中学数学 换元法处理分段函数的复合函数 练习题

2021学年学军高一上期中一、选择题：每题4分，共40分1设集合{}4,5,7,9=A ，{}3,4,7,8,9=B ，那么集合A B 中的元素共有〔 〕 A 3个 B 4个 C 5个 D 6个【答案】D 【解析】 【分析】根据集合并集运算和互异性，得到结果【详解】因为集合{}4,5,7,9=A ，{}3,4,7,8,9=B ， 所以{}=3,4,5,7,8,9A B ，共有6个元素， 应选：D【点睛】此题考查集合的并集运算和集合的互异性，属于简单题 2函数y =的定义域是A (3,)+∞B [3,)+∞C (,3)-∞D (,3]-∞【答案】A 【解析】要使函数有意义，需满足30x ->，解得3x >，即函数的定义域为()3,+∞，应选A 点睛：此题主要考查了具体函数的定义域问题，属于根底题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数局部大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数tan y x =，需满足,2x k k Zππ≠+∈等等，当同时出现时，取其交集3以下函数中与y x =具有相同图象的一个函数是〔 〕．A 2y = B y =C 2x y x=D y =对于A ，2y =与函数()y x x R =∈的定义域不同，所以函数图像不同；对于B ，y ()y x x R =∈的对应关系不同，值域不同，所以函数图象不同；对于C ，()20x y x x=≠与函数()y x x R =∈的定义域不同，所以函数图像不同；对于D ，y =与函数()y x x R =∈的定义域相同，对应关系也相同，所以函数图象相同，应选D 点睛：此题主要考查了判断两个函数是否为同一函数，属于根底题；函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系均相同时才是同一函数，值得注意的是判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于定义域内任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同 4函数1,0()(2),0x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，那么(3)f 的值等于〔 〕．A 4B 2C 1D 0【答案】D 【解析】 【分析】将3x =代入函数第二段表达式，得到()1f ，再代入第二段表达式后得到()1f -，此时代入第一段就可以求得函数值【详解】依题意()()()()()3321121110f f f f f =-==-=-=-+=，应选D【点睛】本小题主要考查分段函数求值第一次代入后，还是无法求得函数值，要继续再代入两次才可以属于根底题5对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是 ABCD【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，结合二次函数的图象与性质，利用排除法，即可求解，得到答案【详解】由题意，假设01a <<，那么log a y x =在(0,)+∞上单调递减， 又由函数2(1)y a x x =--开口向下，其图象的对称轴12(1)x a =-在y 轴左侧，排除C ，D假设1a >，那么log a y x =在(0,)+∞上是增函数， 函数2(1)y a x x =--图象开口向上，且对称轴12(1)x a =-在y 轴右侧， 因此B 项不正确，只有选项A 满足【点睛】此题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质，其中解答中熟记二次函数和对数的函数的图象与性质，合理进行排除判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于根底题 6函数()()22log 32f x x x =-+的单调递增区间是〔 〕 A 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ()2,+∞D (),1-∞【答案】C 【解析】 【分析】先得到函数()f x 的定义域，然后根据复合函数单调性，求出内层函数的单调递增区间，从而得到答案【详解】函数()()22log 32f x x x =-+，所以2320x x -+>，解得1x <或2x >， 所以()f x 定义域为()(),12,-∞⋃+∞又因函数()()22log 32f x x x =-+是复合函数， 其外层函数2log y t =为增函数，所以要使()f x 为增函数，那么内层232t x x =-+是增函数， 那么32x >所以可得()f x 单调增区间为()2,+∞ 应选：C【点睛】此题考查求复合函数的单调区间，属于简单题7函数()f x =〕A 奇函数B 偶函数C 非奇非偶函数D 既奇又偶函数【答案】B 【解析】 【分析】先求出()f x 的定义域，然后对()f x 进行化简，再判断()f x -与()f x 的关系，从而得到答案【详解】函数()f x =所以有290->x ，解得33x -<<， 所以()f x 定义域为()3,3- 此时40x -<恒成立，所以()f x ==()()f x f x -===，所以()f x 是偶函数， 应选：B【点睛】此题考查求函数的定义域，判断函数的奇偶性，属于简单题上的函数()f x 满足()()()()2,f x y f x f y xy x y R +=++∈,()13f =,那么()3f -等于 A 3 B 8 C 9 D 24【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用赋值法，依次求得()()()0,2,3f f f 的值，进而求得()3f -的值 【详解】依题意()()()()2,f x y f x f y xy x y R +=++∈令0x y ==，那么()()()0000200f f f +=++⨯⨯，得()00f = 令1x y ==，那么()()()1111211f f f +=++⨯⨯，得()28f = 令2,1x y ==，那么()()()2121221f f f +=++⨯⨯，得()315f = 令3,3x y ==-，那么()()()3333233f f f -=+--⨯⨯，得()33f -= 应选：A【点睛】本小题主要考查根据抽象函数关系式求函数值，属于根底题 9()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数,满足()()11.f x f x -=+假设()12f =,那么()()()()1232019f f f f +++⋯+=A 2B 0C 2-D 4【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，判断函数()f x 是周期为4的周期函数，根据周期性和奇偶性，求得所求表达式的值【详解】由于()()11f x f x -=+，所以函数()f x 图像关于直线1x =对称，由于函数()f x 为奇函数故函数关于原点()0,0对称，故函数()f x 是周期为4的周期函数由()12f =，()00f =，得()()()()2111100f f f f =+=-==，()()400f f == ，()()()()()31212112f f f f f =+=-=-=-=-，所以()()()()()123420200f f f f +++=++-+=， 所以()()()()1232019f f f f ++++=()()()50401232020f f f ⨯+++=+-=应选：B【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的对称性，考查函数的周期性，属于根底题〔〕=()()()22log x x 0(x 1)1x 0x 2x 1x 1⎧⎪⎪+-≤≤⎨⎪+⎪-+⎩＞＜，假设对任意给定的m ∈〔1，∞〕，都存在唯一的0∈R 满足f 〔f 〔0〕〕=2a 2m 2am ，那么正实数a 的取值范围为〔 〕 A 1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B 1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ()2,∞+D [)2,∞+【答案】A 【解析】 【分析】先画出函数f 〔〕图像，记t =f 〔0〕，存在唯一的0，所以必有t ＞1，所以f 〔t 〕=2a 2m 2am ＞1对任意给定的m ∈〔1，∞〕恒成立，因式分解得〔ma 1〕〔2ma －1〕＞0，因为ma 1＞0，所以2ma －1＞0恒成立，代入m =1即可【详解】解：作出函数f 〔〕的图象如图：由图象知当＞0时，f 〔〕=og 2的值域为R ，当－1≤≤0，f 〔〕的取值范围为[0，1]，当＜－1时，f〔〕的取值范围是〔－∞，1〕，即由图象知当f〔〕≤1时，的值不唯一，设t=f〔0〕，当＞0时，由f〔〕=og2≥1得≥2，那么方程f〔f〔0〕〕=2a2m2am，等价为f〔t〕=2a2m2am，因为2a2m2am＞0∈R满足f〔f〔0〕〕=2a2m2am，所以假设存在唯一的那么t＞1，即由f〔〕=og2＞1得＞2，即当＞2时，f〔f〔〕〕与存在一一对应的关系，那么此时必有f〔f〔〕〕＞1，即2a2m2am＞1，得〔ma1〕〔2ma－1〕＞0，因为ma1＞0，所以不等式等价为2ma－1＞0，设h〔m〕=2ma－1，因为m＞1，a＞0，，所以只要h〔1〕≥0即可，得2a－1≥0，得a≥12，∞〕．即实数a的取值范围是[12应选：A．【点睛】此题考查了复合函数与分段函数，函数的恒成立与能成立，综合性较强，分段函数常借助函数图像进行处理，复合函数一般采用换元法二、填空题：每题4分，共28分11设集合{}2S x x =>-，{}41T x x =-≤≤，那么()RS T =________．【答案】{}42x x -≤≤- 【解析】 【分析】根据集合的补集运算，得到S R，再由交集运算，得到答案【详解】因为集合{}2S x x =>-， 所以{}2RS x x =≤-，因为集合{}41T x x =-≤≤， 所以(){}42RS T x x ⋂=-≤≤-故答案为：{}42x x -≤≤-【点睛】此题考查集合的运算，属于简单题12函数1()2x f x a -=-〔0a >且1 a ≠〕的图象恒过定点____． 【答案】()1,1- 【解析】 【分析】根据指数函数x y a =的平移，得到1()2x f x a -=-，从而得到其图象恒过的点，得到答案【详解】将指数函数x y a =向右平移1个单位，再向下平移2个单位， 得到1()2x f x a -=-，而指数函数x y a =恒过点()0,1 所以函数1()2x f x a -=-恒过点()1,1-【点睛】此题考查指数函数平移后过定点问题，属于简单题 13实数x 满足2310x x -+=，那么22x x -+=________． 【答案】7【解析】 【分析】由2310x x -+=得13x x -+=，再平方化简后，得到答案 【详解】因为实数x 满足2310x x -+=， 那么213x x +=，即13x x -+= 两边平方，得2229x x -++= 所以227x x -+=， 故答案为：7【点睛】此题考查根据方程求值，指数根本运算，属于简单题2221x x y x ++=+．【答案】(][),22,-∞-+∞ 【解析】 【分析】 将函数2221x x y x ++=+进行化简，得到()()2111111x y x x x ++==++++，分别对10x +>和10x +<，利用根本不等式，得到答案【详解】函数2221x x y x ++=+()()2111111x x x x ++==++++， 当10x +>，由根本不等式得()1112y x x =+++≥， 当且仅当111x x +=+，即0x =时，等号成立， 当10x +<时，由根本不等式得()1112y x x ≤-=+++，当且仅当111x x +=+，即2x =-时，等号成立， 所以函数的值域为(][),22,-∞-+∞， 故答案为：(][),22,-∞-+∞【点睛】此题考查求具体函数的值域，属于简单题()()log 2a f x ax =-[]0,1的减函数，那么实数a 的取值范围是______．【答案】()1,2 【解析】 【分析】首先保证真数位置20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立，得到a 的范围要求，再分01a <<和1a >进行讨论，由复合函数的单调性，得到关于a 的不等式，得到答案【详解】函数()()log 2a f x ax =-，所以真数位置上的20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立， 由一次函数保号性可知，2a <，当01a <<时，外层函数log a y t =为减函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，那么2t ax =-为增函数， 所以0a ->，即0a <，所以a ∈∅， 当1a >时，外层函数log a y t =为增函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，那么2t ax =-为减函数， 所以0a -<，即0a >，所以1a >， 综上可得a 的范围为()1,2 故答案为：()1,2【点睛】此题考查由复合函数的单调性，求参数的范围，属于中档题 16函数()2xf x =，()22g x xx b =-++，假设[]12,1,3x x ∈，对任意的1x ，总存在2x ，使得()()12g x f x =，那么b 的取值范围是_______．【答案】[]5,7 【解析】 【分析】先分别求出()f x 和()g x 在[]1,3x ∈上的值域，再根据任意的1x ，总存在2x ，使得()()12g x f x =，得到它们值域的关系，从而得到关于b 的不等式，得到答案【详解】函数()2xf x =在[]1,3x ∈上单调递增，所以()f x 的值域为集合[]2,8A =， 函数()22g x xx b =-++，开口向下，对称轴为1x =，所以在[]1,3x ∈上单调递减，所以()g x 的值域为集合[]3,1B b b =-+因为任意的1x ，总存在2x ，使得()()12g x f x =， 所以可得B A ⊆，所以1832b b +≤⎧⎨-≥⎩，解得57b ≤≤故答案为：[]5,7【点睛】此题考查利用函数单调性求函数的值域，通过量词求参数的范围，属于中档题17定义在R 上的函数()f x 满足()00f =，()()11f x f x +-=，()152x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且当1201x x ≤<≤时，()()12f x f x ≤，那么12019f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_______．【答案】132【解析】 【分析】 由()00f =，()()11f x f x +-=，可得()1111,22f f ⎛⎫==⎪⎝⎭，根据()152x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭得()1111522f f ⎛⎫==⎪⎝⎭，反复套用后得到1111250321532f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由1201x x ≤<≤时，()()12f x f x ≤，得到111321520191250<<，所以111321520191250f f f ≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而得到答案【详解】因为定义在R 上函数()f x 满足()00f =，()()11f x f x +-= 令1x =，得()11f =，令12x =，得1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 又因()152x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以()1111522f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2211115252f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，33211115252f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，44311115252f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，55411115252f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而2111152222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，321111522522f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4321111522522f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5431111522522f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为()f x 满足当1201x x ≤<≤时，()()12f x f x ≤，所以根据111321520191250<<，有111321520191250f f f ≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以11132201932f ≤≤⎛⎫⎪⎝⎭， 所以11201932f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故答案为：132【点睛】此题考查抽象函数的性质，求抽象函数的函数值，属于中档题 三、解答题：5小题，共74分 18求值． 〔1〕0110.753210.064160.014-⎛⎫--++ ⎪⎝⎭； 〔2〕14lg23lg5lg 5+-．【答案】〔1〕485；〔2〕4【解析】分析】〔1〕根据指数运算的规那么，对式子进行整理化简后，再进行计算，得到答案；〔2〕根据对数运算的规那么，对式子进行整理化简后，再进行计算，得到答案 【详解】〔1〕0110.753210.064160.014-⎛⎫--++ ⎪⎝⎭1133246411161000100-⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1133244100011264100⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5118210=-++485=； 〔2〕14lg23lg5lg 5+- 4lg 23lg5lg5=++()4lg2lg54=+=【点睛】此题考查指数运算和对数运算，属于简单题19集合{}2135A x a x a =+≤<+，{}332B x x =≤≤，假设A A B =，求a 的取值范围． 【答案】(][],41,9-∞- 【解析】 【分析】由A A B =，得到A B ⊆，从而分为A =∅和A ≠∅两种情况进行讨论，分别得到关于a 的不等式，求出a 的范围，得到答案 【详解】因为A A B =，所以得到A B ⊆， 当A =∅时，2135a a +≥+，解得4a ≤- 当A ≠∅时，2133532a a +≥⎧⎨+≤⎩，解得19a ≤≤，综上所述，a 的取值范围为(][],41,9-∞-【点睛】此题考查根据集合的包含关系求参数的范围，属于简单题2021x39.x ≤≤1求x 的取值范围；2求函数22(log 1)(log 3)y x x =-+的值域． 【答案】1 122x ≤≤ 2 [4,0]- 【解析】试题分析：〔1〕先将不等式化成底相同的指数，再根据指数函数的单调性解不等式；〔2〕令2log t x =，那么函数转化为关于t 的二次函数，再根据对称轴与定义区间的位置关系确定最值，得到值域 试题解析：39x ≤≤，122333x ∴≤≤ ，由于指数函数3x y =在R 上单调递增，122x ∴≤≤ 2 由〔1〕得122x ≤≤，21log 1x ∴-≤≤令2log t x =，那么()()21323y t t t t =-+=+-，其中[]1,1t ∈-∵函数223y t t =+-的图象开口向上，且对称轴为1t =- ，∴函数223y t t =+-在[]1,1t ∈-上单调递增，∴当1t =时，y 取得最大值，为0；当1t =-时，y 取得最小值，为4- ∴函数()()22log 1log 3y x x =-+的值域为[]4,0-21函数1()421x x f x a +=-⋅+．〔1〕假设函数()f x 在[]0,2x ∈上有最大值8-，求实数a 的值； 〔2〕假设方程()0f x =在[]1,2x ∈-上有解，求实数a 的取值范围． 【答案】〔1〕5；〔2〕1718a ≤≤【解析】 【分析】〔1〕令[]21,4x t =∈，那么函数()221f t t at =-+，然后根据对称轴与区间中点的大小进行分类，分别得到相应的a 的值，得到答案；〔2〕令12,42xm ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，那么函数()221f m m am =-+，令()0f m =，再进行参变别离，得到12a m m=+，再根据1y m m =+的值域，得到2a 的范围，从而得到答案【详解】〔1〕因为[]0,2x ∈，所以令[]21,4xt =∈，所以得到函数()221f t t at =-+，开口向上，对称轴为t a =，当52a ≤时，那么在4t =时，()f t 取最大值，即()()max 48f t f ==-， 所以16818a -+=-，解得258a =，不满足52a ≤，所以舍去，当52a >时，那么1t =时，()f t 取最大值，即()()max 18f t f ==-，所以1218a -+=-，解得5a =，满足52a >，综上，a 的值为5〔2〕因[]1,2x ∈-，所以令12,42xm ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦， 所以得到函数()221f m m am =-+令()0f m =，得2210m am -+=，即12a m m=+， 所以要使()0f m =有解， 那么函数2y a =与函数1y m m=+有交点， 而函数1y m m =+，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,4上单调递增， 故在1x =时，有min 2y =，在4x =时，有max 174y =， 所以可得21724a ≤≤， 所以a 的范围为1718a ≤≤【点睛】此题考查动轴定区间方法解决由二次函数最值求参数的值，函数与方程的方法解决方程有解的问题，属于中档题()f x -1,1]上的奇函数，且(1)1f =，假设任意的[1,1]a b ∈-、，当0a b +≠时，总有()()0f a f b a b+>+．〔1〕判断函数()f x 在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论； 〔2〕解不等式：1(1)()1f x f x +<-； 〔3〕假设2()21f x m pm ≤-+对所有的[1,1]x ∈-恒成立，其中[1,1]p ∈-〔p 是常数〕，求实数m 的取值范围．【答案】〔1〕见解析；〔2〕{|2x x -≤<．〔3〕见解析【解析】 【分析】〔1〕任取1、2两数使1、2∈[-1，1]，且1＜2，进而根据函数为奇函数推知f 〔1〕-f 〔2〕=f 〔1〕f 〔-2〕，让f 〔1〕f 〔-2〕除以1-2再乘以1-2配出()()f a f b a b++形式，然后进而判定。

