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第六章 多变量回归分析模型

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多元回归模型

多元回归模型

18
正规方程组：

n
n
n
ˆ1n ˆ2 X 2i ... ˆk X ki Yi

i1
i1
i1
ˆ1
n
X 2i ˆ2
n
X
2 2i

...

ˆk
n
X ki X 2i
n
Yi X 2i
i1
i1
i1

i1

假定二： 在重复抽样中，
X 2, X3,......, X k 的取值是！ E(ui ) 0
假定四：随机干扰项的条件方差恒定！
Var(ui ) Eui E(ui )2 E(ui2 ) 2
假定五：随机干扰项之间无自相关性！ cov(ui ,u j ) 0(i j)
......................................................
n
n
n
2i



ˆ1 ˆ2

.
.

.

ˆk


1 1 ...... 1
ˆ j 为偏回归系数 j的估计量。
Yˆi为Y的条件均值的估计量，也是样本拟合值。 uˆi为残差。
13
Y1 ˆ1 ˆ2 X 21 ˆ3 X 31 ...... ˆk X k1 uˆ1 Y2 ˆ1 ˆ2 X 22 ˆ3 X 32 ...... ˆk X k 2 uˆ2
多元线性回归分析
1
多元回归分析
多元回归分析是研究因变量对两 个或两个以上解释变量的统计依 赖关系。 多元回归模型是具有两个或两个 以上解释变量的回归模型。

第六章相关与回归分析

第六章相关与回归分析
3. 有总体相关系数与样本相关系数之分：
• 总体相关系数ρ——根据总体数据计算的，
• 样本相关系数 r ——根据样本数据计算的。
6 - 12
统
计
相关关系的计算பைடு நூலகம்式
学
rSxy
(xx)y (y)
SxSy
(xx)2 (yy)2
或化简为
r
nx yxy
nx2x2 ny2y2
6 - 13
统
计
相关系数取值及其意义
相关图——也称为散点图。一对数据对应坐标图 上一个点，将成对的观察数据表现为坐标图 的散点而形成的图。
编制相关表、图的意义——有助于分析者判断 相关的有无、方向、形态、密切程度。
6 - 10
统
计
相关关系的图示
学
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
不相关
2. 一元线性（总体）回归方程的形式如下：
3.
E( y ) = α + b x
▪ 方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程
▪ α 是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期 望值，是回归直线是起始值；
▪ b 是直线的斜率，表示当 x 每变动一个单位时，y
的平均变动值。
6 - 22
统
6 - 11
统
计 学
（二）相关系数和判定系数
1. 都是对变量之间关系密切程度的度量； 2. 判定系数=相关系数的平方； 3. 不同类型的相关,相关系数的计算方法也不同.
对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相 关系数（也称直线相关系数）,常简称相关系数.
此外还有复相关系数、非线性相关系数、偏相关系 数

第六章-相关与回归

第六章-相关与回归
（1）r 为无单位的相对数值，可直接用于不同资料
间相关程度的比较。
（2）1≤r≤1，0≤|r|≤1。 |r|越接近于1，说明两变量的相关程度越强； |r|越接近于0，两变量的相关程度越差。
（3）r=0表示x与y无相关， r＜0表示负相关， r＞0表示正相关， |r|=1为完全相关。
二、样本相关系数的计算
（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）。
前面已经指出，要研究两种变量间的关系，最简单的方 法是把一系列观测数据在坐标中用散点图表示，如果散点 大致分布在一条直线附件，就可以判断两者为直线回归关 系。这种关系可用直线回归方程表示。则总体直线回归方 程为：
yi xi i （i=1，2，…，n） i服 N 0 从 ，2，且相互独
相关变量间的关系一般分为两种: 一种是平行关系，是研究变量间关系的强弱程度，此
时我们不关心在它们之间是谁影响了谁，谁是因，谁是果， 变量间的地位是平等的。如黄牛的体长和胸围之间的关系， 猪的背膘厚度和眼肌面积之间的关系等都属于平行关系。
另一种是因果关系，即一个变量的变化受另一个或几 个变量的影响。如仔猪的生长速度受遗传特性、营养水平、 饲养管理条件等因素的影响，子代的体高受亲本体高的影 响。
N 1N 1 (XX X)Y ( Y Y)
(XX)Y (Y) (XX)2 (YY)2
r SP xy
xy(x)n(y)
SSxSSy
x2(nx)2y2(ny)2
其中：
SPxy— 变量x和变量y的离均差乘积和简称乘积和 SSx — 变量x 的离均差平方和 SSy — 变量y 的离均差平方和
相关系数r 的特点:
变量。
例如，进行药物疗效试验 时，应用不同的剂量 （x），分析疗效（y）如 何受到药物剂量的影响及 其变化规律。这里规定的

