高斯—塞德尔迭代法

标题：深入探讨MATLAB中的高斯-赛德尔迭代法一、概述MATLAB是一种强大的数学计算软件，被广泛应用于科学、工程和金融等领域。

在数值分析中，迭代法是解决非线性方程组和矩阵方程组的重要方法之一。

高斯-赛德尔迭代法是其中的一种，其在求解线性方程组时具有较好的收敛性和效率。

本文将深入探讨MATLAB中高斯-赛德尔迭代法的原理和实现方法。

二、高斯-赛德尔迭代法原理高斯-赛德尔迭代法是一种求解线性方程组的迭代法。

给定线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，b为常数向量，迭代法的基本思想是通过不断逼近方程组的解x。

高斯-赛德尔迭代法的迭代公式如下：\[ x^{(k+1)} = D^{-1} (b - (L+U)x^{(k)}) \]其中，D、L和U分别为系数矩阵A的对角线、严格下三角部分和严格上三角部分。

迭代法的初始值可以任意选择，通常选取一个与解接近的初值，然后通过迭代逼近真实解。

三、MATLAB中高斯-赛德尔迭代法的实现MATLAB提供了丰富的数值计算函数和工具箱，使得高斯-赛德尔迭代法的实现变得非常简单。

下面我们将介绍如何在MATLAB中使用高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组。

1. 设置参数在使用高斯-赛德尔迭代法之前，我们首先需要设置一些参数，如系数矩阵A、常数向量b、迭代步数等。

在MATLAB中可以通过定义变量来实现这些参数的设置。

2. 编写迭代函数接下来，我们需要编写高斯-赛德尔迭代法的迭代函数。

通过编写一个MATLAB函数来实现迭代公式的计算和迭代过程的控制。

3. 调用函数求解完成迭代函数的编写后，我们就可以通过调用该函数来求解线性方程组。

在MATLAB中，可以使用循环语句控制迭代步数，并在每一步更新迭代值，直到满足收敛条件为止。

四、案例分析为了更好地理解高斯-赛德尔迭代法在MATLAB中的应用，我们以一个具体的案例来进行分析和实践。

假设我们需要求解以下线性方程组：\[ \begin{cases} 4x_1 - x_2 + x_3 = 8 \\ -x_1 + 4x_2 - x_3 = 9 \\2x_1 - x_2 + 5x_3 = 7 \end{cases} \]我们可以通过MATLAB编写高斯-赛德尔迭代法的函数，并调用该函数来求解以上线性方程组。

分别运用高斯赛德尔迭代法和超松弛迭代法解线性方程组：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--243024410143034321x x x 。

1． 高斯赛德尔迭代法编程思路：高斯赛德尔迭代法实在雅克比迭代法的基础上进行优化得到的，即在进行迭代时，将已经算得的第k+1步的迭代值代入第k+1步后边的变量的计算当中去，从而加快了迭代速度。

程序代码：function varargout=Gauss_Seidelli(varargin)A=[4 3 0;3 4 -1;0 -1 4];b=[24 30 -24]';x0=[0;0;0];x=Gauss_Seidel(A,b,x0)function x=Gauss_Seidel(A,b,x0)n=100;%最大迭代次数ee=0.0001;%精度n1=length(b);for i=1:nx1=x0;for j=1:n1s=0;for k=1:n1if k~=js=s+A(j,k)*x0(k);endendx0(j)=(b(j)-s)/A(j,j);endif norm(x1-x0)<eebreakendendx=x0;2． 超松弛迭代法该方法是在高斯赛德尔迭代法的基础上将前一步的结果)(k i x 和)1( k i x 进行适当的线性组合以加速收敛，松弛因子ω的选择是关键，当1<ω<2时，即为超松弛迭代法。

程序代码：function varargout=SORli(varargin)clcA=[4 3 0;3 4 -1;0 -1 4];b=[24;30;-24];x0=[0;0;0];w=1.3;x=SOR(A,b,x0,w);for i=1:3fprintf('%4.2f ',x(i));endfprintf('\n');function x=SOR(A,b,x0,w)%AX=b%x0初始点%w 为 松弛因子n=100;%最大迭代次数ee=0.0001;%精度n1=length(b);for i=1:nx1=x0;for j=1:n1s=0;for k=1:n1if k~=js=s+A(j,k)*x0(k);endendx0(j)=(1-w)*x0(j)+w*(b(j)-s)/A(j,j);endif norm(x1-x0)<eebreakendendx=x0;。

雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法的算法描述一. 雅克比迭代法雅克比迭代法（Jacobi Iteration）是计算数值解的一种迭代方法，它遵循一个简单的步骤：给定问题的初始值，按照一定的规则，用求出某一个矩阵元素，替换当前值，得到下一个矩阵值，重复这个步骤，直到满足某一个条件，即为所求解的结果。

雅克比迭代法求解矩阵问题的一般步骤为：（1）给定初始矩阵A和右端值矩阵B，将第i行第j列的元素表示为aij，bi；（2）第i行其它元素之和定义为s(i) =∑(j≠i)|a(i, j)|，亦即∑|aij|；（3）如果s(i)不等于0，则第i行第i列元素的值更新为xi=1 (b(i) ∑(j≠i)[a(i, j)x(j)])/a(i, i)（4）重复步骤3，直到满足|X(i)X(i)|＜ε（ε为设定的误差），此时x即为所求解的结果。

二. 高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel Iteration）是另一种迭代方法，算法的基本思想也是：通过迭代，计算出当前矩阵的第i行第j列的元素xi；然后更新第i行第j列元素的值，继续迭代，直到某种条件满足，即可求出矩阵的解。

高斯-赛德尔迭代法的基本步骤为：（1）给定初始矩阵A和右端值矩阵B，将第i行第j列的元素表示为aij，bi；（2）第i行其它元素之和定义为s(i) =∑(j≠i)|a(i, j)|，亦即∑|aij|;（3）如果s(i)不等于0，则第i行第i列元素的值更新为xi=1 (b(i) ∑(j<i)[a(i, j)x(j)]∑(j>i)[a(i,j)x(j)] )/a(i, i)（4）重复步骤3，直到满足|X(i)X(i)|＜ε（ε为设定的误差），此时x即为所求解的结果。

总结从上面的对比来看，雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法的步骤基本一致，均采用迭代的方式求解矩阵A的解X，不同的是，高斯赛德尔迭代法在更新矩阵A的第i行第i列元素时，采用把小于i的j元素的值替换成当前迭代求得的值来计算，而雅克比迭代法采用把全部j元素的值替换成当前迭代求得的值来计算。

高斯-赛德尔迭代法的红黑着色并行算法高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法是一种用于求解线性方程组的迭代方法。

而红黑着色并行算法则是一种优化高斯-赛德尔迭代法的并行计算方法。

红黑着色并行算法的基本思想是将问题的计算域分割为红色和黑色两个集合，然后将计算任务按照这两种颜色分配给不同的处理器或计算单元进行并行计算。

通过交替更新红色与黑色点的值，并利用已经更新的邻居值进行迭代，可以加速收敛速度。

以下是红黑着色并行算法在Gauss-Seidel迭代法中的基本步骤：
1.将问题的计算域按照红色和黑色着色规则进行划分。

2.初始化红色和黑色点的数值。

3.交替进行红色和黑色点的更新，使用已经更新的邻居值进行计算。

4.重复步骤3，直至收敛或达到指定的迭代次数。

在红色和黑色的交替更新过程中，需要注意的是确保在更新某个点的数值时，其邻居点的数值已经被更新过。

因此，在每次迭代之后，需要同步所有处理器或计算单元之间的数据，以保持一致性。

红黑着色并行算法在并行计算中能够有效利用多处理器或多计算单元的计算能力，加速求解线性方程组的过程。

它常用于求解大规模的稀疏线性方程组或图算法等问题。

高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel method）是一种用于求解线性方程组的迭代法。