2024届首都师范大学附属中学高三年级第二学期期末数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数13log ,0()1,03x x x f x a x >⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)(0,1)-∞ B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ C ．(,0)-∞ D ．(0,1)(1,)⋃+∞2．已知(1,3),(2,2),(,1)a b c n ===-，若()a c b -⊥，则n 等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（ ）A ．6B ．7C ．8D ．94．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{|10}B x x =-≥，则()A B ⋂=R （ ）.A ．(,1)[3,)-∞+∞ B ．(,1][3,)-∞+∞ C ．(,1)(3,)-∞+∞D ．(1,3)5．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ）A ．14B ．13C ．532D ．3166．定义两种运算“★”与“◆”，对任意N n *∈，满足下列运算性质：①2★2018=1，2018◆11=；②（2n ）★2018=[2(22)n +★]2018 ，2018◆(1)2(2018n +=◆)n ，则（2018◆2020）（2020★2018）的值为( ) A ．10112B ．10102C ．10092D ．10082 7．已知函数2,0()4,0x x f x x x -⎧⎪=⎨+>⎪⎩，若()02f x <，则0x 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,0]- C ．(1,)-+∞ D ．(,0)-∞8．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．83B ．163C ．43D ．89．函数()2ln x f x x x=-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．10．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ）A ．48B ．60C ．72D ．12011．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．3y x =±C ．2y x =±D ．y x =±12．已知,a b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则|3|a bi +=（ ）A ．10B ．23C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

专题2.1 函数的概念【考试要求】1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用；3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.【知识梳理】1.函数的概念设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2.函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【微点提醒】1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.( )(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )(3)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数.( )(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× 【解析】(1)错误.函数y ＝1的定义域为R ，而y ＝x 0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数. (2)错误.值域C ⊆B ，不一定有C ＝B. (3)错误.f(x)＝x －3＋2－x 中x 不存在.(4)错误.若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数. 【教材衍化】2.(必修1P25B2改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )【答案】 B【解析】 A 中函数定义域不是[－2，2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0，2]. 3.(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( )A.y ＝(x ＋1)2B.y ＝3x 3＋1 C.y ＝x 2x＋1D.y ＝x 2＋1【答案】 B【解析】 对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应法则分别对应相同，是相等函数；对于C.函数y ＝x 2x＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域x ∈R 不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数.【真题体验】4.(2019·北京海淀区期中)已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)＝( ) A.15lg 2 B.12lg 5 C.13lg 2 D.12lg 3 【答案】 A【解析】 令x 5＝2，则x ＝215，∴f (2)＝lg 215＝15lg 2.5.(2019·河南、河北两省重点高中联考)函数f (x )＝4－4x＋ln(x ＋4)的定义域为________. 【答案】 (－4，1]【解析】 f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧4－4x≥0，x ＋4>0，解得－4<x ≤1.6.(2019·济南检测)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________. 【答案】 －2【解析】 由题意知点(－1，4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图象上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2. 【考点聚焦】考点一 求函数的定义域【例1】 (1)函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)的定义域为________； (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________. 【答案】 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，1 (2)[0，1) 【解析】 (1)要使函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)有意义，则1－x 2≥0，tan x －1>0，且x ≠k π＋π2(k∈Z ).∴－1≤x ≤1且π4＋k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，可得π4<x ≤1.则函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，1. (2)因为y ＝f (x )的定义域为[0，2]，所以要使g (x )有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1.所以g (x )的定义域是[0，1).【规律方法】 1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域可由不等式a ≤g (x )≤b 求出.(2)若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域. 【训练1】 (1)(2019·深圳模拟)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A.(－2，1)B.[－2，1]C.(0，1)D.(0，1](2)(2019·山西名校联考)设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( ) A.(－9，＋∞) B.(－9，1) C.[－9，＋∞)D.[－9，1)【答案】 (1)C (2)B【解析】 (1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0，ln x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤1，x >0且x ≠1.∴函数的定义域是(0，1).(2)易知f [f (x )]＝f [lg(1－x )]＝lg[1－lg(1－x )]，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－lg （1－x ）>0，解得－9<x <1.故f [f (x )]的定义域为(－9，1). 考点二 求函数的解析式【例2】 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )＝________；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________；(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1，则f (x )＝________.【答案】 (1)lg2x －1(x >1) (2)12x 2－32x ＋2 (3)23x ＋13【解析】 (1)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1). (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝2ax ＋a ＋b ＝x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1中，将x 换成1x ，则1x换成x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2f (x )·1x－1，由⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.【规律方法】 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f [g (x )]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x ).【训练2】 (1)(2019·杭州检测)已知函数f (x )＝ax －b (a >0)，且f [f (x )]＝4x －3，则f (2)＝________； (2)若f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，则f (x )＝________. 【答案】 (1)3 (2)3x【解析】 (1)易知f [f (x )]＝a (ax －b )－b ＝a 2x －ab －b ， ∴a 2x －ab －b ＝4x －3(a >0)，因此⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 所以f (x )＝2x －1，则f (2)＝3. (2)因为2f (x )＋f (－x )＝3x ，①所以将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，② 由①②解得f (x )＝3x . 考点三 分段函数 角度1 分段函数求值【例3－1】 (2018·江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________.【答案】22【解析】 因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以函数f (x )的最小正周期是4.因为在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，所以f (15)＝f (－1)＝12，因此f [f (15)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22. 角度2 分段函数与方程、不等式问题【例3－2】 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A.1B.78C.34D.12(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________.【答案】 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞【解析】 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ， 若52－b <1，即b >32时， 则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4， 解得b ＝78，不合题意舍去.若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b＝4，解得b ＝12. (2)当x ≤0时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1，原不等式化为2x ＋32>1，解得－14<x ≤0，当0<x ≤12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1，原不等式化为2x＋x ＋12>1，该式恒成立，当x >12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋2x －12，又x >12时，2x＋2x －12>212＋20＝1＋2>1恒成立， 综上可知，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.【规律方法】 1.根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 【提醒】 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.【训练3】 (1)(2019·合肥模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x >2，x 2＋2，x ≤2，则f [f (1)]＝( )A.－12B.2C.4D.11(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________.【答案】 (1)C (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 【解析】 (1)由题意知f (1)＝12＋2＝3， 因此f [f (1)]＝f (3)＝3＋13－2＝4.(2)当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a <12.【反思与感悟】1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法. 【易错防范】1.复合函数f [g (x )]的定义域也是解析式中x 的范围，不要和f (x )的定义域相混.2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题1.函数f (x )＝2x－1＋1x －2的定义域为( )A.[0，2)B.(2，＋∞)C.[0，2)∪(2，＋∞)D.(－∞，2)∪(2，＋∞)【答案】 C【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x－1≥0，x －2≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ≠2，所以函数的定义域为[0，2)∪(2，＋∞). 2.(2019·郑州调研)如图是张大爷晨练时离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )【答案】 D【解析】 由y 与x 的关系知，在中间时间段y 值不变，只有D 符合题意. 3.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A.y ＝xB.y ＝lg xC.y ＝2xD.y ＝1x【答案】 D 【解析】 函数y ＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y ＝x ，y ＝2x的定义域均为R ，排除A ，C ；y ＝lg x 的值域为R ，排除B ；D 中y ＝1x 的定义域、值域均为(0，＋∞).4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A.3B.6C.9D.12【答案】 C【解析】 根据分段函数的意义，f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.又log 212>1， ∴f (log 212)＝2(log 212)－1＝2log 26＝6，因此f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.5.(2019·西安联考)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m ，5]的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－1，2]C.[－1，2]D.[2，5]【答案】 C【解析】 f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4. 当x ＝2时，f (2)＝4.由f (x )＝－x 2＋4x ＝－5，得x ＝5或x ＝－1.∴要使f (x )在[m ，5]上的值域是[－5，4]，则－1≤m ≤2.6.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510【答案】 B【解析】 代表人数与该班人数的关系是除以10的余数大于6，即大于等于7时要增加一名，故y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310.7.(2017·山东卷)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A.2B.4C.6D.8【答案】 C【解析】 由已知得0<a <1，则f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2a ， 所以a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝f (4)＝2(4－1)＝6. 8.(2019·上饶质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为( )A.(1，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)【答案】 D【解析】 当a ＝0时，显然不成立.当a >0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0等价于a 2－2a >0，解得a >2. 当a <0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0等价于a 2＋2a >0，解得a <－2.综上所述，a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞). 二、填空题9.函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________.【答案】 (0，1]【解析】 要使函数f (x )有意义， 则⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.∴f (x )的定义域为(0，1].10.已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋1xf (－x )＝2x (x ≠0)，则f (－2)＝________.【答案】 72【解析】 令x ＝2，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12f (－2)＝4，①令x ＝－12，可得f (－2)－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1② 联立①②解得f (－2)＝72.11.下列四个结论中，正确的命题序号是________.①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0，表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.【答案】 ②③【解析】 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，若x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数的定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域和对应关系均分别对应相同，所以f (x )与g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1.12.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为________.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22 【解析】 由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1； 若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212或x ＝2－12. 故x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22. 【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数： ①y ＝x －1x ；②y ＝ln 1－x 1＋x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1. 其中满足“倒负”变换的函数是( )A.①②B.①③C.②③D.①【答案】 B【解析】 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f (x )＝ln 1－x 1＋x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln x －1x ＋1≠－f (x )，不满足； 对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x ). 所以满足“倒负”变换的函数是①③.14.(2019·河南八市联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋λ，x <1（λ∈R ），2x ，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f [f (a )]＝2f (a )成立，则λ的取值范围是( ) A.(0，2]B.[0，2]C.[2，＋∞)D.(－∞，2) 【答案】 C【解析】 当a ≥1时，2a ≥2.∴f [f (a )]＝f (2a )＝22a ＝2f (a )恒成立.当a <1时，f [f (a )]＝f (－a ＋λ)＝2f (a )＝2λ－a ∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1恒成立，由题意λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2，综上，λ的取值范围是[2，＋∞).15.已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________. 【答案】 f (x )＝－log 2 x【解析】 根据题意知x >0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x . 16.(2019·绍兴调研)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2，log 3（x 2－1），x ≥2，则f (f (1))＝________；不等式f (x )＞2的解集为________.【答案】 1 (1，2)∪(10，＋∞)【解析】 f (1)＝2e 0＝2，f (f (1))＝f (2)＝log 3(4－1)＝1.当x ＜2时，f (x )＞2即ex －1＞1＝e 0，∴x ＞1，∴1＜x ＜2.当x ≥2时，f (x )＞2即为log 3(x 2－1)＞2＝log 332，∴x 2＞10，即x ＞10或x ＜－10，∴x ＞10.【新高考创新预测】17.(多选题)已知定义域内的函数f (x )满足：f (f (x ))－x >0恒成立，则f (x )的解析式不可能是( )A.f (x )＝2 019xB.f (x )＝e xC.f (x )＝x 2D.f (x )＝lg 1＋x 2 【答案】 ACD【解析】A 中，f (f (x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 109x ＝x (x ≠0)恒成立， 所以f (f (x ))－x >0不恒成立，A 正确；B 中，因为e x >x ，所以ee x >e x >x ，所以f (f (x ))＝ee x>x 恒成立，B 错误；C 中，f (f (x ))＝x 4＝x ，此方程有x ＝0或x ＝1两个根，所以f (f (x ))－x >0不恒成立，C 正确；D 中，x ＝0时，f (f (x ))＝x 成立，所以f (f (x ))－x >0不恒成立，D 正确.。

