第二类曲线积分

第二类曲线积分的定义
第二类曲线积分是在曲线上积分一个向量场的形式。

假设C 是一条可求长的曲线段，参数化为r(t)，其中a≤t≤b，向量场为F(x,y,z)。

第二类曲线积分的定义是：
∫CF·ds = ∫bF(r(t))·r'(t)dt
其中，F(r(t))表示在曲线上某点处的向量场的值，r'(t)表示曲线在该点处的切向量，而dt表示线元。

这个公式意味着，将向量场F(r(t))与曲线段的切向量r'(t)的点积相乘，再对整个曲线段进行积分。

这个积分给出了曲线上向量场F的沿曲线方向的累积效果。

第二类曲线积分也可以用不同的参数化来表示，即使用不同的参数t'来代替t，只要满足r(t') = r(t)。

这是因为积分路径不依赖于参数的选择。

需要注意的是，第二类曲线积分可能与参数化有关，即与路径有关。

两个参数化得到的曲线积分可能不同，因为曲线方向和切向量的方向可能不同。

第二类曲线积分定义式摘要：1.第二类曲线积分的概念2.第二类曲线积分的定义式3.第二类曲线积分的性质与应用正文：在数学中，曲线积分是一种对函数在曲线上的变化进行描述的方法。

根据积分路径的性质，曲线积分可分为两类：第一类曲线积分和第二类曲线积分。

本文将介绍第二类曲线积分的定义式、性质及应用。

一、第二类曲线积分的概念第二类曲线积分是指在平面或空间中的曲线C上，对函数f(x,y,z)的积分。

它可以表示为：∫C f(x,y,z)ds其中，f(x,y,z)是定义在曲线C上的函数，ds表示曲线C上的微小弧长。

二、第二类曲线积分的定义式第二类曲线积分的定义式为：∫C f(x,y,z)ds = ∫[a,b] f(x(t),y(t),z(t))|dx/dt|dt其中，a、b为曲线C的参数，t为参数变量，x(t)、y(t)、z(t)分别为曲线C上点的位置坐标，|dx/dt|表示速度矢量的模。

三、第二类曲线积分的性质与应用1.线性性质：第二类曲线积分具有线性性质，即若f1(x,y,z)、f2(x,y,z)为定义在曲线C上的函数，常数k、l为实数，则有：k∫C f1(x,y,z)ds + l∫C f2(x,y,z)ds = ∫C [kf1(x,y,z) + lf2(x,y,z)]ds2.代数性质：第二类曲线积分满足下列代数性质：(1) ∫C f(x,y,z)ds = ∫C f(x",y",z")ds"，其中(x",y",z")为曲线C上的点坐标。

(2) ∫C f(x,y,z)ds = ∫C f(x",y",z")ds"，其中(x",y",z")为曲线C关于坐标轴旋转得到的曲线坐标。

3.应用于物理、力学等领域：第二类曲线积分广泛应用于物理、力学等领域的求解问题，如求解质点在曲线路径上的位移、速度、加速度等物理量，以及求解曲线上的应力、应变等问题。

