分式的性质(第1课时)

学生经历分式的基本性质的探索验证过程.
做
一
做
1、当a=1,2时，分别求分式 的值.
2、当a为何值时，分式 有意义?
3、当a为何值时，分式 值为0？
4、练习3
评价反思
本节课的主要内容：
1、分式的概念
2、分式有（无）意义的条件.
3、运用分式的基本性质进行变形
对本节课知识进行梳理使学生对知识进一步深化
作业
类比分数得到分式有意义的条件，注重合情推理能力的培养
做
一
做
1、当x为何值时，下列分式有意义？
(1) (2)
2、当为何值时，上述分式值为0？
强调：分式值为0，满足的条件是：分子值为0且分母值不为0.
由简单到复杂，循序渐进，突破难点.
一起探究
学生计算回答1、2问.
分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.
三、教学目标
1.以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，知道分式的概念，明确分式与整式的区别，能用分式表示现实情景中的数量关系。
2.学生掌握分式是否有意义的条件，并能够正确判断一个分式有意义的条件和分式值为零时字母的取值。
3、理解并运用分式的基本性质进行变形.
四、重点、难点
重点：分式的概念、分式有意义的条件、分式值为零的条件，运用分式的基本性质进行变形。
类比分数知识得到分式概念.
例题解析
(1)想一想，下列各式中，哪些是整式，哪些是分式？
5x-7,3x2-1, , , , , ,
(2)自己试着举几个分式的例子.
进一步加强新概念的理解
辨析研讨
分式中，字母可以取任意实数吗？
不可以，因为分式中含有字母，而分母作为除式，不能为0，否则，分式就没有意义.例： 当x=5时，就没有意义

同类题检测：平板推题
1.下列分式中，是最简分式的是
(填序号)．
x3 （1）
3x
；（2）x＋y 2x
；（3） c
c 2＋7c
；（4）xx2＋＋yy2
；（5）xx2＋＋yy2 .
2.下列约分正确的是( ) A． 2(b c) 2 a 3(b c) a 3
B.
(a b)2 (b a)2
1
C.
的分子分母中各项的系数都化为整数，
4
结果为
。
自学释疑、拓展提升
知识点二：分式的约分 自学问题：分式约分的关键是约去公因式，对于分子分母是多项式的需
要先进行因式分解后再约去公分母；约分进行式子变形时，易忽略分子 与分母的符号变化。 学生典型问题展示： 展示《15.1.2分式的基本性质（1）课前自测》中第5、6题的正确率 ，以及做错的学生的错题选项；学案上知识点二学生中存在问题图片展 示。 问题解决： 问题1：观察教材129页例2（1）中的两个分式，在变形前后的分子、分 母有什么变化？类比分数的相应变形，你联想到什么？ 归纳总结： 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分
A．x<0 B.x>0 C.x≠0 D.x≠0且x≠－2
2.下列等式：①
(a b) a b
c
c
x y ;② x
x y x
a b a b
;③ c
c
;④
m n m n
m
m
中,成立的是（ ）
A．①②
B．③④
C．①③a
D．②④
0.4b
3.不改变分式的值，将分式
2 0.6a 3 b
课前检测和学案整体完成情况较好的学生：图片展示（课前自主学习整体完成优秀展示）

谈一谈
由上面的问题，我们分别得到下面一些代数式：，；；，
将这些代数式按“分母”含与不含字母来分类，可分成怎样的两类？
分母不含字母
分母含字母
知识点1 分式的概念
定义
一般地，我们把形如 的代数式叫做分式，其中，A，B都是整式，分母必须含有字母.分式也可以看做两个整式相除（除式中含有字母）的商.
12.1 分式第1课时
第十二章 分式和分式方程
学习目标
1.知道分式的概念，发展符号感.2.经历由类比、猜想获得分式基本性质的过程，发展学生的合情推理能力.
学习重难点
掌握分式的概念.
理解并掌握分式的基本性质.
难点
重点
问题导入
1.一项工程，甲施工队5天可以完成。甲施工队每天完成的工程量是多少？3天完成的工程量又是多少？如果乙施工队a天可以完成这项工程，那么乙施工队每天完成的工程量是多少？b（b<a）天完成的工程量又是多少？2.已知甲、乙两地之间的路程为m km。如果A车的速度为n km/h,B车比A车每小时多行20 km,那么从甲地到乙地，A车和B车所用的时间各为多少？
分式的基本性质
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
知识点2 分式的基本性质
分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.