多元回归分析原理及例子

多元回归分析原理及例子

多元回归分析原理回归分析是一种处理变量的统计相关关系的一种数理统计方法。

回归分析的基本思想是: 虽然自变量和因变量之间没有严格的、确定性的函数关系, 但可以设法找出最能代表它们之间关系的数学表达形式。

回归分析主要解决以下几个方面的问题:(1) 确定几个特定的变量之间是否存在相关关系, 如果存在的话, 找出它们之间合适的数学表达式;(2) 根据一个或几个变量的值, 预测或控制另一个变量的取值, 并且可以知道这种预测或控制能达到什么样的精确度;(3) 进行因素分析。

例如在对于共同影响一个变量的许多变量(因素)之间, 找出哪些是重要因素, 哪些是次要因素, 这些因素之间又有什么关系等等。

回归分析有很广泛的应用, 例如实验数据的一般处理, 经验公式的求得, 因素分析, 产品质量的控制, 气象及地震预报, 自动控制中数学模型的制定等等。

多元回归分析是研究多个变量之间关系的回归分析方法, 按因变量和自变量的数量对应关系可划分为一个因变量对多个自变量的回归分析(简称为“一对多”回归分析)及多个因变量对多个自变量的回归分析(简称为“多对多”回归分析), 按回归模型类型可划分为线性回归分析和非线性回归分析。

本“多元回归分析原理”是针对均匀设计3.00软件的使用而编制的, 它不是多元回归分析的全面内容, 欲了解多元回归分析的其他内容请参阅回归分析方面的书籍。

本部分内容分七个部分, §1～§4介绍“一对多”线性回归分析, 包括数学模型、回归系数估计、回归方程及回归系数的显著性检验、逐步回归分析方法。

“一对多”线性回归分析是多元回归分析的基础, “多对多”回归分析的内容与“一对多”的相应内容类似, §5介绍“多对多”线性回归的数学模型, §6介绍“多对多”回归的双重筛选逐步回归法。

§7简要介绍非线性回归分析。

§1 一对多线性回归分析的数学模型§2 回归系数的最小二乘估计§3 回归方程及回归系数的显著性检验§4 逐步回归分析§5 多对多线性回归数学模型§6 双重筛选逐步回归§7 非线性回归模型§1 一对多线性回归分析的数学模型设随机变量与个自变量存在线性关系:, (1.1)(1.1)式称为回归方程, 式中为回归系数, 为随机误差。

回归分析模型课件

回归分析模型课件
• 由一个（或一组）非随机变量来估计或预测某一 个随机变量的观测值时，所建立的数学模型和所 进行的统计分析，称为回归分析。如果这个模型 是线性的，就称为线性回归分析。研究两个变量 间的相关关系的回归分析，称为一元回归分析。
4.1.一元线性回归模型
在一元回归分析里，我们要考察的是随机变
量 Y 与非随机变量 x 之间的相互关系。虽然x
例4.2 某厂生产的一种商品的销售量y与竞争对手的 价格x1和本厂的价格x2有关，其销售记录见下表。 试建立y与x1，x2的关系式，并对得到的模型和系数 进行检验。（多元线性回归）
销售量与价格统计表
序号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x1 120 140 190 130 155 175 125 145 180 150
2)ˆe
i1
1
n
n
x2 ] (xi x )2
i1
参数 1的置信水平为 1 的置信区间为
[ˆ1 t1 2
(n 2)ˆe
n
, ˆ1 t1
(xi x )2
2
i 1
(n 2)ˆe ]
n
(xi x )2
i 1
参数 2的置信水平为 1 的置信区间为
n
n
( yi yˆi )2
( yi yˆi )2
kk
[ yˆ ˆ
1
i0
j0
cij
xi
x
j
t1 2
(n
k
1),
kk
yˆ ˆ
1
i0
j
0
cij
xi
x
j
t1 2
(n
k

