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理论力学-8-质点动力学

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理论力学-质点动力学的基本方程 PPT课件

理论力学-质点动力学的基本方程 PPT课件
i
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k

注册工程师基础《理论力学》-动力学

注册工程师基础《理论力学》-动力学

x
a
P1 M
W
ma = P1 − W
P1
=W
+W g
a
答案：B
一、质点动力学
[例 题]
G F
已知：以上抛的小球质量为m，受空气阻力
G = −k v
，则对图示坐标轴Ox，小球的运动微
分方程为：
（A） mx = mg− kx
（B） mx = −mg− kx （C） mx = −mg+ kx （D） mx = mg+ kx
J OO
=
J CC
+
m( l )22 2
=
1 3
ml 22
O
zC
z1
C
d
C
m
l
二、动力学普遍定理
1、物理量
（5）力的功 ● 常力的功
M1
F M2
θv
W = F cosθ S
S
● 变力的功
G MM22
G MM22
∫ ∫ W1122 = F ⋅ dr = F cosθ ds
MM11
MM11
● 重力的功
二、动力学普遍定理
（7）动能定理
T2－T1＝W12
（8）机械能守恒
T +V = E = 常数
2．定理
二、动力学普遍定理
2．定理
质量相同的两均质圆盘，放在光滑水平面 上，在圆盘的不同位置上，各作用一水平力F 和F′，使圆盘由静止开始运动，设F = F′， 试判断那个圆盘动能大？
A F′ B F
三、达朗贝尔原理
x B
maCx = Fx = 0
答案：C
二、动力学普遍定理
2．定理
（4）动量矩定理

理论力学第10章 质点动力学

理论力学第10章 质点动力学
4 4
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。

《理论力学》第九章质点动力学

《理论力学》第九章质点动力学
《理论力学》第九章质点动力 学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω

理论力学 第8章 动力学普遍定理

理论力学 第8章 动力学普遍定理

xC

mi
M
xi
,
yC

mi
M
yi
,
zC

mi
M
zi
10
在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采 用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质 心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学 意义。 二、质点系的内力与外力 外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。 内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
6
1.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题） 已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。变力可能是时间、 位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。
7
例1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度 转
只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系 的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。
20
[例3] 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另 放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角 形柱体的位移。
解：选两物体组成的系统为研究对象。
受力分析， Fx(e) 0, 水平方向 Px 常量。
l2 r2 l
得 F mr2 2 l 2 r 2
9
质点系的质心，内力与外力
一.质点系的质心 质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的 一个重要概念。
质心 C 点的位置： (M mi )
rC

mi
M
ri
或 MrC mi ri

质点动力学的基本方程

质点动力学的基本方程

y aC x ar
FS
maa Fi m(ae ar aC ) Fi
φ
F
a
n e
φ FN
mg
沿x方 向 投 影: m (a r aen ) F mg sin Fs 2 ( 0.2) F 2 9.8 sin57.3o Fs (1) 沿y方 向 投 影: maC FN mg cos
t m m y D2 e g ( 6) m m m C1 v 0 C 2 v0 0 可得 m2 m2 0 D1 2 g D2 2 g
t m 代入( 3) , (5) 式整理可得: x v0 (1 e m )

t m2 m m y 2 g(e 1) gt
k cos v x 1 0
例三
质量为m 的小球以水平速度vo 射入静水中. 水对小球的阻力F与 小球的速度方向相反, 而大小为F = μv , μ 为阻尼系数. 忽略水对 小球的浮力. 求小球在重力和阻力作用下的运动方程.
解：
O vo F M v mg x
y
取质点分析其受力及运动： 0 m x 0 C x Ct D x x eA cos kt m y
m x
0
vo
F
v
e A cos kt y m e y A sin kt E km e y 2 A cos kt Et F k m
0 (1) x m g ( 2) m y mg y y y m 先求二阶常系数齐次的 通解 x m x x （特征根法） 0 m 1 0 2 m

