2018年高考数学复合函数定义

1、复合函数的概念如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。

例如：函数是由复合而成立。

函数是由复合而成立。

a是中间变量。

2、复合函数单调性由引例对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。

对任意，当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。

∵当a＞1时，∵y=f（u）是上的递减函数∴∴∴是单调递减函数类似地，当0＜a＜1时，是单调递增函数一般地，定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。

有以下四种情况：（1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数；（2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。

注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。

例1、讨论函数的单调性（1）（2）又是减函数∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。

②x∈（-1，3）令∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的。

∵是增函数∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。

注意：要求定义域练习：求下列函数的单调区间。

1、（1）减区间，增区间；（2）增区间（-∞，-3），减区间（1，+∞）；（3）减区间，增区间；（4）减区间，增函数。

2、已知求g（x）的单调区间。

提示：设，则g（x）=f（u）利用复合函数单调性解决：g（x）的单调递增区间分别为（-∞，-1]，[0，1]，单调递减区间分别为[-1，0]，[1，+∞）。

如何应对高考数学中的复合函数高考数学中的复合函数是很多学生感到头痛的一道难题。

虽然这不是高考数学中最难的部分，但如果不懂得正确地应对复合函数，依然会给考生带来很大的困扰。

因此，本文将从以下三个方面，给大家介绍一些应对高考数学中的复合函数的方法。

一，理解复合函数的概念首先，复合函数是指把一个函数f(x)的结果作为另一个函数g(x)的自变量，而得到的函数h(x)，即h(x)=g(f(x))。

因此，如果要计算复合函数的值，就需要按照定义，先求得f(x)的值，然后再将f(x)的值代入g(x)中求得g(f(x))，最终得到复合函数的值h(x)。

对于初学者来说，理解复合函数的概念是很重要的，因为只有理解了概念，才能更好地掌握应对复合函数的方法。

因此，建议在学习复合函数时，不要急于求快，要花时间理解概念，巩固基础。

二，掌握复合函数的求导规则在高考数学中，求导也是一个重要的考点。

对于复合函数的求导，我们可以使用链式法则。

链式法则是指，在求复合函数的导数时，先对外层函数求导，然后再乘上内层函数的导数。

具体而言，设函数y=h(x)=g(u), u=f(x)，则有：$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$其中，$\frac{dy}{du}$表示外层函数对u的导数，$\frac{du}{dx}$表示内层函数对x的导数。

他们的乘积即为复合函数的导数。

需要注意的是，在使用链式法则时，要注意导数的顺序。

也就是说，外层函数和内层函数的求导顺序不能颠倒。

否则，将会得到错误的结果。

三，做好必要的准备工作学好复合函数还需要做好一些必要的准备工作。

例如，要熟练掌握函数极限、导数和微分等概念。

在计算复合函数的导数时，有时候还需要用到其他的导数公式，如乘积法、商积法和复合函数求导的高阶方法。

因此，在学习复合函数时，需要将这些公式进行系统整理，建立起较为完善的概念体系。

此外，对于复合函数的计算，还需要灵活运用换元法、分部积分法等解题方法。

0 / 14复合函数概念精析蓝田县洩湖中学王锦锋复合函数概念精析复合函数是中学数学深化函数概念，提高运用函数思想解决数学问题能力的重要工具，是进一步学习高等数学的重要基础，也是历届高考常考不衰的热点。

但高中数学教材未作介绍，而其他教辅材料上也仅给出描述性的非严格定义，因此，高一数学教学与高考数学复习中介绍有关内容很有必要。

一、复合函数的概念我们见到的复合函数的描述性定义是：如果y是u的函数，而u 又是x的函数，即y=f(u)，u=g(x)，那么y关于x的函数y=f ［g(x)］叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量。

例如y=sin 2x它与y=sin x不同，不是基本初等函数，而是由三角函数y=sin u和一次函数u=2x经过“复合”而成的一个函数。

由于上述定义中对“复合”的定义没有明确界定，因而很多同学对复合函数的概念似是而非，含混不清，为此，我们精读这个定义，字斟句酌，纠错补缺，以使我们正确理解复合函数的概念。