多变量回归分析模型

多变量回归分析模型

多变量回归分析模型一、多变量回归分析模型的概念二、多变量回归分析模型的应用1.预测和预测因变量的变化：多变量回归模型可用于预测因变量的未来值，帮助决策者制定决策和计划。

2.确定自变量对因变量的重要性：通过多变量回归模型，可以确定哪些自变量对因变量的影响最大，从而帮助研究者更好地理解变量之间的关系。

3.识别潜在的相关因素：多变量回归模型可以帮助研究者识别可能与因变量相关的潜在因素。

例如，在医学研究中，可以使用多变量回归模型来确定哪些因素与其中一种疾病的发病率相关。

三、多变量回归分析模型的实施步骤以下是执行多变量回归分析模型的一般步骤：2.数据准备：对收集的数据进行清洗和整理，包括处理缺失值、异常值和离群值。

3.模型建立：选择适当的多变量回归模型来建立因变量和自变量之间的关系。

常用的多变量回归模型有普通最小二乘法（OLS）和岭回归等。

4.模型拟合：使用收集的数据对模型进行拟合。

这涉及到对数据进行统计分析，以得出最佳拟合模型。

5.模型评估：评估模型的表现和准确性。

这可以通过计算拟合优度、残差分析等统计指标来实现。

6.解释结果：根据模型结果，解释自变量对因变量的影响程度。

这可以通过回归系数和统计显著性来确定。

7.验证和预测：使用新数据验证和预测模型。

在验证阶段，可以使用其他数据集检验模型的正确性和性能。

在预测阶段，根据模型的结果进行因变量的预测。

需要注意的是，多变量回归模型的实施步骤可以根据具体情况进行调整和修改。

总之，多变量回归分析模型是一种有力的统计工具，用于研究多个自变量对因变量的影响。

通过它，可以预测因变量的变化，解释变量之间的关系，并发现潜在的相关因素。

但是，为了得到可靠的结果，需要确保数据的准确性和可靠性。

多变量分析详析模型与多元线性回归


详析模型的步骤
变量选择
选择与预测目标相关的变量，排除无关 或冗余的变量，以提高模型的预测精度
和解释性。
模型评估
利用已知数据对模型进行训练和验证， 评估模型的预测精度和稳定性，对模
型进行优化和调整。
模型构建
根据选择的变量，选择合适的数学模 型进行建模，如线性回归、逻辑回归、 决策树等。
模型应用
将训练好的模型应用于实际数据，进 行预测或推断，并给出相应的解释和 建议。
残差图：通过观察残差与预测值 之间的关系，判断模型是否满足 线性、同方差性和无异常值的假 设。
模型的优化方法
增加变量
通过增加解释变量的数量，提高模型对被解 释变量的解释力度。
变换变量
对某些非线性关系的解释变量进行变换，使 其满足线性关系假设。
删除变量
删除对被解释变量贡献不大的解释变量，简 化模型并提高解释力度。
多元线性回归模型的参数解释
β0（截距）
表示当所有自变量为0时，因变量的估计值。
β1, β2, ..., βp（回归系数）
表示自变量对因变量的影响程度。回归系数的符号表示影响方向（正相关或负相关），绝对值表示影 响程度。
ε（误差项）
表示无法由模型解释的因变量变异，通常假定其服从正态分布。
04
多变量分析详析模型
01
03
然而，多元线性回归模型也存在一些限制和假设，如 线性关系、误差项的独立同分布等，需要在使用时进
行合理考虑和检验。
04
在实际应用中，多元线性回归模型具有广泛的应用领 域，如经济、金融、医学、社会科学等，能够帮助决 策者进行预测和制定策略。
研究展望
随着大数据和机器学习技术 的发展，多变量分析的方法 和技术也在不断进步和创新 。未来可以探索更加复杂和 灵活的模型和方法，以更好 地处理多变量之间的关系和 数据复杂性。