(完整版)理论力学_动力学课件

(完整版)理论力学_动力学课件

dpx
/
dt


F (e) x
dp y
/
dt


F (e) y
微 分 形
dpz
/
dt


F (e) z
式
px

p0 x


I
(e) x
py

p0 y


I
(e y
)
积 分 形
pz

p0 z


I
( z
e
)
式
12 动量矩定理 12.1 质点和质点系的动量矩
理论力学 （运动学）
教 材:《理论力学》 陈国平 罗高作 主编 武汉理工大学出版社
参考书: 《建筑力学》 钟光珞 张为民 编著 中国建材工业出版社
《建筑力学》 周国瑾等 编著 同济大学出版社
《理论力学》 范钦珊 主编 清华大学出版社
10 质点动力学
第10章 质点动力学的基本方程
§10-1 动力学的基本定律
画受力图
（2） 研究对象运动分析
（3） 列方程求解求知量
Fx

F

P sin


P g
a
Fy FN P cos 0

y
x
a
F
F
P(sin
a g ), FN

P cos
P
FN
F f FN
f min

a
g cos
tan
11 动量定理 §11-1 动量与冲量
§11-2 动量定理
1. 质点的动量定理
dp d(mv) ma F dt dt

理论力学总复习(3).

理论力学总复习(3).

R ，质量为
m的匀质圆盘在其自身平面内作平面运动。
点速度大小为 B
在图示位置时，若已知图形上 A、B 二点的速度方向如图所示。
45 ，且知
v B ，则圆轮的动能为
②
2、已知匀质杆长L，质量为m，端点B的速度为v，则杆的动能为 ②
3、图示三棱柱重P，放在光滑的水平面上，重Q的匀质圆柱体静止释放后
(a 0 g ) sin / L 0
1、倾角为 的楔形块A质量为 m1 ，置于光滑水平面上，物块B的 质量为 m2 ，放置在楔块斜面上。系统由静止开始运动。求A、 B的相互作用力。（不计两物块之间的摩擦）
第九章 质点系动力学基础
一、是非题
1、任意质点系（包括刚体）的动量可以用其质心（具有系统的质量）的动量来 表示。 （√ ） 2、质点系中各质点都处于静止时，质点系的动量为零。于是可知如果质点系的 动量为零，则质点系中各质点必须静止。 （ ×） 3、不管质点系作什么样的运动，也不管质点系内各质点的速度如何，只要知道 质点系的总质量和质点系质心的速度，即可求得质点系的动量。 （√ ） √ 4、冲量的量纲与动量的量纲相同。 （ ） 5、质点系对某轴的动量矩等于质点系中各质点的动量对同一轴之矩的代数和。 （√ ） 6、刚体的质量是刚体平动时惯性大小的度量，刚体对某轴的转动惯量则是刚体 绕该轴转动时惯性大小的度量。 （ ） √
1、半径为r，质量为M的光滑圆柱放在光滑水平面上，如图所示。一质 量为m的小球从圆柱顶点无初速下滑，试求小球离开圆柱前的轨迹。
2、重为 W1 的物体A，沿三棱体D的光滑斜面下降，同时借一绕过滑轮 C的绳子使重为 W2 的物块B运动。三棱体D重为 W 0 ，斜面与水平 面成 角，如略去绳子和滑轮的重量，求三棱体D给凸出部分E

理论力学 质点动力学

理论力学 质点动力学

第8章质点动力学
[例8-1]桥式起重机跑车吊挂一质量为m的重物，沿水平横梁作
ν
匀速运动，速度为，重物中心至悬挂点距离为l。

突然刹车，
重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。

解：1）以重物为研究对象2）受力分析mg
F T
a n a t 3）运动分析4）牛顿第二定律
ϕ
sin mg ma t −=ϕ
cos mg F ma T n −=∑=t
t F ma ∑=n
n F ma 5）补充方程
ϕsin mg dt
dv
m −=ϕcos 2
mg F l
v
m T −=
mg
F T
a n a t ϕsin mg dt
dv
m −=ϕcos 2
mg F l
v
m T −=0<dt
dv 重物减速
=ϕ0
max v v =max
T T , 0F F ==时ϕ)
1(20
max
T gl
v
mg F +=
a n
F N
a t
a n
ma
mg
F N
a t a n
mg
O
解释非惯性系一些物理现象
飞机急速爬高时
飞行员的黑晕现象
爬升时：a > 5g
惯性参考系——地球
非惯性参考系——飞机
动点——血流质点
牵连惯性力向下，从心脏流向头部的血流受阻，造成大脑缺血，形成黑晕现象。

