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F o u r i e r变换-G a b o r 变换-W i g n e r分布-小波变换实例分析1、分别用短时Fourier ，Gabor 变换分析下列信号，要求提供程序，图形结果并对它们的结果进行对比分析。
采样频率FS=1920HZ ，采样长度N=512.()(10.2sin(215))cos(2300.5sin(215))sin(2120)x t t t t t ππππ=+++ Matlab 程序如下：fs=1920;%采样频率N=512; %采样长度t=0:1/fs:(N-1)/fs; %时间序列x1=(1+0.2*sin(2*pi*15*t)).*(cos(2*pi*30*t)+0.5*sin(2*pi*15*t))+sin(2*pi*120*t);%信号 figure(1)plot(t,x1);%画想（t ）的图像y1=fft(x1,N); %对信号进行快速Fourier 变换 mag1=abs(y1);%求变换后的幅值 k=0:N-1; f1=k*fs/N; figure(2) grid onstem(f1,mag1);%绘制N 点DFI 的幅频特性图 xlabel('f1'); ylabel('幅值’);axis([0,256,0,2*max(abs(y1))]);%x,y 的范围 grid on figure(3)h=window(321,'hamming'); sig=x1;tfrstft(sig',1:512,512,h);%短时Fourier 变换 xlabel('时间(秒)'); ylabel('频率(Hz)'); figure(4) q=16;h=window(211,'gauss'); h=h/norm(h);tfrgabor(x1',128,q,h);%Gabor 变换 xlabel('时间(秒)'); ylabel('频率(Hz)');1.1信号的图形图1-1 信号时域波形图1.2信号N点的ＤＦＩ幅频特性图图1-2 信号的幅频特性图对信号进行分析，信号共有５个频率分别是０HZ,15HZ,30HZ,45HZ,120HZ，用火柴棍状表示出来。
正态分布指数分布对数正态分布和威布尔分布函数及在工程分析中的应用首先，正态分布是一种连续概率分布，其函数形式可以通过均值和标准差来确定。
正态分布在工程分析中的应用非常广泛，特别是在统计、质量控制以及风险管理等方面。
例如，在生产过程中，产品尺寸的正态分布可以帮助确定合适的尺寸规范范围，从而保证产品质量的稳定性。
此外，正态分布还可以用于描述物理量的不确定性，例如测量误差、环境变量的波动等。
其次，指数分布是描述事件之间时间间隔的概率分布。
在工程领域中，指数分布广泛应用于可靠性分析和生命周期评估。
例如，在可靠性工程中，指数分布可以用来预测设备的寿命或故障率，从而确定合适的维护策略。
此外，指数分布还可用于建模排队系统中的顾客到达时间间隔，以便优化服务水平和资源分配。
第三，对数正态分布是正态分布的一种变形，其函数形式可以通过指数和标准差来确定。
对数正态分布常用于描述一些非负物理量的分布，例如收入、房价、股票收益率等。
在工程分析中，对数正态分布应用较多的领域是风险评估和可靠性分析。
例如，在金融风险管理中，对数正态分布可以用来建模股票或指数收益率的分布，从而评估投资组合的风险水平。
最后，威布尔分布是一种常见的可靠性分布，广泛应用于描述设备或系统的故障时间。
威布尔分布的函数形式可以通过形状参数和尺度参数来确定，可以用来估计设备在不同寿命阶段的故障率。
在工程分析中，威布尔分布可以用来评估设备的可靠性水平、制定维护策略以及进行可靠性设计。
例如，在电力系统可靠性分析中，威布尔分布可以用来描述各种设备的故障时间分布，从而帮助制定可靠性增强措施。
综上所述，正态分布、指数分布、对数正态分布和威布尔分布是工程分析中常见的概率分布函数，它们在统计分析、可靠性评估、风险管理等方面都有重要的应用。