第6章双变量回归

样本数据一 X Y 1 49 2 65 3 44 10 29
2019/4/20
计量经济学讲义
样本数据二 X Y 1 51 2 47 3 46 10 30
20
样本回归线与总体回归线
比较两条样本回归线SRF1和SRF2（假定PRF是 直线），问哪条样本线代表“真实”的总体回归 SRF1 线？ Y
2019/4/20 计量经济学讲义 25
样本回归线的几何意义
Y
Yi
Ŷi
E(Y|Xi)
ui
ûi
ˆ ˆX ˆ SRF : Y i 1 2 i
PRF: E(Y| Xi ) 1 2 X i
E(Y|Xi)
Xi
X
2019/4/20
计量经济学讲义
26
样本回归线的几何意义
SRF是PRF的一个近似估计 ˆ 尽可能 问：怎样构造 SRF能使得
2019/4/20
计量经济学讲义
11
条件分布
条件分布：以X取定值为条件的Y的条件分 布 注：给定收入X，支出Y并不确定，而是取 不同的值。 问：给定收入X，支出Y取什么值？ 例：给定X=80，Y取5个不同的值：55、 60、65、70、75
2019/4/20 计量经济学讲义 12
条件概率
i i
ˆ 是 的估计量； 1 1 ˆ 是 的估计量。 2 2
估计量（Estimator）：一个估计量又称统计量， 是指一个规则、公式或方法，是用已知的样本所 提供的信息去估计总体参数。在应用中，由估计 量算出的数值称为估计值。
2019/4/20 计量经济学讲义 24
比较PRF和SRF
P RF : E(Y | X i ) 1 2 X i Yi E(Y | X i ) ui 1 2 X i ui ˆ ˆ X ˆ SRF : Y i 1 2 i ˆ ˆ X u ˆ u ˆ ˆi Yi Y i i 1 2 i ˆi 是残差项 (residual) 其中 u ˆ ˆ X u ˆi 回归分析的主要目的是 根据 SRF Yi 1 2 i 来估计 P RF : Yi 1 2 X i ui

多变量逻辑回归

多变量逻辑回归https:///charlotte28/article/details/52570190最近做项目涉及到要使用multinomial logit model (MNL) 模型。

看了一堆文献讲mnl，但是没有给什么具体能上手的实例，就算有也是一笔带过，打算找一些使用R 语言来实现mnl模型的例子，在模仿和实践中慢慢理解。

Multinomial Logit Model又有很多其它说法，诸如Multinomial Logistic Regression等等。

本文的实例来自两篇文章。

［1］R Data Analysis Examples: Multinomial Logistic Regression：［2］How to: Multinomial regression models in R ：第一篇 R Data Analysis Examples: Multinomial Logistic Regression第一篇是UCLA的idre机构网站中，关于R语言实现Multinomial Logistic Regression 的教程Multinomial logistic regression被用于输出结果为nominal variables 的建模。

本文使用了一下的包，请确保你能载入这些包，如果你没有安装，可以使用语句：install.packages("packagename"), 或者如果你使用的包的版本太低，可以使用语句： update.packages() .require(foreign)require(nnet)require(ggplot2)require(reshap e2)Version info: Code for this page was tested in R version 3.1.1 (2014-07-10)On: 2015-12-17With: reshape2 1.4.1; ggplot2 1.0.1; nnet 7.3-10; foreign 0.8-65; knitr 1.10.5Multinomial Logistic Regression的例子例1: 人们的职业选择结果可能会被父母的职业和他们自己的教育水平所影响。