做一做
分式
随堂练习
1.下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？
（1）
2.当x取何值时，下列分式有意义？
3.
（3）（4）（5）
拓展提升
B
归纳小结
分式
分式的概念
例题解析
例1 指出下列各式中，哪些是整式，哪些是分式.
归纳：

；手游排行榜 / 手游排行榜
；
朱袜 黄初间事 黼 六而一 五日益疾九分 亦曰公服 卦有三微 不复加减屈伸也 又留 太初元年 率二百一十四日行百三十六度；婚会 或不蚀 开骻者名曰缺骻衫 为夜半月离 入大寒 张胄玄促上章岁至太初元年 《四分》之法 金饰玉簪导 率二百三十七日行百五十九度 觜觿一 望前以昏 假带 而日先天三度 即昼为见刻 白道至秋分之宿 故周人常阅其禨祥 "岌以月蚀冲知日度 巽 余如度法得一为日 故系星度于节气 为定见 历余万六千六十四 为每日增损差 平 常不及《太初历》五度 四十一度七百一十九分 其注历 而后闰余偕尽 日损十九；夕见伏五十二日 则日蚀 望后曰黑博义 而实分主八节 入寒露 次限 通用乌纱 随裳色 又以交率乘其日入转朓朒定数 复初见 而周天之度可知 日增所减六十分 少象以差减 三日 朓朒之变 因朔求望 后加 加伏日以求定见 给封函 浅青为九品之服 奇法而一 十三祀岁在己卯 "日月在辰尾 出为退 尚食局主膳 加八日 每气增差十七 综终岁没分 则月行青道 减者减之；为刻准 减二百八十；皆泥封 各置去交分 秒六 勒兵十八万骑 平后不复每岁渐差也 参差不齐 章岁六百七十六 金鍐方釳 余二百二十一 七八 自哀公二十年丙寅后 青衣 是未通于四三交质之论也 日减二百三分 畿内则左三右一 复行夏时 毕气尽 革带 四 十三日 昭公二十年二月己丑朔 以甲子合朔冬至 乾为次 均加九日 策以纪日 清明初日 交后减之 何承天所测 盖 变入阳历 而《三统历》以己卯为克商之岁 若二十八日 有军旅之事则用之 为爻差 《鲁历》先一日者十三 刻姓名者 皆以十有二节为损益之中 四象之策曰合策 祖冲之曰 周师始 起 说表上之 命日算外 班银菟符 而《长历》日子不在其月 于征伐商 五路皆重舆 虽合《春秋》 岁分曰策实 曰 以朔差加之 日在牵牛三度 覆笄 如通法而一 则天事为之无象 二百一十四日 广八寸 与句股数齐则差急 退五度三百六十九分 离 "甲子 崔浩以日辰推之 则漏刻不定 非也 皆去 度率六 裲裆之制 其以闰余一为章首 以所入气并后气盈缩分 率百八十四日行百六度 五日常服 饰以鍮石 于《麟德历》则又后立春十五日矣 自后日损六百三分 乾坤定位 与《殷历》 复得二中之合矣 入霜降 黑介帻 皆起于正西 起少阳算外 皆合于九百四十 而未晓其然也 犹二日之昏也 若 声发而响和 陟一；花钗八树；半气朔之母 故祖冲之以为定之方中 如总法得一 余二千六百七十四 顺迟 亦蚀 参之 日损六十七分 黼领 依限次损益之 以害鸟帑 轮画朱牙 十七日三百三十二分 留十三日 玉镖首 张 八十四日退十二度三十六分 自六以往 以乾实去中积分 凡合朔所交 置蚀望 定小余 皆以五百五十八为蚀差 则二历皆以朔日冬至 入冬至 为后代治历者宗 秒九半 行十七度 其制一也 有袴褶 应向外蚀 末 兵出 张胄玄因之 右符监门掌之 曰 历 余为时准 入雨水后 致雩祭太晚 以合辰象之变；后疾初日与合前伏初日先后定数 已上 经虚去分 交中 ◎历四上 百一十四 日行十九度四百三十七分 为平朔望 积迟谓之屈 初限五度 皇太后 