飞行员的黑晕与红视现象
在北半球的弹道偏右;在南半球的弹道偏左
a
C
F
IC。

理论力学第八章

理论力学第八章

？
几个有意义的实际问题
偏心转子 为什么要 固定，如 果不固定 会怎样
几个有意义的实际问题
偏心转子 电动机工作 时为什么会 左右运动；
这种运动有 什么规律； 会不会上 下跳动； 利弊得失。
？
几个有意义的实际问题
偏心转子 没有跳起 时，质心 运动情况
几个有意义的实际问题
偏心转子 有跳起时， 质心运动 情况
工程实际中的动力学问题
v1
F
v2
棒球在被球棒 击打后，其速度 的大小和方向发 生了变化。如果 已知这种变化即 可确定球与棒的 相互作用力。
工程实际中的动力学问题
载人飞船的交会与对接
v2 v1
B A
工程实际中的动力学问题
航空航天器 的姿态控制
工程实际中的动力学问题
高速列车的振动问题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
工程实际中的动力学问题
1. 直角坐标系投影式
z
ma F
O x
M
r z y
a
y
x
v
F
d r m 2 dt
2
F
直角坐标形式
d2x m 2 Fx ma x m x dt d2y m 2 Fy ma y m y dt d 2z m 2 Fz ma z m z dt
牛顿及其在力学发展中的贡献
牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家中。 在他出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改嫁了， 他不得不靠他的外祖母养大。
1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年获文 学学士学位。在大学期间他全面掌握了当时的数学和光 学。1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病，学校暂 时停办，他回到老家。这段时间中他发现了二项式定律， 开始了光学中的颜色实验，即白光由7种色光构成的实 验，而且由于一次躺在树下看到苹果落地开始思索地心 引力问题。在30岁时，牛顿被选为皇家学会的会员，这 是当时英国最高科学荣誉。

理论力学课件-动力学精选全文完整版

理论力学课件-动力学精选全文完整版
第一类问题-----已知质点的运动，求作用在质点上的力； 第二类问题-----已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。
26
总结 4.求解质点动力学问题的步骤：
（1）根据题意确定研究对象，选择恰当的坐标系； （2）分析研究对象的受力情况，作受力图； （3）分析研究对象的运动情况； （4）列出质点的动力学基本方程，然后求解；如是第二类问题，
（相对地面静止或作匀速直线平动的参考系）
(3)矢量性和瞬时性
二. 质点运动微分方程
F
ma
m
dv dt
m
d2r dt 2
6
利用合矢量投影定理 ,可以在直角坐标系, 自然坐标系及其他坐标系中建立投影方程.
1.质点运动微分方程在直角坐标系上的投影
d2x m dt 2 XFx
m
d2y dt 2
YFy
m
还需根据初始条件确定积分常数。
27
作业
• 9-2 • 9-12
28
例题：电梯以加速度a上升，在电梯地板上，放
有质量为m的重物。求重物对地板的压力。 解：取重物为研究对象
进行受力分析与运动分析。
Fy= m ay
N - mg=m a
mg
N=mg+ma=N'
（静约束力；附加动约束力）
a
讨论：若加速度方向向下 N
b
l
FT
n
r
v
τ
z
mg
m
dv dt
F
t
0
m
v2 r
F
n
FT sin 600
0 F b mg FT cos 600
FT
mg cos 600
19.6N

