五年级奥数完全平方数及应用(二)学生版

五年级奥数完全平方数及答案1.一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。

2.求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方3.求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数4.求满足以下条件的所有自然数：(1)它是四位数。

(2)被22除余数为5。

(3)它是完全平方数5.甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下缺乏十元，轮到乙拿去。

为了平均分配，甲应该补给乙多少元?完全平方数习题答案：1.解答：设此自然数为x，依题意可得x-45=m^2; (1)x+44=n^2 (2)(m,n为自然数)(2)-(1)可得 :n^2-m^2=89或： (n-m)(n+m)=89因为n+m>n-m又因为89为质数，所以：n+m=89; n-m=1解之，得n=45。

代入(2)得。

故所求的自然数是1981。

2.解答：设四个连续的整数为，其中n为整数。

欲证是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。

证明设这四个整数之积加上1为m，那么m为平方数而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数;又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。

这就证明了m是一个奇数的平方。

3.解答：形如的数假设是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即或在两端同时减去1之后即可推出矛盾。

证明假设，那么因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。

假设，那么因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。

综上所述，不可能是完全平方数。

4.解答：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。

11|N - 4或11|N + 4或k = 1k = 2k = 3k = 4k = 5所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。

5.解答:n头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数。

第八讲 完全平方数一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。

例如：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。

阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：分别记各图所示的小石子个数为i a (i ＝1、2、3、……、n)不难发现： 1a ＝1＝212a ＝1＋3＝4＝223a ＝1＋3＋5＝9＝234a ＝1＋3＋5＋7＝16＝24………n a ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[]2)1(1n n ⨯-+＝2n毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。

（注：这个和其实就是奇数个数的平方）【例一】 求自然数列前n 个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n －1）一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。

那么，最后袋中留下多少个球？【例二】 1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？练习二：2A＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（）。

【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？【例四】（01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。

完全平方数知识框架一、完全平方数常用性质1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。

不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p整除完全平方数2a，则p能被a整除。

2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N为完全平方数⇔自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质-，因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且21|n p N则2|n p N．性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．二、一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。

5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。

6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

三、重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点【例1】已知自然数n 满足：12!除以n 得到一个完全平方数，则n 的最小值是。

1. 學習完全平方數的性質；2. 整理完全平方數的一些推論及推論過程3. 掌握完全平方數的綜合運用。

一、完全平方數常用性質1.主要性質 1.完全平方數的尾數只能是0，1，4，5，6，9。

不可能是2，3，7，8。

2.在兩個連續正整數的平方數之間不存在完全平方數。

3.完全平方數的約數個數是奇數，約數的個數為奇數的自然數是完全平方數。

4.若質數p 整除完全平方數2a ，則p 能被a 整除。

2.性質性質1：完全平方數的末位數字只可能是0，1，4，5，6，9．性質2：完全平方數被3，4，5，8，16除的餘數一定是完全平方數．性質3：自然數N 為完全平方數⇔自然數N 約數的個數為奇數．因為完全平方數的質因數分解中每個質因數出現的次數都是偶數次，所以，如果p 是質數，n 是自然數，N 是完全平方數，且21|n p N -，則2|n p N ．性質4：完全平方數的個位是6⇔它的十位是奇數．性質5：如果一個完全平方數的個位是0，則它後面連續的0的個數一定是偶數．如果一個完全平方數的個位是5，則其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一個．性質6：如果一個自然數介於兩個連續的完全平方數之間，則它不是完全平方知識點撥教學目標5-4-5.完全平方數及應用（二）數．3.一些重要的推論1.任何偶數的平方一定能被4整除；任何奇數的平方被4（或8）除餘1.即被4除餘2或3的數一定不是完全平方數。

2.一個完全平方數被3除的餘數是0或1.即被3除餘2的數一定不是完全平方數。

3.自然數的平方末兩位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方數個位數字是奇數（1，5，9）時，其十位上的數字必為偶數。

5.完全平方數個位數字是偶數（0，4）時，其十位上的數字必為偶數。

6.完全平方數的個位數字為6時，其十位數字必為奇數。

7.凡個位數字是5但末兩位數字不是25的自然數不是完全平方數；末尾只有奇數個“0”的自然數不是完全平方數；個位數字為1，4，9而十位數字為奇數的自然數不是完全平方數。

学生课程讲义一个自然数自乘所得的积称为完全平方数,100以内的完全平方数(又称平方数)是0、1、2×2=4、3×3=9、4×4=16、5×5=25、6×6=36、7×7=49、8×8=64、9×9=81共10个,平方数有一些特别的性质,可以解决一些有趣的问题:少年宫游戏厅内悬挂着200个彩色灯泡,这些灯泡或明或暗,闪烁不停.这200个灯泡按1~200编号,它们每过1秒变化一下自己的明暗状态.开始时,全部灯泡是暗的第1秒,全部灯泡是亮着的;第2秒,凡编号为2的倍数的灯泡改变自己的明暗状态,即变暗;第3秒,凡编号为3的倍数的灯泡改变自己的明暗状态:明的变暗,暗的变明……依次类推,第n秒钟,凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的明暗状态.每200秒钟为一周期.即到201秒时,全部灯泡大放光明,然后继续上述规则改变原来的状态.问:第200秒时,明亮的灯泡有多少事实上,每个灯泡如果明暗改变次数为偶数次时,它还保持原来的明暗状态;如果变化次数为奇数次时,则明暗状态发生改变,原来明亮的灯泡将变暗,原来不亮的灯泡将变明亮.由于平方数的不同约数个数为奇数,从第2秒开始(此时,偶数编号灯泡变暗,奇数编号灯泡是亮的)起到200秒止,中间的平方数有4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196,在这些秒时,同样编号的灯泡由暗变明,加上1号灯泡始终是亮的,共14个灯泡是亮的.下面举例来讨论平方数的一些问题。