熟练掌握这些分布函数的特性和应用可以帮助工程师更好地分析和解决实际问题。
Wigner—Ville分布及在信号分析中的应用第29卷第3期四川兵工2008年6月【兵器与装备】Wigner--Ville分布及在信号分析中的应用李文伟,王忠仁2(1.中国兵器工业系统总体部,北京100089;2.吉林大学仪器科学与电气工程学院,长春130061)摘要:给出了Wigner-Ville分布的定义和一种基于快速Fourier变换的有效算法,利用该算法对模拟单分量信号和模拟多分量信号进行了计算和比较分析,结果表明:单分量信号的Wigner-Ville分布具有很好时的频聚集性,而多分量信号的Wigner-Ville分布将会产生交叉项.这些特性说明Wigner-Ville分布对单分量信号处理具有很好的优越性,而对多分量信号则有很好的识别作用.关键词:Wigner-Ville分布;解析信号;交叉项中图分类号:TN911.7文献标识码:A文章编号:1006—0707{2008}03—0015—02 Wigner-Ville分布的概念是1932年由Wigner提出的,当时应用于量子力学领域_1.5J.1948年Ville对它作了重新介绍,但仍未引起信号分析领域的注意.后来一些学者重新对此作了研究分析,并给出了这种变换的数学基础和重要数学性质,现在它已经成为信号时一频分布中的一种重要分布,在信号分析与处理中,尤其在非平稳信号的分析与处理中发挥了巨大的作用_2.4J.本研究结合Wigner-Ville分布的性质,利用其一些特性在信号分析中作了一些应用.1Wigner-Ville分布的定义[]设某一实信号为s(t),利用Hilbert变换对其作变换得到s(t)对应的解析信号(t),即(f):(f)]:lim[rd+a_.0J一∞rJ.:V.dtr(1)Jr丌J一∞一r式中t和r为实的变量,P.V.表示取积分的主值.则信号s(t)的Wigner-Ville分布定义为:(f,:I(f+吾)(f一号)e-j2~qdr(2)Wigner-Ville分布也可以用解析信号的频谱定义为: (f,:IZ(/+詈)z(/一号)e一d(3)2Wigner-Ville分布的计算Wigner-Ville分布计算量比较大,目前的各种快速算法都没能从根本上解决这个问题[引,这里给出利用快速傅里叶变换(vvr)计算Wigner-Ville分布的方法.离散时间信号(n)的Wigner-Ville分布为:'∞(n,cu):2∑=(n+z)=(n—1)e一(4)f=一对其作加窗处理得:(n,cu):2∑z(n+1)zn—z)cu(z)cu(一1)e一(5)其中cu(z)为时宽2L一1的窗函数,cu(z)=0,当l2I>L时. 令:Gcn,z={+::.,…,.,…,一.c6,G(n,)i(f)(n+f)f:f+l,…,0,…,￡一l(6) 从而得到在频域中的采样值为:(n,)=(n,k~/N)=2∑G(n,f)G(n,一1)e-m"(7)为方便利用FFr,对G(n,Z)重新排序为:n,z={G,;::::::)+:::,L:-一1.cs,由式(7)和式(8)可得:(n,):2~f(n,1)e-(9)计算流程如图1所示.收稿日期:2008—01—28作者简介:李文伟(1976一),男,福建武平人,硕士,工程师,主要从事计算机仿真,作战模拟,指挥控制等方面的研究16四川兵工讣l原信号s(n),n=o,1,…,N一1l●'s(=FFT[3(,l】旰信号:'…=…l∽=IF兀)】J一'一对解析信号面I)使用长度为2l的矩形窗I=譬芝2:●w(n,)=FFT【,In,D】如(,l.即为所求wigner-Viiie分布I图1Wigner-Ville分布计算流程3Wigner-ViUe分布在信号分析中的应用对于单分量信号,Wigner-Ville分布具有比其他时一频分布更好的时一频聚集性,因此利用Wigner-Ville分布可以很好地识别一个信号是单分量还是多分量,在能识别信号项的情况下,还可以知道信号频率随时间的变化规律,这与传统的傅氏分析法相比具有很大的优越性,因为傅氏分析法只能确定信号的频率组成,但它并不能确定信号频率随时间的变化规律.