010理论力学-质点动力学

(t 0时x R, v x v0 )
2 2 gR 2 则在任意位置时的速度 v (v0 2 gR ) x 22
mgR 2 mv x d v x dx 2 v0 R x

v

x
2 2 gR v (v 2 0 2 gR) x
可见，v 随着 x 的增加而减小。若
代入，有
t 0，v v0 0
F0 0 d v 0 m cost d t
v t
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积分后得 dx 因 v ，分离变量，再次积分，并以初始条件 dt t 0，x 0 代入，有 x t F 0 d x 0 0 m sin t d t 积分后得
F0 v sint m
动力学问题最根本的依据。
牛顿第二定律指出了质点加速度方向总是与其所受合力的 方向相同，但质点的速度方向不一定与合力的方向相同。因 此，合力的方向不一定就是质点运动的方向。
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第三定律(作用与反作用定律)：两个物体间的作用力与 反作用力总是大小相等、方向相反、沿着同一直线，且同时 分别作用在两个物体上。
微分方程
积分一次
再积分一次
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则运动方程为 : x v0tcos 0 , y v0tsin0 1 gt2 2 2 x 1 则轨迹方程为 : y xt g 0 g 2 0 2 v0 cos2 0 dy 代入最高点A处值，得： v0 sin 0 gt 0, 即 t v0 sin 0 g dt 将到达A点时的时间t，x=S ，y=H 代入运动方程，得 sg v0 cos 0 v0 sin0 2gH 2 gH 发射初速度大小与初发射角 0 为
第三定律说明了力的产生是由于两个物体相互作用而引
起的，它不仅适用于静止(平衡)状态的物体，而且同样适用于 运动状态的物体。
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§10-2
质点的运动微分方程
将动力学基本方程表示为微分形式的方程，称为质点的 运动微分方程。 1.矢量形式 d2 r m 2 F ( 式中 r r (t ) 为质点矢径形式的运动 方程 ) dt 2.直角坐标形式
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引
二.力学模型：
言
研究物体的机械运动与作用力之间的关系。 一.研究对象： 1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。
例如：研究卫星的轨道时，卫星
刚体作平动时,刚体 的质点组成的系统。
质点；
质点。
2.质点系：由有限或无限个有着一定联系 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离不变 的质点组成。又称为不变质点系。
综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。
已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。
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第十章
§10–1
§10–2
质点动力学基本方程
动力学的基本定律
质点的运动微分方程
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§10–1
动力学的基本定律
质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复杂物体系 统的基础。质点动力学的基础是三个基本定律。质点动力学 基本方程给出了质点受力与其运动变化之间的关系。
a、 b、 是常数。求作用于质点上的力F。
解：将质点运动方程消去时间t，得
x2 y2 2 1 2 a b
可见，质点的运动轨迹是以
a、 b 为半轴的椭圆。对运动方
程求二阶导数，得加速度
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2 2 a x a cos t x x 2 2 a y b sin t y y
Leabharlann Baidu

