函数的表示方法及分段函数

第2课时 分段函数学习目标1．会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.3.能用分段函数解决生活中的一些简单问题．知识点一 分段函数(1)定义：像y ＝⎩⎨⎧－x ，x <0，x ，x ≥0这样的函数称为分段函数．(2)实质：函数f (x )，x ∈A ，自变量x 在A 中□1不同的取值范围内，有着不同的□2对应关系． 知识点二 分段函数的性质(1)定义域：各段自变量取值范围的□3并集，注意各段自变量取值范围的□4交集为空集，这是由函数定义中的唯一性决定的．(2)值域：各段函数在相应区间上函数取值集合的□5并集． (3)图象：根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图象．[微练1] (多选题)下列给出的函数是分段函数的是( ) A ．f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x <1B ．f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥4，x 2，x ≤4C ．f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1D ．f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5解析：AD B 中的函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥4，x 2，x ≤4中，当x ＝4时，有两个值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；C 中的函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1中，当x ＝1时，有两个值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；只有A 、D中的函数满足分段函数的定义，是分段函数．故选AD ．[微练2] 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ＋1，x <－1，x －1，x >1，则f (2)＝( )A ．0B ．13C ．1D ．2解析：C ∵2＞1，∴f (2)＝2－1＝1.题型一 分段函数求值(范围)问题已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，2x ，－1<x <2，x 22，x ≥2.(1)求f (－3)，f (f (32))的值； (2)若f (a )＝2，求a 的值． [解] (1)因为－3<－1， 所以f (－3)＝－3＋2＝－1. 因为－1<32<2，所以f (32)＝2×32＝3. 又3>2，所以f (f (32))＝f (3)＝92.(2)当a ≤－1时，由f (a )＝2，得a ＋2＝2，a ＝0，舍去； 当－1<a <2时，由f (a )＝2，得2a ＝2，a ＝1； 当a ≥2时，由f (a )＝2， 得a 22＝2，a ＝2或a ＝－2(舍去)． 综上所述，a 的值为1或2. [发散思维]若本例函数f (x )不变，求满足f (x )>2x 的x 的取值范围． 解：当x ≤－1时，有x ＋2>2x .解得x <2，∴x ≤－1，当－1<x <2时，2x >2x ，x 无解， 当x ≥2时，x 22>2x .解得x >4， ∴x >4，综上，x 的取值范围为(－∞，－1]∪(4，＋∞)．1．分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间；(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值或不等式求范围的步骤(1)先将参数分情况代入解析式，列出方程(不等式)；(2)解方程(不等式)求参数的值(范围)，并检验是否符合参数的取值范围； (3)符合题意的所有值(范围的并集)即为所求．1．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，则f (－43)＋f (43)等于( )A ．－2B ．4C ．2D ．－4解析：B ∵f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，∴f (－43)＝f (－43＋1)＝f (－13)＝f (－13＋1)＝f (23)＝23×2＝43，f (43)＝2×43＝83， ∴f (－43)＋f (43)＝43＋83＝4.2．已知f (x )＝⎩⎨⎧1，x ≥0，0，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集为( )A ．[0，1]B ．[0，2]C ．(－∞，1]D ．(－∞，2]解析：C 当x ≥0时，x ×1＋x ≤2，解得0≤x ≤1；当x <0时，x ≤2，所以x <0.所以不等式xf (x )＋x ≤2的解集为(－∞，1]．故选C ．3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0，若f (α)＝9，则α＝________．解析：由题意得⎩⎨⎧α≤0，－α＝9或⎩⎨⎧α>0，α2＝9.∴α＝－9或α＝3. 答案：－9或3题型二 分段函数的图象及应用 角度1 分段函数的图象(1)(2023·许昌市高一六校联考)函数y ＝|x |x ＋x 的大致图象是( )(2)作出下列函数的图象： f (x )＝⎩⎨⎧－x －1，x ≤－1，x 2－x －2，－1<x ≤2，x －2，x >2.(1)[解析] 法一：易得函数y ＝|x |x ＋x 的定义域为{x |x ≠0}，排除A ，B ； 当x ＝－1时，y ＝－2，选项D 中的图象不符合，排除D ．故选C ． 法二：函数y ＝|x |x ＋x 的定义域为{x |x ≠0}，依据绝对值的概念可得y ＝⎩⎨⎧1＋x ，x >0，－1＋x ，x <0，易知选项C 对应的图象正确． [答案] C(2)[解] 画出一次函数y ＝－x －1的图象，取(－∞，－1]上的一段；画出二次函数y ＝x 2－x －2的图象，取(－1，2]上的一段；画出一次函数y ＝x －2的图象，取(2，＋∞)上的一段，如图所示．角度2 分段函数图象的应用(链接教材P 68例6)已知函数f (x )＝－x 2＋2，g (x )＝x ，令φ(x )＝min{f (x )，g (x )}(即f (x )和g (x )中的较小者)．(1)分别用图象法和解析式表示φ(x )； (2)求函数φ(x )的定义域，值域．[解] (1)在同一个坐标系中画出函数f (x )，g (x )的图象如图①.由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x )的定义，可得函数φ(x )的图象如图②.令－x 2＋2＝x ，得x ＝－2或x ＝1.结合图②，得出φ(x )的解析式为φ(x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2，x ≤－2，x ，－2<x <1，－x 2＋2，x ≥1.(2)由图②知，φ(x )的定义域为R ，φ(1)＝1， ∴φ(x )的值域为(－∞，1]．1．分段函数图象的画法作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．2．根据分段函数图象求解析式(1)首先从图象上看分段点及各段定义域．(2)其次看各段图象所代表的函数，用待定系数法求解析式，最后写成分段函数．4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x ≤0，x 2＋1，0<x ≤1，则函数f (x )的图象是( )答案：A5．已知函数f (x )的图象如图所示，求f (x )的解析式．解：当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 将(－1，0)，(0，1)代入解析式， 则⎩⎨⎧－a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.∴f (x )＝x ＋1. 当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx (k ≠0)， 将(1，－1)代入，则k ＝－1.∴f (x )＝－x . 即f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤1.题型三 分段函数在实际问题中的应用某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5 km 以内(含5 km)，票价2元；(2)5 km 以上，每增加5 km ，票价增加1元(不足5 km 的按5 km 计算)． 如果某条线路的总里程为20 km ，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．[解] 设票价为y 元，里程为x km.由题意可知，自变量x 的取值范围是(0，20]．由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式：y ＝⎩⎨⎧2，0<x ≤5，3，5<x ≤10，4，10<x ≤15，5，15<x ≤20.函数图象如图．分段函数应用问题的两个关注点(1)应用情境日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数．(2)注意问题求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”，一定要分得合理．6．