等差数列

数列专题（一）——等差数列1．等差数列定义：⇔∈=-+为常数d N n d a a n n ),(*1数列}{n a 为等差数列。

2．等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-； 3．等差数列的前n 项和：公式1：2)(1n n a a n S +=；公式2：1(1)2n n n S na d -=+； 4．等差数列的性质公式： （1）()n m a a n m d =+-；n ma a d n m-=-，如：855(85),(5)n a a d a a n d =+-=+-等；（2）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+，如11038a a a a +=+； （3）若2m n p +=，则2m n p a a a +=，如11162a a a +=；（4）n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，则数列,...,,232m m m m m S S S S S --也是等差数列. 基础题1.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若12,261=-=S a ，则6a 的值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.82.（15年安徽文科）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前 9项和等于 。

3.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2,11952-=+-=a a a ，则当n S 取最小值时，n 等 于（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 64.（15年广东理科）在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a +=5.（15年新课标2文科）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．116.已知等差数列}{n a 中，其前n 项和为n S ，36,963==S S ，则._______987=++a a a 提高题1.（15年新课标2理科）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．2.已知等差数列}{n a 中，若,0,031110119<⋅<+a a a a 且数列}{n a 的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取得最小正值时n 等于（ ） A. 20 B. 17 C. 19 D. 213.已知等差数列}{n a 中，其前n 项和为n S ，且满足35124,2a a a a a n n n -=-=++，则7S =（ ） A. 7 B. 12 C. 14 D. 214.在等差数列}{n a 中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n 项之和是100，则项数n 为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 125.设n n T S ,分别是等差数列}{},{n n b a 的前n 项和，且5959=T S ，则35b a的值为_________.6.（15年福建文科）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．7.【2015高考山东，文19】已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬∙⎩⎭的前n 项和为21nn +. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .一、等差数列3．等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-； 2．等差数列的前n 项和：公式1：2)(1n n a a n S +=；公式2：1(1)2n n n S na d -=+； 3．等差数列的性质公式： （1）()n m a a n m d =+-；n ma a d n m-=-，如：855(85),(5)n a a d a a n d =+-=+-等；（2）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+，如11038a a a a +=+； （3）若2m n p +=，则2m n p a a a +=，如11162a a a +=. 基础题2.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若12,261=-=S a ，则6a 的值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 答案：C5.（15年安徽文科）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前 9项和等于 。

等差数列公式大全1、 a n =()1121)n n s s n s n -⎧-≥⎪⎨=⎪⎩（ （注意：（1）此公式对于一切数列均成立（2）1--=n n n s s a 不是对一切正整数n 都成立，而是局限于n ≥2）2、 等差数列通项公式：n a =1a +（n-1）dn a =m a +(n-m)d ⇒ d=m n a a m n --(重要)3、若{n a }是等差数列，m+n=p+q ⇔m a +n a =p a +q a 4、若a,A,b 成等数列则2A=a+b (A 是a,b 的等差中项) 5、 {n a }是等差数列，若m 、n 、p 、q ∈N *且m ≠n,p ≠q,则m n a a m n --=q p a a q p --=d 6、 等差数列{n a }的前n 项和为n s ，则n s =()21na a n + （已知首项和尾项）=()211d n n na -+ （已知首项和公差）=n d a dn ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+212112（二次函数可以求最值问题） 7、等差数列部分和性质：m m m m m s s s s s 232,,--…仍成等差数列。

8、 在等差数列中抽取新数列：一般地，对于公差为d 的等差数列{n a }，若...,321k k k 成等差数列，那么,......,,,321kn k k k a a a a 仍成等差数列，而且公差为（12k k -）d 9、n s 的最值问题：若{n a }是等差数列，1a 为首项，d 为公差 ①首项1a ＞0，d ＜0,n 满足n a ≥0，1+n a ＜0时前n 项和n s 最大 ②首项1a ＜0，d ＞0,n 满足n a ≤0，1+n a ＞0时前n 项和n s 最小 10、 在等差数列{n a }中，奇s 与偶s 的关系：①当n 为奇数时，n s =21+n ,奇s －偶s =a 21+n ，偶奇s s ＝11-+n n ②当n 为奇数时，n s ＝n.2122++nn a a ，奇s －偶s =d n 2 偶奇s s =122+nna a 11、等差数列的判别方法：⑴定义法： 1+n a －n a ＝d (d 为常数) ⇔ {n a }是等差数 ⑵中项公式法： 21+n a =n a +a 2n + (n ∈N*)⇔ {n a }是等差数列 ⑶通项公式法： n a =ｐn+ｑ (p,q 为常数) ⇔ {n a }是等差数列 ⑷前ｎ项和公式法： n s ＝Ａn 2＋Ｂn (A,B 为常数) ⇔ {n a }是等差数列。

(2) 4, 8, 12, 16, 20 ,…
a1 4 d a 2 a1 4 an a1 (n 1)d 4 (n 1) 4
a n 4n
(3) 7, 4, 1, -2, -5, …
a1 7 d a 2 a1 3 an a1 (n 1)d 7 (n 1) ( 3)
Sn
n(a1 a n )
求和公式2： S n na 1
d
例 在等差数列中： (1)已知 a1 5, a10 15，求 S10 ； (2)已知 a1 5, d 3，求 S 20 .
解 (1)S10
10 (a1 a10 ) 2 10 (5 15) 2
四、前n项的求和公式
Sn a1 a 2 a 3 an
求和公式1：
Sn
n(a1 a n ) 2
例 求1ห้องสมุดไป่ตู้100的所有整数之和.
解 a1 1、d 1
S100 100 (1 100) 2
50 101 5050
2 将 an a1 (n 1)d 代入，得： Sn n(a1 a1 (n 1)d) 2 2na 1 n(n 1)d 2 n(n 1) 2
Sn 999 n(a1 a n ) 2 n( 20 54) 2
n 27
a 27 a1 26d
54 20 26d
d
34 26

17 13
4.在等差数列中 a15 10, d 2, 求S16 .
解 a15 a1 14d
10 a1 14 2 a1 38
a1 a4 a1 a1 3d 2a1 3 ( 2) 10 a1 8

有 G2 ab或者G ab
3、若等比数列 an 的首项是 a1 ，公比是 q ，则 an a1qn1
4、通项公式的变形：
an amqnm
5、若an 是等比数列，且 m n p q ，则 aman apaq ；（ m 、 n 、 p 、 q * ）
6 若an是比差数列，且 m n 2 p,则aman a2p ：（ m 、 n 、 p N* ）
二.等比数列：
1、如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，
这个常数称为等比数列的公比。用
an1 q an an q(n
表示 1)
．
an1
2、由三个数 a ，G，b 组成的等比数列可以看成最简单的等比数列，则 G 称为 a 与 b 的等比中项．则
有 2A a b，A a b . 2
3、若等差数列 an 的首项是 a1 ，公差是 d ，则 an a1 n 1d ．
4、通项公式的变形：
an am n md .
5、若an 是等差数列，且 m n p q ，则 am an ap aq ；（ m 、 n 、 p 、 q * ）
数列知识点总结
一.等差数列：
1、如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，
这个常数称为等差数列的公差．用
an an1 an1 an
常数（n 常数（n
2, 且n N*)
N
*） 表示
2、由三个数 a ， ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则 称为 a 与 b 的等差中项．则
等差中项法 2an an-1 an（1 n 2)
只要满足一个条件
那么 an等差数例