1、由字面理解“复合”本来是指“合在一起，结合起来”的意思，但在复合函数的定义中，对复合步骤的方式有特殊的约定。

它不是泛指把几个简单函数随意地结合在一起，例如用四则运算把它们结合起来得到的形1 / 14如a·f(x)±b·g(x)或a·f(x)·b·g(x)的函数，而是专指把几个映射，像工厂中的生产流水线，依先后顺序合在一起，对同一自变量逐次映射构作的一个复合映射确定的函数。

这里的几个映射可以相同，也可以不同，但只能是常数与基本初等函数间进行的幂的运算，指数运算，对数运算，三角运算，反三角运算。

自变量像被加工的零件依次通过第一个映射后到第二个映射，一直到通过全部映射。

例如，复合函数y=sin 2x是自变量x先“乘2”（第一次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到y关于x的一个函数sin 2x。

因此有人说复合函数是函数的函数。

高考数学知识点之复合函数在学习过程中，专门多同学在遇到如此的问题时容易犯错误：例f(x)的定义域为[2,3]，求f(x+1)的定义域答案怎么说是[1,2]依旧[3,4]呢?专门多同学会在那个问题上犹豫。

有些时候一些小问题弄不明白事实上反映的是知识体系上的一个大缺漏。

在那个问题上犹豫说明同学对复合函数的定义还并没有明白得透彻，因此顺着如此一条线索我们来一同复习一下复合函数相关的知识要点。

一、复合函数的概念从映射的角度来说，复合函数f(g(x))确实是从一个集合D先通过对应关系f映射到集合A，再从A通过对应关系g映射到集合B上。

其中x的定义域为集合D，f(g(x))的值域为集合B。

从函数的嵌套这一角度来说，就相当于从集合D中取一个x值，先算出g(x)的值再带入f()里头进行运算得到的结果。

实际显现的比较容易让人混淆的复合函数，其特点要紧是f()括号内部类似x，却不是x。

例如f(-x)、f(x+1)等，事实上差不多上复合函数。

请注意，只有f()括号内部是x，而不是其他值的时候，f(x)才不是复合函数，否则请一律以复合函数对待。

二、复合函数的定义域第一我们必须明确定义域那个概念指的是什么。

在那个地点，专门多同学混淆了定义域和使对应关系f有意义的范畴这两个概念。

定义域指的是自变量能够取值的范畴。

而使对应关系f有意义的范畴则代表f()那个括号里头能够代入的一切有意义的值，并没有对自变量作出要求。

例如f(x)=1/ x，其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，而使对应关系f有意义的范畴与之相同。

然而关于函数f(x+1)，其定义域应该是自变量能够取值的范畴，而自变量x =-1时x+1=0，导致分母为0，因此x≠-1，故定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)，然而使对应关系f有意义的范畴依旧是(-∞,0)∪(0,+∞)。

区分清晰这两点之后，我们便能够解决本文开头的问题。

题目所给对应关系f有意义的范畴是[2,3]，而我们将f(x+1)看成复合函数f(g(x))，为使得f(g(x))有意义，g(x)∈[2,3]，因此解得x∈[1,2]。

一分为二，化繁为简——谈复合函数一、引言在新课标高中数学的必修一中，除了常见的一些基本初等函数，例如：,sin ,,log n x a y x y x y a y x ====等等以外，通常还会遇到一些在结构上较为复杂的函数，例如：234(32),sin(21),,log (23)x a y x y x y a y x +=+=+==+等等。

而当我们对这些结构上较为复杂的函数分析其结构特点时，可以发现，这些函数都可看成时由两个基本初等函数经过“复合”而成的。

例如：函数2(32)y x =+，如设32u x =+，则原函数可以看成由函数232y u u x ==+和“复合”而成。

从而使得对函数2(32)y x =+的研究转化为对基本初等函数232y u u x ==+和的分层研究。

函数2log y x 叫对数函数，那么，函数22log (23)y x x =--究竟是一种什么样的函数呢？二、复合函数的相关概念1、定义：一般地：对于两个函数()()y f u u g x ==和，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数y 为()()y f u u g x ==和的复合函数，记作：[()]y f g x =。

