理论力学质点动力学

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第0章
本理论力学课件仅为浙江大学物理系在读本科学生使用，版权所有，他用 必究。 浙江大学物理系王晓光郑重声明。2010年7月。
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第 1 章 质点动力学
1.1 牛顿动力学方程
牛顿(Isaac Newton，1642-1727)，生于林肯郡。英国物理学家、天文学家和 数学家。 牛顿谦虚自评：我不知道在别人看来，我是什么样的人；但在我自己看 来，我不过就象是一个在海滨玩耍的小孩，为不时发现比寻常更为光滑的一块 卵石或比寻常更为美丽的一片贝壳而沾沾自喜，而对于展现在我面前的浩瀚的 真理的海洋，却全然没有发现。 他所发现的这一片贝壳，即牛顿第二定律： ˙ , t), m¨ r = F(r, r (1.1)
第1章
er 和 eθ 是两个正交的单位矢量，即， er • er = 1, eθ • eθ = 1, er • eθ = 0. 由前面的公式还可以得到如下关系： ˙ eθ , ˙r = θ e ˙ er ˙ θ = −θ e ¨eθ − θ er . ¨r = θ e 现在来看：(i) 极坐标系下的牛顿方程。坐标表示为r = rer ，对其求二阶导 数，我们有 ¨ ˙ r + re ¨r r = r ¨er + 2r ˙e ˙2 )er + (2r ˙ + rθ ¨)eθ = (¨ r − rθ ˙θ = F/m = (Fr er + Fθ eθ )/m 于是得到极坐标系下的牛顿方程： ˙2 ) = Fr m(¨ r − rθ ˙ + rθ ¨) = Fθ m(2r ˙θ (ii) 平面极坐标下的动能表示： 第一种方法：由等式， ˙ x ˙1 = r ˙ cos θ − r sin θθ ˙ x ˙2 = r ˙ sin θ + r cos θθ 可以得到， 1 1 ˙2 ). ˙2 ˙2 ˙ 2 + r2 θ T = m(x 1+x 2 ) = m(r 2 2 (1.16) (1.17) (1.14) (1.15) ˙2 (1.12)
1.3 各种坐标系下的牛顿方程
(1) 直角坐标 由坐标 r = x1 i + x2 j + x3 k = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 , ei · ej = δij = 0 i=j 1 i=j (1.7)
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Figure 1.2: 平面极坐标 (i) 各分量的动力学方程： mx ¨1 = F1 (x1 , x2 , x3 ; x ˙ 1, x ˙ 2, x ˙ 3 , t), mx ¨2 = F2 (x1 , x2 , x3 ; x ˙ 1, x ˙ 2, x ˙ 3 , t), mx ¨3 = F3 (x1 , x2 , x3 ; x ˙ 1, x ˙ 2, x ˙ 3 , t). (ii) 动能： 1 T = m 2
(1.23)
1 ˙2 + z T = m(r ˙ 2 ). ˙ 2 + r2 θ 2
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Figure 1.4: 球坐标 (4) 球坐标 x1 = r sin θ cos φ, x2 = r sin θ sin φ, x3 = r cos θ, r ∈ [0, ∞), θ ∈ [0, π ], φ ∈ [0, 2π ). 如果用er , eθ , eφ 表示三个参数增加方向的单位矢量，我们有， er = sin θ cos φi + sin θ sin φj + cos θk eφ = cos(φ + π/2)i + sin(φ + π/2)j = − sin φi + cos φj eθ = eφ × er = cos θ cos φi + cos θ sin φj − sin θk = er (θ + π/2, φ). 写成矩阵形式， er sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ i i eθ = cos θ cos φ cos θ sin φ − sin θ j = R j eφ − sin φ cos φ 0 k k 易证明R 是一个正交矩阵，满足RT R = 1. i er sin θ cos φ cos θ cos φ − sin φ er T j = R eθ = sin θ sin φ cos θ sin φ cos φ eθ k eφ cos θ − sin θ 0 eφ 8 (1.27) (1.26) (1.25)
3
(1.8)
x ˙2 i.