现利用Wigne~-Ville分布对2个模拟信号作分析,令:^(t)=sin(2~?1500t)O≤t≤O.181(1O)(1)=sin(2~?1500t)+sin(2=t+2?250t)O≤t≤O.181(11)分别计算这2个信号的Wigner-Vilh分布,并作Wigner- Ville分布图,如图2,图3所示.由图2可知,信号^(t)是个单分量信号,且其频率是随时间线性变化的.由图3可知, 信号厂2(t)是个多分量信号,图中除了2个已知的信号项外,还产生了交叉项.图2单分量信号Wigner-Ville分布图3多分量信号Wigner-Ville分布设有某一实信号rsin[2=(1O00t+300)t]t∈Eo,0.06]fCt)={sin[2=(800t+3o)t]tE(0.06,0.12](12)Lsin(2=?60t)+sin(2=?400t)t∈(0.12,0.181]对f(t)计算Wigner-Ville分布,并画出其Wigner-Ville分布图及其灰度图,如图4所示.在图中除了标明的4个信号项外,还有其他尖峰出现,这是由于信号厂(t)是由多个频率分量组成导致产生交叉项的缘故,产生的交叉项数为(其中n为组成信号频率分量的个数).Wigner-Ville分布本身不能区分某个尖峰是信号项还是交叉项,本例中由于信号组成是已知的,所以可以根据信号已知的组成特征来识别图中的信号项和交叉项.从图4右边的灰度图中可以看出信号t)的频率成份随时间的变化情况,其中:当O≤t≤0.06时,只有一个随时间线性变化的频率组成;当0.06<t≤0.12时,也只有一个随时间线性变化的频率组成;当0.12<t≤O.181时,信号厂(t)有2个频率分量组成, 且这2个频率分量不随时间的变化而变化.图4信号fCt)Wigner-Ville分布及灰度4结束语由上面的分析可知Wigner-Ville分布能够很好地区分一个信号是单分量信号还是多分量信号,在可以识别信号项的情况下还可以知道信号的组成频率随时间的变化规律,比传统傅氏变换分析信号更具优越性.对于单分量信号由于它具有很好的时一频聚集性,所以它能够精确确定信号在各个时间的频率组成.而对于多分量信号,由于Wigner-Ville分布是双线性型变换,因此出现了交叉项,使得信号项受到交叉项的干扰,因此在确定某个信号是多分量信号的情况下必需寻求另外的解决方法.(下转第69页)张玉令,等:桥丝式电火工品安全电流的数学模型程中桥丝和药剂的所有性能参数相同,可以通过电热响应曲线和有关方程式得出这些性能参数,因此,在实际的过程中可以以图2为依据进行研究.文献[3]中结合桥丝式电火工品的理论结构模型,根据传热学和电器学的有关原理,对桥丝的传热特点和传热条件进行假设,得出桥丝部分的传热方程为:J2I2s一碰+=0(1)dz其中:为桥丝的导热系数;S为桥丝的截面积;T为桥丝温度;K为药剂的散热系数;L为桥丝的周长;,为电流;.0 为桥丝的电阻系数;t为时间.其中,A,S,T,L,,,p,t都可以直接测得,的值可以结合电热响应曲线的曲线斜率,电压最大变化量等参数计算获得.3安全电流计算根据GJB102A一1998,安全电流是指在一定安全裕度下,保证火工品在规定施加电流时间内,不发火的恒定直流电流最大值.通常安全电流是指1min不发火的电流. 对式(1)求解得::e√一(2)在整个火工品的结构中,桥丝的端面主要是和脚线相连,脚线相对于药剂导热系数比较高,桥丝端面的热量会随脚线迅速散失,因此,把桥丝端面的温度看为常温%,则设桥丝的长度为2n,桥丝传热模型的边界条件为:z=n.T=Toz=一n.T=To把边界条件代人式(2)得:0一一嘶将cl,c2代人式(2)得,2的表达式为:(3)设曰=,把曰代人式cs,式并变形得:,2=?