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理论力学9—质点动力学基本方程

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理论力学-质点动力学的基本方程 PPT课件

理论力学-质点动力学的基本方程 PPT课件
i
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k

理论力学第9章

理论力学第9章
重点与难点
重点：求解质点和平动刚体的两类动力学问题 难点：理解惯性坐标系与非惯性坐标系
§ 9-1 动力学的基本定律
质点动力学的基础是牛顿三大定律 第一定律 (惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。 ——惯性 第二定律（力与加速度之间关系定律） d (mv ) F dt 在经典力学范围内，质点的质量是守恒的，因此有：
例9-3 已知：一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg 的小球系 于长 l=0.3 m 的绳上,绳的另一端系在固定点O,并与 60 铅直线成 角。 求：如小球在水平面内作匀速圆周运动，小球 的速度与绳的张力。
解： 以小球为研究的质点
选取在自然轴上投影的运动微 分方程，得： v2 m F sin θ F cos mg 0 ρ 其中：ρ l sin θ mg F 1.96 N cos
动力学
导言
动力学:研究物体的机械运动与作用力之间的关系 动力学的基本问题大致分为两类： 1.已知运动求力； 2.已知力求运动。 具体学习以下内容： 质点动力学基本方程； 普遍定理：动量定理、动量矩定理、动能定理； 达朗贝尔原理； 虚位移原理
力学模型
1. 质点：具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 例如：研究卫星的轨道时，卫星 —— 质点 刚体作平动时，刚体 —— 质点
1.已知质点的运动规律，求作用于质点上的力
求两次导数得到质点的加速度，代入质点的 运动微分方程中，即可求解——求微分问题 2.已知质点上所受的力，求质点的运动规律 按作用力的函数规律进行积分，并根据具体 问题的运动条件确定积分常数——求积分问题
3.混合问题：第一类与第二类问题的混合.
例9-1 已知：曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度

第1学期《理论力学》复习要点_判断题

第1学期《理论力学》复习要点_判断题

2016—2017年第1学期《理论力学》复习要点适用于20150300401/2/3/4/5/6、20150300501/2、20150301701/2/3/4、20150500901/2班第三部分 复习参考题目_判断题第1章 静力学基础1．力系的合力一定比分力大。