高一数学求函数的定义域与值域的常用法一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。

例1. 已知2211()x x x f x x +++=，试求()f x 。

解：设1x t x +=，则11x t =-，代入条件式可得：2()1f t t t =-+，t ≠1。

故得：2()1,1f x x x x =-+≠。

说明：要注意转换后变量围的变化，必须确保等价变形。

2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个程，联立求解。

例2. （1）已知21()2()345f x f x x x +=++，试求()f x ；（2）已知2()2()345f x f x x x +-=++，试求()f x ； 解：（1）由条件式，以1x 代x ，则得2111()2()345f f x x x x +=++，与条件式联立，消去1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则得：()222845333x f x x x x =+--+。

（2）由条件式，以－x 代x 则得：2()2()345f x f x x x -+=-+，与条件式联立，消去()f x -，则得：()2543f x x x =-+。

说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。

例4. 求下列函数的解析式：（1）已知)(x f 是二次函数，且1)()1(,2)0(-=-+=x x f x f f ，求)(x f ；（2）已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f ，)1(+x f ，)(2x f ；（3）已知x xx x x f 11)1(22++=+，求)(x f ； （4）已知3)(2)(3+=-+x x f x f ，求)(x f 。

【题意分析】（1）由已知)(x f 是二次函数，所以可设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，设法求出c b a ,,即可。

山东省滕州实验中学2024年高三第二学期第二次综合练习数学试题理试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-存在极值，则角B 的取值范围是（ ） A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭D ．,6π⎛⎫π⎪⎝⎭2．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ）A ．2y x =±B ．3y x =±C ．2x y =±D ．2y x =±3．已知函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())f f e =（ ）A ．32B ．1C ．-1D ．04．已知复数(1)(3)(z i i i =+-为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ） A ．2B ．2iC ．4D ．4i5．若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭6．设a 、b R +∈，数列{}n a 满足12a =，21n n a a a b +=⋅+，n *∈N ，则（ ）A ．对于任意a ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立B ．对于任意b ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立C ．对于任意()24,b a ∈-+∞，都存在实数M ，使得n a M <恒成立D ．对于任意()0,24b a ∈-，都存在实数M ，使得n a M <恒成立 7．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( )A ．1B ．2CD8．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P 为（ ）A ．10111432⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭B ．111132⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C ．111132⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10111232⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭9．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．210．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（） A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i11．在ABC 中，12BD DC =，则AD =（ ） A ．1344+AB AC B ．21+33AB ACC ．12+33AB ACD ．1233AB AC -12．已知函数21()log 1||f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭(lg )3f x >的解集为（ ）A ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,(10,)10⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(1,10)D ．1,1(1,10)10⎛⎫⋃⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

描述：高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 函数 2.1 函数一、学习任务1. 通过同一过程中的变量关系理解函数的概念；了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），会求一些简单函数的定义域和值域；初步掌握换元法的简单应用．2. 了解映射的概念，能判断一些简单的对应是不是映射．3. 理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值，会画函数的图象．4. 理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性；理解函数最大（小）值的概念及其几何意义；了解函数奇偶性的含义．二、知识清单函数的相关概念函数的表示方法 映射函数的定义域的概念与求法函数的值域的概念与求法 函数的解析式的概念与求法分段函数复合函数 函数的单调性函数的最大（小）值 函数的奇偶性三、知识讲解1.函数的相关概念函数的概念设 ， 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数(function)．记作：其中， 叫做自变量，自变量取值的范围（数集 ）叫做这个函数的定义域． 叫做因变量，与 的值相对应的 值叫做函数在 处的函数值，所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域．相同函数的概念A B f Ax B f (x )f :A →B A By =f (x ),x ∈A .x A y x y x {y | y =f (x ),x ∈A }N集合 的函数关系的有（ ）012．数轴表示为（2）{x | 2⩽x⩽8 且8]（3）函数 的图象是由 t 的映射的是（ ）N（2）函数图象如图所示：y的距离 与点y=f(x)如图为函数 的图象，试写出函数解： [1,2]2（5）（图象法）画出。

分段函数1.已知函数f （x ）＝232,1,,1,x x x ax x +<⎧⎨+≥⎩若f （f （0））＝4a ，则实数a ＝ 2 .解析：f （0）=2，f （f （0））=f(2)=4+2a=4a ，所以a=22. 已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =A.4B.14C.-4 D-14【答案】B【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211(())(2)294f f f -=-==，所以B 正确.3.定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( )A.-1B. 0C.1D. 2【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C. 4.设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是（A ）9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。

依题意知22222(4),2()2,2x x x x f x x x x x ⎧-++<-⎪⎨--≥-⎪⎩，222,12()2,12x x x f x x x x ⎧+<->⎪⎨---≤≤⎪⎩或5.若函数f(x)=212log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是（A ）（-1，0）∪（0，1） （B ）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C ）（-1，0）∪（1,+∞） （D ）（-∞，-1）∪（0,1） 【答案】C【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。

高三第一轮复习——函数的值域一、归纳总结：1、求解函数值域最值常用方法：直接法、配方法、换元法、单调性、数形结合、判别式法反解法、不等式法、分离常数、分类讨论；2、求解函数值域常见函数类型：一次函数、二次函数、分式函数、耐克函数、双增函数、绝对值函数、根式函数、幂指对函数、复合函数；二、例题讲解：1、直接法：可直接观察出值域问题例1：用直接法求下列函数的值域（1）112+=x y ；（2）21+=xy ；（3）12+=x y ；（4）11+=x y ；解析：（1）因为：(]1,0111122∈+→≥+x x ，所以值域为：(]1,0∈y ；（2）因为：01≠x，所以：2≠y ；（3）因为：112≥+x ，所以：1≥y ；（4）因为：011>+x ，所以：0>y ；2、配方法：用于求解跟二次函数有关的相关问题题型有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=++=++=c bx ax y c bt at y c bx ax y c bx ax y c bx ax y x x 2222421；3、换元法：我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，通过换元，我们常常可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式，但一定要注意换元后新元的取值范围。

例1：求函数3y x =+解析：设520522t x t x t -=⇒≥-=，则6097655352322+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⇒+-⋅=t y t t y ；故：⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-∈6097,y ；例2：已知()[]3,2,1122∈+++=x x xx x x f 的值域。

解析：()2112-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x x x f ，再设⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=+310,251t x x ；则：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⇒⎦⎤⎢⎣⎡∈-+=9112,427310,25,22y t t t t f ；例3：已知函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡95,83，求函数)(21)(x f x f y -+=的值域。

高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.设，若，则．【答案】1【解析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断，从算起是解答本题的突破口.因为，所以，又因为，所以，所以，．2.设f(x)＝g(x)＝则f(g(π))的值为()．A．1B．0C．－1D．π【答案】B【解析】g(π)＝0，f(g(π))＝f(0)＝0.3.已知【答案】【解析】由分段函数可得，.又因为.所以.故填.【考点】1.分段函数的性质.2.递推类比的思想.3.三角函数的诱导公式及特殊角的三角函数的值.4.已知函数，则 .【答案】【解析】由已知得：.【考点】分段函数.5.已知是上的增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以选C.【考点】1、分段函数的单调性；2、解不等式.6.已知函数，则的解集为( )A．(-∞,-1)∪(1,+∞)B．[-1,-)∪(0,1]C．(-∞,0)∪(1,+∞)D．[-1,-]∪(0,1)【答案】B【解析】（1）-1≤x<0时，则0<-x≤1，此时，f(x)=-x-1，f(-x)=-(-x)+1=x+1f(x)-f(-x)>-1，即-2x-2>-1，得x<-1/2，又因为-1≤x<0，所以，-1≤x<-1/2（2）0<x≤1时，则：-1≤-x<0，此时f(x)=-x+1，f(-x)=-(-x)-1=x-1f(x)-f(-x)>-1，即-2x+2>-1，得x<3/2，又因为：0<x≤1，所以，0<x≤1.综上，原不等式的解集为：[-1,-1/2)(0,1].【考点】1.分段函数；2.不等式的解法.7.函数，则该函数为( )A．单调递增函数，奇函数B．单调递增函数，偶函数C．单调递减函数，奇函数D．单调递减函数，偶函数【答案】A【解析】当时，则，于是，所以为奇函数；结合函数的图像可发现其为单调递增函数.【考点】分段函数的性质.8.函数的零点个数是（）A．2个B． 1 个C．4个D．3个【答案】D【解析】由，解得，由，解得或，故有三个零点．【考点】分段函数零点问题．9.已知函数,则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，选C.【考点】分段函数求值.10. .若则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,选D.【考点】分段函数求值.11.已知函数若，则实数的取值范围是．【答案】【解析】根据所给的分段函数，画图像如下：可知已知函数在整个定义域上是单调递减的，由可知，，解得.【考点】1.分段函数的图像与性质；2.数形结合的思想12.,则 .【答案】【解析】,.【考点】分段函数求值.13.已知函数，则 .【答案】.【解析】，，，所以.【考点】1.分段函数；2.三角函数求值14.已知函数，则的值等于_______．【答案】【解析】由已知分段函数可得：.【考点】1.分段函数；2.基本初等函数求值15.已知函数，则 ( )A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】,所以.【考点】1.分段函数；2.指数、对数运算.16.已知函数，若，则实数等于（）A．B．C．2D．4【答案】C【解析】，，由已知，解得．故选．【考点】求分段函数的函数值.17.已知函数，则________________,【答案】【解析】由已知．【考点】分段函数的值．18.设函数的最小值为，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】由题意，当时，函数有最小值为，则当时，，即．【考点】分段函数.19.函数的单调递增区间是 .【答案】（-1可以取等号，1不可以）【解析】由，得；又函数在区间上是减函数，利用复合函数单调性的判定得，函数的单调递增区间是（-1,1）.【考点】复合函数单调性的判定20.已知函数，则．【答案】【解析】，同理：，所以.【考点】1.分段函数求值；2.三角诱导公式化简求值.21.,则 .【答案】【解析】因为，，所以-2【考点】分段函数点评：本题是由分段函数求函数值，做这类题目只要结合自变量的范围，代入相应的解析式即可。

