第三章 统计数据分布特征的描述

第3章数据分布特征的描述[引例]根据国家统计局对全国31个省（自治区、直辖市）7.4万户农村居民家庭和6.6万户城镇居民家庭的抽样调查，2011年城乡居民收入增长情况如下1：2011年全国农村居民人均纯收入6977元，比上年增加1058元，增长17.9%。

剔除价格因素影响，实际增长11.4%，增速同比提高0.5个百分点。

其中，人均工资性收入2963元，同比增加532元，增长21.9%。

工资性收入对全年农村居民增收的贡献率达50.3%。

工资性收入占农村居民纯收入的比重达42.5%，同比提高1.4个百分点。

2011年农村居民人均纯收入中位数为6194元，比上年增加995元，增长19.1%。

农村居民人均纯收入中位数比人均纯收入低783元，但增速高1.2个百分点。

2011年城镇居民人均总收入23979元，其中，人均可支配收入21810元，比上年增加2701元，增长14.1%。

剔除价格因素影响，城镇居民人均可支配收入实际增长8.4%，增速同比提高0.6个百分点。

2011年城镇居民人均可支配收入中位数为19118元，比上年增加2279元，增长13.5%。

城镇居民人均可支配收入中位数比人均可支配收入低2692元，增速低0.6个百分点。

主要是受最低工资标准、城镇居民基本养老金和离退休金以及最低生活保障标准提高影响，城镇低收入户收入增速较高；同时高收入户也保持了较快的增长速度，所以中等收入户增速相对较慢。

2011年城镇居民人均可支配收入与农村居民人均纯收入之比为3.13：1，2010年该收入比为3.23:1。

本章小结1．总量指标是说明现象总规模和总水平的数值，又称为绝对数。

绝对数的计量单位有实物单位和价值量单位。

按反映总体内容不同，总量指标可分为总体单位总量和总体标志总量；按反映的时间状况不同，总量指标可分为时期指标和时点指标。

2．将两个有联系的数值对比得到的比率称为相对数。

相对数既有无名数形式也有复名数形式。

根据研究目的和对比基础的不同，有结构相对数、比例相对数、计划完成程度相对数、比较相对数、动态相对数和强度相对数等。

概率与数理统计第3章数据分布特征的描述概率与数理统计是一门关于随机现象的描述和分析的学科。

在实际问题中，我们经常需要对数据进行分析和描述，以便更好地理解数据的特征和规律。

第三章主要介绍了数据分布的特征描述，包括中心位置度量、离散程度度量和分布形状度量。

首先是中心位置度量，它用来描述数据集的平均水平。

一般来说，我们关心的是数据集的平均值和中位数。

平均值是数据的加权平均，它能够反映数据集的集中趋势。

平均值的计算公式是：```平均值=总和/观测数```中位数是按照数据的大小顺序排列后，处于中间位置的观测值。

中位数的计算方法是：```如果数据集的观测数为奇数，中位数为第(n+1)/2个观测值如果数据集的观测数为偶数，中位数为第n/2和(n/2+1)个观测值的平均值```其次是离散程度度量，它用来描述数据集的变异程度。