在复合函数[()]y f g x =中，()y f u =称为复合函数的外函数，()u g x =称为复合函数的内函数。

2、定义域和值域复合函数的定义域即内函数的定义域，复合函数的值域即外函数的值域。

而外函数的定复合函数的单调性是由内外函数的单调性共同决定的：内函数是增函数+外函数是增函数=复合函数是增函数；内函数是增函数+外函数是减函数=复合函数是减函数；内函数是减函数+外函数是增函数=复合函数是减函数；内函数是减函数+外函数是减函数=复合函数是增函数。

也就是说，当内外函数的单调性相同的时候，复合函数是增函数，当内外函数的单调性不同的时候，复合函数是减函数。

（同增异减）三、复合函数的常见应用1、求定义域或值域1）已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

高一必修一复合函数知识点复合函数是高中数学中的一个重要概念，它在函数的运算和应用中扮演着重要的角色。

本文将详细介绍高一必修一中与复合函数相关的知识点。

一、复合函数的定义及表示方法复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，通过一系列的运算得到最终结果。

一般表示为f(g(x))，其中g(x)是先于f(x)进行的函数操作。

二、复合函数的求解方法1. 基本复合函数的求解：将内函数的输出作为外函数的输入，逐步代入求解。

2. 复合函数的符号表示法：若f(x) = u(x)和g(x) = v(x)，则复合函数可以表示为(u∘v)(x)，即f(g(x))。

3. 复合函数的运算规则：满足结合律，即(f∘g)∘h = f∘(g∘h)。

三、复合函数的图像变换1. 反函数的复合：若f(g(x)) = x，g(f(x)) = x，即f(x)和g(x)互为反函数，则(f∘g)(x) = (g∘f)(x) = x。

2. 复合函数的图像对称性：若f(x)在点x处对称，则(f∘g)(x)在g(x)处也有对称性。

四、复合函数的应用领域复合函数在高中数学的各个章节中都有广泛的应用，包括函数的求导、函数的极值、解函数方程等各个方面。

1. 函数的求导：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导，即[f(g(x))]' = f'(g(x)) * g'(x)。

2. 函数的极值：根据函数的极值存在性定理，可以通过求解复合函数的导数等方法求得函数的极值。

3. 解函数方程：对于给定的函数方程f(g(x)) = 0，可以通过求解复合函数的根来解得方程的解。

综上所述，复合函数是高一必修一数学中重要的知识点之一。

它不仅在数学理论的研究中有重要应用，也在实际问题的求解中占据重要地位。

通过对复合函数的学习和理解，同学们可以更好地应用数学知识解决实际问题，提高数学水平。

希望本文对大家的学习有所帮助！。

复合函数定义：设y=f(u），u=g(x），当x在u=g(x）的定义域Dg中变化时，u=g(x）的值在y=f(u）的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函间变量,y为因变量（即函数）。

生成条件不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当μ=φ(x）的值域存在非空子集Zφ是y=f(μ）的定义域Df的子集时，二者才可以构成一个复合函数。

定义域若函数y=f(u）的定义域是B,u=g(x）的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x）∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。

求函数的定义域主要应考虑以下几点：⑴当为整式或奇次根式时，R；⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。

⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。

⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。

⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。

⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。

⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。

周期性设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f（μ）的最小正周期为T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+）增减性依y=f(u)，μ=φ(x)的增减性决定。

即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”判断复合函数的单调性的步骤如下：⑴求复合函数定义域；⑵将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；⑶判断每个常见函数的单调性；⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；⑸求出复合函数的单调性。