（ ）2．若作用在刚体上的三个力的作用线汇交于同一点，则该刚体必处于平衡状态。

（ ）3．凡是大小相等、方向相反、作用线沿同一直线的两个力，都是二平衡力。

（ ）4．作用力与反作用力同样是一对平衡力，因为它也满足二力平衡条件中所说的两力大小相等、方向相反、作用线沿同一直线。

（ ）5．柔索类约束的约束力，其作用线沿柔索，其指向沿离开柔索方向而不能任意假定。

（ ）6．作用两个力，处于平衡的构件，是二力构件。

（ ）7．三力平衡汇交定理表明：作用在物体上汇交于一点的三个力必是平衡力系。

（ ）8．作用于物体的力可沿其作用线滑移，不改变原力对物体的外效应。

（ ）9．作用于物体同一平面上的三个力汇交，并不一定平衡；作用于物体同一平面上的三个力不汇交，并不一定不平衡。

（ ）10．约束力一定与主动力的方向相反。

（ ）11．静力学公理中，二力平衡公理和加减平衡力系公理适用于刚体。

（ ）12．根据力的平移定理，可以将一个力分解成一个力和一个力偶。

反之，一个力和一个力偶肯定能合成为一个力。

（ ）13．作用力与反作用力等值、反向、共线，因此它们组成平衡力系。

（ ）第2章 平面力系1．平面汇交力系平衡的充分与必要的几何条件是：力多边形自行封闭。

（ ） 2．若两个力1F 、2F 在同一轴上的投影相等，则这两个力相等，即12F F = 。

（ ）3．一个力不可能分解为一个力偶；一个力偶也不可能合成为一个力。

（ ）4．图示为分别作用在刚体上A 、B 、C 、D 点的4个共面力，它们所构成的力多边形自行封闭且为平行四边形。

由于多边形自行封闭，所以该4个力是平衡的。

理论力学9质点动力学基本方程ppt课件

理论力学9质点动力学基本方程ppt课件

小球在水平面内作匀速圆周运动。
a 0,
an
v2 r
12.5 m
s2
方向指向O点。
45º A B
60º
Or
A
FA
B
60º
FB O an
r
M
v
mg
建立自然坐标系得：
v2
m r FA sin 45 FB sin 60
(1)
0 mg FA cos 45 FB cos60 (2)
解得： FA 8.65 N, FB 7.38 N
9.3 质点动力学的两类基本问题
1. 力是常数或是时间的简单函数
v
t
mdv F(t)dt
v0
0
2. 力是位置的简单函数, 利用循环求导变换
dv dv dx v dv dt dx dt dx
v
x
mvdv F(x)d x
v0
x0
3. 力是速度的简单函数，分离变量积分
vm
t
d v dt
9.1 动力学的基本定律
第三定律（作用与反作用定律）
两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是 大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分 别作用在这两个物体上。
以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为 古典力学。
必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的 加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律 不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称 为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。
v0 F (v)
0
例例1 9如.1图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方
程为x＝a cos wt，y＝a sin wt，求作用在质点上的力F。
解：以质点M为研究对象。分析运 动：由运动方程消去时间 t，得

第九章 动量定理

第九章 动量定理
v v1
v v2 = 0
（a ）
理论力学电子教程
第九章 动量定理
【解】 1）以机车和车辆为研究对象。 以机车和车辆为研究对象。 （ 它们在撞击过程中相互作用力是内力， 它们在撞击过程中相互作用力是内力，作用在系统上的 外力除了铅垂方向的重力和轨道给车轮的法向反力外， 外力除了铅垂方向的重力和轨道给车轮的法向反力外，无其 它外力，故在挂钩过程中水平方向没有外力冲量， 它外力，故在挂钩过程中水平方向没有外力冲量，即系统的 动量在水平轴x方向是守恒的 方向是守恒的。 动量在水平轴 方向是守恒的。
将质点系中每个质点的动量定理相加， 将质点系中每个质点的动量定理相加，有
v v d v ∑ dt (mv ) = ∑ Fe + ∑ Fi v 因内力为零， 因内力为零，即 ∑ Fi = 0
故
v d v ∑ mv = ∑ Fe dt
理论力学电子教程
第九章 动量定理
各质点动量的矢量和， 表示， 各质点动量的矢量和，质点系的动量用 p 表示，即
x ∑ m&& = ∑ F ∑ m&y& = ∑ F ∑ m&z& = ∑ F
（9－17） － ） cy cz
cx
理论力学电子教程
第九章 动量定理
或
M&&c = ∑ Fcx x M&&c = ∑ Fcy y &&c = ∑ Fcz Mz
第九章 动量定理
例9-2 机车的质量为 m 1 ，车辆的质量为 m 2 ，它们系通过 相互撞击而挂钩的。若挂钩前， 相互撞击而挂钩的。若挂钩前，机车的速度为 v1 ，车辆处于 静止，如图（ 所示。 ；（2 静止，如图（a）所示。求（1）挂钩后的共同速度 u ；（2） 在挂钩过程中相互作用的动量和平均撞击力。 在挂钩过程中相互作用的动量和平均撞击力。设挂钩时间为t 轨道是光滑和水平的。 秒，轨道是光滑和水平的。

《理论力学》第九章质点动力学

《理论力学》第九章质点动力学
《理论力学》第九章质点动力 学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω

理论力学练习册及答案(南华版)