§ 2 第二型曲线积分前面我们已讲过第一型曲线积分,但在力学.物理等许多问题中,还常常用到另外一类曲线积分,叫做第二型曲线积分.一 第二型曲线积分的定义1 力场作功问题如果质点受常力 F 的作用沿直线运动, 位移为s ，那末这个常力所做功为 θcos s F W = 其中s F ,分别表示向量(矢量)的长度,θ为F 与S 的夹角.设平面力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F = ，即力),(y x F 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为P(x,y)与Q(x,y). 质点在力场作用下，沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功.先用微元法讨论.再用定义积分的方法讨论这一问题.a) 分割T对有向曲线C 作分割},,.....,,{110n n M M M M T -=,即在AB 内插入n-1个分点,,.....,,121-n M M M 与A=n M B M =,0一起把曲线分成n 个有向小曲线段i i M M 1-(i=1,2,……,n)以i s ∆记为小曲线段i i M M 1-的弧长. i ni s T ∆=≤≤1max . b) 作和任取一点i i i i M M P 1),(-∈ηξ，由于有向线段),,().,(111i i i i i i y x M y x M ---在x 轴和y 轴方向上的投影分别为11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x ,于是 ),(1i i i i y x M M ∆∆=-.从而力),(y x F 在小曲线段i i M M 1-上所作的功i W ),(i F ηξ≈i i y x ∆∆,(）= P(j i ηξ,)i x ∆+Q (j i ηξ,)i y ∆c) 取极限于是力F 沿C(AB)所作的功可近似i W =∑=n i i W 1i ni i i i n i i i y s Q x s P ∆+∆≈∑∑==11),(),(ηη 当0→T 时,右端积分和式的极限就是所求的功.有很多物理量的确定,都要求计算上述形式的和式上极限（参见本节附录）, 这种类型和式极限就是下面所讨论的第二类曲线积分，因此给以下面的一般定义2 第二型曲线积分的定义（P202-203）设P,Q 为定义在平面有向可求长度的曲线（即光滑或分段光滑平面有向曲线）C 上的函数,对任一分割T,它把C 分成n 个小弧段i i M M 1-,I=1,2,3,……,n;记),(i i i y x M ,i i M M 1-弧长为i s ∆,i ni s T ∆=≤≤1max ,11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x , n i ,,2,1 =.任取(j i ηξ,)∈i i M M 1-,若极限 i n i ii i n i i i T y s Q x s P ∆+∆∑∑==→110),(),(lim ηη存在且与分割T 与界点(j i ηξ,)的取法无关,则称此极限为函数P,Q 有线段C 上的第二类曲线积分,记为 ⎰cQdy Pdx + 或者⎰AB Qdy Pdx + （1） 或者 ⎰⎰+c c Qdy Pdx 或者⎰AB Qdy Pds AB ⎰+按这一定义 , 有 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为⎰⋅=AB ds F W ⎰⎰+==ABAB Qdy Pdx dy dx Q P ),)(,(. 可类似地考虑空间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x =沿空间曲线AB 所作的功，导出空间曲线上的第二型曲线积分. 若C 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,P,Q,R 为定义在C 上的函数,则可按上述办法定义沿有向曲线C 的第二类曲线积分,并记为⎰⋅AB ds F dz z y x R dy z y x Q dx z y x P c),,(),,(),,(++=⎰ （4） .介绍有向闭路曲线积分的记法 ⎰cfds平面上光滑闭曲线如何规定方向呢?(此时无所谓“起点”和”终点”)3 第二型曲线积分的性质（P204）(1)线性 设C 为有向曲线,⎰c fds ,⎰cgds 存在, 则 ,,R ∈∀βα则ds f f c )(⎰+βα存在,且⎰⎰⎰+=+cc c gds fds ds f f βαβα)( (2)可加性 设⎰c fds 存在,,21C C C ⋃=⎰⎰⇒21,c c fds fds 存在,且 ⎰⎰⎰+=21c c c fds fds fds （3）第二类曲线积分与曲线C 的方向有关设C -是C 的反向曲线(即C -和C 方向相反), 则⎰c fds =-⎰c fds （⎰⎰-=BA AB ） （5）第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性. 注意第一类曲线积分表达示是函数f 与弧长的乘积,它与曲线C 的方向无关,这是两种类型曲线积分的一个重要差别.定积分是第二型曲线积分中当曲线为X 轴上的线段时的特例.注1 第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论过的积分 相比, 除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的, 还是用Riemma 的 思想建立的积分. 因此 , 第二型曲线积分具有(R )积分的共性 , 如线性、关于函数或积 分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性 , 这是由于一方面向 量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向 之间的夹角有关.