我们常用的度量指标有极差、方差和标准差。

极差是数据集中最大观测值与最小观测值之间的差距，它反映了数据的全局离散程度。

方差是每个观测值与数据集平均值的差的平方的平均值，它度量了数据的局部离散程度。

标准差是方差的平方根，它与方差具有相同的单位，能够更好地反映数据的离散程度。

最后是分布形状度量，它用来描述数据分布的偏度和峰度。

偏度是描述数据分布对称性的度量，正偏表示数据集的右尾较重，负偏表示数据集的左尾较重。

峰度是描述数据分布峰态的度量，正峰表示数据集的峰部较陡，负峰表示数据集的峰部较平。

偏度和峰度能够帮助我们了解数据分布的形态特征，从而判断数据集是否服从其中一种特定的分布。

在实际应用中，我们可以通过对数据集进行描述统计分析来了解数据的特征。

通过计算平均值、中位数、方差、标准差、偏度和峰度等指标，我们能够更好地理解数据的分布情况。

此外，我们还可以通过绘制直方图、箱线图、概率密度函数等图形来展示数据的分布特征，进一步加深对数据的认识。

总之，数据分布特征的描述是概率与数理统计中重要的内容之一、通过中心位置度量、离散程度度量和分布形状度量，我们能够充分了解数据的平均水平、变异程度和形态特征，为进一步的数据分析和决策提供有力的支持。

第3章统计学数据分布特征的描述统计学是一门研究收集、分析和解释数据的学科。

在统计学中，数据分布特征的描述是指通过一系列统计量和图表来描述数据的集中趋势、离散程度和分布形态等特征。

数据的集中趋势描述了数据的平均水平或中心。

常用的统计量有平均值、中位数和众数。

平均值是将所有观测值相加然后除以观测值的总数，它能够反映数据的总体平均水平。

然而，当数据包含异常值时，平均值的计算结果可能会受到影响。

因此，中位数和众数在这种情况下被认为是更稳健的集中趋势度量。

中位数是将数据按大小排序，然后找出中间位置的观测值。

众数是数据中出现次数最多的观测值。

数据的离散程度描述了数据的变异程度或分散程度。

常用的统计量有方差、标准差和四分位差。

方差是观测值与均值之间差异的平方的平均值，它反映了数据的总体离散程度。

标准差是方差的平方根，用于衡量数据的波动性。

四分位差是数据的上四分位数和下四分位数之差，它描述了数据的中间50%的变异程度。

数据的分布形态描述了数据的形状和对称性。

常用的分布形态有正态分布、偏态分布和峰态分布。

正态分布是最常见的分布形态，其特点是对称、钟形曲线。

偏态分布是指数据分布不对称的情况，主要分为正偏态和负偏态。

正偏态分布意味着数据的尾部偏向右侧，负偏态分布则意味着数据的尾部偏向左侧。

峰态分布用于描述数据的峰值的尖锐程度，主要分为正态分布、高峰态和低峰态。

除了统计量，还可以使用图表来对数据分布特征进行描述。

常用的图表包括直方图、箱线图和散点图。

直方图是通过将数据分组并在坐标轴上绘制各组的频率或相对频率来展示数据的分布形态。

箱线图通过绘制数据的分位数和异常值来展示数据的中位数、四分位数和离群观测值。

散点图用于展示两个变量之间的关系，特别适用于发现变量之间的相关性和异常值。

综上所述，统计学中的数据分布特征描述是通过一系列统计量和图表来描述数据的集中趋势、离散程度和分布形态等特征。

这些描述能够帮助我们更好地理解数据，并对数据进行分析和解释。

第三章数据分布特征的描述（一）教学目的通过本章学习，掌握数据分布集中趋势和分布离散程度的测度，重点掌握分组数据的均值和标准差及变异系数的计算与众数、中位数和均值的比较，并能灵活加以运用，了解数据分布形状（即偏态与峰度）及其测度。

（二）基本要求使学生熟练掌握数据分布特征的描述方法。

（三）教学要点1、集中趋势的测度指标及其计算方法；2、离散趋势的测度指标及其计算方法；3、数据分布偏态与峰度的测度。

（四）教学时数9课时（五）学习内容统计数据的分布特征可以从两个方面进行描述：一是数据分布的集中趋势，二是数据分布的离散程度。

集中趋势和离散程度是数据分布特征对立统一的两个方面。

本章通过介绍平均指标和变异指标这两种统计指标的概念及计算来讨论反映数据集中趋势和分散程度的两个方面的特征。

第一节数据分布集中趋势的测定集中趋势是指一组数据向某中心值靠拢的倾向，集中趋势的测度实际上就是对数据一般水平代表值或中心值的测度。

不同类型的数据用不同的集中趋势测度值，低层次数据的集中趋势测度值适用于高层次的测量数据，反过来，高层次数据的集中趋势测度值并不适用于低层次的测量数据，选用哪一个测度值来反映数据的集中趋势，要根据所掌握的数据的类型来确定。