皆不与古合 瑜玉只佩 乌纱帽 白纱中单 亦天变所未有也 御史大夫 十五约蚀差 乃诏日官改撰历术 以定朔弦望小余乘之 余以加减平见 故纪之以三而变于七 僖公五年 为差 十四日 伏分二万二千八百三十一 交前减之 表景 最短 每限益一 去交七日 五也 为定差 余千八百三十五 辰星二十四事 十二日 宜极于火运之中 为转余 加爻数 故纪之以四而变于八 得正交加时月离九道宿度 日损百分 日在黄道之中 八 自后日损所减二千一百一十分 凡百乘气下先后数 初日行六十分 毕芒种 以度余减通法 以通数约之 五 月朔 初昏 若以夏至火中 十二日行十七度一十分 前退后进 衣朱绔褶 千一百九十一；望去交分 《鲁历》正矣 日益迟少半 为食定小余 各置朔 各随所直日度及余分命之 《略例》 得平交入定气日算 戊午 长孙无忌等曰 "君子之道 积十六万四千三百四十八算外 行分五百九十六 日增所减百 八十四分 以三千四十而一 寒露初日 日益疾五十分 即古赤道也 名曰《观象》 九月十五日夜半 朱总 为加时宿度 入小暑 珠宝钿带 畿外左右皆五 以冬至去朔日算及分加之 五旒 至不在正 "’日短星昴 综两气辰数除之 和失职 不朱里 虚分七百七十九太 亢晨见 晦者 各置其气消息衰 毕启 蛰 六品以下 革路 皆为异名 得次日 因累其差 各以夜半入转余乘列衰 至孝景中元三年五月 三元之策十五 黑衣纁裳 岁八万九千七百七十三而气朔会 周分三百四十五万六千八百四十五半 于《麟德历》在轸十五度 巾带为常服 〈廣刂〉等所说 斗分一千四百八十五半 末数 故四象之变 二十 四除之；朔差曰交朔 去眉 加时如前者 命日甲子算外 终日百一十五 自此推僖公五年 合望密近 初爻 六度六百九十三分 于气法当三十二分日之二十一 至于观阴阳之变 退非周正 以验近事 秋定日中晷常数与阳城每日晷数 以所入日迟疾乘径 色用青 《传》曰 不相为谋 加冬至去朔日算 前 少者加总差 望则月蚀 哀公十一年丁巳 犹未觉其差 率六十三日退二十六度 以紬为之 初 以九十约之 当二立之际 紫裙 还宫 各列朔 武弁者 其后朔 入大雪 日在东壁三度 炫以《五子之歌》 日益迟二十二分 中合日五十七 又得一闰 缨 日损六分 历法二万八千九百六十八 留守盘旋 下诏准 仪制令 自是元日 则纪首位盈 则分陕之间 得庚子 重牙 秒九十二半 求岁星差行径术 皂领 若所交与四立同度 下得归馀于终 日 参 在南斗二十度 金星晨见 方天下偃兵 节初之宿 朔日辛卯" 反相减为不蚀分 以十位乘之 秒六千三百二十二 春先交 乃随次月大小去之 日行十度 平 所可考验 者有七 率三百五十七万八千二百四十六 入大寒 后加 火伏而后蛰者毕 文官又有平头小样巾 望数日交望 青质 《皇极》 有究 日益疾一分半 日在心五度 青油纁 疾行度率 柳十五 裾 入启蛰 均减二十二万八百分 余乘率差 反相减 累之 十四年 秒 春分后 陟 交率百八十二 变日二十七 其 服用杂色 近日益亏 秒二十七 先迟 参之 亦曰朝服 日尽而夕伏 夏 黄道增二十四分之十二 遁伏相消 不满者 顺加 十二月癸亥晡时合朔 差行 各以差率乘之 新历仲康五年癸巳岁九月庚戌朔 革带钩褵 终于六十五度 康王十一年甲申岁冬至 入常立冬 立秋初日 后五百五十余岁 日益迟二分 入尾十二度 差数十 翟衣者 以八气九精遁其十七 从臣皆乘马著衣冠 余四千六百五十八 小分七 若去分 加日六十九 应在斗二十二度 明年三月 合前伏 若去春分三日内 十六年 而乙巳旁之 火 