【例1】在1-2016的自然数中,完全平方数共有（）个随堂练习1在324、897、211、247、546中,哪些数是完全平方数。

【例6】下式中每个汉字表示1~9中的一个数字,不同的汉字代表不同的数字.已知热2+爱2+小2=学2+奥2+数2那么,请写出符合上述条件的一个等式:随堂练习412345654321是平方数吗?练习题一、填空题1、一个两位数等于它个位数字的平方与十位数字之和,这个两位数是2、把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来数加起来的和恰好是某个自然数的平方，这个和是（）3、哥哥对弟弟说:“到21世纪的x2年,我恰好是x岁,”哥哥生于（）年。

1、平方数尾数的性质：
性质1：完全平方数的末位数只能是
0,1,4,5,6,9。

性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位
2．平方数的余数有下面的性质：
⑴偶数的平方被4整除；
⑵奇数的平方被8除时余数为1，因而被4除时余数也为1。

教学目标
1、 掌握平方数的因数与余数的性
质； 2、 初步体会用尾数分析法，因数分
析法，余数分析法解有关整数的问题。

3、 提高分析能力与解题能力。

完全平方数
引入
例1
揿动一次(这时编号为偶数的所有的灯全熄灭
环节二：
环节一： 引入
环节三：例2
环节四：例3
环节五：
平方数尾数的性质：
性质1：完全平方数的末位数只能是
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

例4
环节五：例5
环节六：
、全课你学到了什么？
【练习1】在100～200之间的整数里，因数个数为奇数的都有哪些？。

学科培优数学“约数、倍数、完全平方数”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲中的知识点并不难理解,对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过,所以重点在于一些性质的应用,完全平方数在考试中经常出现,所以对于平方差公式还有一些主要性质一定要记住.知识梳理一、最大公约数与最小公倍数的常用性质(1)两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。

即若(,),(,),=⨯=⨯那么(,)1a b=A a a bB b a b(2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。

即(,)[,]⨯=⨯a b a b a b(3)对于任意3个连续的自然数,如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇,那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数b)偶奇偶,那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍二、约数个数与所有约数的和(1)求任一整数约数的个数：一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。

(2)求任一整数的所有约数的和：一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后,将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和,然后再将这些得到的和相乘,乘积便是这个合数的所有约数的和。

三、完全平方数常用性质1.主要性质●完全平方数的尾数只能是0,1,4,5,6,9。

不可能是2,3,7,8。

●在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

●完全平方数的约数个数是奇数,约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

●若质数p整除完全平方数2a,则p能被a整除。

2.一些推论●任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

●一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

●自然数的平方末两位只有：00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。

完全平方数的性质和应用课前预习数字不重复的平方数观察只含两位数字的完全平方数：16＝42 25＝52 36＝62 49＝72 64＝82 81＝92 其中每个平方数都是两位数字互不相同。

含有三位数字的完全平方数，情况就不一样了。

例如： 100＝102 121＝112 144＝122这些平方数都已包含重复数字。

不过，也有许多三位平方数的各位数字互不相同，例如： 169＝132 196＝142 256＝162 62＝5252 含有四位数的完全平方数，包含重复数字的现象更为普遍。

1444＝382 不含重复数字的四位平方数也很多，例如1024＝322 2401＝492 1369＝372 1936＝442如果一个平方数有九位数字，每位数字各不相同，并且不含数字0，那么在这个数中，从1到9全都出现，全只出现一次。

其中最小的是：139854276＝118262，最大的是：923187456＝303842知识框架完全平方数常用性质1.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．不可能是2，3，7，8。

性质2：在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

性质3：自然数N 为完全平方数自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.性质4：若质数p 整除完全平方数，则p 能被整除。

2.一些重要的推论（1）任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

（2）一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

（3）自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

⇔⇔2a a（4）完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。

（5）完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。

秋季班五年级奥数性质5：完全平方数的因数一定有奇数个，反之亦然。

特别地，因数个数为3的自然数是质数的平方。

求一个房间中有100盏灯，用自然数1，2，…，100编号，每盏灯各有一个开关。

开始时，所有的灯都不亮。

有100个人依次进入房间，第1个人进入房间后，将编号为1的倍数的灯的开关按一下，然后离开；第2个人进入房间后，将编号为2的倍数的灯的开关按一下，然后离开；如此下去，直到第100个人进入房间，将编号为100的倍数的灯的开关按一下，然后离开。

问：第100个人离开房间后，房间里哪些灯还亮着？(2009年迎春杯初赛五年级)200名同学编为1至200号面向南站成一排。

第1次全体同学向右转(转后所有的同学面朝西)；第2次编号为2的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；…；第200次编号为200的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有______名。

性质6：平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)其中a＋b，a－b奇偶性相同。

特殊时期，b＝1有不同应用。

一个数减去100是一个完全平方数，减去63也是一个完全平方数，问这个数是多少？一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16＝52－32，16就是一个“智慧数”。

在自然数列中从1开始数起，第2009个“智慧数”是________。

完全平方数（二）草地上趴着3599只面朝前的小甲虫。

他们身上背着从1到3599的号码牌。

第一秒时号码是1的倍数的甲虫向右转90度，第二秒时2的倍数的小甲虫向右转90度，第三秒时3的倍数的小甲虫向右转90度…一个小时后，第3599只小甲虫面朝哪儿？附送。