理论力学习题册

理论力学习题册

5
理论力学习题册
第 3 章 力系的平衡
3－2 图示为一绳索拔桩装置。绳索的 E、C 两点拴在架子上，点 B 与拴在桩 A 上的绳 索 AB 连接，在点 D 加一铅垂向下的力 F，AB 可视为铅垂，DB 可视为水平。已知 a = 0.1rad， 力 F = 800N。试求绳 AB 中产生的拔桩力（当 a 很小时，tan a ≈ a ）。
21
理论力学习题册
11－10 在图示机构中，鼓轮 B 质量为 m，内、外半径分别为 r 和 R，对转轴 O 的 回转半径为 ，其上绕有细绳，一端吊一质量为 m 的物块 A，另一端与质量为 M、 半径为 r 的均质圆轮 C 相连，斜面倾角为，绳的倾斜段与斜面平行。系统由静止 开始随圆轮 C 的纯滚动向右滑落。试求：（1）鼓轮的角加速度；（2）斜面的摩擦力 及连接物块 A 的绳子的张力（表示为的函数）。
9－7 匀质杆 AB 长 2l，B 端放置在光滑水平面上。杆在图示位置自由倒下，试求 A 点 轨迹方程。
18
班级
姓名
学号
第 10 章 动量矩定理及其应用
10－2 图示系统中，已知鼓轮以的角速度绕 O 轴转动，其大、小半径分别为 R、r， 对 O 轴的转动惯量为 JO；物块 A、B 的质量分别为 mA 和 mB；试求系统对 O 轴的动量矩。
6－8 图示为偏心凸轮－顶板机构。凸轮以等角速度 绕点 O 转动，其半径为 R，偏心 距 OC = e，图示瞬时 = 30°。试求顶板的速度和加速度。
13
理论力学习题册
*6－9 摇杆 OC 绕 O 轴往复摆动，通过套在其上的套筒 A 带动铅直杆 AB 上下运动。 已知 l = 30cm，当 = 30° 时， = 2 rad/s， = 3 rad/s2，转向如图所示，试求机构在图 示位置时，杆 AB 的速度和加速度。

精品课件-理论力学第十章 质点动力学基本方程(Y)

精品课件-理论力学第十章 质点动力学基本方程(Y)
惯性——物体具有保持其原有运动状态的特征
第三定律 (作用与反作用定律):
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向 相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。
第二定律（力与加速度关系定律）：
ma F ——合力矢
在力的作用下物体所获得的加速度的大小与作用力的大 小成正比，与物体的质量成反比，方向与力的方向相同。 在外力作用下，物体所获得的加速度不仅与外力有关， 而且还决定于物体本身的特征—— m 惯性
(1 )F 不， 变 a ， m
物体的运动状态容易改变——惯性小
(2)F 不， 变 a， m
物体的运动状态不易改变——惯性大
力的单位:牛[顿],
1N1kg1ms2
二、质点的运动微分方程
ma Fi
m
d2 dt
r
2
Fi
ma F
矢量形式的微分方程
1 、在直角坐标轴上的投影 aaxiayjazk
理论力学第十章 质点动力学 基本方程(Y)
动力学的力学模型
质点：质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 地球绕太阳的公转——质点 刚体的平动——质点
质点系：系统内包含有限或无限个质点，这些质点都具有惯性， 并占据一定的空间；质点之间以不同的方式连接或者 附加以不同的约束。 地球的自转——质点系
kt m


y

v0
m sin k
kt m
x x0
vx 0
y0 vy v0
A1 x0 B1 0
A2 0
B2 v0
m k
解法二： mx Fx kx
my Fy ky
（1） m x kx

理论力学习题-质点动力学基本方程

理论力学习题-质点动力学基本方程

理论力学习题-质点动力学基本方程.(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--104第9章 质点动力学基本方程一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1. 凡是适合于牛顿三定律的坐标系称为惯性参考系。