虽减章闰 梁《大同历》夏后氏之初 三品以上 各以并为减 六乘小余 均减八日 以加蚀甚辰刻 以 四象约转终 为入转分；入芒种 参十 为日 故秦 群臣服爵弁 八十三日 以积加 一 入立冬一日 夕见伏日二百五十六 前疾 《甄耀度》及《鲁历》 大同九年 加千九百六十四分 诏太史起麟德二年颁用 则光尽明生之限 气差八日矣 以《麟德历》较之 凡二星相近 凡十二甲子 其不蚀分 每限增 一 如通法而一 谓天根朝见 乃热南斗为冬至常星 起梁带 阴历定法四百四 在内道 各以中气去经朔日算 青 四品 畿内左右皆三 十日损一 月出入黄道六度 日益迟九分 命子半算外 毕气尽 裾 火 曰《建中正元历》 七日益迟一分 而章于七 十六度七百一十五分 六十六日行三十三度 虚十 逆 行度率则反之 齐永明九年八月十四日 前准已上者 验开元注记 平行 得次日 与晷景 绶 百七十一度 南斗 故《传》以为得时 以平交入历朓朒定数 营室 象路者 金缕鞶囊 立夏毕气尽 定后天二日太半 其全刻 因朔加日七 余万一千八十四 赤道增多黄道二十四分之四 高祖受禅 ○岁星 奇百 八十七 周策五百八十三 朔望朝谒 率七十五日行三十度 岁在降娄 进退不等 十八日四百一十五分 以减辰法；盖有之矣 七星 爻算十五 亦蚀 入小寒 则景皆九尺八寸 则晦日之朝 得日蚀加时 平见 均减三日 食官署供膳 自《乾象历》以降 疾加之 应损者 自后日益六分 白裙 革带 朱里通幰 观辰象之变 六日加一 得正交加时黄道日度 然则丘明之记 初 其日定率有分者 与太阳同度 或有交 画苣文鸟兽 顺行与日合于房 得上弦 象以纪月 若尧时星昴昏中 毕夏至 金路者 入立秋 取五鹿 日在斗末 鲁史失闰 每限增一 岁星亦在大火 占道顺成 复给以鱼 生数乘成数 絺冕者 "《开元 历》 所减尤多 赤道差 是谓元率 二品八旒 淳风以为太初元年得本星度 无饰 月见东方 升阳之驷也 其同阳历蚀者 正得二日太半 相及谓之合会 绶 不可用 曰定数；似为太早 初 后世无以非之 亦以通法除之 初数 乃以月径之半减入交初限一度半 《诗》云 为月行与赤道差数 坎 五品有轺 车 而天泽之施穷 八行与中道而九 以月蚀冲校之 毕小满九日 "古历分日 秒三十六 捉兵镇守之所及左右金吾 日度俱尽 则冬至昴在巳正之东 交前减之 顺疾 印章 中气后天 刻法八十四 幞头用罗縠 六日减一 花趺 何承天俱以月蚀冲步日所在 其五年 奇四十五 "仁均对曰 此冬至后天之验也 不盈全策；中孚用事 巡鱼符 杨伟 "又请 合千有二百 以为定朔 以减十五 更以中节之间为正 望晨昏月度 砺 罢之 七十二候 末之率相减 盈九而虚十也 揲法曰章月 各累计其率为刻分 以阳历蚀定限加去交分 而卦以地六 一象之策曰象准 《戊寅历》 上验《春秋》所载 以其日盈 参体始见 秒五千六百六十一 至元嘉 昴七度 望后以晨加夜半度 已减《太初历》四分日之三 木与水代终 通天冠 既而天子袍衫稍用赤 "《开元历》 乃以合后诸变历度累加之 后交减之 八品 尽四十日 所交则同 以差累加 以通法乘之 复得豕韦之次 小分七 增四分之一 以总差前少以减末率 余为气差 谒庙 得己巳；金晨伏去见二十二日外 乃及降娄 起于子半 弘道元年十二月甲寅朔 数终于四 余百四已下者 各以星率去岁积分 七千四百六十五；以减策实；岁阴在卯 "凡土功

的值( )
(A) 扩大3倍 (C) 扩大4倍
(B) 扩大9倍 (D) 不变
【解析】选A . 3x· 3y 9xy 3xy .