多变量回归分析模型


我们，可以选择一些最重要的因素，而且比 较容易收集特别是在社会上人们更加关注这 些变量。 我们的模型可以是这样的：
log( ) = β0 +β1Sex β2Edu β3Epr β4Maj β5Pos ε Wage + + + + +
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中山大学南方学院经济系
16
这里，wage=工资水平 Sex =性别 Edu =学历 Epr =工作经验 Maj =专业种类 pos =职务高低 这里我们通过最小二乘法要估计的参数值。 我们对“工资水平”这个变量取对数，为的 是在预测时确保得到正值。
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小结
总的来说，当我们在设计回归分析模型的时 候，既要考虑必要性，又要考虑可能性。 必要性，就是该自变量在影响因变量上面的 重要程度。 可能性，就是指是否可以取到样本。 当然，某一自变量从理论上看来非常必要的 因素，但在实际研究的过程中很难取到样本 ，那么我们就要想办法找到一个能够替代该 变量的可取变量。
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4
TSS表示________； RSS表示________； ESS表示________。
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5
Y 在计量经济学的回归模型中， i 表示 ________； Yˆi 表示________；
表示________。 表示________，可以通过________计算 公式得到。
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26
我们可以通过以下模型来估计：
GDPt = β 0 + β1GDPt −1 + β 2 G g + β 3 I f + + β 4WTOt + β 5 Pt + ε t
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2011-6-15 中山大学南方学院经济系 27
6、菲利浦斯曲线
这个曲线指在短期内物价指数与失业率之间 的负相关的关系。 log( Pt ) = β 0 + β1 log( Pt −1 ) + β 2U r + β 3U n + ε 在短期内总供给曲线一般来说是会保持不变 的，在这种情况下，当总需求曲线变化时， 物价指数与失业率之间呈负相关的关系。在 长期中，当总供给曲线变化时，情况就不同 了。
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5
Y 在计量经济学的回归模型中， i 表示 ________； Yˆi 表示________；
表示________。 表示________，可以通过________计算 公式得到。
Y e
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6
假设检验
α的t统计量对应的原假设为：________; β的t统计量对应的原假设为：________; F统计量对应的原假设为：________。
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Exercise
=-66.105+0.65 X i R^2=0.94 se=(10.750) ( ) n=20 t=( ) (18.73) p=(0.00125) (0.000009) 以上是我们用一元回归得出的数据。置信度 为99.9％，回答以下问题：
1、工资水平
我们考虑来分析工资水平这个因变量。 影响工资水平的因素有很多个：性别、学历 、工作经验、专业、职务高低、工作态度、 地区工资差额、工种补贴、工作时间长短、 工作单位分类等等。 要想解决实际问题，我们就必须从这些因素 中选出那种对工资水平的影响有实际意义的 因素作为自变量来进行分析。
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Q = AK L ε
α
β
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中山大学南方学院经济系
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log(Q) = log( A) + α log( K ) + β log( L) + log(ε )
或者：
log(Q) = γ + α log( K ) + β log( L) + e
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24
Repeat
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1
Least squared
β =
∑
n
( X i − X )( Y i − Y )
∑
n
(X
i
− X )^ 2
=
∑ x y ∑ x
i n 2 i n
i
α = Y − β X
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2
模型的估计方差：
s =
2
ˆ − βX i )２ (Yi − α ˆ ∑ N −2
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解上面的方程就可以得到参数的值。 这些参数对应的标准差为：
SE β 1 =
ε i2 ( N − 3 ) ∑
n
∑
n
2 ( X 1i − X 1 ) 2 (1 − r12 )
SE β 2 =
ε i2 ( N − 3 ) ∑
n
∑
n
2 ( X 2 i − X 2 ) 2 (1 − r12 )
g = ∑ ε i2 = ∑ (Yi − β 0 − β1 X 1i − β 2 X 2i ) 2
n n
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35
对线性方程求极小值必须要满足的条件： 一是令其一阶导数等于零； 二是确认其二阶导数大于零。
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一阶导数等于零
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政府法规这个变量也是如此，如这个变量只 有0和1这两个值。 在政府的新环保法规出台之前其变量可设为 0，新的环保法规出台之后其变量可设为1. 由此来测试新环保法规对生产供应的影响。