0 Fb
质点运动微分方程除以上三种基本形式外，还可有极坐标 形式、柱坐标等形式。 应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
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质点动力学两类问题：
第一类问题：已知质点的运动，求作用在质点上的力(微分
问题)。解题步骤和要点：
① 正确选择研究对象 一般选择联系已知量和待求量的质点。
② 正确进行受力分析,画出受力图 应在一般位置上进行分析。
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自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。
质点系是力学中最普遍的抽象化的模型；包括刚体、弹性
体、流体。
三.动力学分类: 质点系动力学
质点动力学
质点动力学是质点
系动力学的基础。
四.动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。
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④ 选择并列出适当的质点运动微分方程。
⑤ 求解未知量。应根据力的函数形式决定如何积分，并利用
运动的初始条件，求出质点的运动。 如力是常量或是时间及速度函数时， dv 可直接分离变量 dt 积分 。 如力是位置的函数，需进行变量置换
dv dv v , 再分离变量积分。 dt ds
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[例1] 质量为m的质点沿水平x轴运动，加于质点上的水平为
质点动力学的基本定律：
第一定律(惯性定律)：不受力作用的质点，将保持静止 或作匀速直线运动。第一定律明确指出了物体运动状态发生
变化的原因。
第二定律(力与加速度之间的关系的定律)：质点的质量 与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方 向与力的方向相同。
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设作用在质点上的力为F，质点的质量为m，质点获得的加 速度为a，则牛顿第二定律可以用矢量方程表示为 F m a 第二定律建立了质点的质量、 作用于质点的力和质点运动加速度 三者之间的关系，并由此可直接导 出质点的运动微分方程，它是解决
即
a ax i a y j 2 r
2 F ma m x x x 2 F ma m y y y
将上式代入公式中，得力在直角坐标轴上的投影
即
F Fx i Fy j m 2 r
可见，F和点M的位置矢径r方向相反，F始终指向中心，其
大小与r的大小成正比，称之为向心力。
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第二类问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积 分问题）。 已知的作用力可能是常力，也可能是变力。变力可能是时 间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。
解题步骤如下：
① 正确选择研究对象。 ② 正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力 （应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。 ③ 正确进行运动分析。(除应分析质点的运动特征外，还要确 定出其运动初始条件）。
2 2 g s 2 2 v0 (v0 cos 0 ) (v0 sin 0 ) 2 gH 10.5 m/s 2 gH v sin 0 2H 1 0 0 tg tg 1 31 21 v0 cos 0 s
代入初始条件得 : c1 v0 cos 0 ,c2 v0 sin0 ,c3 c4 0
F F0 cos t ，其中 F0， 均是常数，初始时 x0 0，v0 0 。
求质点运动规律。
解 研究质点在水平方向受力作用。建立质点运动微分方程
2 d 建立质点运动微分方程 m x F0 cos t dt2 即 dv
m
dt
F0 cos t
分离变量，对等式两边积分，并以初始条件
d2 x d2 y d2 z m 2 Fx，m 2 Fy，m 2 Fz dt dt dt
( 式中x、y、z 为质点直角坐标形式的 运动方程 )
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3.自然形式
d2 s m 2 F dt v2 m Fn
(式中s s(t )为质点的弧坐标形式的 运动方程。F ,Fn ,Fb 分别为力F 在 自然轴系 轴, n轴和b轴上的投影)
dvx dx c x c1t c3 m 0 1 dt dt 1 2 dv dy y gt c2t c4 m y m g gt c2 2 dt dt
列直角坐标形式的质点运动微分方程并对其积分运算
③ 正确进行运动分析 分析质点运动的特征量 。
④ 选择并列出适当形式的质点运动微分方程 建立坐标系 。
⑤ 求解未知量。
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[例1] 桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速 运动，速度为 v0 ，重物中心至悬挂点距离为L。突然刹车，重物 因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。 解：① 选重物(抽象为质点)为研究对象； ② 受力分析如图所示； ③ 运动分析，沿以O为圆心，L为半径的圆弧摆动。
2 v0 2 gR
则在某一位置
2 2 gR 时，无论 x多 x=R+H 时速度将减小到零，火箭回落。若 v0
大（甚至为∞）, 火箭也不会回落。因此脱离地球引力而一去 不返 时（ x ）的最小初速度
v0 2 gR 29.8103 6370 11.2 (km/s)
（第二宇宙速度）
[例3] 发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。
解： 取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图 示。火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用。
m gR2 mM mg f F 2 R x2 d x2 mgR 2 建立质点运动微分方程 m 2 dt x2 mM F f 2 x
dvx mgR2 2 即： mvx dx x d 2 x dvx dvx dx v x dvx ( 2 ) dt dt dx dt dx
F0 x (1 cos t ) 2 m
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[例2] 煤矿用填充机进行填充, 为保证充 填材料抛到距离为S=5米，H=1.5米的顶 板A处。求 (1)充填材料需有多大的初速 度v0 ? (2)初速 v0 与水平的夹角a0？
解：选择填充材料M为研究对象，受力如图所示，
M作斜抛运动。
t 0, x0 0, y0 0; v0 x v0 cos0 , v0 y v0 sin0
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④ 列出自然形式的质点运动微方程
G dv Gsin 1 g dt G v2 ma n Fn , T Gcos 2 g l ma F ,
⑤ 求解未知量
v2 由 2 式得 T G (cos ), gl
, 因此 0时 , T Tmax 其中 ,v为变量. 由1式知 重物作减速运动
2 v0 Tmax G (1 ) gl
[注] ① 减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。 ② 拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量,称为静拉力 一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。
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[例2] 已知质量为m的质点M在坐标平面 Oxy 内运动，如 图所示。其运动方程为 x a cos t，y b sin t ，其中