(2022·滨州高一检测)某同学设想用“高个子系数k ”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160 cm 及其以下不算高个子，其高个子系数k 应为0；身高190 cm 及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k 应为1，请给出一个符合该同学想法、合理的成年男子高个子系数k 关于身高x (cm)的函数关系式________．解析：设身高为x cm ，k (x )＝ax ＋b (a ＞0)，x ∈[160，190]， 由⎩⎨⎧160a ＋b ＝0，190a ＋b ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝130，b ＝－163.k (x )＝130x －163.故k ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0<x ≤160，130（x －160）， 160<x <190，1， x ≥190.答案：k ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0<x ≤160，130（x －160）， 160<x <190，1， x ≥190特别提醒(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数，整体及各段符合函数的定义． (2)分段函数的定义域是各段自变量的并集，值域是各段值域的并集． (3)求解分段函数问题的原则是分段讨论．课时规范训练 A 基础巩固练1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x <2，f （x －1），x ≥2，则f (2)等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：A f (2)＝f (2－1)＝f (1)＝1－2＝－1.2．著名的Dirichlet 函数D (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则D (D (x ))等于( )A ．0B ．1C ．⎩⎨⎧1，x 为无理数，0，x 为有理数D ．⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数解析：B ∵D (x )∈{0，1}，∴D (x )为有理数， ∴D (D (x ))＝1.3．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )A B C D解析：B 根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A ，D ．然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C ．故选B ．4．设f (x )＝⎩⎨⎧－x －3（x ≤－1），x 2（－1<x <2），3x （x ≥2），若f (x )＝9，则x ＝()A ．－12B ．±3C ．－12或±3D ．－12或3解析：Df (x )＝⎩⎨⎧－x －3（x ≤－1），x 2（－1<x <2），3x （x ≥2），f (x )＝9，当x ≤－1时，－x －3＝9，解得x ＝－12；当－1<x <2时，x 2＝9，解得x ＝±3，不成立；当x ≥2时，3x ＝9，解得x ＝3，所以x ＝－12或x ＝3.故选D ．5.(多选题)函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋1，x >0，x ＋1，x ≤0B ．f (x )＝⎩⎨⎧－x －1，x >0，x ＋1，x ≤0C ．f (x )＝－|x |＋1D ．f (x )＝|x ＋1|解析：AC 由题中图象知 当x ≤0时，f (x )＝x ＋1，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，故选AC ．6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋2，x <1，x 2－ax ，x ≥1，若f (f (0))＝a ，则实数a ＝________．解析：依题意知f (0)＝3×0＋2＝2，则f (f (0))＝f (2)＝22－2a ＝a ，得a ＝43. 答案：437．某市出租汽车收费标准如下：在3 km 以内(含3 km)路程按起步价9元收费，超过3 km 的路程按2.4元/km 收费．收费额(单位：元)关于路程(单位：km)的函数解析式为________．解析：设路程为x km 时，收费额为y 元，则由题意得：当x ≤3时，y ＝9；当x >3时，按2.4元/km 所收费用为2.4×(x －3)，那么有y ＝9＋2.4×(x －3)．于是，收费额关于路程的函数解析式为y ＝⎩⎨⎧9，0<x ≤3，9＋2.4×（x －3），x >3，即y ＝⎩⎨⎧9，0<x ≤3，2.4x ＋1.8，x >3.答案：y ＝⎩⎨⎧9，0<x ≤3，2.4x ＋1.8，x >38．函数f (x )的图象如图所示，求函数f (x )的解析式．解：当x <－1时，设f (x )＝ax ＋b ， 则⎩⎨⎧－a ＋b ＝1，－2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2， 所以f (x )＝x ＋2；当－1≤x ≤2时，设f (x )＝kx 2， 由4＝k ·22得k ＝1，所以f (x )＝x 2； 当x >2时，设f (x )＝cx ＋d ，则⎩⎨⎧2c ＋d ＝4，3c ＋d ＝6，解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝0，所以f (x )＝2x ，所以f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x <－1，x 2，－1≤x ≤2，2x ，x >2.B 能力进阶练9．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝|x |sgn x 的图象大致是( )A B C D解析：C由题意知f (x )＝⎩⎨⎧x ，x >0，0，x ＝0，x ，x <0，则f (x )＝x ，则f (x )的图象为C 中图象所示．10．(多选题)已知函数f (x )的图象由如图所示的两条线段组成，则( )A ．f (f (1))＝3B ．f (2)>f (0)C ．f (x )＝－x ＋1＋2|x －1|，x ∈[0，4]D ．∃a >0，不等式f (x )≤a 的解集为[12，2]解析：AC 因为f (1)＝0，f (0)＝3，所以f (f (1))＝3，A 正确；f (0)＝3，0<f (2)<3，所以f (2)<f (0)，B 错误；由题图得，当x ∈[0，1]时，设解析式为y ＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)，图象经过(1，0)，(0，3)，所以⎩⎨⎧k 1＋b 1＝0，b 1＝3，解得⎩⎨⎧k 1＝－3，b 1＝3，所以y ＝3－3x ； x ∈[1，4]时，设解析式为y ＝k 2x ＋b 2(k 2≠0)，图象经过(1，0)，(4，3)，所以⎩⎨⎧k 2＋b 2＝0，4k 2＋b 2＝3，解得⎩⎨⎧k 2＝1，b 2＝－1，所以解析式为y ＝x －1；即f (x )＝－x ＋1＋2|x －1|，x ∈[0，4]，C 正确；由C 得f (2)＝2－1＝1，f (12)＝3－32＝32，如图，所以不存在大于零的a ，使得不等式f (x )≤a 的解集为[12，2]，故D 错误．11．(多选题)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，关于函数f (x )的结论正确的是( )A ．f (x )的定义域为RB ．f (x )的值域为(－∞，4)C ．若f (x )＝3，则x 的值是 3D ．f (x )<1的解集为(－1，1)解析：BC 由题意知函数f (x )的定义域为(－∞，2)，故A 错误；当x ≤－1时，f (x )的取值范围是(－∞，1]．当－1<x <2时，f (x )的取值范围是[0，4)，因此f (x )的值域为(－∞，4)，故B 正确；当x ≤－1时，x ＋2＝3，解得x ＝1(舍去)，当－1<x <2时，x 2＝3，解得x ＝3或x ＝－3(舍去)，故C 正确；当x ≤－1时，x ＋2<1，解得x <－1，当－1<x <2时，x 2<1，解得－1<x <1，因此f (x )<1的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)，故D 错误．故选BC ．12．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f (1a )＝________． 解析：若0<a <1，由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2(a ＋1－1)，所以a ＝14，所以f (1a )＝f (4)＝2×(4－1)＝6.若a ≥1，由f (a )＝f (a ＋1)得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，无解．综上，f (1a )＝6.答案：613．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11：00到12：00他骑了多少千米？(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？解：(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时．(3)第一次休息时，离家17千米．(4)11：00至12：00他骑了13千米．(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形.。