第七节 分段函数 导学案【导学目标】1.理解三类函数的概念及特点；2.掌握在三类函数中函数性质的综合应用的处理原则．【高频考点】重点：三类函数问题的处理原则；难点：三类函数问题的处理原则。

高频考点：函数的性质在三类函数中的综合应用【知识梳理】 知识点一：分段函数：某些函数在定义域内对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数；知识点二：抽象函数：没有给出具体对应关系的函数； 知识点三：复合函数：如果函数)(t f y =的定义域为A ，函数)(x g t =的定义域为D ，值域为C ，则当A C ⊆时，称函数))((x g f y =为)(x f y =与)(x g y =在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，)(x g t =叫做内层函数，)(t f y =叫做外层函数。

我的疑问：【典题演练】【型1】分段函数1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则f (f (2))的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2)，－1＜x ＜0，e x －1，x ≥0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( ) A ．1 B ．－22 C ．1，－22 D ．1，223．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧8x －8 (x ≤1)x 2－6x ＋5(x ＞1)，g (x )＝ln x ，则f (x )与g (x )两函数的图象的交点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则不等式f (x )>2的解集是( ) A ．(1,2)∪(3，＋∞) B ．(10，＋∞) C ．(1,2)∪(10，＋∞) D ．(1,2)5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2 (x ≤－1)x 2 (－1＜x ＜2)2x (x ≥2)，则f ⎝⎛⎭⎫－32＝________，若f (a )＜12，则实数a 的取值范围是 6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (x ≥0)－1 (x <0)，则不等式x ＋(x ＋2)f (x ＋2)≤5的解集是________． 7．设函数f (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，(x ≤4)－log 2(x ＋1)，(x >4)，若f (a )＝18，则f (a ＋6)＝________. 我的小结：8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2 (x ≥2)，－2 (x <2)，(1)求f (lg 30－lg 3)的值； (2)解不等式xf (x －1)＜10. 【型2】复合函数1.已知函数f (x )＝log 2(x 2－2x －3)，则使f (x )单调递减的区间是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(1,2)D ．(－3，－1)2．已知函数f (x )＝3－ax 在区间(0,1)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤0，13 C.(]0，3 D ．(0,3) 3．函数y ＝log 2x ＋log x (2x )的值域是( )A ．(－∞，－1]B ．[3，＋∞)C ．[－1,3]D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)4．不等式log a (x 2－2x ＋3)≤－1在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.[)2，＋∞ B ．(1,2] C.⎣⎡⎭⎫12，1 D.⎝⎛⎦⎤0，12 5．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上递减，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则满足f (log 14x )<0的x 的集合为 ( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(2，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1,2)C.⎝⎛⎭⎫12，1∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 6．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫0，12恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间是________．7．已知函数f (x )＝log a | x |在(0，＋∞)上单调递增，则f (－2)____f (a ＋1)．(填写“<”，“＝”，“>”之一)8．函数f (x )＝lg(x 2－ax －1)在区间(1，＋∞)上为单调增函数，则a 的取值范围是________．9．已知函数f (2x )的定义域是[－1,1]，求f (log 2x )的定义域．【型3】抽象函数1．若奇函数f (x )(x ∈R )满足f (2)＝2，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (1)＝( )A ．0B ．1C ．－12 D.122．已知f (x )是R 上的增函数，若令F (x )＝f (1－x )－f (1＋x )，则F (x )是R 上的( )A ．增函数B ．减函数C ．先减后增的函数D ．先增后减的函数3．已知函数f (x )满足：f (p ＋q )＝f (p )f (q )，f (1)＝3，则f 2(1)＋f (2)f (1)＋f 2(2)＋f (4)f (3)＋f 2(3)＋f (6)f (5)＋f 2(4)＋f (8)f (7)＋f 2(5)＋f (10)f (9)的值为( ) A ．15 B ．30 C ．75 D ．604．若函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且对任意的x ∈R ，有f (4＋x )＝f (4－x )，则( )A ．f (2)>f (3)B ．f (2)>f (5)C ．f (3)>f (5)D ．f (3)>f (6)5．若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R 有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，则下列说法一定正确的是()A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)＋1为奇函数D．f(x)＋1为偶函数6．函数y＝f(x)与y＝g(x)有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x，有f(x)＋f(－x)＝0，g(x)g(－x)＝1，且x≠0，g(x)≠1，则F(x)＝2f(x)g(x)－1＋f(x)()A．是奇函数但不是偶函数B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数7．设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足f(0)＝1，且对任意实数a、b，有f(a－b)＝f(a)－b(2a －b＋1)，则f(x)的解析式为________．8．已知函数f(x)，g(x)在R上有定义，对任意的x，y∈R有f(x－y)＝f(x)g(y)－g(x)·f(y)，且f(1)≠0，则f(x)的奇偶性是________．9．函数f(x)对任意的实数m、n有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)，且当x＞0时有f(x)＞0.(1)求证：f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；(2)若f(1)＝1，解不等式f[log2(x2－x－2)]＜2.10．已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且当x＞0时，f(x)＜0恒成立，f(3)＝－3.(1)证明：函数y＝f(x)是R上的减函数；(2)证明：函数y＝f(x)是奇函数；(3)试求函数y＝f(x)在[m，n](m，n∈Z)上的值域．【规律总结】一:分段函数分段处理：（1）分段函数单调性的判断，注意每两段函数临界点值的比较；（2）分段函数奇偶性的判断，注意对定义域内所有自变量的取值进行验证。

高三数学解析式试题答案及解析1.如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题目图像可知：该三次函数过原点，故可设该三次函数为，则，由题得：，，即，解得，所以，故选A.【考点】函数的解析式.2.某通讯公司需要在三角形地带区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域内，乙中转站建在区域内．分界线固定，且=百米，边界线始终过点，边界线满足．设()百米，百米.(1)试将表示成的函数，并求出函数的解析式；(2)当取何值时？整个中转站的占地面积最小，并求出其面积的最小值．【答案】（1）；（2）：当米时，整个中转站的占地面积最小，最小面积是平方米.【解析】（1）要求函数关系式，实际上是建立起之间的等量关系，分析图形及已知条件，我们可借助于三角形有面积，，从这个等式中，解出，即得要求的函数式；（2）有了（1）中的关系式，就可表示为一个字母的式子，它是一个分式函数，由于分母是一次，而分子是二次的，故可这样变形，正好这个表达式可以用基本不等式来求得最小值.试题解析：(1)结合图形可知，．于是，，解得．(2)由(1)知，，因此，(当且仅当，即时，等号成立)．答：当米时，整个中转站的占地面积最小，最小面积是平方米.12分【考点】求函数解析式，三角形的面积公式，分式函数的最值与基本不等式.3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)的值．【答案】（1）见解析（2）f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．（3）1【解析】(1)证明：因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数．(2)解：因为x∈[2，4]，所以－x∈[－4，－2]，4－x∈[0，2]，所以f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．(3)解：因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝ 0所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.4.已知函数y=f(x)的图象关于直线x=-1对称,且当x∈(0,+∞)时,有f(x)=,则当x∈(-∞,-2)时,f(x)的解析式为()A．f(x)=-B．f(x)=-C．f(x)=D．f(x)=-【答案】D【解析】【思路点拨】函数y=f(x)的图象关于直线x=-1对称,则有f(x)=f(-x-2).解:设x<-2,则-x-2>0,由函数y=f(x)的图象关于x=-1对称,得f(x)=f(-x-2)=,所以f(x)=-.5.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.【答案】－x(x＋1)【解析】当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，由已知f(x)＝f(x＋1)＝－x(x＋1)．6.已知若则等于（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】.【考点】函数的解析式.7.若直线与幂函数的图象相切于点，则直线的方程为 .【答案】或.【解析】由题意知，点在曲线上，则有，故幂函数的解析式为，，故当时，，故直线的方程为，即或.【考点】1.幂函数的解析式；2.利用导数求切线方程8.已知函数，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D；【解析】作出函数图像，在点（0,0）处的切线为制定参数的标准；当时，，，，故；当时，，，由于上任意一点的切线斜率都要大于，故，综上所述，.【考点】本题考查分段函数、导数的几何意义，考查学生数形结合的能力.9.若的解析式为（）A．3B．C．D．【答案】B【解析】令，则，所以=，故，选B.【考点】复合函数解析式求法点评：本题考查了复合函数解析式求法，求解复合函数的解析式常用代换法和整体代换思想.10.已知则的值等于。

高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.设若，则的取值范围为_____________.【答案】【解析】由题意，若，则不合题意，因此，此时时，，满足.【考点】分段函数.2.设函数，若，则 .【答案】【解析】若，则，所以，无解；若，则，所以，解得.故.【考点】分段函数，复合函数，容易题.3.定义某种运算,运算原理如图所示，则式子的值为( )A．－3B．－4C．－8D．0【答案】D【解析】由题意可知，程序框图的运算原理可视为函数，所以，，，故选.【考点】程序框图、分段函数求值.4.已知函数，若，则实数______；函数的最大值为_____．【答案】；.【解析】当，则，合乎题意；当时，则，不合乎题意，舍去！所以.函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，则时，，综上所述，函数的最大值为.【考点】分段函数5.若函数f(x)=则f(f(10))=()A．lg101B．2C．1D．0【答案】B【解析】∵f(10)=lg10=1,∴f(f(10))=f(1)=12+1=2.6.若的值为 .【答案】2【解析】．【考点】分段函数求值．7.已知函数，则 .【答案】【解析】由已知得：.【考点】分段函数.8.已知函数，当时，，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由题意可得：当时，，则，故，可解得．【考点】分段函数的处理9.已知，则的值为．【答案】【解析】这是分段函数，求值时一定注意自变量所在的范围，不同范围选用不同的表达式．．【考点】分段函数．10.若函数则____________.【答案】．【解析】由已知得．【考点】求分段函数的值．11.设，则 = .【答案】26【解析】.【考点】分段函数函数值的求法.12.函数的值域为 .【答案】.【解析】，当时，；当时，；当时，，综上所述，函数的值域为.【考点】分段函数13.已知，则函数的零点的个数为 .【答案】5【解析】根据题意，令，解得或，作出的简图，由图像可得当或时，分别有2个和3个交点，则关于的函数的零点的个数为5.【考点】1.分段函数图象;2.函数零点问题.14.设，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴.【考点】1、分段函数；2、指数、对数运算.15.已知函数，则的值等于_______．【答案】【解析】由已知分段函数可得：.【考点】1.分段函数；2.基本初等函数求值16.已知函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数，所以函数在上是增函数，由得，解得或，所以选C.【考点】函数的单调性.17.设函数在内有定义，对于给定的正数k，定义函数：，取函数，若对任意的，恒有，则( )A．的最大值为2B．的最小值为2C．的最大值为1D．的最小值为1【答案】D．【解析】由已知对任意的，恒有，恒成立，．对函数求导，令，得．当时，；当时，．故在时取最大值，的最小值为1．【考点】1．分对函数；2．利用导数解决恒成立问题中的参数最值问题．18.函数的单调递减区间是 .【答案】(－∞,－3]【解析】函数f（x）的定义域是{x}，设u（x）=，则u（x）在[1,+∞）上是增函数，在（－∞，－3]上是减函数，而在定义域内是增函数，所以函数的单调递减区间（－∞，－3].【考点】1.复合函数的单调性；2.二次函数的性质.19.已知函数若关于的方程有且只有两个不同的实根，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作函数、的图像，如图所示，平行移动直线与函数的图像有两个交点，注意是空点，所以.【考点】函数的零点.20.已知函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】故不等式的解集为.【考点】分段函数，二次不等式的解法.21.已知函数则的值是A．10B．C．-2D．-5【答案】B【解析】根据题意，由于函数那么可知，故可知答案为B.【考点】函数解析式点评：主要是考查了分段函数的解析式运用，属于基础题。

