin F maC
Σ Fy mg cos FN 0
J C FR
aC R
C
aC
F
mg
FN
aC
2 3
g sin
2 g sin
3R
F 1 mg sin
3
FN mg cos
由 F ≤ f F N 得：
自然轴系 轴, n轴和b轴上的投影)
dv m dt F
v2
m Fn
0 Fb
质点运动微分方程还可有极坐标形式, 柱坐标形式等等。 应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。

FN 1
O

y
m1
x
a1

m1 g
FN
m1
1 FN
a2
m2
m2 g
对劈m1有
' FN 1sin m1a1 ' FN FN 1cos m1 g 0
(1) (2) (3) (4) (5)
对木块m2有
FN 1sin m2 (a2cos a1 ) FN 1cos m2 g m2 (a2sin )
到其它物体的作用迫使它改变这种状态为止。

牛顿运动定律中的物体指的是质点或作平动的物体。 牛顿第一定律提出了两个重要概念。
• 惯性 —— 物体的固有属性（惯性定律） • 力 —— 使物体改变运动状态的原因 质点处于静止或匀速直线运动状态时：
Fi 0
—— 静力学基本方程
第二定律： 物体受合力作用时，它的动量将发生变化。某 时刻物体动量对时间的变化率等于该时刻作用 在质点上的合力。即 dp F F dt dp mv m为常量时，牛顿第二定律可表示为 dt


F21
F12
成对性 —— 物体之间的作用是相互的；
一致性 —— 作用力与反作用力性质一致；

同时性 —— 相互作用之间是相互依存，同生同灭。
2.1.2 力学中常见的几种力
1. 力学中的常见力
万有引力：任意两个质点之间的相互吸引力
万有引力的大小 万有引力常量
m1m2 F G 2 r
b b b
B
FT 2
m
FN
F2
F2
A
B
(1) 质量忽略不计的轻绳， 绳中各点处的张力相等；

§1–3 静力学公里
§1–3 静力学公理
1. 基本概念 力 系 —— 作用于同一物体或物体系上的一群力。 等效力系 —— 对物体的作用效果相同的两个力系。 平衡力系 —— 能使刚体维持平衡的力系。 合 力 —— 能和一个力系等效的一个力。 分 力 —— 一个力等效于一个力系，则力系中的各
力称为这个力（合力）的分力。
静力学
静力学的基本概念和 公理
西北工业大学 支希哲 朱西平 侯美丽
第一章
静力学的基本概念和公理
第一章 静力学的基本概念 和公理
第一章 静力学的 基本概念
和公理
静力学
§1– 1 刚
体
§1–2 力
§1–3 静 力 学 公 理
§1–4 约 束 和 约 束 反 力
§1–5 受 力 分 析 和 受 力 图
理第论一力章学静力学的基本概念和公理
相交于某点，则第三力的作用线必定也通过这个点。
证明：
F1
A1
F2
A A2
=
A3
F F1
A
F2
F3
第一章 静力学的基本概念和公理
推论
§1–3 静力学公理
公 理
推论(三力汇交定理) 当刚体在三个力作用下平衡时，设其中两力的作用线
相交于某点，则第三力的作用线必定也通过这个点。
证明：
F1
A1
F2
A A2
第一章 静力学的基本概念 和公理
§1–1 刚 体
第一章 静力学的基本概念和公理
§1–1 刚 体
刚体——在外界的任何作用下形状和大小都始终保持不变 的物体。 或者在力的作用下，任意两点间的距离 保持不变的物体。 刚体是一种理想的力学模型。

容，本课程只作适当的复习或让学生自学。 牵连惯性力向上，使血流自下而上加速流动，造成大脑充血，形成红视现象。
动点－血流质点
上式可以化为二阶线性齐次微分方程的标准形式
分析小摆动条件下，摆的运动
牵连惯性力向下，从心脏流
确将定式一 B的个表自达由式质对点ω在求空一间次的导位数置并需令要其三等个于独零立，坐可标以，发所现以，空此间时自振由幅质B点有有极三大个值自，向由即度头在。共部振的固有血圆流频率受阻，造成大脑
研究作用在物体上的力系与物体运动的关系，主要 是建立运动物体的力学模型，亦即建立描述受力物体运 动状态变化的数学方程，称为动力学问题的根本方程和 普遍定理。
工程动力学的研究对象是质点和质点系〔包括刚体〕， 因此动力学一般分为质点动力学和质点系动力学，前者是 后者的根底。
第7章 质点动力学
研究作用在质点 上的力和质点运动之间的关系。本章主要介绍质点在惯 性与非惯性系下的运动微分方程和简单的振动问题。
v1
F v2
棒球在被球棒击打后， 其速度的大小和方向发 生了变化。如果这种变 化即可确定球与棒的相 互作用力。
v2 v1
B A
载人飞船的交会与对接
工程动力学主要研究两类问题，一类是：物体的运动，确 定作用在物体上的力；另一类是：作用在物体上的力，确定物 体的运动。实际工程问题中多以这两类问题的交叉形式出现。 总之，工程动力学研究作用在物体上的力系与物体运动的关系。
maa F
aa ae ar aC
m(ae ar aC ) F
mar F mae maC
m ar F FIe FIC
FIe m ae－称为牵连惯性力(connected inertial force) FIC m aC 2mω vr

第二节 动力学的基本定律
第一定律（惯性定律） 不受力作用的质点，将保持静止 或做匀速直线运动。
不受力作用的质点，不是处于静止状态，就是保持其原有的 速度（包括大小和方向）不变，这种性质称为惯性。第一定 律阐述了物体做惯性运动的条件，故又称为惯性定律。
第二定律（力与加速度之间的关系定律） 质点的质量与加速
（1）导板对物块的最大约束力及此时偏心C的位置。
（2）欲使物块不离开导板，求角速度 的最大值。
图8-4
解 （1）选物块M为研究对象，选坐标轴如图8-4（a）所示。
（2）画受力图，如图8-4（b）所示。FN 为导板约束力，W为M的自重。
（3）分析运动。由图8-4（a）可知，
M点的运动方程为
xM R esint a
可求作用于质点上的力F，也可求质点矢量形式的运动方
程 r r(t) 。
二、直角坐标形式的质点运动微分方程
将式（8-4）在直角坐标系Oxyz各轴上投影，得
由动运学有
max may
Fx Fy
maz
Fz
（8-5）
d2x
ax
dt 2
d2 y
ay
dt 2
d2z
az
dt 2
（8-6）
式中，x，y，z是质点M在直角坐标系Oxyz中的坐标。
力应理解为作用于质点的合力，即
n
F Fi i 1
图8-1
（2）力与加速度的关系是瞬时的关系，即只要某瞬时有力
作用于质点，则该瞬时质点必有确定的加速度。
（3）如在某一段时间内，没有力作用于质点，则在这段时间内质点 没有加速度，质点速度的大小和方向保持不变，质点在这段时间内 做惯性运动，这与第一定律是相符合的。