( √ )2. 一质点仅受重力作用在空间运动时，一定是直线运动。

( × )3. 两个质量相同的物体，若所受的力完全相同，则其运动规律也相同。

( × )4. 质点的运动不仅与其所受的力有关，而且还和运动的初始条件有关。

( √ )5. 凡运动的质点一定受力的作用。

( × )6. 质点的运动方向与作用于质点上的合力方向相同。

( × )二、填空题1．质点是指大小可以忽略不计，但具有一定质量的物体。

2．质点动力学的基本方程是∑=i m F a ，写成自然坐标投影形式为∑=τF dt s d m22∑=nFv m ρ2∑=b F 0。

、 、1053．质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。

4．质量为m 的质点沿直线运动，其运动规律为0ln(1)v t x b b=+，其中0v 为初速度，b 为常数。

则作用于质点上的力=F 2020()mbv b v t -+。

5．飞机以匀速v 在铅直平面内沿半径为r 的大圆弧飞行。

飞行员体重为P ，则飞行员对座椅的最大压力为2(1)vP gr+。

三、选择题1．如图所示，质量为m 的物块A 放在升降机上， 当升降机以加速度a 向上运动时，物块对地板的压力等于( B )。

(A) mg(B) )(a g m +(C) )(a g m -(D) 02．如图所示一质量弹簧系统，已知物块的质量为m ，弹簧的刚度系数为c ，静伸长量为s δ，原长为0l ，若以弹簧未伸长的下端为坐标原点，则物块的运动微分方程可写成( B )。

(A) 0=+x m cx(B) 0)(=-+s x mcxδ (C) g x m cx s =-+)(δ (D) 0)(=++s x mcxδ 3．在介质中上抛一质量为m 的小球，已知小球所受阻力R kv =-，坐标选择如图所示，试写出上升段与下降段小球的运动微分方程，上升段( A )，下降段( A )。

理论力学质点动力学

理论力学质点动力学

˙ 、和时 质点的加速度¨ r 和作用力F 成正比。一般情况下，力可以是坐标r、速度r 间t 的函数。这里m 为惯性质量。
1.2 动量、角动量和能量
(1) 动量与冲量 动量的定义：p = mv；冲量：Fdt； 动量定理： ˙ = F(r, r ˙ , t), p dp = Fdt；动量对时间的变化率等于力。 冲量定理：p2 − p1 = p1 ，意味着动量守恒。 (2) 角动量与力矩 角动量的定义：J = r × p. 力矩：M = r × F.
Contents
1 质点动力学 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 牛顿动力学方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 动量、角动量和能量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 各种坐标系下的牛顿方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 4
r
F · dr = V (r) − V (0)
0 r
=
0 r
dV ∂V ∂V ∂V dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∇V · dr.
0
=
0 r
=
r
(F − ∇V ) · dr = 0.
0 r
(1.6)
因为路径是任意的，故F = ∇V ，可以看出V (r) = V (0) + 0 F · dr，只要知 道保守力的表达式，即可由此得到势能的表达式。注意，这里如果假定无穷远 处为能量零点，即可得F = −∇V 。 (iii) 机械能 机械能：势能和动能之和 T + V 。 对于保守力，我们有 dT = F • dr = −∇V (r) • dr = −dV 。 于是，d(T + V ) = 0，即机械能守恒。

理论力学第8章动力学普遍定理3

理论力学第8章动力学普遍定理3


W 得
i
2Q 9 P 2 2 l 0 M 12 g
——（*）

2 l
3 gM 2Q 9 P
将（*）式对t 求导数，得
2Q 9 P 12 g l 2
2
d dt
M
d dt


d dt
T 1 2 mv
2

1 2
J A
2

1 2
mv
2
JA
1 2
mr , v r
2
T
5 4
mv
2
当圆盘A质心沿斜面向下运动dS时：
δW
5 4
i
2 mg d S sin f mg d S cos mg d S ( 2 sin f cos )
由动能定理的微分形式dT=∑Wi得：
δ W F d s F r d m z ( F ) d
2
W
1

