分段函数求导的若干问题
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分段函数求导的假设干问题
摘要】求分段函数的导函数或分段点处的导数是高等数学学习中的难点，大多数学生在解这类问题时会遇到困难或理解不透.本文从导数极限定理及其证明出发，给出导函数连续的判定定理，结合实例说明分段函数求导的关键要点.
【关键词】分段函数;单侧导数;导数极限定理
【基金工程】绍兴市课堂教学改革工程〔SXSKG2021091〕.
在分段函数求导问题中，大多数学生能够理解为什么在分段点处要用导数定义，但因为有时遇到的分段函数直接求导跟用导数定义所得结果并无差异，这就导致很多学生不明白个中原因.
例如，求分段函数
F〔x〕=f〔x〕，a的导数，在f〔x〕，g〔x〕可导下，直接求导得
F′〔x〕=f′〔x〕，a这种结果在分段点处的导数时对时错.常规的做法是在函数连续的情况下用导数定义进行判断，不过在一定条件下也可用导数极限方法，这在一些文献中也有提及[1-4].但对高职或高中学生而言，定理表述上还应精炼，证明要简洁易懂，而且例题要更有代表性，所以还有必要对这一问题进行探讨，并且文中还给出另一重要推论，这些结论对理解分段函数的导数意义明显.
一、导数极限定理及其推论
分段函数在除分段点外均可导的情况下，求其导数显然只要讨论分段点处的可导性，通常用导数定义进行判断，这涉及分段函数在分段点处的连续性和左右导数.下面从导数极限定理出发，介绍一些常用的结论，便于理解什么情况下不必用导数定义，什么情况下要用导数定义.
引理 如果函数f〔x〕在〔a，x0]〔或[x0，b〕〕上连续，在〔a，x0〕〔或〔x0，b〕〕内可导，且limx→x-0f′〔x〕=A〔或limx→x+0f′〔x〕=B〕，那么f〔x〕在点x0处左导数〔右导数〕存在，且f′-〔x0〕=A〔或f′+〔x0〕=B〕.
下面证明f〔x〕在点x=x0处左侧导数的情形.
证明 由于函数f〔x〕在〔a，x0]上连续，在〔a，x0〕内可导，显然函数f〔x〕在[x，x0]〔a，x0]上连续，在〔x，x0〕〔a，x0〕内可导，运用拉格朗日中值定理可得
f′-〔x0〕=limx→x-0f〔x〕-f〔x0〕x-x0=limx→x-0f′〔ξ〕〔x-x0〕x-x0
=limx→x-0f′〔ξ〕=limξ→x-0f′〔ξ〕=A，
这里，由于ξ∈〔x，x0〕，所以有x→x-0ξ→x-0，即证得f〔x〕在点x0处左导数存在，且f′-〔x0〕=limx→x-0f′〔x〕=A.
类似地，可以证明f〔x〕在点x=x0处右侧导数的情形.
定理 设函数f〔x〕在点x0的δ邻域内连续，在点x0的δ去心邻域内可导，假设f′〔x0-0〕和f′〔x0+0〕均存在，那么f′〔x0〕存在的充要条件是f′〔x0-0〕=f′〔x0+0〕，且
f′〔x0〕=f′〔x0-0〕=f′〔x0+0〕.
证明 由函数在点x0处导数存在的充要条件是f′-〔x0〕与f′+〔x0〕存在，且f′-〔x0〕=f′+〔x0〕，根据引理有f′-〔x0〕=f′〔x0-0〕，f′+〔x0〕=f′〔x0+0〕，故在定理的条件下f′〔x0〕存在的充要条件是f′〔x0-0〕和f′〔x0+0〕相等. 推论 设函数f〔x〕在点x0的δ邻域内连续，在点x0的δ去心邻域内可导，假设f′〔x0-0〕和f′〔x0+0〕均存在且相等，那么f〔x〕的导函数在點x0处连续.
证明 因为f′〔x0-0〕=f′〔x0+0〕，
所以limx→x0f′〔x〕存在，
且limx→x0f′〔x〕=f′〔x0-0〕=f′〔x0+0〕.
由定理可知f′〔x0〕存在且
f′〔x0〕=f′〔x0-0〕=f′〔x0+0〕，
即limx→x0f′〔x〕=f′〔x0〕.
根据推论，可以断定不存在满足推论条件的函数，其导数具有第一类间断点.
二、典型例题
例1 求函数f〔x〕=x2+ex，x≤0，x+cosx，x>0的导函数.
分析 因f〔x〕在点x=0处连续，且当x≠0时，
f′〔x〕=2x+ex，x0.
又limx→0-f′〔x〕=limx→0-〔2x+ex〕=1，
limx→0+f′〔x〕=limx→0+〔1-sinx〕=1，
即f′〔0-0〕=f′〔0+0〕=1.
根据定理，f〔x〕在点x=0处可导，
且f′〔0〕=f′〔0-0〕=f′〔0+0〕=1，
解得f′〔x〕=2x+ex，x≤0，1-sinx，x>0.
例2 函数f〔x〕=ex，x≤0，ax2+bx+c，x>0在点x=0处的f″〔0〕存在，试确定a，b，c的值.
分析 因为函数在x=0处的二阶导数存在，所以f〔x〕和f′〔x〕在x=0处都要连续，
因此，f〔0-0〕=f〔0+0〕=1，f′〔0-0〕=f′〔0+0〕=1，
得c=1，b=1.
又当x≠0时，f″〔x〕=ex，x0，
由此得f″〔0-0〕=1，f″〔0+0〕=2a.
根据定理，f″〔0〕存在的充要条件是f″〔0-0〕=f″〔0+0〕=2a=1，
即a=12，
综上，a=12，b=1，c=1.
例3 求函数f〔x〕=ln〔1-x2〕，x≤0，x2sin1x，x>0在点x=0处的导数.
分析 当x≠0时，由函数得
f′〔x〕=-2x1-x2，x0，
所以limx→0-f′〔x〕=0，limx→0+f′〔x〕不存在，
但是f′-〔0〕=limx→0-ln〔1-x2〕x=0，
f′+〔0〕=limx→0+x2sin1xx=0，
所以f′〔0〕=0.
例4 討论函数f〔x〕=arctan1x，x≠0，0，x=0在x=0处的可导性【4】.
分析 当x≠0时，f′〔x〕=-11+x2，
所以limx→0f′〔x〕=-1，
但是limx→0f〔x〕=limx→0arctan1x不存在，即f〔x〕在x=0处不连续，显然f〔x〕在x=0处不可导.
例1和例2说明，如果函数满足定理的条件，求分段点处的导数可不必用导数定义，尤其如例2，其解题方法比用导数定义要简练;而例3和例4说明，定理的运用应注意其适用的条件，即函数在分段点连续以及导函数在该点的左右极限存在且相等.
三、结 论
特别对高职学生而言，分段函数的求导问题一直是个难点，原因在于分不清什么情况下可以直接求导，什么情况下又不可以直接求导.文中给出导数极限定理及其推论和证明，在理论上说明这一问题，对学生理解分段函数求导问题会有帮助.当然，导数定义方法和导数极限方法在不同的题型中各有千秋，譬如，当导函数极限并不简单时，导数极限方法反而更烦琐，而且导数极限方法也有其适用条件.
【参考文献】
【1】华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2021.
方法的研究[J].数学学习与研究，2021〔15〕：107-108.
方法[J].高等数学研究，2021〔3〕：20-22，43.
【4】王禧宏.关于分段函数在分界点处导数问题的讨论[J].高等数学研究，1999〔3〕：13.