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4、道格拉斯生产曲线
企业生产中的资本的投入和劳动力的投入与 产出量是相关的。这个关系可表示如下：
我们，可以选择一些最重要的因素，而且比 较容易收集特别是在社会上人们更加关注这 些变量。 我们的模型可以是这样的：
log( ) = β0 +β1Sex β2Edu β3Epr β4Maj β5Pos ε Wage + + + + +
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16
这里，wage=工资水平 Sex =性别 Edu =学历 Epr =工作经验 Maj =专业种类 pos =职务高低 这里我们通过最小二乘法要估计的参数值。 我们对“工资水平”这个变量取对数，为的 是在预测时确保得到正值。
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中山大学南方学院经济系
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假设检验的P值判断法 假设检验的 值判断法
当我们作假设检验的时候，我们能过判断 统计量（包括t统计量以及F统计量）的pvalue来进行假设检验。 如果P-value < α（给定的失误率水平） （给定的失误率水平） 则我们拒绝原假设； ，则我们拒绝原假设； 如果P-value >α（给定的失误率水平） 如果 （给定的失误率水平） 则我们接受原假设。 ，则我们接受原假设。
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多变量回归分析模型
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中山大学南方学院经济系
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第一节
变量的选择
在我们的实际回归模型中 ，为了解释一个因量，我们可 能需要选择多个自变量。这就 要根据经济学的理论知识还选 择合适的自变量的个数。
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收集样本应注意以下几点
1、在研究经费和时间的容许下，收集到尽 可能多的样本。 2、对于横截面数据，至少要30个样本，如 果少于30个样本，我们对统计结果的准确程 度就没有很大的把握。要保证服从标准的正 态分布。
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中山大学南方学院经济系
2011-6-15
中山大学南方学院经济系
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这里 r12 是自变量X1与X2的相关系数，可以 用下的公式计算出 r12 ：
r12 =
∑(X
n
1i
− X 1 )( X 2i − X 2 )
2
∑(X
n
1i
பைடு நூலகம்
− X1)
∑(X
n
2i
− X2)
2
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然后我们可得到检验“回归模型参数估计值 是否等于零”的统计量t、F。 原则上，F检验不能测定截距是否等于零。 当然，在多变量回归模型中，截距不是一个 重要的参数。我们可能用t来测定这个参数 是否等于零。 从上面的推导可以看出，用最小二乘法估计 两个变量的模型与估计三个变量方式，以及 估计更多个变量的模型是一到的。
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小结
总的来说，当我们在设计回归分析模型的时 候，既要考虑必要性，又要考虑可能性。 必要性，就是该自变量在影响因变量上面的 重要程度。 可能性，就是指是否可以取到样本。 当然，某一自变量从理论上看来非常必要的 因素，但在实际研究的过程中很难取到样本 ，那么我们就要想办法找到一个能够替代该 变量的可取变量。
Yˆ i
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1、完成括号中所空缺的值。 2、方程回归的结果如何，请说明理由。 3、方程中的参数有没有通过检验，请说明 理由。 4、请问在对参数进行假设检验的时候，用 的是单侧检验还是双侧检验，为什么？如果 我们要检验X与Y是否存在正相关关系呢？
2011-6-15
31
3、对于时间序列数据来说，时间（如年度 数据）最少要12年的数据。这样做得出来的 参数估计值就比较可靠了，在作假设检验时 ，我们有足够的信心确认所得出的结论。 4、样本的数量一定要多于模型中的变量数 。
2011-6-15
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32
第三节
三变量最小二乘法
多元模型中要估计的是一个平面或超平面。 选取最好“平面”的准则: 拟合值尽可能逼近真值 最小二乘准则：点到拟合平面（通常称为拟 合直线）的距离平方和最小。
2011-6-15 中山大学南方学院经济系 17
2、需求曲线
假设我们想要估计一个需求曲线。根据经济 学原理，在其他因素固定不变的情况下，需 求曲线表示价格与需求量之间的负相关关系 。
Q xd = β 0 + β1 log( Px )
2011-6-15
中山大学南方学院经济系
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但是在现实生活中，需求曲线也会受到其他 因素的影响，如：个人收入、互补产品物价 、替代产品物价、消费偏好、市场状况预测 等等。 那么我们的需求曲线的模型就变为：
2
s
2011-6-15
∑e =
2 i
N −2
3
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统计量
α的t统计量的计算公式为：________; β的t统计量的计算公式为：________; F统计量的计算公式：________； R^2的计算公式： ________。
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TSS表示________； RSS表示________； ESS表示________。
s x
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