1.2.3 函数的表示法及分段函数【学习目标】１.能举例说明解析法、图象法、列表法的含义及各自的优缺点；2.会选择恰当的方式正确表达函数；3.能举例说明分段函数的意义，会求一些实际问题的分段函数的解析式，会依据分段函数解析式画出图象、求出函数值【学习重点】会选择恰当的方式正确表达函数，理解分段函数的意义【难点提示】恰当选择方法表示不同的函数、写出较为复杂的分段函数的表达式【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材1516P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“九字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备在初中我们已经接触过函数的三种表示法是： 、 、 ，为了进一步研究函数的表示方法，请先思考下面的问题：１.什么叫函数解析式 、函数的图象 ；什么叫函数的列举法 ；举一个用列表法的函数 （链接1）2.（1）函数11111x y x x x >⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩１，当，当，当的表达式有什么特点？你能做出它的图像吗？（2）11111x y x x >⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩１，当0，当，当的表达式有什么特点？你能做出它的图像吗？（3）函数1,0,R x Q y x Q∈⎧=⎨∈⎩ð的表达式有什么特点？你能做出它的图像吗？ 二、学习探究1.阅读思考：请同学们阅读教材1922P -的内容，请思考：（1）你感觉从教材的例3、4、5、6学到什么？3、4、6是什么题型，求解它应分几步完成？关键点在哪里？（2）函数的三种表示法各自的特点是什么？ （3）所有的函数均能用这三方法表示吗？（4）三种表示法表示函数需要注意一些什么问题？（5）函数的图象一定是连续的光滑的曲线或直线吗？2.观察思考：根据学习准备 “2”中三个函数及教材的例5、6的函数有哪些共同的特点，请给它取个名字并给出一般的定义 .解答有关分段函数问题的策略是什么？易错点在哪里？（链接2）三、典例赏析例１. 矩形的面积为10，如果矩形的长为x ，宽为y ，对角线为d ，周长为l ，那么你能获得关于这些量的哪些函数？能确定相应的定义域吗？思路启迪：根据矩形的相关性质来分析五个量之间存在的等量关系，由此得到函数关系． 解：解后反思 解答该题的关键在哪？解答该题应注意一些什么问题？变式练习 将长度为a 的铁丝折成矩形，求矩形面积y 关于一边长x 的函数关系式，并求出定义域、值域、作出图象.解：例2.某市出租车资费规定如下：（1）3公里以内（含3公里）9元；（2）3公里以上，每增加1公里，资费增加24元（不足1公里按1公里计算）．某线路总里程为6公里，请根据题意写出资费与里程之间函数的解析表达式，并画出函数的图象．解：解后反思 解答该题的关键在哪？解答该题应注意一些什么问题？变式练习 某公司研制出了一种新产品,试制了一批样品分别在国内和国外上市销售,并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完公司对销售及销售利润进行了调研,结果如图所示，其中图①（一条折线）、图②（一条抛物线段）分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系、图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．① 分别写出国外市场的日销售量)(t f 与上市时间t 的关系及国内市场的日销售量)(t g 与上市时间t 的关系；② 写出每件样品的销售利润)(t h 与上市时间t 的关系为．解：例3.设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f ，则(3)f = ；若()3f x =，则x = ．●解后反思 分段函数求值应注意什么问题？●变式练习已知符号函数 求不等式(1)sgn 2x x +>的解集．思路启迪：从分段的符号函数入手，分类讨论求解.解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，实现了我们的学习目标吗？如：、函数有哪三种表示法？三种表示法各自的优缺点是什么？分段函数的含义是什么？求分段函数解析式步骤是怎样的？由分段函数解析式画图象、求函数值应注意什么问题？2.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？（链接3）五、学习评价１.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是（ ）2.某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合学生走法的是（ ）A B C D ３.一个圆柱形容器的底部直径是d cm ，高是h cm ，现在以3vcm /s 的速度向容器内注入液体，求容器液体的高度x cm 关于注入液体的时间t s 的函数解析式，并写出函数的定义域． A ． B ． C ．D ． 1,0,sgn 0,0,1,0,x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩4.课本P23练习2、P24 A 组第9题、P25B 组P25习题2、4题．5.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为1 000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应提高的比例为0．75x , 同时预计年销售量增加的比例为0．6x 已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量．写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式．解：6.已知 求使()1f x ≥-成立的x 的取值范围．解：◆承前启后 我们函数的本质就是两个数集之间的对应关系，生活中还有其它对应吗？六、学习链接链接1.函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式； 函数的图像：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.函数的列表式：就是用表格来表示函数两个变量之间的对应关系.链接2. 教材中的例3、4、6均是应用问题，解答应用问题的步骤是：审题、建模、化 简、计算、下结论；其中审题、建模是关键；解析法的特点：简明、全面地概括了变量的搞演习关系，可以解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于求函数的值域；图像法的特点：直观、形象地表示自变量的变化关系，易看出相应的函数值变化的趋势，也有利于通过图象研究函数的性质，图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股票指数走势图等．列表法的特点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值，简洁明了．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用，如成绩表、银行的利率表等．分段函数;对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数,而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集.解答分段函数问题的策略是：分段进行、逐一完成；易错点在于：分界点上的相关问题. 链接3. 函数的表示法体现完美性，分段函数体现了和谐、对称美.211,0,()2(1),0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-->⎩。