m z ( F )d
若 m z ( F ) 常量，则
W m z ( F )( 2 1 )
7
如果作用力偶m , 且力偶的作用面垂直转轴，则
W md
1 2
W 若m = 常量, 则 注意：功的符号的确定。
注意：圆轮作纯滚动时摩擦力F不做功
( d r 0 )
(2) 滚动摩擦阻力偶m的功 若m = 常量则 6．约束反力的功 约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。
W m m s R
即：理想约束的约束反力做功为零。
9
（1）光滑支承面
N dr δW N dr 0
2
——质点动能定理的微分形式
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n
ma Fi F i 1
质量是质点惯性的度量。
合外力
上式是推导其它动力学方程的出发点，称为动力学基本方程。
8.1.1 理论基础：牛顿定律与微积分
◆ 牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是大小相 等、方向相反，沿着同一作用线同时分别作用在这两个 物体上。 以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为古典力学。
第三篇 动力学
爆破时烟囱怎样倒塌
第三篇 动力学
2011年11月3日神八和天宫首次交会
v1
A
v2
B
第三篇 动力学
航空航天器 的姿态控制
第三篇 动力学
高速列车的振动问题
第三篇 动力学
动力学的研究的研究对象是：质点和质点系(包括刚体)。
质点
质点系
刚体
第三篇 动力学
动力学的研究任务是：力和运动之间的关系。 v1
8.2 质点动力学的两类基本问题
n
ma Fi F i 1
微分
第一类基本问题：已知运动，求力。 如：万有引力定律的发现。
牛顿在总结前人的研究成果： 1）哥白尼（1473－1543） 日心说 2）第谷·布拉赫（1546－1601）积累的天文观察资料 3）开普勒（1571－1630）行星三定律 总结出万有引力定律，写出了《自然哲学之数学原理》一书 (1687年) 。
运动：圆周运动；方程：自然坐标形式的运动微分方程为
m v2
l sin
n
Fin
i 1
F sin
1
n
mab Fib = F cos - mg 0 2
i 1
解得 F mg 1.96N
cos
ms Fiτ
i
m s2
i
Fin
mab Fib
i
v
Fl sin 2
m
2.1m s
8.2 质点动力学的两类基本问题
s l , s l,s l
单摆的运动微分方程
ms mg sin
m
s2 l
FN
mgHale Waihona Puke cosg sin 0
l
FN
mgcos
m v2 l
杆对球约束力表达式
8.2 质点动力学的两类基本问题
例题3
2. 分析摆的运动 g sin 0
l
（1）微幅摆动
g sin 0
FN
mgcos
例题4
一圆锥摆,如图所示。 质量m=0.1kg的小球系于长 l=0.3m 的绳上,绳的另一端 系在固定点O,并与铅直线成 θ＝60°角。如小球在水平 面内作匀速圆周运动。
求：小球的速度v与绳 的张力F。
第几类问题？
8.2 质点动力学的两类基本问题
例题4
解：对象：小球；受力：小球的受重力及绳子的拉力如图所示；
o
r
mg
例题5
已知：质点与圆柱面间 的动滑动摩擦因数为 f，圆柱 半径为 r 为1m。
求： （1）建立质点的运动微 分方程； （2）分析其运动。
8.2 质点动力学的两类基本问题
Fo
解：对象：质点 受力：如图
FN n r
运动：圆周运动 方程：质点运动微分方程为
当： 0
mg
ms mr mg cos F
wn2 sin 0
大
幅
摆
动
不
/ rad
具
有
等
时
性
t/s
8.2 质点动力学的两类基本问题
例题3
3. 在运动已知的情形下求杆对球的约束力 ：
g sin 0
l
FN
mgcos
m
v2 l
根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 s&2 l&2 l2&2
FN
mgcos
m
l 2&2
l
8.2 质点动力学的两类基本问题
◆ 牛顿第一定律 （惯性定律）
不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
合外力为零
保持运动状态 不改变的性质
惯性
8.1.1 理论基础：牛顿定律与微积分
◆ 牛顿第二定律
质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大 小，加速度的方向与力的方向相同。
