相似三角形的判定定理3
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相似三角形的判定(三)知识点回顾:1.关于三角形的判定方法(1)定义法:对应角相等、对应边成比例(2)预备定理:平行于三角形一边的直线和它两边(或两边延长线)相交,所构成的三角形和原三角形相似.(3)判定定理1.两角对应相等两三角形相似(4)判定定理2.两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(5)判定定理3.三边对应成比例的两三角形相似(6)直角三角形判定的方法①以上各种判定方法均适用②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角对应成比例,那么这两个直角三角形相似③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似2、判定定理的适用范围(1)已知有一角相等时,可选择判定定理1与判定定理2.(2)有两边对应成比例时,可选择判定定理2与判定定理3.(3)直角三角形判定先考虑判定直角三角形相似的方法.还可以考虑一般三角形相似的方法说明:一般不用定义来判定三角形的相似.3、三角形相似的基本图形:①平行型:如图1,“A”型即公共角对的边平行,“×”型即对顶角对的边平行,都可推出两个三角形相似;②相交线型:如图2,公共角对的边不平行,即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交.图中几种情况只要配上一对角相等,或夹公共角(或对顶角)的两边成比例,就可以判定两个三角形相似.例题讲解 课前练习1.在图3中,若DE ∥BC ,DB ∶DA=9∶4,则ΔABC 与ΔADE 的相似比是______.2.如图4, 在梯形ABCD 中,EF 交DB 、DC 于E 、F,则图中的相似三角形共有_____对;若AE ∶EF=4∶3则ΔAFD 与ΔGFC 的相似比是______.3.如图5,当∠ADC=∠____时,ΔABC ∽ΔACD ;当AD 2=_________时,ΔABC ∽ΔACD.4. ΔABC 的三边长为3、4、5,ΔA /B /C /的最短边为5,若ΔABC ∽ΔA /B /C /,则ΔA /B /C /的面积为____.例1、如图:点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ,则△AGD ∽ ∽ 。
三角形相似的判定方法
判断两个三角形是否相似,可以使用以下方法:
1. AA相似定理:如果两个三角形的两个角相等,则这两个三角形相似。
2. SSS相似定理:如果两个三角形的对应边的比值相等,则这两个三角形相似。
3. SAS相似定理:如果两个三角形的一个角相等,并且一个对应边的比值相等,则这两个三角形相似。
4. SAA相似定理:如果两个三角形的一个角相等,并且两个对应边的比值相等,则这两个三角形相似。
要注意的是,相似三角形的顶点顺序可以是任意的,只要相应的对应边和角是相等的即可。
三角形相似的判定方法一1、定义法:三个对应角相等,三条对应边成比例的两个三角形相似.2、平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似.4、判定定理2:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 5、判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这 两个三角形相似.简述为:三边对应成比例,两三角形相似. 特殊、判定直角三角形相似的方法:(1)以上各种判定均适用.(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似. 注:射影定理:在直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图,Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AD 是斜边BC 上的高, 则AD 2=BD ·DC ,AB 2=BD ·BC ,AC 2=CD ·BC 。
二 相似三角形常见的图形三、1,下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形:(1) 如图:称为“平行线型”的相似三角形(有“A 型”与“X 型”图)(2) 如图:其中∠1=∠2,则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
(有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”)ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB(3) 如图:称为“垂直型”(有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型(也称“射影定理型”)”“三垂直型”)(4)如图:∠1=∠2,∠B=∠D ,则△ADE ∽△ABC ,称为“旋转型”的相似三角形。