函数的概念及其表示、分段函数一、学法指导与考点梳理【基础知识梳理】一、函数的概念1．函数与映射的相关概念(1)函数与映射的概念注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(3)构成函数的三要素：函数的三要素为定义域、值域、对应关系.(4)函数的表示方法函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；图象法：注意定义域对图象的影响.二、函数的三要素1．函数的定义域函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.2．函数的解析式(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.3．函数的值域函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.(2)反比例函数kyx=(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)．(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，当a>0时，二次函数的值域为24[,)4ac ba-+∞；当a<0时，二次函数的值域为24(,]4ac ba--∞.求二次函数的值域时，应掌握配方法：2 224()24b ac b y ax bx c a xa a-=++=++.三、分段函数分段函数的概念若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．【知识拓展】1．(1)相等函数—如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2m−1均表示相等函数.(2)映射的个数若集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从集合A 到集合B 的映射共有m n 个． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．二、重难点题型突破(一)、判断对应关系（图像）是否为函数. 1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A ，B 必须是非空实数集．(2)A 中任意一元素在B 中有且只有一个元素与之对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 例1．（2020·全国高一）下列图象中，不可能．．．成为函数()y f x =图象的是（ ） A ．B ．C ．D ．【解析】由选项中的图象可得，选项A 中有一个自变量x 的值对应两个函数值y ，所以其不可能成为函数()y f x =图象.故选：A【变式训练1】设集合M ＝{x |（x +1）（x ﹣3）≤0}，N ＝{y |y （y ﹣3）≤0}，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ，则函数f （x ）的图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】解：M ＝{x |（x +1）（x ﹣3）≤0}＝[﹣1，3]，N ＝{y |y （y ﹣3）≤0}＝[0，3]A 项定义域为[1-，0]，D 项值域是[0，2]，C 项对任一x 都有两个y 与之对应，都不符．故选：B ．【变式训练2】下列四个图象中，是函数图象的是( )① ② ③ ④A ．①B ．①③④C ．①②③D ．③④【答案】根据函数的定义知：在y 是x 的函数中，x 确定一个值，Y 就随之确定一个值， 体现在图象上，图象与平行于y 轴的直线最多只能有一个交点， 对照选项，可知只有（2）不符合此条件．故选：B ．【变式训练3】．（2012·全国高一课时练习）设集合{|02}M x x =≤≤，{|02}N y y =≤≤，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．②【解析】①图象不满足函数的定义域，不正确；②③满足函数的定义域以及函数的值域，正确；④不满足函数的定义，故选：C ．(二)、求函数的定义域.1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． ②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． 2．求函数定义域的注意点(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.例2．（1）.（2019·广东高一课时练习）函数()1f x x=的定义域是（ ）A.{x|x ＞0}B.{x|x≥0}C.{x|x≠0}D.R【解析】要使f(x)有意义，则满足0x x ≥⎧⎨≠⎩，得到x>0.故选A.（2）.函数y =的定义域是 .【解析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域.由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤，解得17x -≤≤，故函数的定义域为[1,7]-. 【变式训练1】求下列函数的定义域．（1）()34f x x =-； （2）2()347f x x x =+-；（3）5()32xf x x =-； （4）()1f x =；（5）()f x =【解析】（1）()34f x x =-的定义域为R ；（2）2()347f x x x =+-的定义域为R ； （3）5()32xf x x =-有意义，可得320x -≠，即23x ≠，即所求定义域为2{|3x x ≠且}x R ∈；（4）()1f x =有意义，可得1﹣x ≥0且x +3≥0，即为﹣3≤x ≤1，则所求定义域为[3-，1]:（5）()f x =3x ﹣6≥0且40x ->，解得4x >．则所求定义域为{|4}x x >．例3．（2019·哈尔滨市第一中学校高三开学考试（文））已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【解析】因为函数()f x 的定义域为(1,0)-，故函数(21)f x +有意义只需-1210x <+<即可，解得1-1-2x <<，选B ．【变式训练1】（1）已知()f x 的定义域为[2-，1]，求函数(31)f x -的定义域； （2）已知(25)f x +的定义域为[1-，4]，求函数()f x 的定义域．（3）已知函数()y f x =的定义域为[1-，2]，求函数2(1)y f x =-的定义域． （4）已知函数(23)y f x =-的定义域为(2-，1]，求函数()y f x =的定义域．【思路分析】（1）根据函数定义域的求法，直接解不等式2311x --，即可求函数(31)y f x =-的定义域；（2）由[1x ∈-，4]，可得25[3x +∈，13]，可得答案．【解析】（1）函数()y f x =的定义域为[2-，1]，由11-32--≤≤x 得：1[3x ∈-，2]3，故函数(31)y f x =-的定义域为1[3-，2]3；’（2）函数(25)f x +的定义域为[1-，4]，[1x ∴∈-，4]，25[3x ∴+∈，13]， 故函数()f x 的定义域为：[3，13]．（3）因为函数()y f x =的定义域是[1-，2]，所以函数 f （1﹣x 2）中﹣1≤1﹣x 2≤2，∴﹣1≤x 2≤2，即[x ∈，2(1)f x ∴-的定义域为[． （4）函数(23)y f x =-的定义域为(2-，1]，∴﹣2＜x ≤1，﹣4＜2x ≤2，﹣7＜2x ﹣3≤﹣1，即函数()y f x =的定义域为(7-，1]-． (三)、判断函数为同一（相等）函数 判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．