1、复合函数的概念如果y是a的函数,a又是x的函数,即y=fa,a=gx,那么y关于x的函数y=fgx叫做函数y=fx和a=gx的复合函数,其中a是中间变量,自变量为x,函数值y;例如：函数是由复合而成立;函数是由复合而成立;a是中间变量;2、复合函数单调性由引例对任意a,都有意义a＞0且a≠1且;对任意,当a＞1时,单调递增,当0＜a＜1时,单调递减;∵当a＞1时,∵y=fu是上的递减函数∴∴∴是单调递减函数类似地, 当0＜a＜1时,是单调递增函数一般地,定理：设函数u=gx在区间M上有意义,函数y=fu在区间N上有意义,且当X∈M 时,u∈N;有以下四种情况：1若u=gx在M上是增函数,y=fu在N上是增函数,则y=fgx在M上也是增函数；2若u=gx在M上是增函数,y=fu在N上是减函数,则y=fgx在M上也是减函数；3若u=gx在M上是减函数,y=fu在N上是增函数,则y=fgx在M上也是减函数；4若u=gx在M上是减函数,y=fu在N上是减函数,则y=fgx在M上也是增函数;注意：内层函数u=gx的值域是外层函数y=fu的定义域的子集;例1、讨论函数的单调性12又是减函数∴函数的增区间是-∞,2,减区间是2,+∞;②x∈-1,3令∴x∈-1,1上,u是递增的,x∈1,3上,u是递减的;∵是增函数∴函数在-1,1上单调递增,在1,3上单调递减;注意：要求定义域练习：求下列函数的单调区间;1、1减区间,增区间；2增区间-∞,-3,减区间1,+∞；3减区间,增区间；4减区间,增函数;2、已知求gx的单调区间;提示：设,则gx=fu利用复合函数单调性解决：gx的单调递增区间分别为-∞,-1,0,1,单调递减区间分别为-1,0,1,+∞;例2、y=fx,且lglgy=lg3x+lg3-x1y=fx的表达式及定义域；2求y=fx的值域；3讨论y=fx的单调性,并求其在单调区间上相应的反函数;答案：1x∈0,320,3y=fx在上单调递增函数,在上是单调递减函数当x∈时,；当x∈时,;例3、确定函数的单调区间;提示,先求定义域：-∞,0,0,+∞,再由奇函数,先考虑0,+∞上单调性,并分情况讨论; 函数的递增区间分别为-∞,-1,0,+∞函数的递减区间分别为-1,0,0,1;1、求下列函数的单调区间;1232、求函数的递减区间;3、求函数的递增区间;4、讨论下列函数的单调性;12答案：11递减区间2递增区间0,+∞3递减区间-∞,0递增区间2,+∞2、,23、-∞,-24、1在上是增函数,在上是减函数；2a ＞1时,在-∞,1上是减函数,在3,+∞上是增函数；用待定系数法求函数解析式一、填空题：1、已知二次函数m x x y ++=32的图象与x 轴只有一个交点,则m ＝;2、抛物线c bx x y ++=2过点1,0,与x 轴两交点间距离3,则b ＝,c ＝;3、抛物线42++=bx x y 与x 轴只有一个交点,则b ＝;4、抛物线的顶点是C2,3,它与x 轴交于A 、B 两点,它们的横坐标是方程0342=+-x x 的两个根,则AB ＝,S △ABC ＝;5、如图,二次函数5)2(2-+--=a x a x y 的图象交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于点C,当线段AB 最短时,线段OC 的长是;6、若抛物线c x x y +-=212的顶点在x 轴上,则c 的值是;7、抛物线12--=mx x y 与x 轴有个交点; 二、选择题1、抛物线()5322--=x y 与y 轴的交点坐标是A0,－5；B0,13；C0,4；D3,－52、抛物线x x y --=221的顶点坐标为 A ⎪⎭⎫ ⎝⎛211，－B ⎪⎭⎫ ⎝⎛211，－C ⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21－D －1,0 3、若抛物线()322++--=m x m x y 的顶点在y 轴上,则m 的值为 A －3B3C －2D24、若抛物线c x x y +-=212的顶点在x 轴上,则c 的值为A 41；B 41－；C 161；D 161－ 5、函数()x x y -=32图象可能为 6、若2,5,4,5是抛物线c bx ax y ++=2上的两点,那么它的对称轴为直线A ab x -=B 1=x C 2=x D 3=x7、抛物线12--=mx x y 与x 轴的交点个数是A0；B1；C2；D 无数个;三、求符合下列条件的二次函数式图象：1、过点0,1,1,1,－1,－1；2、对称轴是x ＝2,经过1,4和5,0两点;3、抛物线与x 轴的一个交点6,0,顶点是4,－84、当x ＝3时,y 有最大值为－1,且抛物线过点4,－3;5、抛物线以点－1,－8为顶点,且与y 轴交点纵坐标为－6;6、顶点在x 轴上,对称轴方程x ＝－3,且经过点－1,4;7、求二次函数)4()232-+-+=m m x m x y （的图象与x 轴两交点间的距离的最小值,此时m 的值是多少8、二次函数图象经过A0,2和B5,7两点,且它的顶点在直线y ＝－x 上;。