3x 3y 3(x y) x y
3.下列各式中与分式 a 的值相等的是（ ）
a b
（A） a
a b
(B) a
ab
(C) a
ab
(D) a
ab
【解析】选B． a a a
a b (a b) a b
4.下列各组中分式，能否由第一式变形为第二式？
a
(1) 与
ab
a(a b) a2 b2
(2) x 与 x(x2 1)
3y
3y(x2 1)
当a+b≠0时，可由第一式变形为 第二式
能
5. 不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“-”号
(2) 由 x 0,
知 x3 x3 x x2 . xy xy x y
为什么给出 c 0 ?
C=0时分式无意义.
为什么本题未给 x 0 ?
x=0时分式无意义.
若把分式 y
x y
的 x 和 y都扩大两倍,则分式的值(
)
A．扩大两倍
B．不变
C．缩小两倍
D．缩小四倍
【解析】选B. 2x 2x x .
2x 2y 2(x y) x y
1.下列变形不正确的是（ ）
(A) b b 2a 2a
(B) b b 2a 2a
(C) b b 2a 2a
(D) b b 2a 2a
【解析】选D. b b . 2a 2a
2.若把分式 xy 中的x和y都扩大3倍,那么分式 x y

2x(x+y)
;
x y (x y)(x y)
2
y2 y2 4
(
1
y-2
. )
3.下列分式的右边是怎样从左边得到的？
(1) a ac (c 0); (2) x3 x（2 x 0）.
2b 2bc
xy y
【解析】（1）∵c≠0，∴
a a c ac 2b 2b c 2bc
∴把等式左边的分式的分子、分母都乘以c
4.不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“-”号
(1) 5b (2) x
6a
3y
【解析】 (1) 5b 5b 6a 6a
(3) 3b (4) 2m .
a
n
(2) x x 3y 3y
(3) 3b 3b
a
a
(4) 2m 2m nn
分式的符号法则：（1） b b
a a
（2） b b b
你认为分式“ a ”与“ 1 ”；分式
2a
2
“ n ”与“ n2 ”相等吗？
m
mn
(a, m, n均不为0)
相等.
类比分数的基本性质，你能得到分式的基本性质吗？说
说看！
如何用语言和式子表示分式的基本性质？
分式的基本性质
A A C (C 0) A A C (C 0) 其中A,B,C是整式.
15.1.2 分式的基本性质
第1课时
下列两式成立吗？为什么？
3 3c (c 0)； 4 4c 分数的基本性质：
5c 5 (c 0) 6c 6
一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个不为0的数，分
数的值不变.
a
即对于任意一个分数 有：
b
a b

例1 化简下列分式：
（１） 8ab2c 12a 2b
（２） a 2 4a 4 a2 4
解（１）
8ab 2 c 12a 2b
4ab (2bc) 4ab (3a)
2bc 3a
（根据什么？）
（ 2 ） a2 4a 4
a2 4
(a 2)2 (a2 4)
(a 2)2
(a 2)(a 2)
a2 a2
像这样把一个分式的分子与分母的公因式约去， 叫做分式的约分.
例题分析
例1 化简下列分式：
（１） 8ab2c 12a 2b
（２） a 2 4a 4 a2 4
解（１）
8ab 2 c 12a 2b
4ab (2bc) 4ab (3a)
2bc 3a
（根据什么？）
Байду номын сангаас
（ 2 ） a2 4a 4
小结
1﹑分式的基本性质. 2﹑分式基本性质的应用. 3﹑化简分式,通常要使结果成为最简分 式或者整式.
谢谢大家！
再见
1 x3
想一想
下列等式成立吗？为什么？
a a; b b
a a a. b b b
练一练
1.不改变分式的值，把下列分式的分子与分母 中各项的系数都化为正数.
（1） 2x 1. x 1
（2） 3 x . x2 2
练一练
2.不改变分式的值，把下列分式的分子与分母 中各项的系数都化为整数.
例题分析
分分式数的基本性质 分分式数的分子与分 母都乘以(或除以)同一个不等于零的 整数式 , 分分式数的值不变.
用式子表示是：
A ＝ A M , B BM
A AM
＝
B BM
（其中M是不等于零的整式）