高一数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.对于函数的性质，①是以为周期的周期函数②的单调递增区间为，③的值域为④取最小值的的取值集合为其中说法正确的序号有_____________.【答案】①②【解析】画出函数的图像，可知，函数的周期为，单调递减区间为，函数的值域为，函数取最小值的的取值集合为【考点】1.分段函数；2.函数的图像与性质.2.设，则（）A．B．0C．D．【答案】C【解析】，故选C【考点】分段函数3.已知，若，则的值是A．1或2B．2或－1C．1或－2D．±1或±2【答案】C【解析】由已知得,当时,则,解得,故;当时,则,解得,故.综上得或,所以正确答案为C.【考点】分段函数4.设函数，则＝．【答案】5【解析】由题知【考点】分段函数的解法,已知解析式求值.5.已知函数则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】分段函数的函数值计算要注意自变量的取值范围，，.【考点】分段函数.6.已知函数，则的值是（）A．4B．C．8D．【答案】C【解析】由函数的解析式知，所以.故选C.【考点】分段函数求值7.如果函数f(x)的定义域为，且f(x)为增函数，f(xy)=f(x)+f(y)。

（1）证明：；（2）已知f(3)=1，且f(a)>f(a-1)+2，求a的取值范围。

【答案】（1）证明如下（2）【解析】解：（1）∵∴（2）∵f(3)=1，f(a)>f(a-1)+2∴，∴∵f(x)是增函数，∴，∴，又a>0，a-1>0∴a的取值范围是。

【考点】函数的单调性点评：看一个函数在一个区间内是增函数还是减函数，只要看这个函数在这个区间内y随x的变化而怎样变化，若y随x的增大而增大，则函数是增函数；若y随x的增大而增小，则函数是减函数。

8.已知，则f(3)为（）A．2B． 3C． 4D．5【答案】A【解析】因为，所以f(3)=f(3+2)=f(5)=f(5+2)=f(7)=7－5=2，故选A。

高二数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.已知函数则方程的解为____________；若关于x的方有两个不同的实数解，则实数k的取值范围是____________。

【答案】,；【解析】当时，解得；当时，解得，不符合舍去；所以方程的解为；若方程有两个解，则当时，解得，得则；当时，解得得，综上得；【考点】分段函数；2.已知函数，且．（1）求实数c的值；（2）解不等式．【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：（1）根据推得，代入解得；（2）分段解不等式，再取两者并集．规律总结：涉及分段函数的求值、解方程、解不等式问题，要根据所给条件正确选择代入那一段解析式．试题解析：（1）因为，所以，由，即，．（2）由（1）得：由得，当时，解得．当时，解得，所以的解集为．【考点】分段函数．3.若函数，则（其中为自然对数的底数）（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意可得，故选C.【考点】分段函数.4.已知函数，则函数的值为．【答案】【解析】,由分段函数则.【考点】分段函数求值，对数运算.5.已知函数,则的值等于 .【答案】3【解析】∵函数，∴= ===2+1=3，故答案为：3．【考点】定积分的计算.6.定义域为的函数满足当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，，；当时，，，当时，，，；当时，，，，综上所述，故，解得或，故选C.【考点】1.分段函数；2.二次函数的性质；3.指数函数的性质.7.已知函数若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于函数是定义域上的减函数，且为奇函数，那么可知若，故可知得到参数a的范围是，选D.【考点】分段函数点评：主要是考查了分段函数的解析式的运用，属于基础题。

8.已知函数，那么＝__ ___【答案】1/2【解析】，1/2【考点】分段函数点评：在分段函数中，不管是求出函数值，还是求出自变量，需分清自变量的范围。

高一数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.对于函数的性质，①是以为周期的周期函数②的单调递增区间为，③的值域为④取最小值的的取值集合为其中说法正确的序号有_____________.【答案】①②【解析】画出函数的图像，可知，函数的周期为，单调递减区间为，函数的值域为，函数取最小值的的取值集合为【考点】1.分段函数；2.函数的图像与性质.2.已知函数若，则（）A．B．C．或D．1或【答案】C【解析】当时，，可得；当时，，可得.【考点】分段函数，分类讨论的数学思想.3.已知函数，则 .【答案】【解析】因为，所以，又因为，所以.【考点】分段函数.4.已知函数。

若，则的值（）A．一定是B．一定是C．是中较大的数D．是中较小的数【答案】C【解析】由题意可知，所以，所以的值是中较大的数，故选C.【考点】分段函数的求值问题.5.已知函数则______.【答案】【解析】由题可得．【考点】分段函数的求值．6.设，则（）A．B．0C．D．【答案】C【解析】，故选C【考点】分段函数7.已知函数，则的值是．【答案】【解析】因为，而，所以．【考点】本题考查的知识点是分段函数求函数值的方法，属基础题．8.设，则【答案】【解析】由分段函数有.【考点】分段函数的定义域不同解析式不同.9.在上是减函数，则的取值范围是（）A．[B．[ ]C．( D．( ]【答案】A【解析】由于两段函数都是一次的形式，依题意减函数可以得，斜率小于零，即，另外(3-1)x+4在x=1的值不小于-x在x=1的值，即(3-1)+4a≥-,所以，综上.故选A.【考点】 1.分段函数的单调性的问题.2.处理分界点的函数值的大小.10.已知函数则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】分段函数的函数值计算要注意自变量的取值范围，，.【考点】分段函数.11.已知则的值等于()．A．－2B．4C．2D．－4【答案】B【解析】本题是分段函数，求值时，要注意考察自变量的范围，，，.【考点】分段函数.12.已知，则f(3)为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】因为，，所以，，选A。