一般我们用平均指标作为集中趋势测度指标，本节重点介绍众数、中位数两个位置平均数和算术平均数、调和平均数及几何平均数三个数值型平均数。

一、众数(Mode)(一) 概念众数是指一组数据中出现次数最多的变量值，用M0表示。

从变量分布的角度看，众数是具有明显集中趋势点的数值，一组数据分布的最高峰点所对应的变量值即为众数。

当然，如果数据的分布没有明显的集中趋势或最高峰点，众数也可以不存在；如果有多个高峰点，也就有多个众数。

1.集中趋势的测度值之一；2.出现次数最多的变量值；3.不受极端值的影响；4.可能没有众数或有几个众数；5.适用于定类数据、定序数据、定距数据和定比数据。

众数的不唯一性：无众数原始数据: 10 5 9 12 6 8一个众数原始数据: 6 5 9 8 5 5多于一个众数原始数据: 25 28 28 36 42 42（二）众数确定1.定类数据和定序数据众数的测定定类数据与定序数据计算众数时，只需找出出现次数最多的组所对应的变量值即为众数。

第三章数据分布特征的统计描述学习目的和要求：通过本章的学习，掌握数据分布特征的各种描述方法；掌握不同测度方法的特点、应用条件及应用场合；能利用所学的方法对统计数据作各种统计描述。

难点释疑：(一)算术平均数通常用来反映总体分布的集中趋势，调和平均数往往只作为算术平均数的变形来使用，即在已知标志总量而未知总体单位总量的情况下计算调和平均数；而几何平均数较适用于计算平均比率和平均速度。

（二）调和平均数虽然是根据标志值的倒数计算的，但其结果不等于算术平均数的倒数。

在计算和应用平均指标时，除了考虑数理方面的要求外，更重要的是要考虑其现实的经济意义。

（三）平均数的性质是简捷计算法的基础，也是计算标志变异指标的基础。

掌握中位数和众数与算术平均数的关系的目的是能够根据其中的两个平均数大体计算出第三个平均数，并判断总体的分布状态。

（四）全距、四分位差、平均差、标准差在反映标志变异程度方面各有优缺点。

全距是描述数据离散程度的最简单测度值，它计算简单，易于理解，但不能全面反映总体各单位标志值的差异程度。

标准差与平均差的意义基本相同，但在数学性质上比平均差要优越，所以，在反映标志变动度大小时，一般都采用标准差。

标准差是实际中应用最广泛的离散程度测度值。

（五）标准差系数的应用。

为了对比和分析不同平均水平总体的标志差异程度，就需要使用标准差系数。

它是标志变异的相对指标。

它既消除了变量数列变量值差异程度的影响，也消除了变量数列水平高低的影响。

练习题：（一）单项选择题(在下列备选答案中，只有一个是正确的，请将其顺序号填入括号内)1.平均指标反映了（）。

①总体变量值分布的集中趋势②总体分布的离散特征③总体单位的集中趋势④总体变动趋势2.加权算术平均数的大小（ ）。

①受各组标志值的影响最大 ②受各组次数的影响最大③受各组权数系数的影响最大 ④受各组标志值和各组次数的共同影响3.在变量数列中，如果变量值较小的一组权数较大，则计算出来的算术平均数（ ）。

统计学导论曾五⼀第三章数据分布特征的描述第三章数据分布特征的描述第⼀节统计变量集中趋势的测定⼀测定集中趋势的指标及其作⽤集中趋势(Central tendency)较⼤和较⼩的观测值出现的频率⽐较低，⼤多数观测值密集分布在中⼼附近，使得全部数据呈现出向中⼼聚集或靠拢的态势。