例4．（2020·江苏省响水中学高一月考）下列选项中，表示的是同一函数的是（ ）A ．()()2f xg x ==B ．()()()22,2f x x g x x ==-C ．()(),0,,0x x f x g t t x x ≥⎧==⎨-<⎩D ．()()f x g x =【解析】选项A ：函数()f x 的定义域为全体实数，而函数()g x 的定义域为全体非负实数，故这两个函数不是同一函数；选项B ：虽然两个函数的定义域和值域相同但是它们的对应关系不同，故这两个函数不是同一函数； 选项C ：根据绝对值性质可知：()f x x =，两个函数定义域和值域相同，对应关系也相同，故这两个函数是同一函数；选项D ：函数()f x 的定义域为{}1x x ≥，函数()g x 的定义域为{1,x x ≥或1x ≤-}，故这两个函数不是同一函数.故选：C【变式训练1】.下列各组函数中是相等函数的是( )A ．y ＝x ＋1与y ＝x 2－1x －1B ．y ＝x 2＋1与s ＝t 2＋1C ．y ＝2x 与y ＝2x (x ≥0)D ．y ＝(x ＋1)2与y ＝x 2【解析】A ，C 选项中两函数的定义域不同，D 选项中两函数的对应关系不同，故A ，C ，D 错误，选B. (四)、求函数的解析式 求函数解析式常用的方法 1．换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； 2．配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式； 3．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； 4．方程组法：已知关于f (x )与1()f x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x ).例5．（2020·全国高一）设函数()(0)f x kx b k =+>，满足(())165f f x x =+，则()f x =（ ） A ．543x --B ．543x -C ．41xD ．41x +【解析】由题意可知2[()]()165f f x k kx b b k x kb b x =++=++=+，所以21650k kb b k ⎧=⎪+=⎨⎪>⎩，解得：4k =，1b =，所以()41f x x =+.故选：D【变式训练1】.（2020·河北衡水中学调研）已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式．【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R )．例6．（2017·全国高一课时练习）已知111f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则()f x 的解析式为（ ） A ．()11f x x =+ B ．()1xf x x += C ．()1f x x x=+ D ．()1f x x =+【答案】C 【解析】由111f x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭可知，函数的定义域为{x |x ≠0，x ≠﹣1}， 用x 代换1x，代入上式得：f （x ）1111x x x==++，故选：C ．【变式训练1】．已知函数()f x 是一次函数，且()23f f x x ⎡⎤⎣⎦-=恒成立，则()3f =( ) A ．1 B ．3 C ．5D ．7【解析】设()f x ax b =+，0a ≠，则()()()()22222b f f x x f ax b x ax b a b a a x ab x =+=-++⎡⎣-=-⎤+-+⎦因为()23f f x x ⎡⎤⎣⎦-=恒成立，所以220a a -=且3ab b +=，解得2,1a b ==，所以()21f x x =+，即有()37f =.故选：D. 例7．（2020·全国高一）若函数()f x 满足1()23f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则(2)f =___________． 【解析】在关系式1()23f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭中，用1x 代换掉x 得132()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，两式构成方程组，解方程组可得2()f x x x=-,所以(2)1f =-.故答案为：1-. 【变式训练1】．（2020·全国高一）对的所有实数，函数满足，求的解析式． 【解析】由已知①中用代换得到② 由①②得到③设，则，则代入③得到， 所以． 【变式训练2】.(1)已知f (x ＋1)＝x －2x ，则f (x )＝________；1x ≠±x ()f x 122111x x f f x x x +⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭()f x 122111x x f f x x x +⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭1x x 1122111x xf f x x x +⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭2⨯+1111f x x ⎛⎫= ⎪+-⎝⎭11t x =+11x t =-()21t f t t =-()21xf x x =-(2)已知函数f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )＝________； (3)已知函数f (x )对于任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，则f (x )＝________. 【解析】(1)x 2－4x ＋3(x ≥1) (2)2x ＋83或－2x －8(3)23x －1 [(1)法一(换元法)：令t ＝x ＋1，则t ≥1，x ＝(t －1)2，代入原式有f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3，f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)．法二(配凑法)：f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1－4x －4＋3＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3， 因为x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)．(2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又f (f (x ))＝4x ＋8，所以a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋8，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－8.所以f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8.(五)、求函数值域 求函数值域的基本方法 1．观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域． 2．利用常见函数的值域：一次函数的值域为R ；反比例函数的值域为{|0}y y ≠；指数函数的值域为(0,)+∞；对数函数的值域为R ；正、余弦函数的值域为[1,1]-；正切函数的值域为R .3．