分段函数的求法高中数学解题方法一、单选题 1．若f （x ）＝,0,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩，且f （x ）＝1，则x ＝（ ）A ．1B ．﹣1C ．±1D ．02．为了保护水资源，提倡节约用水，六安市对居民生活用水实行“阶梯水价”．假设计费方法如下：若某户居民本月交纳的水费为48元，求此户居民本月的用水量（ ） A ．13B ．14C ．15D ．163．设函数()121,02,0x x f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩，若()02f x >，则0x 的取值范围是（ ） A ．()(),14,-∞-+∞ B ．(),1-∞- C ．()4,+∞D ．()1,4-4．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，则使得1(())2f f x =成立的x 的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15．已知函数()0,πcos ,0,3x f x xx ≤=⎨>⎪⎩则()()100f f -=（ ） A ．12-B ．12C ．1D ．1-6．已知函数()21,1,1x e x f x x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩若()04f f m ⎡⎤=⎣⎦，则实数m =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．函数1(,0]()3(21)(1),(0,)xx f x a x a x ⎧⎛⎫∈-∞⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+-∈+∞⎩，在(),-∞+∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8．已知函数,0(),0x e x f x mx m x ⎧≥=⎨+<⎩，在R 上单调递增，其中e 为自然对数的底数，那么当m 取得最大值时，关于x 的不等式()()ln f x m ≤的解集为（ ） A ．(,1]-∞B ．(]1,1-C ．(]0,eD ．(1,]e -9．已知()()[)2,0,1log ,1,2aax x f x x x ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，若()1f x =有两解，则a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]1,2D ．()1,210．若f (x )=,13,1ax x x a x ⎧≥⎪⎨⎪-+<⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．12⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．已知函数()21,12,1x a x f x x ax a x ⎧-≤=⎨-+>⎩.若()1212,x x R x x ∀∈≠，都有()()12f x f x ≠，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．(]1,3C ．[]3,4D ．(]1,4 12．已知函数21,70()ln ,x x f x x e x e-⎧+-≤≤=⎨≤<⎩，2()2g x x x =-，设a 为实数，若存在实数m ，使()2()0f m g a -=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[1,)-+∞B ．[1,3]-C ． ][(,13,) -∞-⋃+∞D ．(3],-∞13．已知函数ln ,1(),()(2),1xx x f x g x kx f xe x ≥⎧==+'⎨<⎩，对12,[3,3]x R x ∀∈∃∈-，使得12()()f x g x ≥成立，则k 的取值范围是（ ）A ．11(,]36e -∞-- B ．11[)36e ++∞， C ．1111[,]3636e e --+ D ．11(,]36e -∞--11[)36e ++∞， 14．已知函数()303{393log x x f x cosx x π<<=-≤≤，，，若存在实数1234x x x x ，，，，当1234x x x x <<<时，满足()()()()1234f x f x f x f x ===，则1234x x x x +++的取值范围是（ ） A ．2573⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．[257)3，C ．46143⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．46143⎛⎫ ⎪⎝⎭，15．设函数2cos ,10()23,02x x x f x ax x a x --≤≤=+-<≤⎪⎩，若()f x 在区间[]1,2-上是单调函数，则 A ．12a ≥-B ．1123a -≤≤ C ．13a ≥D ．102a -≤<或0a >二、多选题16．已知ln 2,0()12,02x x x f x x ->⎧⎪=⎨-≤⎪⎩，存在实数m 满足()12(())12f m f f m ++=，则（ ）A ．()0f m ≤B ．()f m 可能大于0C ．(,1]m ∈-∞-D ．(2(,1]0,e m ⎤∈-∞-⋃⎦17．函数1()()0()x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数， 则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的值域是{0,1}C ．方程(())f f x x =的解为1x =D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题18．设函数()ln ,01,0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩，若()1f m =，则实数m =______.19．已知函数()2121,1()log ,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若()02f x =-，则0x =___________.20．已知函数2log ,2()(034,2xx x f x a a a x ≥⎧=>⎨-+<⎩且1)a ≠，若((2))2f f =，则实数a 的值为______．21．已知函数221,0()log ,0x x f x x x -⎧-=⎨>⎩，若1()14f a f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则实数a 的值为__________． 22．已知函数0()1,0x f x x x >=+≤⎪⎩，若m n <，()()f m f n =，则n m -的取值范围是________．23．设集合10,2A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，1,12B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，函数()()1,221,x x A f x x x B⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩，若()()0f f x A ∈，则0x 的取值范围是__________．24．已知函数()2log 1,033x x f x x ⎧-<≤⎪=>，则使不等式()12f x f ⎛⎫> ⎪⎝⎭成立的x 的取值范围为______.25．已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则a =___________. 26．11,1,()3,1x a x x f x a x ⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩满足：对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，a 的取值范围________．27．已知函数21e ,0,()e,0x x x f x x m x ⎧+>⎪=⎨⎪-+<⎩的图象上存在两个点关于y 轴对称，则实数m 的取值范围为___________． 28．若函数2log ,2()(034,2xx x f x a a a x ≥⎧=>⎨-+<⎩1)a ≠,的值域为R ，则实数a 的取值范围是__________．29．已知函数()||f x x x a =--，若对任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,0)x ∈-，使得()()124f x f x ⋅=-，则实数a 的最大值为_________．30．已知函数22()4f x x x ax =---在区间(,2)-∞-和(2,)+∞上均单调递增，则实数a 的取值范围是________．31．已知函数220()log 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩.(1) 解不等式：()0x f x ⋅≤；(2) 当(,]x m ∈-∞时，()f x 的最大值为1，求实数m 的取值范围； (3) 对于满足(2)的任意实数x 及m 的值，使得关于x 的不等式2()(2)310f x m k m k ≤--+-恒成立，求实数k 的取值范围.32．设0a >，(),3313,333x a a x a f x x a x a x a ⎧+-<<⎪=⎨+≤-≥⎪⎩或，若()()1f x f x -<恒成立，则实数a 的取值范围是______.33．已知函数()()2214,3441518,3tx x f x tx t x t x -⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+-+-≥⎩，数列{}n a 的通项公式为()()*N n a f n n =∈，若数列{}n a 是单调递减数列，则实数t 的取值范围是_________.34．已知0a >且0a ≠，函数223,2()1log ,2a x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩存在最小值，则(4)f a 的取值范围为__________．四、双空题35．已知函数()2212,033,0x x f x x x x +≤⎧=⎨-->⎩，则()1f f =⎡⎤⎣⎦_______，若()5f a =-，则a =______．36．若函数12,0()2,0x x x f x x ⎧⎪≥=⎨⎪<⎩，则((1))f f -=_________，若1()2f a =，则a =________．37．设函数ln(2),1()24,1x x f x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩，当()1f a =时，a =_______；如果对于任意实数R 都有()2f x b ≥成立，那么实数b 的取值范围是_________．超过x 的最大整数.例如：[ 2.1]3-=-，[3.1]3=.已知函数()()|1|3[]f x x x =--[)0,2x ∈，若5()2f x =，则x =________；不等式()f x x ≤的解集为________. 39．若函数2,11,()ln ,1.x x f x x x a -⎧-≤<=⎨≤≤⎩①当2a =时，若()1f x =，则x =__________．②若()f x 的值域为[0,2]，则a 的取值范围是__________． 40．已知函数[][]()sin,1,12f x x x x π=+∈-.其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]3.54,2.12-=-=.(1)函数()f x 是_________函数（奇偶性）；(2)函数()f x 的值域是________.五、解答题41．已知函数()()()221(12)22x x f x x x x x ⎧+≤-⎪=-<<⎨⎪≥⎩.（1）求()3f 、()()2ff -的值；（2）若()10f a =，求a 的值. 42．已知函数1,0()2,0xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩（1）若1()()12f x f x +->，求x 的取值范围；（2）若21,()2x f x x b ∀∈≥-+R 恒成立，求b 的取值范围.43．已知()f x x x a b =-+，x ∈R .（1）当1a =、0b =时，判断()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）当1a =、1b =时，若()2log 3f x =，求x 的值.44．已知函数22,2()2,2x x f x x x ≤⎧=⎨+>⎩（1）若0)(8f x =，求0x 的值； （2）解不等式()8f x >.45．设函数()1 ,01(1),11x x a af x x a x a⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪-⎩，其中a 为常数且()0,1a ∈.新定义：若0x 满足()()00ff x x=，但()00f x x ≠，则称0x 为()f x 的回旋点.（1）当12a =时，分别求13f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和45f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）当(],1x a ∈时，求函数(())y f f x =的解析式，并求出()f x 回旋点； （3）证明函数()f x 在[]0,1x ∈有且仅有两个回旋点，并求出回旋点12,x x . 46．已知函数()3,0ln ,0x x f x x x e-<⎧=⎨<<⎩的值域为M ,函数()()142x x g x x M +=-∈.（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）当x M ∈时,若函数()()142xx h x b b R +=--∈有零点,求b 的取值范围,并讨论零点的个数.47．已知函数2()22,()2|1|f x x tx t g x x =-+-=-，函数()min{(),()}F x f x g x =，其中{},min ,.,p p qp q q p q≤⎧=⎨>⎩ （1）若()24f x t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围； （2）若6t ≥，①求使得()()F x f x =成立的x 的取值范围； ②求()F x 在区间[0,6]上的最大值()M t ． 48．已知()f x x x a =-，0a >．（1）当2a =时，求函数()f x 在[]1,3-上的最大值；（2）对任意的1x ，[]21,1x ∈-都有()()124f x f x -≤成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．C 【分析】分段讨论即可求出. 【详解】解：当x ≥0时，f （x ）＝x ，由f （x ）＝1，得x ＝1， 当x ＜0时，f （x ）＝﹣x ，由f （x ）＝1，得1x =-． 综上，x ＝±1． 故选：C ． 2．B 【分析】根据阶梯水价，结合题意进行求解即可. 【详解】当用水量为312m 时，水费为12336⨯=，而本月交纳的水费为48元，显然用水量超过312m ， 当用水量为318m 时，水费为36(1812)672+-⨯=，而本月交纳的水费为48元，所以本月用水量不超过318m ，所以有(4836)62-÷=，因此本月用水量为312214m +=， 故选：B 3．A 【分析】分别在00x ≤和00x >的情况下，根据解析式构造不等式，解不等式求得结果. 【详解】当00x ≤时，()0001222x x f x -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，01x ∴->，解得：01x <-；当00x >时，()12002f x x ==>，解得：04x ；综上所述：0x 的取值范围为()(),14,-∞-+∞.故选：A. 4．B 【分析】令()f x t =，由()12f t =得到12t =-，2t =()1f x t =和()2f x t =，得到x 的值，从而得到答案.【详解】令()f x t =，则()12f f x =⎡⎤⎣⎦的零点，转化为()12f t =，而21,0()ln ,0t t f t t t ⎧-+≤=⎨>⎩，由21120t t ⎧-+=⎪⎨⎪≤⎩，解得12t =-（正值舍）， 由1ln 20t t ⎧=⎪⎨⎪>⎩，解得2t =， 所以()1f x t ==，即0x ≤时，21x -+=，得12(1)x =-+（正值舍）， 0x >时，ln x =x e =， ()2f x t ==即0x ≤时，21x -+，得x 无解，0x >时，ln x =，得x = 所以()12f f x =⎡⎤⎣⎦有3个零点. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查求复合函数的零点，关键在于通过换元法，区分内外层函数，逐层求解，属于中档题. 5．A 【分析】直接代入，先求()100f -，再求()()100f f -.【详解】由题意知()10010f -==，则()()()10π4ππ10010coscos cos π333f f f ⎛⎫-====+ ⎪⎝⎭π1cos 32=-=-．故选：A【点睛】求分段（复合）函数函数值的方法步骤： （1）找到给定自变量所在的区间； （2）将自变量带入解析式求解. 6．C 【分析】根据分段函数的解析式，先求出()02f =，再根据()04f f m ⎡⎤=⎣⎦可得答案. 【详解】因为函数()21,1,1x e x f x x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩，所以()0012f e =+=，所以()()02424f f f m m ⎡⎤==+=⎣⎦， 解得2m =， 故选：C. 7．B 【分析】依题意，当0x >时，(21)))((1a x x a f =-+-为减函数，再比较分段点处函数值大小，即可得答案. 【详解】依题意()f x 在R 上为减函数，所以02101()13a a -<⎧⎪⎨≥-⎪⎩，解得102a ≤<， 故选：B. 8．B 【分析】首先根据函数()f x 的单调性求得01m <≤，从而确定m 的最大值为1，接着确定函数()f x 的解析式，接着分类讨论()()ln 1f x ≤的解集即可.解：因为函数()f x 在R 上单调递增，则有000m m m e>⎧⎨⨯+≤⎩，解得01m <≤，所以m 的最大值为1，此时,0()1,0x e x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，令()()ln 1f x ≤，解得()0f x e <≤，当0x <时，01x e <+≤，解得11x e <≤-﹣，所以10x -<<， 当0x ≥时，0x e e <≤，解得01x ≤≤， 综上，不等式的解集为(]1,1-， 故选：B. 【点睛】本题主要考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围，处理这类问题主要是每一段上的单调性要考虑，还要考虑两段的端点值进行比较大小才能最后确定函数的单调性. 9．D 【分析】解方程()1f x =，根据该方程有两解可得出关于a 的不等式组，由此可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意可知0a >且1a ≠.当12x ≤<时，由()log 1a f x x ==，可得x a =； 当01x <<时，由()21f x ax ==，可得x =由于方程()1f x =有两解，则1201a ≤<⎧⎪⎨<<⎪⎩，解得12a <<. 因此，实数a 的取值范围是()1,2. 故选：D. 10．D由()a f x x =在[1，+∞)上单调递减且131aa ≤-+可解得结果. 【详解】因为函数()3f x x a =-+在(,1)-∞上是单调递减的，又()f x =,13,1ax xx a x ⎧≥⎪⎨⎪-+<⎩是R 上的单调函数， 所以()af x x =在[1，+∞)上单调递减，即a >0， 并且131a a ≤-+，解得12a ≥．综上所述，a 的取值范围为1[,)2+∞.故选：D 【点睛】易错点点睛：解答本题时易只考虑两段上的单调性，忽视分界点处函数值之间的大小关系或者考虑到了函数值之间的大小关系，但是忽视了取等号的情况而导致结果错误. 11．B 【分析】首先可得函数()f x 在R 上是增函数，然后保证函数()f x 在每一段都是增函数，同时要注意上、下段间端点值之间的大小关系，由此列出不等式组，进而可解得结果. 【详解】依题意可知，函数()f x 在R 上是增函数，则11412a a a >⎧⎪⎪≤⎨⎪-≤⎪⎩，解得13a.故选：B . 【点睛】方法点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一是保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值之间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断． 12．B先根据已知条件求解出()f x 的值域以及()g x 的最小值，然后根据题意得到224a a -与()f x 值域的端点的大小关系，由此求解出a 的取值范围.【详解】因为2()2g x x x =-，a 为实数，所以22()24g a a a =-， 因为224y a a =-，所以当1a =时，y 的最小值为2-， 因为函数21,70()ln ,x x f x x e x e-⎧+-≤≤=⎨≤≤⎩的图象如下图，且2(7)6,()2,()1f f e f e --==-=，所以结合图象可知()f x 值域为[2,6]-，因为存在实数m ，使()2()0f m g a -=，所以22246a a -≤-≤，即13a -≤≤， 故选：B ．【点睛】结论点睛：若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集． 13．D 【分析】由题知，()()min min g x f x ≤，先求出()min f x ，再对k 分类讨论求出范围. 【详解】 1x >时，()ln f x x =()1f x x '∴=∴()122f '=∴1()2g x kx =+12,[3,3]x R x ∀∈∃∈-，使得12()()f x g x ≥成立()()min min g x f x ∴≤对函数ln ,1(),1xx x f x xe x ≥⎧=⎨<⎩当1x >时，()ln f x x =，此时()min 0f x = 当1x <时，()x f x xe =()(1)x f x x e '∴=+令()(1)0x f x x e '+==得1x =- 当1x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减 当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增所以1x =-为极小值点，此时1(11)f e e-=-=--故()min 1f x e=- 当0k =，1()2g x =不合题意； 当0k >，()()min 1332g x g k =-=-+所以1132k e -+≤-，解得1136k e ≥+ 当0k <，()()min 1332g x g k ==+所以1132k e +≤-，解得1136k e ≤--综上得11(,]36k e ∈-∞--11[)36e ++∞， 故选：D. 14．D 【分析】画出函数()303{393log x x f x cosx x π<<=-≤≤，，的图像, 令()()()()1234f x f x f x f x a ====，作出直线y a =，分析1234x x x x ，，，所在的区间，结合对数函数，余弦函数的性质，可得1234x x x x +++的取值范围.【详解】解：画出函数()303{393log x x f x cosx x π<<=-≤≤，，的图像如图，令()()()()1234f x f x f x f x a ====，作出直线y a =， 当3x =时，(3)cos 1f π=-=，当9x =时，(9)cos31f π=-=， 由图像可知，当01a <<时，直线与()f x 有4个交点， 且1234013 4.59x x x x <<<<<<<<，则：3132log x log x =，可得3132log x log x =-，121=x x ， 由()3y cos x π=-的图像关于直线6x =对称，可得3412x x +=，可得1234x x x x +++=2221211)3(x x x ++<<， 设2222121()13()g x x x x =++<<，由对勾函数性质可得其在(1,3)区间上单调递增，当21x =时，123414x x x x +++=， 当23x =时，1234463x x x x =+++， 故可得1234x x x x +++的取值范围是46143⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 故选：D. 【点睛】本题主要考查分段函数的性质、对数函数与余弦函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想，属于中档题. 15．B 【分析】因为()cos f x x x =-在[1,0]-单调递增，所以2()23f x ax x a =+-在(0,2]也是单调递增，且31a -≥-，解不等式组，即可得到本题答案. 【详解】当10x -≤≤时，()cos 2sin ,1,6666f x x x x x ππππ⎛⎫⎡⎤=-=--∈--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以此时函数()f x 在区间[1,0]-上单调递增，因为()f x 在区间[1,2]-上是单调函数，所以2()23f x ax x a =+-在区间(0,2]上单调递增，当0a >时，对称轴10x a=-<，此时()f x 在(0,2]上单调递增，且需满足31a -≥-，得103a <≤；当0a =时，()2,(0,2]f x x x =∈，符合题意；当0a <时，对称轴10x a=->，此时()f x 在(0,2]上单调递增，且需满足3112a a-≥-⎧⎪⎨-≥⎪⎩，得102a -≤<；综上得，1123a -≤≤. 故选：B 【点睛】本题主要考查分段函数的单调性问题，涉及到分类讨论的方法. 16．AD 【分析】若()0>f m ，将()f m 代入上支函数，可得(())f f m =ln[()]2f m -，结合题意，可得()f m 的范围，同理若()0f m ≤，将()f m 代入下支函数，又可解得()f m 范围，根据()f m 范围，再分别讨论0m ≤，0m >，将m 代入不同方程，即可得答案. 【详解】由()12(())12f m f f m ++=，可得()1(())22f m f f m =-． 若()0>f m ，则()1ln[()]222f m f m -=-， ．ln 1≤-x x ，2x x >，．ln 23x x -≤-，112122xxx -<-<-， ．1ln 23122x x x x -≤-<-<-， ．方程无解；若()0f m ≤，2(())1f f m +()12(2)+1=2f m =-()12f m +， 故只需解()0f m ≤即可， 当0m ≤时，由1()202mf m =-≤，解得1m ≤-； 当0m >时，由()ln 20f m m =-≤，解得20e m <≤．综上所述，当(2(,1]0,e m ⎤∈-∞-⋃⎦时，()0f m ≤，满足()12(())12f m f f m ++=． 故选：AD . 【点睛】本题考查复合函数求解析式、函数与方程的综合应用及分段函数的应用，难点在于根据题意得到不同的(())f f m 的表达式，再进行求解，综合性较强，考查分析理解，求值计算的能力，分类讨论的思想，属中档题. 17．ABC 【分析】逐项分析判断即可. 【详解】当x-为有理数时，x也为有理数∴()1f x-=当x-为无理数时，x也为无理数∴()0f x-=∴1()()0()xf xx⎧-=⎨⎩为有理数为无理数∴()()f x f x-=()f x∴是偶函数，A对；易知B对；1x=时，()((1))11f f f==∴C对(())()f f x f x=的解为全体有理数∴D错故选：ABC.【点睛】本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，难度较大.18．e【分析】当0m>时，()ln1f m m==，当0m<时，()11f m m=-=，分别解出m的值，再验证．【详解】函数ln,0,()1,0,x xf xx x>⎧=⎨-<⎩∴当0m>时，()ln1f m m==，解得m e=，当0m<时，()11f m m=-=，解得0m=（舍），∴实数m e=．故答案为：e．19．4【分析】根据题意，由函数的解析式分01x ≤与01x >两种情况讨论，求出0x 的值，即可得答案. 【详解】根据题意，函数()2121,1()log ,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，当01x ≤时，()()20012f x x =-=-，无解；当01x >时，()0102log 2f x x ==-，解可得04x =，符合题意，故04x =， 故答案为：4. 20．2 【分析】根据分段函数解析式计算可得； 【详解】 解：因为2log ,2()(034,2xx x f x a a a x ≥⎧=>⎨-+<⎩且1)a ≠，((2))2f f = 所以2log (2)21f ==，则((2))(1)342f f f a a ==-+=，解得2a =． 