(%+11/(4)D,一把药剂发火时的电流作为安全电流,通过试验可以得出发火延滞期为1min时的发火点,即相当于温度已知, 由其他参数知,则式(2)就变为电流,与轴向坐标z的关系式.对式(4)研究可知,B越小,越小.取最小的电流为最安全电流,此时B应最小.结合数学关系,由B的表达式可知,当轴向坐标绝对值最小时,曰最小,即z=0时曰最小: 2因此,桥丝式电火工品的安全电流表达式为:,:诵4结束语本研究通过理论分析,获得了预测桥丝式电火工品安全电流的数学模型,提供了利用数学模型对单发桥丝式电火工品性能进行预测的思路,为对电火工品的进一步研究提供了参考.此模型是建立在一定假设的基础上,如果通过标准试验对结果进行分析和判断,做进一步的深入研究,将会使结果更加接近实际情况.参考文献:[1]周彬.桥丝式电火工品瞬态脉冲无损检测技术研究[D].南京:南京理工大学,2003.[2]胡学先,蒋罗珍.电火工品发火感度无损检测的展望[J].含能材料,1999,7(2):93—96.[3]张玉令,高俊国.桥丝式电火工品瞬态脉冲试验中桥丝轴向温度分布[J].四川兵工,2OO8,29(1):125—127.[4]强涛,周彬,秦志春,等.桥丝式电火工品安全电流的预测[J].南京理工大学:自然科学版,2OO6,30(1):110—112.(上接第16页)参考文献:[1]张贤达.非平稳信号分析与处理[M].北京:国防工业出版社.1999.[2]张贤达.现代信号处理[M].北京:清华大学出版社,l999.[3]赵淑清.随机信号分析[M].哈尔滨:哈尔滨工业出版社.1999.[4]王宏禹.非平稳随机信号分析与处理[M].北京:国防工业出版社.1999.[5]白居宪.时一频分析:理论与应用[M].西安:西安交通大学出版社.2OOO.据一一一1一P:P。
三参数威布尔分布引言在统计学和概率论中，分布函数是描述随机变量的概率分布的函数。
三参数威布尔分布是一种常见的概率分布，它被广泛应用于可靠性工程和生物学领域。
本文将详细介绍三参数威布尔分布的定义、特性、参数估计方法以及在实际问题中的应用。
定义和性质三参数威布尔分布是一种连续分布，它由三个参数所决定：形状参数（shape parameter ）k 、尺度参数（scale parameter ）λ和位置参数（locationparameter ）δ。
其概率密度函数（Probability Density Function ，简称PDF ）可以表示为：f (x;k,λ,δ)={k λ(x −δλ)k−1exp [−(x −δλ)k],x ≥δ,0,x <δ,其中，k >0表示形状参数，λ>0表示尺度参数，δ表示位置参数。
三参数威布尔分布的累积分布函数（Cumulative Distribution Function ，简称CDF ）可以表示为：F (x;k,λ,δ)={1−exp [−(x −δλ)k],x ≥δ,0,x <δ.三参数威布尔分布具有以下性质：1. 分布函数单调递增：对于任意两个取值x 1<x 2，若x 1≥δ且x 2≥δ，则F (x 1)≤F (x 2)；2. 形状参数的取值对分布形态的影响：当k >1时，分布函数右偏，而当0<k <1时，分布函数左偏；3. 尺度参数的取值对分布的定位和尺度的变动起到作用：当λ增大时，分布函数向右平移，且尖峰逐渐变宽；4. 位置参数的取值决定了分布函数的起点。
参数估计方法在实际问题中，我们通常需要根据样本数据来估计三参数威布尔分布的参数。
常用的估计方法包括最大似然估计法和矩估计法。
最大似然估计法最大似然估计法是一种常用的参数估计方法，它通过最大化样本的似然函数来估计参数值。
对于三参数威布尔分布，最大似然估计法的步骤如下：1.假设样本X1,X2,...,X n是独立同分布的三参数威布尔分布随机变量；2.构建似然函数L(k,λ,δ)，即样本的联合概率密度函数；3.对似然函数取对数得到对数似然函数l(k,λ,δ)；4.求解对数似然函数的一阶偏导数，令其为零，解得参数的最大似然估计值。