分离常数法：将形如cx dy ax b +=+(a ≠0)的函数分离常数，变形过程为： ()c bc bc ax b d d cx d c a a a ax b ax b a ax b ++--+==++++，再结合x 的取值范围确定bc d a ax b-+的取值范围，从而确定函数的值域. 4．换元法：对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数()0)f x ax b ac =++≠，可以令0)t t =≥，得到2t d x c-=，函数()f x ax=0)b ac ++≠可以化为2()a t d y tb c-=++(t ≥0)，接下来求解关于t 的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t 的取值范围的限制． 5．配方法：对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域． 6．数形结合法：作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域． 7．单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域．8．判别式法：将函数转化为二次方程：若函数y ＝f (x )可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程a (y )x 2＋b (y )x ＋c (y )＝0，则在a (y )≠0时，由于x ，y 为实数，故必须有Δ＝b 2(y )－4a (y )·c (y )≥0，由此确定函数的值域．利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围.例8．（2019·东台创新高级中学高三月考）函数y =的值域是 _____.【解析】2404[0,2]x y ≤-=≤∴故答案为：[0,2]例9．求下列函数的值域：（1）243,[1,1]y x x x =-+∈-； （2）y x =- （3）2(1)1x y x x =>-.【解析】（1）2243(2)1y x x x =-+=--，∵1-≤x ≤1，∴3-≤x −2≤1-，∴1≤(x −2)2≤9，则0≤(x −2)21-≤8． 故函数243,[1,1]y x x x =-+∈-的值域为[0，8]．（2）f (x )的定义域为1(,]2-∞，令21(0)2t t x t -==≥，得21122y t t =--+，故1(,]2y ∈-∞.（3）22(1)2(1)11124111x x x y x x x x -+-+===-++≥---.当且仅当x ＝2时“＝”成立.故2(1)1x y x x =>-的值域为[4,)+∞.【变式训练1】．求下列函数的值域（1）2()41f x x x =-+，(2x ∈-，3]； （2）()1)f x x x =-． （3）232y x x =-+，[1x ∈，3]； （4）y x =+ （5）y =（6）y x =- （7）2223x y x -=+．【答案】（1）函数的对称轴为2x =，则当2x =时，()f x 取得最小值f （2）4813=-+=-，当2x =-时，(2)48113f -=++=， 即﹣3≤f （x ）＜13，即函数的值域为[3-，13)．（2）设t =则t ≥0，且21x t =+，则函数()f x 等价为2214(2)3y t t t =+-=--，∵t ≥0，∴当2t =时，函数取得最小值3y =-，则y≤-3，即函数的值域为[3-，)+∞．（3）（配方法）因为22123323()612y x x x =-+=-+，所以函数232y x x =-+在[1，3]上单调递增，所以当1x =时，函数取得最小值4；当3x =时，函数取得最大值26． 所以函数232y x x =-+，[1x ∈，3]的值域为[4，26]．（4）（换元法）设t ＝0-1≥x ，则x ＝1﹣t 2．原函数可化为y ＝1﹣t 2+4t ＝﹣（t ﹣2）2+5（t ≥0），所以y ≤5，所以原函数的值域为(-∞，5]．（5）由2560x x -++>，即2560x x --<，解得：16x -<<，而函数256y x x =-++的对称轴是52x =，故函数256y x x =-++在5(1,)2-递增，在5(2，6)递减，故y 在5(1,)2-递减，在5(2，6)递增，故函数的最小值是522|7x y ==，故函数的值域是2[7，)+∞；（6）函数的定义域是(-∞，1]2，而函数y x =121|2x y ==，x →-∞时，y →-∞，故函数的值域是(-∞，1]2；（7）2513y x =-+在(,0)-∞递减，在(0,)+∞递增， 故0x =时，y 的最小值是23-，x →∞时，1y →，故函数的值域是2[3-，1)．(六)、分段函数求值分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略： 1．求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算． 2．求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小． 3．求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式． 4．解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．例10．（2012·全国高一课时练习）设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩ ,则(5)f =( ) A ．10B ．11C ．12D ．13【解析】∵f （x ）()()()210610x x f f x x ⎧-≥⎪=⎨⎡⎤+⎪⎣⎦⎩＜，∴f （5）＝f [f （11）]＝f （9）＝f [f （15）]＝f （13）＝11．故选：B ． 例11．（2020·江苏省南京师大附中高三其他）已知函数24,()2,x x af x x x x a+<⎧=⎨-≥⎩，若对任意实数b ，总存在实数0x ，使得()0f x b =，则实数a 的取值范围是______． 【解析】作出函数4y x =+、22y x x =-的图象如图所示：根据题意，当1a ≤时，412a +≥-，解得5a ≥-；当1a <时，242a a a +≥-，解得14a -≤≤.综上所述，实数a 的取值范围是[5,4]-.故答案为：[5,4]-【变式训练1】．（1）已知函数21,02,0x x y x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()10f x =，则x=___________【解析】因为函数()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，当0x >时，()2010f x x =-<≠,当0x ≤时，()2110f x x =+=,可得3x =（舍去），或3x =-，故答案为3-.（2）．（2020·四川省成都市郫都区第四中学高一期末）设函数221,1()22,1x x f x x x x +≥⎧=⎨--<⎩，若f （x 0）＞1，则x 0的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B ．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞） C ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞）【解析】当01x ≥时，000()211,0f x x x =+>>，则01x ≥当01x <时，2000()221f x x x =--> ，200230x x --> ，有01x <-或03x >，01x <-，综上可知：x 0的取值范围是01x <-或01x ≥.