二 第二型曲线积分的计算设L （AB ）为平面有向光滑或按段光滑曲线 , L :βαψϕ≤≤==t t y t x , )( , )(或者αβ≤≤t 起点A ())( , )(αψαϕ, 终点B ())( , )(βψβϕ; 函数),(y x P 和),(y x Q 在L 上连续, 则沿L ( 即从点A 到点B 的方向)有()()[]⎰⎰'+'=+L dt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P βαψψϕϕψϕ)()( , )()()( , )(),(),(. （6） 证明 略类似，设有空间有向光滑曲线C 的方程是X=x(t),Y=y(t),Z=z(t).曲线的方向是曲线上点A 到点B 设当t=a 时对应点A ，t=b 对应点B(注意:a<b 或者a>b 均有可能出现);又设)),,(),,,(),,,((),,(z y x R z y x Q z y x P z y x f =, 那么dt t z t z t y t x R y t y t z t y t x Q t x t z t y t x P fds ba c )}())](),(),([)())](),(),([)())](),(),([{'''++=⎰⎰ （7） 注2 式中,必须注意定积分上,下限的安排应该与曲线积分所给的曲线方向相一致,那下限对应于起点参数值,上限对应于终点的参数值.注3 曲线的自然方向:设曲线L 由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.例1 计算积分⎰-+Ldy x y xydx )(, L 的两个端点为A ( 1, 1 ) , B ( 2 , 3 ). 积分 从点A 到点B 或闭合, 路径为 （P205）（1） 直线段AB（2） 抛物线1)1(22+-=x y ;（3） A ( 1, 1 )→D ( 2 , 1 ) → B ( 2 , 3 ) → A ( 1, 1 ), 折线闭合路径 .注4 此例表明, 第二类曲线积分不仅与积分的起点和终点有关,而与还与所给曲线有关.即使同一个起点和同一个终点,但设不同的曲线将获得不同的积分值.(即不同的积分,积分值就不同),会不会有如下情形发生:积分只与起点和终点有关,而在积分路径无关?（参见例2） 从物理上讲有----重力作功.一般地讲,积分与路径无关里需要的,到底需什么呢?以后在讲.例2 计算积分⎰+Lydx xdy , 这里L : （P206） （1） 沿抛物线22x y =从点O ( 0 , 0 )到点B ( 1 , 2 );（2） 沿直线x y 2=从点O ( 0 , 0 )到点B ( 1 , 2 );（3） 沿折线闭合路径O (0,0) →A (1,0 ) →B (1,2 ) → O (0,0).例3 计算第二型曲线积分 I = ⎰+-+L dz x dy y x xydx 2)(, 其中L 是螺旋线bt z t a y t a x === , sin , cos , 从0=t 到π=t 的一段 . （P207） 例4 求在力场) , , (z y x x y ++-作用下,（1） 质点由点A ) 0 , 0 , (a 沿螺旋线到点B ) 2 , 0 , (b a π所作的功, 其中L 1 : bt z t a y t a x === , sin , cos , ) 20 (π≤≤t .（2） 质点由点A ) 0 , 0 , (a 沿直线L 2到点B ) 2 , 0 , (b a π所作的功. （P207）补例1 I=⎰+c dy x dx y 22 ;C:22a x + 22b y =1(y 0≥) ,方向：（-a,0）→(a,0). 补例2 I=⎰-cdy x xydx 22 ;C: 直线y=x,方向从原点到（０，０）附录（说明：附录是本章或本节内容的补充、深化和拓宽，根据情况，简单介绍，或者不讲） 稳流场通过曲线 ( 从一侧到另一侧 ) 的流量解释稳流场. ( 以磁场为例 ). 设有流速场),(y x ()),( , ),(y x Q y x P =. 求在单位时间内通过曲线AB 从左侧到 右侧的流量E . 设曲线AB 上点1-i M 处的切向量 B 为)sin , (cos αατ=, ( α是切向量方向与X 轴 i M 正向的夹角. 切向量方向按如下方法确定: 法线方 1-i M 向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问 A题中是指从左侧到右侧的方向. 切向量方向与法线 n 方向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向 .) .在弧段⋂-i i M M 1上的流量 ds n v dE ) , (=. )cos , (sin )2sin( , )2cos(ααπαπα-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=，因此 ,()=-⋅=||)cos , (sin ),( , ),(ds y x Q y x P dE αα ||cos ),(||sin ),(ds y x Q ds y x P ⋅-⋅=αα. 由 dx ds dy ds dy dx ds =⋅=⋅⇒=||cos , ||sin ), , (αα, 得 dx y x Q dy y x P dE ),(),(-=. 于是流速场),(y x ()),( , ),(y x Q y x P =在单位时间内通过曲线AB 从左侧到右侧的总流量E 为⎰⎰-==AB ABdx y x Q dy y x P dE E ),(),(.三 两类曲线积分的联系 （P208）作业 1（3）、（4）、（5），2。