测度集中趋势的指标有两⼤类：数值平均数——是根据全部数据计算得到的代表值，主要有算术平均数、调和平均数及⼏何平均数；位置代表值——根据数据所处位置直接观察或根据与特定位置有关的部分数据来确定的代表值，主要有众数和中位数。

1．反映变量分布的集中趋势和⼀般⽔平。

如⽤平均⼯资了解职⼯⼯资分布的中⼼，反映职⼯⼯资的⼀般⽔平。

2．可⽤来⽐较同⼀现象在不同空间或不同阶段的发展⽔平。

不受总体规模⼤⼩的影响；在⼀定程度上使偶然因素的影响相互抵消。

3．可⽤来分析现象之间的依存关系。

如研究劳动者的⽂化程度与收⼊的关系。

4．平均指标也是统计推断中的⼀个重要统计量，是进⾏统计推断的基础。

⼆数值平均数（⼀）算术平均数（均值）⼀组数据的总和除以这组数据的项数所得的结果;最常⽤的数值平均数。

1．简单算术平均数把每项数据直接加总后除以它们的项数。

通常⽤于对未分组的数据计算算术平均数。

计算公式：2．加权算术平均数加权算术平均数的计算公式：加权—为了体现各变量值轻重不同的影响作⽤，对各个变量值赋予不尽相同的权数（fi ）。

权数（fi ，也称权重）权数——指在计算总体平均数或综合⽔平的过程中对各个数据起着权衡轻重作⽤的变量。

可以是绝对数形式，也可以是⽐重形式（如频率）来表⽰。

事实上⽐重权数更能够直接表明权数的权衡轻重作⽤的实质。

当权数完全相等（f1 =f2 =…= fn）时，加权算术平均数就成了简单算术平均数。

3．由组距数列计算算术平均数各组变量值⽤组中值来代表。

假定条件是各组内数据呈均匀分布或对称分布。

计算结果是近似值。

4．对相对数求算术平均数由于各个相对数的对⽐基础不同，采⽤简单算术平均通常不合理，需要加权。

第三章统计数据分布特征的描述统计数据分布特征的描述是统计学中非常重要的一个概念，它用于对数据进行系统化的描述和分析。

统计数据分布特征的描述包括位置参数、散布参数和形状参数。

位置参数描述了数据集中心位置的特征。

最常用的位置参数是均值和中位数。

均值是指所有数据值的总和除以数据个数，它能够反映数据集的平均水平。

中位数是将数据值按大小排序后的中间值，它能够反映数据集的中心位置。

均值对异常值比较敏感，中位数能够较好地排除异常值的干扰。

散布参数描述了数据集的离散程度。

最常用的散布参数是方差和标准差。

方差是指每个数据值与均值之差的平方和的平均值，它能够反映数据集的离散程度。

标准差是方差的平方根，它与数据的单位相一致，常用于衡量数据的波动性。

方差和标准差越大，表示数据的离散程度越大。

形状参数描述了数据集的分布形状。

常用的形状参数包括偏度和峰度。

偏度是指数据分布的不对称程度，大于0表示右偏，小于0表示左偏，等于0表示对称。

偏度能够反映数据集的分布形态。

峰度是指数据分布的尖锐程度，大于0表示尖锐，小于0表示平坦，等于0表示与正态分布相似。

峰度能够反映数据集的尖峰或扁平程度。

除了这些常见的参数之外，还有其他一些描述统计数据分布特征的方法，如四分位数和箱线图。

四分位数是将数据分为四等分的值，它包括上四分位数、下四分位数和中位数。

上四分位数是四分之三分位数，下四分位数是四分之一分位数。

箱线图是以箱子和线段的形式展示数据分布特征，箱子的上边界和下边界分别代表上四分位数和下四分位数，箱子的中线代表中位数，箱子的长度代表数据的离散程度。

统计数据分布特征的描述对于研究数据的特征、提取有效信息以及进行统计推断都非常重要。