选B.三、课堂定时训练（45分钟）1.下列四个图象中，不是函数图象的是( )A B C D【解析】 根据函数的定义知：y 是x 的函数中，x 确定一个值，y 就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y 轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B 不符合此条件．故选B.2．（2020·重庆巴蜀中学高二期中）若函数()f x 满足()3298f x x +=+，则()f x 的解析式是（ ） A ．()98f x x =+ B ．()32f x x =- C ．()34f x x =--D ．()32f x x =+【解析】设32x t +=，则23t x -=.所以有()298323t f t t -=⨯+=+，所以()32f x x =+故选：D 3.求下列函数的定义域：（1）y =（2）1|2|1y x =+-．【思路分析】（1）由根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解； （2）由分式的分母不为0求解绝对值的不等式得答案．【答案】解：（1）由⎩⎨⎧≥-≥+043012x x ，解得4321≤≤-x ，∴y =的定义域为13[,]24-；（2）由|2|10x +-≠，得|2|1x +≠，1x ∴≠-或3x ≠-，∴1|2|1y x =+-的定义域为{|1x x ≠-或3}x ≠-．4.（1）已知函数()y f x =的定义域为[1-，2]，求函数2(1)y f x =-的定义域． （2）已知函数(23)y f x =-的定义域为(2-，1]，求函数()y f x =的定义域．【思路分析】（1）要求函数的定义域，就是求函数式中x 的取值范围；（2）根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可．【答案】（1）因为函数()y f x =的定义域是[1-，2]，所以函数 f （1﹣x 2）中﹣1≤1﹣x 2≤2，∴﹣1≤x 2≤2，即[x ∈，2(1)f x ∴-的定义域为[．（2）函数(23)y f x =-的定义域为(2-，1]，∴﹣2＜x ≤1，﹣4＜2x ≤2，﹣7＜2x ﹣3≤﹣1，即函数()y f x =的定义域为(7-，1]-．5.已知1)f x =+，求()f x ．【解析】方法一：21)111)1f x x =+=+-=-11≥，所以2()1(1)f x x x =-≥．方法二：令1t =，则2(1),1x t t =-≥，所以22()(1)2(1)1(1)f t t t t t =-+-=-≥，所以2()1(1)f x x x =-≥．【名师点睛】在方法二中，用t 替换后，要注意t 的取值范围为1t ≥，忽略了这一点，在求()f x 时就会出错．6.设二次函数()f x 满足(0)1f =，且(1)()4f x f x x +-=，求()f x 的解析式．【答案】解 设所求二次函数为f （x ）＝ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）， ∵f （0）＝1，∴c ＝1，则f （x ）＝ax 2+bx +1＝0，（a ≠0），又∵f （x +1）﹣f （x ）＝4x ，∴a （x +1）2+b （x +1）+1﹣（ax 2+bx +1）＝4x ， 即 2ax +a +b ＝4x ，得，{2a =4a +b =0∴{a =2b =−2∴f （x ）＝2x 2﹣2x +1，7．（2020·浙江省高三其他）已知函数1,02()1(1),12x x f x f x x ⎧⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________；()f x 的图象与坐标轴围成的图形的面积是________.【解析】由1,02()1(1),12x x f x f x x ⎧⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩得2211333f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 当1012x ≤-<,即112x <≤时,()11f x x -=-,所以()1,0211,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩,作出函数()f x 的图象,如图所示,则()f x 的图象与坐标轴围成的图形的面积是1111224⨯⨯=.故答案为:13；148．（2019·大连市普兰店区第一中学高一期末）已知函数21,03,0x x y x x ⎧+≤=⎨>⎩，则()()2f f -=______，若()10f x =，则x =______.【解析】21,03,0x x y x x ⎧+≤=⎨>⎩,((2))(5)15f f f ∴-==,()10f x =时，若0x ≤，则2110x +=，解得3x =-或3x =（舍去），若0x >，则310x =，解得103x =， 综上，3x =-或103x =，故答案为：15；－3或1039．（2018·全国高一课时练习）已知f (x )=2(1),-20,21,02,-1,2,f x x x x x x +<<⎧⎪+≤<⎨⎪≥⎩(1)若f (a )=4,且a>0,求实数a 的值;(2)求f 3-2⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【解析】(1)若0<a<2,则f (a )=2a+1=4,解得a=32,满足0<a<2. 若a ≥2,则f (a )=a 2-1=4,解得a=舍去),∴a=32或(2) 由题意331(-)(-1)(-)(11)21222222f f f f =+===⨯+=10．（2020·全国高一）已知函数()221x f x x+＝. （1）求()122f ⎛⎫+⎪⎝⎭，()133f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求证：()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是定值； （3）求()()()111232012232012f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⋯++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值． 【解析】（1）∵()221x f x x +＝，∴()2222222112212212121212112f f ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭, ()22222113313313131313113f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭; (2)证明：∵()221x f x x +＝，∴222111111x f x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭,∴()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, (3)由(2)知()11f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴()()112,3,4,,2012f i f i i ⎛⎫+==⋯ ⎪⎝⎭∴()()()111232012232012f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⋯++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝2011.。