第二类曲线积分计算方法第二类曲线积分是微积分中的重要概念，在数学和物理等领域都有广泛的应用。

它可以用于计算沿着曲线的力场、流量和磁场等物理量的总量。

本文将详细介绍第二类曲线积分的概念，计算方法以及应用场景。

第二类曲线积分，也称为曲线积分，是对曲线上的矢量场或标量场进行积分运算。

其结果表示了沿着曲线的场量的总和。

在数学中，曲线积分可以用来计算弧长、质量分布、质心等，而在物理学中，它常常被用于计算电场、磁场、流量等物理量。

要计算第二类曲线积分，首先要确定曲线的参数方程。

常见的参数方程有参数 t 的向量形式和参数 s 的标量形式。

其中，参数 t 的向量形式通常写作 r(t) = (x(t), y(t), z(t))，而参数 s 的标量形式通常写作 r(s) = (x(s), y(s), z(s))。

参数方程对于描述曲线的形状和方向非常重要。

对于矢量场的曲线积分，其计算可以用定积分的方法进行。

设曲线的参数方程为 r(t)，则矢量场 F(x, y, z) 在曲线上的曲线积分可以表示为：∫ F · dr = ∫ F(r(t)) · r'(t) dt其中，· 表示点积运算，r'(t) 是参数方程 r(t) 的导数，符号∫ 表示积分运算。

上述公式中，F(r(t)) 表示将矢量场 F 在曲线上对应的点代入，计算出的矢量值。

r'(t) 表示曲线在 t 点处的切向量，它的方向和斜率有关。

整个积分表示对参数 t 在曲线上的取值范围进行积分运算。

对于标量场的曲线积分，其计算方法和矢量场类似，只是不需要进行点积运算。

标量场通常表示为 f(x, y, z)，在曲线上的曲线积分可以表示为：∫ f ds = ∫ f(r(t)) ||r'(t)|| dt其中，||r'(t)|| 表示曲线在 t 点处的切线长度。

第二类曲线积分在物理学中有广泛的应用。

例如，在电动力学中，可以利用第二类曲线积分来计算电场沿着导线的环路积分，从而得到导线上的电压。

曲线积分的计算方法与应用曲线积分是数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍曲线积分的计算方法以及其在实际问题中的应用。

一、曲线积分的计算方法曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算，计算曲线上某一物理量的总量。

曲线积分有两种类型：第一类曲线积分和第二类曲线积分。

1. 第一类曲线积分第一类曲线积分是对曲线上的标量函数进行积分，其计算方法如下：设曲线C的参数方程为r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中a≤t≤b。

若函数f(x,y,z)在曲线C上连续，则第一类曲线积分的计算公式为：∫[a,b]f(x,y,z)ds=∫[a,b]f(x(t),y(t),z(t))√(x'(t)²+y'(t)²+z'(t)²)dt2. 第二类曲线积分第二类曲线积分是对曲线上的向量函数进行积分，其计算方法如下：设曲线C的参数方程为r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中a≤t≤b。

若向量函数F(x,y,z)=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))在曲线C上连续，则第二类曲线积分的计算公式为：∫[a,b]F(x,y,z)·dr=∫[a,b][P(x(t),y(t),z(t))x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))z'(t)] dt二、曲线积分的应用曲线积分在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。