了解数据的位置、散布和形状特征能够帮助研究者更好地理解数据集的性质和规律。

在实际应用中，统计数据分布特征的描述还可以帮助决策者进行决策，例如对于质量控制的判断和产品的质量评估等。

综上所述，统计数据分布特征的描述是对数据集进行系统化描述和分析的重要工具。

对统计数据的分布特征，主要从哪⼏个⽅⾯进⾏描述？
数据分布特征可以从集中趋势、离中趋势及分布形态三个⽅⾯进⾏描述。

1、平均指标是在反映总体的⼀般⽔平或分布的集中趋势的指标。

测定集中趋势的平均指标有两类：位置平均数和数值平均数。

位置平均数是根据变量值位置来确定的代表值，常⽤的有：众数、中位数。

数值平均数就是均值，它是对总体中的所有数据计算的平均值，⽤以反映所有数据的⼀般⽔平，常⽤的有算术平均数、调和平均数、⼏何平均数和幂平均数。

2、变异指标是⽤来刻画总体分布的变异状况或离散程度的指标。

测定离中趋势的指标有极差、平均差、四分位差、⽅差和标准差、以及离散系数等。

标准差是⽅差的平⽅根，即总体中各变量值与算术平均数的离差平⽅的算术平⽅根。

离散系数是根据各离散程度指标与其相应的算术平均数的⽐值。

3、矩、偏度和峰度是反映总体分布形态的指标。

矩是⽤来反映数据分布的形态特征，也称为动差。

偏度反映指数据分布不对称的⽅向和程度。

峰度反映是指数据分布图形的尖峭程度或峰凸程度。

第三章统计数据分布特征的描述统计数据分布特征的描述是统计学中的重要概念之一、它是通过对数据进行整理、组织和分析来了解数据的分布情况，帮助我们更好地理解数据的特点和趋势。

一、数据分布特征的描述方法在统计学中，数据分布特征主要通过以下两种方法进行描述：1.图形描述法：通过绘制图表来展示数据的分布情况。

常见的图形描述方法有直方图、条形图、饼图、箱线图等。

直方图是一种用于展示数据分布的图形。

它将其中一范围内的数据分成若干个等宽的区间，并统计每个区间中数据的频数或频率，然后绘制柱状图来表示。

箱线图是一种用于展示数据分布和异常值的图形。

它将数据划分为四个部分：最大值、上四分位数、中位数、下四分位数和最小值，并通过画出盒子和须来表示数据的分布情况。

2.数值描述法：通过使用统计指标和参数来描述数据的分布情况。

常见的数值描述方法有均值、中位数、众数、标准差、方差等。

均值是指将所有数据相加后再除以数据的总个数的得到的值，代表了数据的平均水平。

中位数是指将数据按大小排序后，处于中间位置的值，代表了数据的中心位置。

众数是指数据集中出现次数最多的值，代表了数据的集中趋势。

标准差是指数据在均值附近的波动程度，代表了数据的离散程度。

方差是指数据与均值之间的平均差的平方的平均值，代表了数据的离散程度。

二、数据分布特征的描述步骤要进行数据分布特征的描述，一般需要进行以下步骤：1.数据的整理和搜集：搜集所需的数据，并将其整理成适合进行分析的形式。

2.确定描述方法：根据数据的特点和目标，选择适当的图形描述法或数值描述法。

3.进行描述分析：根据所选的描述方法，对数据进行分析和计算，得出相应的描述结果。

4.解释和应用：根据描述结果，解释数据的分布特征，并根据需要进行相应的应用。

三、数据分布特征的描述应用数据分布特征的描述在实际应用中有很多用途，以下是几个常见的应用：1.判断数据是否符合其中一种分布：通过对数据的分布特征进行描述，可以判断数据是否符合正态分布或其他特定的分布形式。