d(mv)
dt
n i 1
Fi
在经典力学中质点的质量是守恒的
1、“质点运动微分方程”：初等数学知识；高等数学的 方法。 2、要画受力图，给力“命名”。 3、方程依据：静力学平衡方程；质点运动微分方程。
附录： 第8章习题解答
8－1
8－1 图示滑水运动员刚接触跳台斜面时，具有平行于斜面方向的速度40.2km/h，忽略
摩擦，并假设他一经接触跳台后，牵引绳就不再对运动员有作用力。试求滑水运动员从
8.2 质点动力学的两类基本问题
n
ma Fi F i 1
积分
F F (v, r, t)
第二类基本问题：已知力求运动。
如：跳楼时救援气垫的摆放位置。
8.2 质点动力学的两类基本问题 两类问题综合
已知部分力和部分运动，求另一部分的力和运动
已知：发动机的输出扭矩、车的重力、车沿直线行驶。 待求：地面约束力，车身的运动（前行速度，上下振动）。
m v2 l
l
sin
g 0
初始条件：
t0 0,
t 0
u l
l
wn
g l
wn2 0
确定积分常数 A u , j 0 lw
运动特点：等时性 T 2 wn
微分方程的通解 Asin( wnt j) （周期与初始条件无关）
8.2 质点动力学的两类基本问题
例题3
（2）大幅摆动
h1
vy2 2g
0.541m
t1
vy g
0.332s
(h1
h0 )
1 2
gt
2 2
t2
2(h1 h0 ) g
2(0.541 2.44) 0.780s 9.8
t t1 t2 1.112 s x vxt 8.141 1.112 9.05m#
(1)
m
s2 r
mr2
mg
sin
FN
(2)
由（2）式解得：FN mr2 mg sin F f FN
代入（1）式得： mr mg cos f (mr2 mg sin )
同理，当： 0 mr mg cos f (mr2 mg sin )
8.2 质点动力学的两类基本问题
例题5
数值方法给出质点位置、
Nanjing University of Technology
理论力学 第三篇 动力学
第三篇 动力学
动力学
质点动力学 动量定理及其应用 动量矩定理及其应用 动能定理及其应用
达朗贝尔原理
第三篇 动力学
已知：F，l。
求：v0，vt。 已知：v0，vt。 求：F或者l。
舰载飞机在发动机和弹射器推力作用下从甲板上起飞
处理具体问题时的注意点
求解质点动力学问题的过程与步骤:
1.对象 2.受力 3.运动 4.方程
静力学 运动学 动力学
解微分方程中常见问题的数学处理方法
ma m dv F dt
1. 力是常数【F=constant】或是时间的简单函数【F=F(t)】
v
t
mdv F(t)dt
v0
0
2. 力是位置的简单函数【F=F(x)】，利用循环求导变换
E: 未给出正确答案
思考题2
思考题2：质点M用两根等长的绳
A
B 索吊起，绳索与铅垂线的夹角为
。若剪断绳索BM后的瞬时，绳索
AM的拉力与未剪断绳索BM时相
比，是增大了还是减小了？ =？
F n
M
时绳索AM的拉力不变。
剪断前： F mg
2 cos
v ? 剪断瞬时：
an 0
mg
man F mg cos
dv dv dx v dv dt dx dt dx
v
mvdv
x Fxdx
v0
x0
3. 力是速度的简单函数【F=F(v)】，分离变量积分
v
m
dv
t
dt
v0 F (v)
0
8.2 质点动力学的两类基本问题
例题1
曲柄连杆机构如图所示。曲柄OA以匀角速度w转动，
OA=r，AB=l，当l＝r/l 比较小时，以O 为坐标原点，滑块B
mg
运动：水平直线运动
方程：滑块运动微分方程为：max F cos
ax x rw2 cosw t l cos 2w t
当j =0 时，ax rw 2 1 l 此时＝0，
得
F mrw21 l
8.2 质点动力学的两类基本问题
例题2
，。 、
质量为m的质点带有电 荷e,以速度v0进入强度按 E=Acoskt变化的均匀电场 中,初速度方向与电场强度 垂直,如图所示。质点在电 场中受力F＝－eE作用。已
F mg cos
处理具体问题时的注意点
求解质点动力学问题的过程与步骤:
1.对象 2.受力 3.运动 4.方程
静力学 运动学 动力学
本章作业
P167－169：8－1（高等数学解 法），8－5
Nanjing University of Technology
附录： 第8章习题解答
作业中存在的问题
适用条件？ 第一、二定律： 惯性参考系
第 三 定律： 任意参考系
8.1.2 质点运动微分方程
已知：质点M（质量m），作用其上的力有F1，F2，…, Fn。
n
ma Fi F i 1