威布尔概率分布及应用威布尔概率分布是一种常用的统计分布模型，适用于描述正向偏斜的连续随机变量的概率分布。
在工程学中，威布尔分布经常用来模拟和分析可靠性和寿命数据。
下面将详细介绍威布尔概率分布及其应用。
1. 威布尔概率分布的定义与特性：威布尔概率密度函数的表达式为：f(x) = (a/b)((x/b)^(a-1)) * exp(-(x/b)^a)其中，a和b均为正实数，是概率分布的参数。
该概率密度函数主要用来描述随机变量X的寿命分布。
威布尔分布的累积分布函数为：F(x) = 1 - exp(-(x/b)^a)威布尔分布具有如下特性：(1) 当a=1时，威布尔分布退化为指数分布。
(2) 当a>1时，威布尔分布具有右偏斜的特性。
(3) 威布尔分布的均值为b * Γ(1 + 1/a)，其中Γ表示伽玛函数。
(4) 威布尔分布的方差为b^2 * （Γ(1 + 2/a) - (Γ(1 + 1/a))^2）。
2. 威布尔概率分布的应用：(1) 可靠性分析：威布尔分布常用于可靠性分析中，可以通过威布尔分布来描述产品的寿命分布。
通过分析得到的威布尔分布，可以计算产品在某个时间点的可靠性，确定其在给定时间段内的失效概率，并进一步寻找改进措施，提高产品的可靠性。
(2) 寿命数据分析：威布尔分布也广泛应用于对某些机械设备、材料或系统的寿命数据进行建模与分析。
通过对实际寿命数据进行威布尔分布拟合，可以更准确地预测设备或系统在未来某个时间段内的失效概率，帮助制定相应的维修和更换计划。
(3) 临床试验：在医学和生物学中，临床试验数据经常具有右偏性，且描述的是某种事件或现象的寿命。
因此，威布尔分布在临床试验数据分析中的应用十分常见。
通过拟合试验数据得到的威布尔分布可以为研究人员提供反映疾病发展或治疗效果的信息，从而指导临床实践和决策。
(4) 金融风险管理：在金融领域，威布尔分布可以用来对风险事件的发生概率进行建模，如市场波动、信用违约等。
随机矩阵论中Wigner矩阵的谱分布定律随机矩阵论是数学中研究随机矩阵性质的一个分支领域，其中Wigner矩阵是研究的重要对象之一。
Wigner矩阵的谱分布定律在随机矩阵论中具有重要的理论和应用价值。
本文将介绍随机矩阵论的基本概念，然后详细讨论Wigner矩阵的谱分布定律。
一、随机矩阵论基本概念1.1 随机矩阵的定义随机矩阵是一个元素服从概率分布的矩阵。
在随机矩阵论中，通常假设矩阵的元素是独立同分布的随机变量。
1.2 谱分布定律谱分布定律是随机矩阵论中研究矩阵特征值分布的定律。
根据谱分布定律，当矩阵的尺寸趋向于无穷大时，矩阵的特征值分布会趋向于一个确定的概率分布。
Wigner矩阵的谱分布定律是随机矩阵论中的一个经典结果。
二、Wigner矩阵的定义与性质2.1 Wigner矩阵的定义Wigner矩阵是由Wigner提出的一种特殊类型的随机矩阵。
Wigner 矩阵是对称矩阵，其上三角元素和下三角元素都是独立同分布的随机变量。
2.2 Wigner矩阵的性质Wigner矩阵具有许多重要的性质，例如对称性、谱分布定律等。
其中，Wigner矩阵的谱分布定律是研究的重点和难点。
三、Wigner矩阵的谱分布定律3.1 Wigner半圆定律Wigner半圆定律是Wigner矩阵的经典谱分布定律。
根据Wigner半圆定律，当矩阵尺寸趋向于无穷大时，Wigner矩阵的特征值分布会趋向于一个半圆形的概率分布。
这个半圆形的概率密度函数可以由Wigner半圆定律给出。
3.2 Wigner矩阵的其他谱分布定律除了Wigner半圆定律之外，Wigner矩阵还可以满足其他类型的谱分布定律。
例如，研究非对称的Wigner矩阵时，其特征值的分布可以由Wigner半圆定律的变种给出。
四、应用举例Wigner矩阵的谱分布定律在物理学、统计力学、金融等领域有着广泛的应用。
在物理学中，研究原子核的能级结构时可以使用Wigner矩阵的谱分布定律；在金融中，研究投资组合的收益率时也可以利用Wigner矩阵的谱分布定律。