解：动点取曲柄OA上A点，
动系固连摇杆CB上，定系固连机架。
由速度合成定理 作速度平行四边形。
B点速度为：
由加速度合成定理 作加速度图。
取 方向投影，得：
B点加速度为：
7-4.半径为R的半圆形凸轮以匀速V0沿水平线向右平动，带动顶杆AB沿铅直方向运动，当OA与铅直线夹角为300时，求此时杆AB的速度和加速度。
解：动点取杆OA上A点，动系固连杆O1C上，定系固连机架。
由速度合成定理 作速度平行四边形。
由加速度合成定理 作加速度图。
取 方向投影，得：
再取动点杆O1C上C点，动系固连套筒B上，定系固连机架。
由速度合成定理 作速度平行四边形。
由加速度合成定理:
作加速度图。
取 方向投影，得：
取 方向投影，得：
第八章 刚体平面运动
分别取节点A、B为研究对象，受力如图
对于节点A： ，
(压)
对于节点B： , (压)
2-11.计算桁架中1、2、3杆的受力。
解：取I-I剖面右边部分为研究对象，受力如图。
,
(拉)
,
(压)
研究节点B: ，
(压)
第三章 空间力系
3-1.图示正立方体，各边长为a，四个力F1、F2、F3、F4大小皆等于F，如图所示，作用的相应的边上。求此力系简化的最终结果，并在图中画出。
8-7.四杆机构中，曲柄OA以匀角速度ω0=25 rad/s绕O轴转动，OA=50 cm，AB=100 cm，O1B= cm。求∠OAB=900时，B点的加速度，摇臂O1B的角速度和角加速度。
8-8.图示机构中，设当OA与水平线成450角的瞬时，曲柄OA有反时针方向的匀角速度ω＝25 rad/s，连杆AB水平，扇形板BD铅垂。求扇形板绕定轴D转动的角加速度ε。

第9章 质点动力学的基本方程

PAG 15
Northeastern University
§9-2 质点的运动微分方程
质量为m的炮弹以速度 发射, 的炮弹以速度v 例9-2 质量为 的炮弹以速度 0发射,v0与地面夹角为θ,求炮 弹的运动规律。 弹的运动规律。 以炮弹为研究对象， 解:⑴ 以炮弹为研究对象，画受力图 取坐标系， ⑵ 取坐标系，列微分方程
PAG 17
Northeastern University
§9-2 质点的运动微分方程
质量为m的小球以水平速度 射入静水,如水对小球的 的小球以水平速度v 例9-3 质量为 的小球以水平速度 0 射入静水 如水对小球的 阻力F与小球速度 的方向相反,而大小成正比 与小球速度v的方向相反 而大小成正比,即 阻力 与小球速度 的方向相反 而大小成正比 即F=-µv（µ为粘 （ 为粘 滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力, ）。忽略水对小球的浮力 滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力,试分析小球在重力和阻 力作用下的运动。 力作用下的运动。 以小球为研究对象， 解:⑴ 以小球为研究对象，画 受力图 取直角坐标系, ⑵ 取直角坐标系,列小球沿 x、y轴的运动微分方程 、 轴的运动微分方程 r r r F = − µvx i − µv y j
理论力学
Northeastern University
第九章 质点动力学的基本方程
静力学：研究物体在力系作用下的平衡条件 运动学：研究物体运动的几何性质 动力学：研究物体的机械运动与作用力之间的关系 质点：只计质量而忽略其形状和大小的物体
研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平移时，刚体 质点； 质点。
PAG 2
µ
m
t
PAG 20
Northeastern University

质点动力学的基本方程


y aC x ar
FS
maa Fi m(ae ar aC ) Fi
φ
F
a
n e
φ FN
mg
沿x方 向 投 影: m (a r aen ) F mg sin Fs 2 ( 0.2) F 2 9.8 sin57.3o Fs (1) 沿y方 向 投 影: maC FN mg cos
t m m y D2 e g ( 6) m m m C1 v 0 C 2 v0 0 可得 m2 m2 0 D1 2 g D2 2 g
t m 代入( 3) , (5) 式整理可得: x v0 (1 e m )

t m2 m m y 2 g(e 1) gt
k cos v x 1 0
例三
质量为m 的小球以水平速度vo 射入静水中. 水对小球的阻力F与 小球的速度方向相反, 而大小为F = μv , μ 为阻尼系数. 忽略水对 小球的浮力. 求小球在重力和阻力作用下的运动方程.
解：
O vo F M v mg x
y
取质点分析其受力及运动： 0 m x 0 C x Ct D x x eA cos kt m y
m x
0
vo
F
v
e A cos kt y m e y A sin kt E km e y 2 A cos kt Et F k m
0 (1) x m g ( 2) m y mg y y y m 先求二阶常系数齐次的 通解 x m x x （特征根法） 0 m 1 0 2 m