下面将介绍曲线积分在电磁学和流体力学中的应用。

1. 电磁学中的应用在电磁学中，曲线积分常用于计算电场和磁场的环路积分。

根据安培环路定理和法拉第电磁感应定律，可以通过计算曲线上的磁场和电场的环路积分来求解电流和电动势。

曲线积分在电磁学中有着重要的地位，它帮助我们理解电磁现象并解决实际问题。

2. 流体力学中的应用在流体力学中，曲线积分常用于计算流体的流量和力的做功。

第二类曲线积分得计算定义设,为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线上得函数,对任一分割,它把分成个小弧段;其中=、记各个小弧段弧长为,分割得细度为,又设得分点得坐标为,并记, 、在每个小弧段上任取一点,若极限存在且与分割与点得取法无关,则称此极限为函数,在有向线段上得第二类曲线积分,记为或也可记作或注:(1) 若记=,则上述记号可写成向量形式:、(2) 倘若为光滑或分段光滑得空间有向连续曲线,,,为定义在上得函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线得第二类曲线积分,并记为按照这一定义, 有力场沿平面曲线从点到点所作得功为、第二类曲线积分得鲜明特征就是曲线得方向性、对二类曲线积分有,定积分就是第二类曲线积分中当曲线为轴上得线段时得特例、可类似地考虑空间力场沿空间曲线所作得功、为空间曲线上得第二类曲线积分、与第一类曲线积分得区别首先要弄清楚两类积分得定义,简单地说,第一类曲线积分就就是第二类曲线积分就就是(1)这两种曲线积分得主要区别就在于,第一型曲线积分得积分中就是乘得,就是一小段弧得弧长,总就是正值;而第二类曲线积分与积分与中就是乘得一段弧得坐标得增量,,与就是可正可负得。

当积分得路径反向时,不变,而与反号,因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号,在这一性质上,第二类曲线积分与定积分就是一样得。

计算曲线积分得基本方法就是利用得参数方程将其转化成定积分,但两类曲线积分有些不同。

设曲线得参数方程为则第一类曲线积分得计算公式为这里要注意,即对t得定积分中,下限比上限小时才有,也就有,这样才有上述计算公式。

这个问题在计算中也要特别注意。

沿曲线上得点由A 变到B,即t得下限对应曲线积分得起点A,她得上限对应曲线积分得起点A,t得上限对应终点B。

历年真题1、设曲线,具有一阶连续偏导数,过第二象限内得点M与第四象限内得点N,为L上从点M到点N得一段弧,则下列小于零得选项就是(A)(B)(C)(D)(2007,数一,4分) 【解析】设点,得坐标分别为,,则有题设可知答案为B。

探究第二类曲线积分与路径无关的条件
第二类曲线积分又称为弧长积分，是一个沿曲线的长度积分。

对于一个向量场F，我们希望找到一个路径无关性条件，使得F沿一条从A到B的路径的积分等于F沿另一条路径的积分，从而简化积分的计算。

首先我们需要了解一个概念：保守场。

如果一个向量场F满足一定条件，那么F就是保守场，这意味着路径积分只与A、B两点的位置有关，即与路径无关。

具体而言，F是连续可微的，并且满足旋度为零的条件，即curl F=0。

这个条件表明，F的散度为零，即场的通量经过任意一个闭合曲面都等于零。

总之，保守场是第二类曲线积分与路径无关的条件之一。

另外一个条件是单连通域。

一个域是单连通的，当且仅当从该域中任意一点出发的任意路径都可以被连续地收缩为一个点。

单连通域的存在保证了积分的路径无关性。

具体来说，如果F定义在单连通域上，F满足连续和可微的条件，并且：
∮_γF·ds=0
对于该域中任意两点A、B以及连接它们的任意两条路径都成立。

当然，这个定理的证明需要一定的拓扑学知识，这里不再详细阐述。

综上所述，第二类曲线积分与路径无关的条件包括保守场和单连通域。

在实际问题中，我们需要根据给定的向量场和曲线来判断是否满足这些条件，以确保积分的计算是正确的。

无界函数的第二类曲线积分曲线积分是微积分学中的一个重要概念，它是将函数沿着一条曲线的长度方向进行积分运算的一种方法。

曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分两种，其中第二类曲线积分是一种重要的积分形式，它被广泛应用于物理学、工程学、数学等领域。