它的基本思想是每次求解一个方程的未知量，并用该未知量的解代替原方程中的未知量，然后求解下一个方程的未知量。

这样不断进行迭代，直到所有的未知量都求得精确解为止。

高斯-赛德尔迭代法的公式为：
x(k+1) = B - AX(k) + x(k)
其中x(k) 是迭代次数为k 时的未知量向量，A 是系数矩阵，B 是常数向量。

高斯-赛德尔迭代法的优点是收敛速度快，适用于各种线性方程组，并且易于实现。

但是，它也有一些缺点，例如对系数矩阵的条件有一定要求，并且当方程组的系数矩阵不满秩时可能不收敛。

希望这些信息能帮到您。

高斯-赛德尔迭代-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12012-2013（1）专业课程实践论文高斯-赛德尔迭代张禹廷，0818180111，R数学08-1班23一、算法理论高斯-赛德尔迭代是计算)1(+k x 的第i 个分量)1(+k i x 的方法，利用了已经计算出得最新分量)1,...,2,1()1(-==+i j x k j .高斯-赛德尔迭代法可以看作雅克比迭代法的一种改进.高斯-赛德尔迭代法没迭代一次只需计算一次矩阵与向量的乘法选取分裂矩阵M 为A 的下三角部分，即选取L D M -=（下三角矩阵），N M A -=，于是得到解b Ax =的高斯-赛德尔（Gauss-Seidel ）迭代法⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,...,1,0,,)()1()0(k f Bx xx k k 初始向量 （1）其中.)(,)()(111b L D f G U L D A L D I B ----=≡-=--=称U L D G 1)(--=为解b Ax =的高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵.下面给出高斯-赛德尔迭代法的分量计算公式.记T k n k i k k x x x x ),...,,...,()()()(1)(=由（1）式有,)()()1(b Ux x L D k k +=-+或,)()1()1(b Ux Lx Dx k k k ++=++4即∑∑-=+=++=--=111)()1()1(.,...,,2,1,i j n i j k j ij k j ij i k i ii n i x a xa b x a于是解b Ax =的高斯-赛德尔迭代法计算公式为()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--==∑∑+=-=++.,1,0,,2,1/)(),,(1)(11)1()1()0()0(1)0( k n i a x a x a b x x x x ii ni j k j ij i j k j ii i k iT n二、算法框图三、算法程序5#include "stdio.h"#include "math.h"# define m 3float a[m][m];float c[m];void gaosi();void main(){int i,j;float x[m],x1[m],eps[m];float s=0;float t=0;int p=1;int q=1;int k=0;float eps1;gaosi();for(i=0;i<=m-1;i++){for(j=0;j<=m-1;j++){s=float(s+fabs(a[i][j])); t=float(t+fabs(a[j][i])); }q=q&&(s<2*fabs(a[i][i])); p=p&&(t<2*fabs(a[i][i]));6s=0;t=0;}if((p+q)==0)printf("ERROR!");else{for(i=0;i<=m-1;i++){x[i]=0;x1[i]=0;}do{eps1=x[0]-x1[0];for(i=0;i<=m-1;i++){for(j=0;j<=m-1;j++) s=s+a[i][j]*x[j]; x[i]=(c[i]+a[i][i]*x[i]-s)/a[i][i]; s=0;eps[i]=float(fabs(x[i]-x1[i]));x1[i]=x[i];eps1=(eps1>eps[i])eps1:eps[i];printf("x%d=%f",i,x[i]);printf("\n");}7k=k+1;}while(eps1>1e-3);printf("迭代 %d 次",k);}}void gaosi(){int i,j;float b[m*m];printf("请输入一个矩阵a：\n"); for(i=0;i<=m-1;i++){for(j=0;j<=m-1;j++){scanf("%f",&b[j+i*m]);a[i][j]=b[j+i*m];}}printf("请输入矩阵b\n");for(i=0;i<=m-1;i++)scanf("%f",&c[i]);}89 四、算法实现例1．利用高斯-赛德尔法迭代解方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+-3612333311420238321321321x x x x x x x x x解：运行程序(1) 显示出 请输入一个矩阵a ：输入⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--12331114238，回车。

高斯-塞德尔迭代法
高斯-赛德尔迭代（gauss–seidel method）是数值线性代数中的一个迭代法，可用
来求出线性方程组解的近似值。

该方法以卡尔·弗里德里希·高斯和路德维希·赛德尔命名。

同雅可比法一样，高斯-赛德尔迭代是基于矩阵分解原理。

在数值线性代数中，gauss-seidel方法也称作liebmann方法或已连续加速度方法，
就是用作解线性方程组的运算方法。

它以德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（carl friedrich gauss）和菲利普·路德维希·冯·塞德尔（philipp ludwig von seidel）命名，与雅基数排序方法相近。

高斯-赛德尔迭代法是解线性方程组的常用迭代法之一，设线性方程组为a1x1 +a2x2 +..+ cintn =b.s
(i= 1,2,,n),
高斯赛德尔迭代法的迭代公式，虽然它可以应用于对角线上具有非零元素的任何矩阵，但只能在矩阵是对角线主导的或对称的和正定的情况下，保证收敛。

在年，只在高斯给
他的学生gerling的私人信中提到。

年之前由塞德尔自行出版。