理论力学第七版第十章 动量定理

第九章 质点动力学的基本方程 课程回顾 1、牛顿三定律适用于惯性参考系
(1) 质点具有惯性，其质量是惯性的度量 质点具有惯性， (2)作用于质点的力与其所产生的加速度成比例 (2)作用于质点的力与其所产生的加速度成比例 (3)作用力与反作用力等值、方向、共线， (3)作用力与反作用力等值、方向、共线，分别 作用力与反作用力等值 作用于两物体上。 作用于两物体上。
§10-1 动量与冲量 10一、冲 量
单位： N·s 1、常力的冲量 常力与作用时间t的乘积 F·t 称为常力的冲量。并用I表 常力与作用时间t 称为常力的冲量。并用I 冲量是矢量，方向与力相同。 示，冲量是矢量，方向与力相同。
I = F⋅ t
2、变力的冲量 若力F是变力， 若力 是变力，可将力的作用时间 t 分成无数的微小时间 是变力 dt，在每个 dt 内，力 F 可视为不变。 可视为不变。 ， 元冲量——力 元冲量——力F在微小时间段 dt 内的冲量称为力F 的元冲量。 内的冲量称为力F 元冲量。 变力 F 在 t1~t2 时间间隔内的冲量为： 时间间隔内的冲量为：
§10-2 动量定理 10二、冲量定理
p2 − p1 = ∑∫ F dt ≡ ∑I
t1
t2
t2
(e)
具体计算时，往往写成投影形式， 具体计算时，往往写成投影形式，即
p2x − p1x = ∑∫ Fx dt ≡ ∑Ix
t1
(e)
p2y − p1y = ∑∫ Fy dt ≡ ∑Iy
t2 t1
(e)
p2z − p1z = ∑∫ F dt ≡ ∑Iz z
I = ∫ Fdt
t1
t2
§10-1 动量与冲量 102、变力的冲量
t
I =∫ F dt
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在他出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改嫁了，他不得 不靠他的外祖母养大。
1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年获文学学士学 位。
在大学期间他全面掌握了当时的数学和光学。
1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病，学校暂时停办，他 回到老家。 这段时间中他发现了二项式定律，开始了光学中的颜色实验， 即白光由7种色光构成的实验。
而且由于一次躺在树下看到苹果落地开始思索地心引力问题。
在30岁时，牛顿被选为皇家学会的会员，这是当时英国最高科 学荣誉。
牛顿及其在力学发展中的贡献
★ 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不同颜色 的光合成的，他提出了光的微粒说。
★ 牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地发明了 微积分，给出了二项式定理。
★ 牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然科学的 最重要贡献是他的巨著《自然哲学之数学原理》。
这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系统总结 了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总结的经典力学 系统称为牛顿力学。
9.1 动力学的基本定律
第一定律(惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。 质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。
v1
F
v2
棒球在被球棒击打后，其 速度的大小和方向发生了 变化。如果已知这种变化 即可确定球与棒的相互作 用力。
工程实际中的动力学问题
v2 v1
B A
载人飞船的交会与对接
工程实际中的动力学问题
航空航天器的姿态控制
工程实际中的动力学问题
高速列车的振动问题
牛顿及其在力学发展中的贡献
牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家中。
9.1 动力学的基本定律
必须指出的是：
质点受力与坐标无关，但质点的加速度与坐标的选择有关。 因此牛顿第一、第二定律不是任何坐标都适用的。 凡牛顿定律适用的坐标系称为惯性坐标系。 反之为非惯性坐标系。
随着人们研究问题的不同，所取的惯性参考系也不相同。 例如：研究人造卫星的运动，可取以地心为原点，三轴指向三 颗恒星的坐标系为惯性系。 在一般工程问题中，把固结于地面的坐标系或相对地面作匀速 直线运动的坐标系作为惯性系。