故答案为：2． 21．：8或2- 【分析】根据分段函数解析式先求出1()4f 的值，然后分类讨论解方程即可求a 的值． 【详解】因为221,0()log ,0x x f x x x -⎧-=⎨>⎩，所以22211()log log 2244f -===-， 又因为()f a 1()14f +=，所以()f a 11()1(2)34f =-=--=．若0a >，由()3f a =得2log 3a =，解得8a =；若0a ≤，由()f a 3=得213a --=，即24a -=，2a ∴-=，2a =-， 综上8a =或2a =-． 故答案为：8或2-． 【点睛】方法点睛：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值 ，当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值． 22．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先利用已知条件，结合图象确定,m n 的取值范围，设()()f m f n t ==，即得到n m -是关于t 的二次函数，再求二次函数的取值范围即可. 【详解】先作函数0()1,0x f x x x >=+≤⎪⎩图象如下：由图可知，若m n <，()()f m f n =，设()()f m f n t ==，则(]0,1t ∈，0m n ≤<，由()1f m m t =+=知，1m t =-；由()f n t ==知，2n t =；故()222131124n m t t t t t ⎛⎫-=--=-+=-+ ⎪⎝⎭，(]0,1t ∈，故12t =时，n m -最小值为34，1t =时，n m -最大值为1，故n m -的取值范围是3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题解题关键是数形结合，通过图象判断,m n 的取值范围，才能分别找到,m n 与相等函数值t 的关系，构建函数求值域来突破难点. 23．15,48⎛⎫⎪⎝⎭【分析】采用换元法，令()0f x t =，分别在t A ∈和t B ∈两种情况下求得t 的范围，进而继续通过讨论0x A ∈和0x B ∈来求得结果. 【详解】令()0f x t =，则()f t A ∈. ．若t A ∈，则()12f t t =+，11022t ∴≤+<，解得：102t -≤<，不满足t A ∈，舍去；．若t B ∈，则()()21f t t =-，()10212t ∴≤-<，解得：314t <≤，即()0314f x <≤， 若0x A ∈，则()0012f x x =+，031142x ∴<+≤，解得：01142x <≤，011,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭； 若0x B ∈，则()()0021f x x =-，()032114x ∴<-≤，解得：01528x ≤<，015,28x ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭. 综上所述：0x 的取值范围为15,48⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：15,48⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】思路点睛：求解复合函数()()f g x 类型的不等式或方程类问题时，通常采用换元法，令()g x t =，通过求解不等式或方程得到t 满足的条件，进一步继续求解x 所满足的条件.24．1,32⎛⎤⎥⎝⎦【分析】利用分段函数，列出不等式，分类求解即可. 【详解】211log 1222f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，由()12f x f ⎛⎫<⎪⎝⎭得，当03x <≤时，由2log 12x -<，得132x <≤；当3x >2<，此时无解. 综上所述，不等式()12f x f ⎛⎫<⎪⎝⎭的解集为1,32⎛⎤⎥⎝⎦. 故答案为：1,32⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查不等式的解法，考查分段函数的应用，考查计算能力，属于中档题． 25．2 【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值. 【详解】()()642233f ff f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =， 故答案为：2.26．12,33⎛⎤⎥⎝⎦【分析】先判断出()y f x =为减函数，列不等式组，解出a 的范围. 【详解】因为对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，不妨设12x x <，则有()()12f x f x >，所以()y f x =为减函数，所以需满足：1103011113a a a a ⎧-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎛⎫⎪-⨯+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：1233a <≤.则a 的取值范围12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦.故答案为：12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】由分段函数（数列）单调性求参数的取值范围的方法： (1)分段函数的每一段都单调； (2)根据单调性比较端点函数值的大小. 27．()2,+∞ 【分析】根据偶函数的性质可得函数()1e exxg x =+和函数()2h x x m =-+存在两个交点，再结合函数的单调性得()()00h g >，由此可得出结论． 【详解】解：∵函数21e ,0,()e,0x x x f x x m x ⎧+>⎪=⎨⎪-+<⎩的图象上存在两个点关于y 轴对称， 构造定义在R 上的函数()1e exx g x =+和函数()2h x x m =-+， 易得函数()g x 和函数()h x 均为偶函数， ∴函数()g x 和函数()h x 在R 上存在两个交点， ∴函数()g x 和函数()h x 在()0,∞+上存在一个交点，又函数()g x 在()0,∞+上单调递增，函数()h x 在()0,∞+上单调递减， ∴()()max min h x g x >，即()()00h g >，即112m >+=，故答案为：()2,+∞． 28．1[,1)3【分析】先求出当2x ≥时，()f x 的范围，再由()f x 的值域为R ，列不等式组，解出a 的范围． 【详解】当2x ≥时，2log 1x ≥． 因为()f x 的值域为R ，所以只需201341a a a <<⎧⎨-+≥⎩，解得113a ≤<． 故答案为1[,1)3． 29．1 【分析】当2a ≥时，问题转化为当2(1,0)x ∈-时，()()20,f x ∈+∞，由于2(1,0)x ∈-，()()()()20,10,1f f a x ∈-=+，矛盾，故不满足；当02a <<时，问题转化为当2(1,0)x ∈-时，()220,2a f x -⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，由于2(1,0)x ∈-，()()()()20,10,1f f a x ∈-=+，进而得212a a -≤+-，解不等式(]0,1a ∈，进而得实数a 的最大值 【详解】解：当2a ≥时，取绝对值得()(),,(),,x x a x a f x x x a x a x x a --≥⎧⎪=--=⎨--<⎪⎩，作出函数()f x 的图像如图1，此时，1(2,)x ∈+∞，()(]1,0f x ∈-∞，故对任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,0)x ∈-，使得()()124f x f x ⋅=-成立则需满足()()20,f x ∈+∞，由于2(1,0)x ∈-，()()()()20,10,1f f a x ∈-=+，显然不满足，； 当02a <<时，函数图像如图2所示，此时，1(2,)x ∈+∞，()()1,42x a f ∈-∞-+，故对任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,0)x ∈-，使得()()124f x f x ⋅=-成立则需满足()220,2a f x -⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，由于2(1,0)x ∈-，()()()()20,10,1f f a x ∈-=+，所以当212a a -≤+-时，才能满足对任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,0)x ∈-，使得()()124f x f x ⋅=-成立，整理不等式212a a -≤+-得：20a a -≤，解得：[]0,1a ∈， 由于02a <<，所以(]0,1a ∈.由于所求为实数a 的最大值，故不需要再讨论0a ≤的情况.所以，若对任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,0)x ∈-，使得()()124f x f x ⋅=-，则实数a 的最大值为1. 故答案为：1 【点睛】本题考查分段函数的分类讨论思想，化归转化思想，考查综合分析问题与解决问题的能力，是中档题.本题解题的关键在于分2a ≥时和02a <<时两种情况分别讨论求解. 30．08a <≤ 【分析】设2()4g x x ax =--，求出函数()g x 的两个零点12,x x ，且12x x <，将函数()f x 化为分段函数，分类讨论a ，当0a ≤时，可知函数()f x 在区间(,2)-∞-上不可能单调递增；当0a >时，根据1x 的范围可知恒满足函数()f x 在区间(,2)-∞-上单调递增，根据解析式可知()f x 在[,)4a+∞上单调递增，再由24a≤可解得结果. 【详解】设2()4g x x ax =--，其判别式2160a ∆=+>，所以函数()g x 一定有两个零点， 设函数()g x 的两个零点为12,x x ，且12x x <，由240x ax --=得1x =2x =，所以函数2()|()|f x x g x =-=121224,,24,4,ax x x x ax x x x ax x x+<⎧⎪--≤≤⎨⎪+>⎩，①当0a ≤时，()f x 在1(,)x -∞上单调递减或为常函数，从而()f x 在(,2)-∞-不可能单调递增，故0a >，②当0a >时，12a x =02a <=，1222a x +=+4022a +==>，所以12x >-，所以120x -<<，因为()f x 在1(,)x -∞上单调递增，所以()f x 在(,2)-∞-上也单调递增，因为()f x 在2[,]4a x 和2(,)x +∞上都单调递增，且函数的图象是连续的，所以()f x 在[,)4a+∞上单调递增， 欲使()f x 在(2,)+∞上单调递增，只需24a≤，得8a ≤， 综上所述：实数a 的取值范围是08a <≤. 故答案为：08a <≤ 【点睛】关键点点睛：求解关键有2个：①利用2()4g x x ax =--的零点将函数()f x 化为分段函数；②分类讨论a ，利用分段函数的单调性求解. 31．(1) 1x ≤；(2) [0,2]；(3) [4,)+∞. 【分析】(1) 分段函数需分段讨论；(2) 先求方程()1f x =的实根，在结合函数的单调性求解； (3) 利用分离参数的方法，转化为函数的最大值问题. 【详解】(1) 当0x ≤时，由()20x x f x x ⋅=⋅≤得，0x ≤；当0x >时，由2()log 0x f x x x ⋅=⋅≤得，2log 0x ≤，解得01x <≤. 综上可知，不等式()0x f x ⋅≤的解集为{}|1x x ≤.(2) 解()1f x =得0x =或2x =，又函数2x y =为增函数，所以当0x <时，()21xf x =<，2log y x =为增函数，所以当2x >时，()1f x >，当02x <≤时，()1f x ≤，故若(,]x m ∈-∞时，()f x 的最大值为1，则m 的取值范围为[]0,2.(3)在(2)的条件下，有()1f x ≤恒成立，若2()(2)310f x m k m k ≤--+-恒成立， 只需2(2)3101m k m k --+-≥，对[]0,2m ∈恒成立.整理得22113m m k m+-≥--，令3t m =-，有[]1,3t ∈，3m t =-，()()23231148t t k t t t -+--⎛⎫≥-=-++ ⎪⎝⎭，又44t t +≥=，当且仅当2t =时等号成立， 所以48484t t ⎛⎫-++≤-+= ⎪⎝⎭，故4k ≥， 所以k 的取值范围为[)4,+∞. 32．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】作出()y f x =，()1y f x =-的大致图象，由()()1f x f x -<恒成立，利用数形结合可得到关于a 的不等式()91a a ---<，解不等式即可得解. 【详解】(),3,33,313,3313,3333x a a x ax a a x a x a a x a f x x a x a x a x a x a x a ---<<-⎧⎧+-<<⎪+-≤<⎪⎪==⎨⎨+≤-≥⎪⎪+≤-≥⎩⎪⎩或或作出函数()y f x =的图像，向右平移一个单位得到()1y f x =-的图像，如图所示.要使()()1f x f x -<恒成立，必有()91a a ---<，即18a <， 又0a >，所以108a <<. 故答案为：10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是正确作出函数()f x 的大致图象，然后根据函数()y f x =与()1y f x =-的图象的关系，数形结合判段a 的取值范围，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，属于较难题. 33．12,1⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】由分段函数及复合函数单调性的性质,可得t 的取值范围.再由分段函数单调性的性质,及数列的自变量取值特征,即可确定t 的取值范围. 【详解】数列{}n a 的通项公式为()()*N n a f n n =∈,若数列{}n a 是单调递减数列函数()()2214,3441518,3tx x f x tx t x t x -⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+-+-≥⎩当03,*n n N <<∈时, ()2144tn n a f n -⎛⎫==- ⎪⎝⎭.由复合函数单调性性质可知2y tn =-为单调递增函数.则0t >;当3,*n n N ≥∈时,()()241518n a f n tn t n t ==-+-+-为单调递减,则()04722t t t >⎧⎪-⎨-<⎪⨯-⎩,解得12t >当2n =时222144t a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭,当3n =时, ()3934151836a t t t t =-+-+-=-.因为数列{}n a 是单调递减数列所以满足2214364t t -⎛⎫->- ⎪⎝⎭恒成立而当1t =时,2214364t t -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 22144t y -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减,36y t =-单调递增由函数性质可知2214364t t -⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解集为1t <由以上可得t 满足0121t t t >⎧⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩,所以112t <<.即1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为:1,12⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查了数列的函数性质,分段函数单调性的综合应用,由数列的单调性求参数的取值范围.注意数列与函数的取值范围区别,不等式边界的选取也是解决问题的关键,属于难题. 34．[4,)+∞ 【解析】当2x ≤时．()()222312f x x x x =-+=-+，当且仅当1x =时．()f x 取得最小值2．当2x >时，若01a <<．则()1log 22a f x <+<．显然不满足题意．若1a >．要使()f x 存在最小值，必有1log 22a +≥．解得12a <≤．即448a <≤．()()4141log 42log 42log a a f a a a =+=+=+．由410log 2a <≤．可得212log a ≥．可得()44f a ≥．故答案为[)4,+∞. 35．2172或1或2利用函数解析式由内到外逐层计算可得()1f f ⎡⎤⎣⎦的值；分0a ≤和0a >解方程()5f a =-，综合可得出实数a 的值. 【详解】()2212,033,0x x f x x x x +≤⎧=⎨-->⎩，则()11335f =--=-，则()()1510122f f f ⎡⎤=-=-+=⎣⎦；当0a ≤时，()2125f a a =+=-，解得172a =-，合乎题意； 当0a >时，()2335f a a a =--=-，可得2320a a ，解得1a =或2.综上所述，172a =-或1或2. 故答案为：2；172或1或2.36．21-或14【分析】根据分段函数定义计算，注意自变量的取值范围，在已知1()2f a =求a 时要分类讨论． 【详解】121(1)2f --==，所以1211((1))()22f f f ⎛⎫-=== ⎪⎝⎭1()2f a =，若122x=，1x =-，符合题意，若1212x =，14x =也符合题意．故答案为：2；1-或14．37．2e -或52- (],1-∞- 【分析】分类讨论将a 代入()f x 进行求值即可，再根据恒成立问题的解法求得()f x 的最小值即可得解.若1a ≥-可得()ln(2)1f a a =+=， 所以2a e =-，满足题意， 若1a <-，()241f a a =--=， 所以52a =-，满足题意， 当1x ≥-，ln(2)0x +≥， 当1x <-，242x -->-， 根据题意可得22b -≥，所以1b ≤-. 故答案为：2e -或52-；(],1-∞-. 38．163,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】第一空：”根据“高斯函数”的定义，可得33,01()22,12x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩，进而再分类讨论建立方程求值即可；第二空：分类讨论建立不等式求解即可. 【详解】由题意，得33,01()22,12x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩， 当01x ≤<时，5332x -=，即16x =； 当12x ≤<时，5222x -=，即94x =(舍)，综上16x =；当01x ≤<时，33x x -≤，即314x ≤<，当12x ≤<时，22x x -≤，即12x ≤<， 综上，324x ≤<. 故答案为：16；3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭.关键点睛：求解分段函数相关问题的关键是“分段归类”，即应用分类讨论思想.39．①0 ②2]． 【分析】．1）若当x 11x -≤<时，()1f x =，则21x -=，则0x =若当12x ≤<时，()1f x =，则x e =，舍去． （2）当x 11x -≤<，()f x 的值域为1,22⎛⎤⎥⎝⎦，所以为使得值域为[]0,2，则ln x 的值能取到10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的所有值，且值域不能超出[]0,2．【详解】．1）分段讨论：若当x 11x -≤<时，()1f x =，则21x -=，则0x =若当12x ≤<时，()1f x =，则1lnx =，则x e =，不在定义域范围内，所以舍去 因此0x =（2）当x 11x -≤<，()f x 的值域为1,22⎛⎤⎥⎝⎦， 为使得值域为[]0,2，则ln x 的值域能取到10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的所有值，且值域不能超出[]0,2．所以122e a e ≤≤ ，即2a e ⎤∈⎦【点睛】本题考查分段函数定义域与值域的求解，关键分清自变量取值对值域取值的影响，属于难题． 40．非奇非偶 (){}1,12-⋃ 【分析】根据函数奇偶性定义，可判断函数[][]()sin ,1,12f x x x x π=+∈-是非奇非偶函数，再根据三角函数值域，可分段求解函数值域. 【详解】 （1）(1)110,(1)112f f -=-+==+=函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数.（2）由题意得[)(]1sin ,1,02()sin ,0,122,1x x xf x x x ππ⎧--∈-⎪⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎪⎩当[)1,0x ∈-时，函数()f x 是减函数，(0)()(1)f f x f <≤-得1()0f x -<≤； 当()0,1x ∈时，函数()f x 是增函数，(0)()(1)f f x f ∴<<，得0()1<<f x ； 当1x =时，()2f x =.综上得函数()f x 的值域为(){}1,12-⋃. ．．．．：①非奇非偶；② (){}1,12-⋃ 【点睛】本题考查具体函数的奇偶性定义，和新函数的值域求法，综合性较强，有一定难度. 41．（1）()36f =，()()20f f -=；（2）5. 【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算可得答案； （2）分类讨论，代入求解可得a 的值. 【详解】（1）因为()()()221(12)22x x f x x x x x ⎧+≤-⎪=-<<⎨⎪≥⎩，所以()3236,f =⨯=()2220,f -=-+=则()()200f f f -==⎡⎤⎣⎦.（2）当 1a ≤-时，()210f a a =+=，解得8a =（舍）；当1?2a -<<时，()210f a a ==，则a =；当2a ≥时，()210f a a ==，则5a =. 所以a 的值为5. 42．（1）14x >-；（2）12b ≤.【分析】（1）根据分段函数的表达式，分别讨论x 的取值范围，进行求解即可；（2）根据分段函数的表达式，分别讨论x 的取值范围，求出21()2f x x +的最小值，即可求得的b 取值范围. 【详解】（1）若0x ≤，则1122x -≤-，则1()()12f x f x +->等价为11112x x ++-+>，解得14x >-，此时014x -<≤；当0x >时，()21x f x =>，1122x ->-， 当102x ->即12x >时，满足1()()12f x f x +->恒成立，当11022x -<-≤，即102x <≤时，1111()12222f x x x -=-+=+>，此时1()()12f x f x +->恒成立.综上所述：14x >-. （2）若21,()2x f x x b ∀∈≥-+R 恒成立，即2min 1[()]2b f x x ≤+.令21()()2g x f x x =+， 当0x ≤时，22211111()()1(1)22222g x f x x x x x =+=++=++≥， 当0x >时，2211()()222x g x f x x x =+=+在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)1g x g >=， 综上，21()()2g x f x x =+的最小值是12，所以12b ≤. 43．（1）非奇非偶函数；（2）x 的值为4 【分析】（1）根据题意得出()1f x x x =-，然后得出()f x -与()f x -，再根据奇函数与偶函数性质即可得出结果；（2）根据题意将()2log 3f x =转化为22log log 120x x --=，然后分为2log 1x ≥、2log 1x <两种情况进行讨论，即可得出结果.【详解】（1）当1a =、0b =时，()1f x x x =-， 则()11f x x x x x -=---=-+，()1f x x x -=--， 因为()()f x f x ≠-，()()f x f x -≠-， 所以函数()f x 是非奇非偶函数.（2）当1a =、1b =时，()11f x x x =-+，()2log 3f x =，即22log log 113x x -+=，22log log 120x x --=，若2log 1x ≥，即2x ≥，()22log log 120x x --=，()222log log 20x x --=，()()22log 2log 10x x -+=，解得2log 2x =或2log 1x =-（舍去），即4x =； 若2log 1x <，即02x <<，()22log 1log 20x x --=，()222log log 20x x -+=，无解，综合所述，x 的值为4. 【点睛】关键点点睛：定义域关于y 轴对称的函数()f x ，若函数()f x 满足()()f x f x =-，则函数()f x 是偶函数，若函数()f x 满足()()f x f x -=-，则函数()f x 是奇函数.44．（1）0x =；（2）{|>x x .【分析】（1））当02x ≤时，根据解析式求出0x ，当02x >时，求出对应的0x ，判断0x 是否符合要求，进而即可求解.（2）根据分段函数对x 进行分类讨论，分别求出2x ≤和2x >时的满足()8f x >的范围，进而求解即可.【详解】（1）当02x ≤时，由02=8x ，得04x =，不符合题意；当02x >时，由2028+=x，得0x0x =(舍去)，故0x （2）()8f x >等价于228x x ≤⎧⎨>⎩ ——①或2228x x >⎧⎨+>⎩——②解①得x φ∈，解②得>x综合①②知()8f x >的解集为{|>x x .【点睛】本题考查了分段函数的应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，分类讨论的数学思想，属于一般题目. 45．（1）12(())33f f =，4455f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）()()2221(),1(1)1(1),11(1)x a a x a a a f f x x a a x a a ⎧-<<-+⎪-⎪=⎨⎪--+≤≤⎪-⎩；211x a a =-++是()f x 的回旋点（3）见解析，121a x a a =-++，2211x a a =-++. 【分析】（1）利用函数解析式即可求出13f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和45f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）由1a x <≤得出()()111f x x a=--，讨论21a x a a <<-+和211a a x -+≤≤时，()()f f x 的解析式，即可得出当(],1x a ∈时，函数(())y f f x =的解析式；再根据题设中回旋点的定义，分段讨论，得出()f x 回旋点；（3）将0x a ≤≤分成20x a ≤≤和2a x a <≤两种情况进行讨论，得出[]0,x a ∈内()f x 的回旋点，结合（2）中得出的(],1x a ∈内()f x 的回旋点，即可证明函数()f x 在[]0,1x ∈有且仅有两个回旋点. 【详解】解：（1）当12a =时，()()1 2,02121,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩∴121222(),(())()2(1)333333f f f f ==-=＝ 44221555f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴422425555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）f x 中[]0,1x ∈时，值域也是0,1又1a x <≤，()0,1a ∈()()111f x x a∴=-- 由()1111a x a<-≤-，得21a x a a <<-+ ∴当21a x a a <<-+时，()()21111(1)()11(1)f f x x x a a a a ⎡⎤=--=-⎢⎥---⎣⎦ 同理，当211a a x -+≤≤时，()10()11f x x a a≤=-≤- ()()f f x ∴=()()111111(1)x x a a a a ⎡⎤⨯-=-⎢⎥--⎣⎦∴当(],1x a ∈时，()()2221(),1(1)1(1),11(1)x a a x a a a f f x x a a x a a ⎧-<<-+⎪-⎪=⎨⎪--+≤≤⎪-⎩当21a x a a <<-+，由21()(1)x a x a -=-得12x a=∈-2(,1)a a a -+ 1111(1)2122f a a a a ⎛⎫∴=-= ⎪----⎝⎭，故12x a =-不是()f x 的回旋点. 当211a a x -+≤≤时， 由()11(1)x x a a -=-得211x a a =∈-++]2(1,1a a -+。