i=1
(1.9)
(iii) 角动量：J = r × p。写成分量的形式(利用公式1.4)： Jx = ypz − zpy , Jy = zpx − xpz , Jz = xpy − ypx . (2) 平面极坐标 x1 = r cos θ, x2 = r sin θ, r ∈ [0, ∞), θ ∈ [0, 2π ). er 表示沿r 增加的方向的单位矢量；eθ 表示沿θ 增加的方向的单位矢量。 对于单位矢量有如下关系： er = cos θi + sin θj, eθ = cos(θ + π/2)i + sin(θ + π/2)j = − sin θi + cos θj, 5 (1.11) (1.10)
1.6 1.7 1.8
有心力场中的开普勒问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 有心力场中的散射问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 最速落径问题和变分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
×b) ˙ ，我们有， 利用数学上的公式， d(adt =a ˙ ×b+a×b t2 t1
(1.2)
Fdt；动量的变化等于冲量。如果F = 0，则p2 =
dJ d(r × p) ˙ = r × F = M. = =r×p dt dt 这就是角动量定理。角动量的变化率等于力矩。 如果力矩M = 0，则dJ/dt = 0，意味着角动量守恒。 (3) 能量 (i) 动能： T = 1 mv 2 = 1 mv · v = 2 2 元功：dW = F · dr。 2
(1.20) (1.21)
(iii) 动量：
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Figure 1.3: 柱坐标 (3) 柱坐标：平面极坐标和一维直角坐标的组合。
x1 = r cos θ, x2 = r sin θ, x3 = z, r ∈ [0, ∞), θ ∈ [0, 2π ), z ∈ (−∞, ∞). (i) 柱坐标系下的牛顿方程： ˙2 ) = Fr , m(r ˙ − rθ ˙ + rθ ¨) = Fθ , m(2r ˙θ mz ¨ = Fz . 对于r = rer + z k有， ˙ eθ + z ˙ = 0), ˙ =r r ˙ er + r θ ˙ k (k (ii) 动能：
p2 。 2m
(1.3)
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总功：W =
·b) ˙ ，可得， 利用数学公式： d(a =a ˙ ·b+a·b dt
r2 r1
F · dr。
˙ = mv ˙ ·v =p T ˙ · v = F · v, dT = dW, T2 − T1 = W. 力对物体所作的功等于动能的增加。 (ii) 势能 保守力：如果力满足 ∇ × F = 0，即力的旋度为零，则此力称为保守力。 势能：根据Stokes 定理有 F · dr = (∇ × F) · dS = 0，总功为零。根据 矢量分析，存在单值标量函数 V (r)，使得 F = −∇V (r)，这里V (r) 即是势能。 定理：如果 ∇ × F = 0，则存在标量V ，使得F = −∇V 。 证明：（1）必要性： ∇ × F = −∇ × (∇V ) = −∂i ei × ∂j V ej =− =− = =
r
F · dr = V (r) − V (0)
0 r
=
0 r
dV ∂V ∂V ∂V dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∇V · dr.
0
=
0 r
=
r
(F − ∇V ) · dr = 0.
0 r
(1.6)
因为路径是任意的，故F = ∇V ，可以看出V (r) = V (0) + 0 F · dr，只要知 道保守力的表达式，即可由此得到势能的表达式。注意，这里如果假定无穷远 处为能量零点，即可得F = −∇V 。 (iii) 机械能 机械能：势能和动能之和 T + V 。 对于保守力，我们有 dT = F • dr = −∇V (r) • dr = −dV 。 于是，d(T + V ) = 0，即机械能守恒。
Contents
1 质点动力学 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 牛顿动力学方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 动量、角动量和能量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 各种坐标系下的牛顿方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 4
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(1.4)
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Einstein 求和约定：重复指标代表求和。 (2)充分性 Stokes 定理有， F · dr =
r
(∇ × F) · dS = 0.
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