9.2 质点的运动微分方程
1. 矢量形式的质点运动微分方程
d2 r n
质点运动微分方程在直角坐标轴上投影
d2 x
m dt2
n i 1
Fxi ,
d2 y m dt2
n i 1
Fyi
d2 z m dt2
n i 1
Fzi
n
Fxi ,
i 1
d2 y m dt2
工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力作用下从甲板上起飞
工程实际中的动力学问题
若已知推力和跑道可能长 度，则需要多大的初速度 和一定的时间间隔后才能 达到飞离甲板时的速度。
若已知初速度、一定的时 间间隔后飞离甲板时的速 度，则需要弹射器施加多 大推力，或者确定需要多 长的跑道。
工程实际中的动力学问题
n i 1
Fyi
d2 z m dt2
n i 1
Fzi
y n Fyi i 1
m
d2 dt
z
2
n i 1
Fzi
9.2 质点的运动微分方程
3. 质点运动微分方程在自然轴上投影
d v n
v2 n
n
m dt
Ft i ,
i 1
m
Fn i ,
i 1
0
Fb i
i 1
n
Ft i ,
1
v2 m
n
Fn i ,
9.1 动力学的基本定律
第二定律(力与加速度关系定律)
质点的质量与加速度的乘积，等于作用质点的力的大小，加 速度的方向与力的方向相同。
d
(mv)
F
或
dt
ma F
在经典力学中质点的质量是守恒的，因此上面两式等价，在相 对论力学中，指点的质量与速度有关，质量已不再是常量，上 面两式也不等价。其中第一式仍然成立，第二式则不再成立。
9.1 动力学的基本定律
质点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的 惯性越大。
因此，质量是质点惯性的度量。上式是推导其它动力学方程 的出发点，称为动力学基本方程。
在地球表面，任何物体都受到重力 P 的作用。
在重力作用下得到的加速度称为重力加速度，用 g 表示。
由第二定律有
P mg
或
m P g
x0
3. 力是速度的简单函数，分离变量积分
vm
t
d v dt
v0 F (v)
0
9.3 质点动力学的两类基本问题
例1 如图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动
i 1
0
n
Fb i
i 1
n
n
Fni , 0 Fbi
1
i 1
9.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：
已知质点的运动，求作用在质点上的力。这类问题其实质可归 结为数学上的求导问题。 第二类基本问题：
已知作用在质点上的力，求质点的运动。这类问题其实质可归 结为数学上的解微分方程或求积分问题。
9.3 质点动力学的两类基本问题
1. 力是常数或是时间的简单函数
v
t
mdv F(t)dt
v0
0
2. 力是位置的简单函数, 利用循环求导变换
dv dv dx v dv dt dx dt dx
v
x
mvdv F(x)d
v0
x0
dx v dv dt dx
v
x
mvdv F(x)d x
v0
动力学引言
动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。 动力学中所研究的力学模型是质点和质点系(包括刚体)。 质点:具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。
质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。 刚体：质点系的一种特殊情形，其中任意两个质点间的距离保 持不变，也称不变的质点系。
g 9.78049 (1 0.0052884 sin2 0.0000059 sin2 2)
Φ为纬度
国际计量标准g＝9.80665 m/s2，一般取g＝9.8 m/s2
9.1 动力学的基本定律
在国际单位制(SI)中，长度、时间、质量为基本量。 它们的单位以米(m)、秒(s)和千克(kg)为基本单位。 其它量均为导出量，它们的单位则是导出单位。 第三定律（作用与反作用定律） 两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是大小相等、方向 相反，沿着同一作用线同时分别作用在这两个物体上。 以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为古典力学。 它认为质点的质量是不变的，时间和空间是绝对的。