九年级数学教学教案第3课时 相似三角形的判定定理3ill 示I I 标1.掌握相似三角形的判定定理 3.2•了解两个直角三角形相似的判定方法.3.深化对相似三角形的三个判定方法的理解,并能够运用相似三角形的判定方法解决相似三角形的有关问题阅读教材P35-36,自学“例2”与“思考”,理解相似三角形判定定理 自学反馈学生独立完成后集体订正① 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应 _______________ ,那么这两个三角形相似. ② 如果两个直角三角形中,有一条直角边和斜边对应成比例,那么这两个直角三角形 ___________ .③ 要判定两个直角三角形相似, 最简单的方法就是再找 ______________ 对应相等,就可以根据相似三角形的判定3,判定这两个直角三角形相似 .④ 如图所示,已知/ ADE= / B,则^ AED s⑤顶角对应相等的两个等腰三角形相似吗?为什么? 教肺点復要根据已知条件选择适当的方法综仟探究I活动1 小组讨论例1 如图,在△ ABC 中,/ C=60° ,BE 丄AC 于E,AD 丄BC 于D. 求证:△ CDE sA CAB.证明:•••/ C+ / CAD=90 ° ,/ C+/ CBE=90 •••/ CAD= / CBE. 又•••/ C=/CAD sA CBE.• CA CD • CB = CE .又•••/ C=/CDE sA CAB.活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果)3及直角三角形相似的判定方法教师虎殛在寻求不到另一个角相等的情况下, 寻求夹相等的角的两边的比相等, 是解本类题型的有效方法.理由是1.如图,四边形ABCD是正方形,△ ECF是等腰直角三角形,其中①求证:△BCF sA DCE ;②若BC=5 , CF=3 , / BFC=90 °,求教師点援求线段的比值一般的方法是寻找两线段所在的三角形相似2. 如图所示,在O O中,AB=AC,则△ ABD s戟肺点瑾要考虑到线段的对应分两种情况综合探究2活动1小组讨论例2 已知:如图,/ ABC= / CDB=90 ° , AC=a,BC=b,当BD与a,b之间满足怎样的关系时解:ABC= / CDB=90 ° ,BC AB(1)当 d = a 时,△ABC sA CDB ,BD CD3.如图,正方形ABCD的边长为2, AE=EB,△ AED与以M、N、C为顶点的三角形相似.CB、CD上滑动,当CM= 时,CE=CF , G是CD与EF的交点.,若AC=12 , AE=8,贝U AD=,这两个三角形相似?:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似 选择适当的方法证明三角形相似 .:数形结合、分类讨论.教学至此,敬请使用学案当堂训练部分【预习导学】 自学反馈 ① 相等 ② 相似 ③ 一个锐角 ④ 厶ACB 略⑤ 相似 略此时 B C = AB = AC ,即 a = p BD CD BC b BD ••• BD= b l a b 2即当 BD=—时,△ ABC sA CDB ; a AB = -BC 时,△ ABC sA B DC , BD CD 5 AB BC AC 此时——=——=—— BD CD BC (2)当,即俎=竺BD BC ••心= a ,BD= BD b •••当 BD= b J a 2 -b 2 时,△ ABC BDC .a 综上所述,即当b , b 、2 2 BD=—或BD= — J a -b 时,这两个三角形相似. a a 本题仍是要考虑当两个三角形有一个角相等时,夹这个角的两边的比相等时有两种情况 活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果) 如图,在△ ABC 中, 点Q 从C 点出发,沿CA CBA 相似? / C=90 ° , BC=8 cm , 4AC-3BC=0,点P 从B 点出发,沿 BC 方向以2 cm/s 的速度移动, 方向以1 cm/s 的速度移动,若 P 、Q 分别从B 、C 同时出发,经过多少秒时,△ CPQ 与△ 活动3课堂小结1. 本节学习的数学知识2. 根据题目的具体情况,【合作探究1】活动2跟踪训练1•①略②4 : 324 AEB 18【合作探究2】活动2跟踪训练设经过t s 时,△ CPQ和△ CBA 相似,此时BP=2t cm , CQ=t cm,贝U CP= (8-2t) cm,其中0<t<4. 又BC=8 cm , 4AC-3BC=0,求得AC=6 cm.CP CQ 8 — 2t t(1)当PQ// AB 时,△ CP Q S4 CBA,则二=上二,即=上,所以t=2.4.CB CA 8 6(2)当C P= 时,△ CP Q S4CAB,则L?! =1,解得t=32CA CB 6 8 1132故经过2.4 s或一s时,△ CPQ与△ CBA相似•11。