分段函数的知识点总结一、分段函数的定义1.1 分段函数的基本形式分段函数的基本形式可以表示为：\[ f(x)=\begin{cases}f_{1}(x), & x\in D_{1}\\f_{2}(x), & x\in D_{2}\\… \\f_{n}(x), & x\in D_{n}\\\end{cases} \]其中，\( D_{1}, D_{2},..., D_{n} \)表示函数的定义域的不相交区间，\( f_{1}(x), f_{2}(x),...,f_{n}(x) \)分别表示在不同区间内的函数表达式。

1.2 分段函数的定义域和值域分段函数的定义域由各个子函数的定义域合并而成，而值域则由各个子函数的值域的并集组成。

1.3 分段函数的解析性质对于分段函数，通常要考虑其在各个定义域内的解析表达式。

在定义分段函数时，要考虑到各个分段的连续性、一致性等性质，以确保分段函数在各个区间内的函数表达式具有良好的连续性和可导性。

1.4 分段函数的特殊形式分段函数的特殊形式包括绝对值函数、符号函数、取整函数、阶梯函数等。

这些特殊形式的分段函数在实际问题中具有广泛的应用，例如在信号处理、控制系统等领域中均有重要的作用。

二、分段函数的性质2.1 分段函数的奇偶性对于分段函数，其奇偶性通常由各个子函数的奇偶性来确定。

如果各个子函数均为偶函数，则分段函数也为偶函数；若各个子函数均为奇函数，则分段函数也为奇函数；若各个子函数均为非奇非偶函数，则分段函数既不是奇函数也不是偶函数。

2.2 分段函数的周期性对于分段函数，其周期性通常由各个子函数的周期性来确定。

如果各个子函数均具有相同的周期，则分段函数也具有这一周期；若各个子函数的周期不同，则分段函数通常不具有周期性。

2.3 分段函数的单调性对于分段函数，其单调性通常由各个子函数的单调性来确定。

如果各个子函数均为单调递增或单调递减函数，则分段函数也为单调递增或单调递减函数；若各个子函数既不是单调递增也不是单调递减函数，则分段函数通常不具有单调性。

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（二）映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“f：A→B”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

1．例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A={ P | P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；（3）A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）A={x | x是新华中学的班级}，B={x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．思考：将（3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f 改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f： B→A是从集合B到集合A的映射吗？（三）函数的表示法常用的函数表示法：（1）解析法；（2）图象法；（3）列表法．三、典例解析1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义，∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ? ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ? 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37-或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x 例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[?1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。

第四教时教材：函数的表示法，分段函数，区间。

目的：要求学生明确函数的三种表示方法，继而要求学生掌握分段函数的概念和区间的概念。

过程：一、复习：函数的概念提出课题：函数的表示法。

常用的函数表示法有三种：解读法、列表法、图象法。

二、解读法：定义：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解读表达式。

它的优点是：关系清楚，容易求函数值、研究性质。

例：加速度公式：<如）圆面积公式：圆柱表面积：二次函数<≥2）又例：我们可用“零点法”把绝对值符号打开，即：=这一种函数我们把它称为分段函数。

三、列表法：定义：列出表格来表示两个变量的函数关系。

它的优点是：不必通过计算就能知道函数对应值。

例：初中接触过的平方表，平方根表，立方表，立方根表，三角函数表，汽车、火车站的里程价目表等等。

又如：1984-1994年国民生产总值表。

P52四、图象法定义：用函数图象表示两个变量之间的关系。

例：平时作的函数图象：二次函数、一次函数、反比例函数图象。

又如：气象台温度的自动记录器，记录的温度随时间变化的曲线<略）人口出生率变化曲线 <见P53）略它的优点是：直观形象地表示出函数变化情况。

注意：函数的图象可以是直线<如：一次函数）、曲线<如：抛物线），也可以是折线及一些孤立的点集<或点）。

b5E2RGbCAP例四、例五、例六见P55-56 <略）<注意强调分段函数概念）五、区间见课本P53-54注意：1）这是<关于区间）的定义2）今后视题目的要求，可用不等式、区间、集合表示<答案）3）“闭”与“开”在数轴上的表示4）关于“+∞”“ ∞”的概念六、小结：三种表示法及优点练习：P56 练习七、作业： P57 习题2、2 3，4，5，6申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。