在数学中，曲线积分是一种将函数沿着曲线的长度方向进行积分的方法。

在平面上，曲线积分被定义为对一条曲线上的函数进行积分的过程。

具体来说，如果曲线C是一个向量函数，f(x, y)是一个函数，则曲线C上的第二类曲线积分可以表示为：∫C f(x, y) ds其中，ds表示曲线C上的线元素，它是曲线C上的微小线段的长度。

在实际应用中，曲线C可以是任意形状的曲线，包括直线、圆弧、椭圆、双曲线等。

此外，曲线C也可以是无界的曲线，即曲线C的长度可以无限大。

在这种情况下，曲线C上的第二类曲线积分被称为无界函数的第二类曲线积分。

无界函数的第二类曲线积分在数学中具有重要的应用，特别是在复变函数论中。

复变函数论是研究复数域上的函数的分析学，它对于研究物理学、工程学等领域具有重要的意义。

在复变函数论中，无界函数的第二类曲线积分是一个重要的工具，它可以用于计算复数域上的积分，从而帮助解决一些重要的问题。

在物理学中，无界函数的第二类曲线积分也有着广泛的应用。

例如，在电磁学中，电场和磁场都可以表示为向量函数，它们在空间中的分布可以用曲线来描述。

在这种情况下，无界函数的第二类曲线积分可以用于计算电场和磁场在空间中的分布，从而帮助解决一些重要的问题。

在工程学中，无界函数的第二类曲线积分也被广泛应用于控制系统、信号处理等领域。

例如，在控制系统中，无界函数的第二类曲线积分可以用于计算系统的稳定性，从而帮助设计更加稳定的控制系统。

在信号处理中，无界函数的第二类曲线积分可以用于计算信号的频谱，从而帮助分析信号的特性和性能。

总之，无界函数的第二类曲线积分是一种重要的数学工具，它在物理学、工程学、数学等领域都有着广泛的应用。

一类曲线积分和二类曲线积分
曲线积分是数学中微积分的一个部分，主要研究曲线上的函数和与之相关的量。

一类曲线积分和二类曲线积分是两种不同类型的曲线积分，它们在定义和计算方法上有一些区别。

一类曲线积分，也称为第一类曲线积分，是标量函数的积分，其定义为：对于给定的曲线L 和标量函数f(x,y)，第一类曲线积分的值是∫f(x,y)ds，其中ds 是曲线L 上的弧长微元。

计算时，通常需要将曲线L 划分为若干个小段，然后在每个小段上近似弧长，最后求和得到整个曲线的积分值。

二类曲线积分，也称为第二类曲线积分，是向量函数的积分，其定义为：对于给定的曲线L 和向量函数F(x,y)，第二类曲线积分的值是∫F(x,y)·dr，其中dr 是曲线L 上的弧长微元。

计算时，同样需要将曲线L 划分为若干个小段，然后在每个小段上近似弧长和向量F(x,y)，最后求和得到整个曲线的积分值。

尽管两类曲线积分都涉及到曲线和函数，但它们的主要区别在于积分对象的性质。

一类曲线积分是标量函数的积
分，而二类曲线积分是向量函数的积分。

这意味着，一类曲线积分只涉及标量值，而二类曲线积分涉及向量值。

此外，两类曲线积分在物理应用中也有所不同。

一类曲线积分通常用于描述质量、长度、面积等标量量，例如物体运动的路程、曲线的长度等；而二类曲线积分则用于描述向量场中的力、速度等向量量，例如磁场中的力线、速度场的散度等。