高二数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.设函数，则使得成立的的取值范围是 .【答案】.【解析】，即.【考点】分段函数、解不等式.2.已知函数．（1）求证：；（2）解不等式【答案】（1）利用分段函数的三段论来得到结论。

（2）【解析】（1），又当时，，∴（2）当时，；当时，；当时，综合上述，不等式的解集为：【考点】二次不等式点评：主要是考查了绝对值不等式以及二次不等式的求解，属于基础题。

3.下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据奇偶函数的定义，为奇函数的有，，但在是增函数，故选B。

【考点】函数的奇偶性、单调性，复合函数的单调性。

点评：简单题，复合函数的单调性遵循“内外层函数，同增异减”。

4.函数f(x)= ，则+ f ( 1 )=【答案】4【解析】，，则+ f ( 1 )=4【考点】分段函数点评：在分段函数中，不管是求出函数值，还是求出自变量，需分清自变量的范围。

5.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点个数为()A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由于函数f(x)＝，那么当x<0时，则可知x(x+4)=0,x=-4,满足题意，因此可知成立。

同时当，=0，x=0,x=4,有两个零点，综上可知共有3个零点,故选C.【考点】函数的零点点评：解决的关键是对于分段函数的各段的零点分别讨论求解得到结论，属于基础题。

易错点就是忽略了定义域的范围，造成多解。

6.已知函数，，且，当时，是增函数，设，，，则、、的大小顺序是（）。

A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，由于函数，，且，可知x=2是函数的对称轴，同时当时，是增函数，当x<2是减函数，那么对于∴1＜＜2，＜1，,∴a=f（）＜f（1）=c=f（）＜b=f（），故选B【考点】抽象函数的性质点评：根据题意得到函数的对称轴方程，以及函数的单调性，是解决的关键，属于基础题。

7.已知函数，则 .【答案】2【解析】8.（本题满分12分）已知函数是定义在的增函数，且满足（1）求（2）求满足的x的取值范围.【答案】（1）取得f(1)=0；(2) 且，解得【解析】本题主要考查抽象函数问题，赋值法是解决抽象函数问题的一种很重要的方法，利用函数的单调性去掉函数的对应法则解决函数不等式也是一种常用的方法。