非线性系统分析习题
第2章
2-1 电路如题图2-1所示，若11tanh 2u i =，2
23
22i i +=ψ，33ln u q =，试讨论对下列各组
变量：（1）2i 和3u ；（2）2i 和3q ；（3）2ψ和3u ；（4）2ψ和3q ；是否存在标准形式的状态方程？若存在，请导出该状态方程。
题图 2-1
2i 和3u 存在标准状态方程
323
3212222))2(tan (231
dt u i dt
du u i u i i di s =--+=-
2-2 题图2-2所示电路，非线性电阻的特性为：2
2223R R R u u i -=，试导出电路的状态方程。
题图 2-2
L C C L C C L C L s C i L
R u L u L dt di u u C i C du i C i C du 2212
222221
111
1)3(11dt 1
1dt --=--=-= 2-3 试确定下列函数是否满足全局Lipschitz 条件 （1）2
211212()[2]T f x x x x x x =--可能不满足 （2）2
2
2
112()[]x x T f x x e x e --=满足
2-4 Van der pol 方程可以用状态方程描述为
122
2112(1)x x x
x x x ε=⎧⎨=-+-⎩ 试证明，任取初始条件1020x x ，，对于某些充分小的δ，状态方程在[0]δ上有唯一解。
2-5 考虑标量微分方程
0tan(()),(0)x
x t x x ==
试证明微分方程对于任意0x ，在区间[0,)∞上具有唯一解。
2-6 已知非线性系统的状态方程为
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-t te x x x x x t dt dx dt dx 22212131
213tanh 43
试判断该状态方程是否有唯一解。 当00,0t t t ≥>时有唯一解 2-7 试求下列电路状态方程的平衡点。
（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=dxy by dt dy cxy ax dt dx （0，0） （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++-=222
2y x y x dt dy y x x y dt
dx （0，0）
（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==3x x dt dy y dt
dx
（0，0）；（1，0）；（-1，0）
（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1sin 2x dt
dy y dt
dx
,2,1,0)
,1();k 1±±=-k k ππ，（
（5）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=+3
1dy by dt
dy e dt
dx y
x (0,0)；0,0d
b
)d b
,d b ();
d b ,d b (≠>-
-d
第3章
3-1 分别取5.0=ε，2=ε，用等倾线法绘出范德坡方程的轨线。设初值为：
（1）3)0(,3)0(-==x
x ;（2）1)0(,0)0(-==x x ;(3) 3)0(,3.2)0(=-=x x 。 3-2 用liénard 作图法绘出5.0=ε时，范德坡方程初值为3)0(,3)0(-==x
x 的轨线。 3-3 试证明在ε3-4 试确定下列线性微分方程组奇点的类型，并定性作出相图。
（1）⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 3212； 稳定结点 （2）⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 2223；鞍点 （3）⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 3212 ； 不稳定结点 （4）⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 3001； 稳定结点 （5）⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 3002； 鞍点 （6）⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 1224； 非初等奇点，轨线趋于奇线 （7）⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 2412； 非初等奇点，轨线平行于奇线
（8）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 3002； 不稳定结点 （9）⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 0210; 中心 (10) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 1331 不稳定焦点 3-5 试求下列各非线性状态方程平衡点处的线性化系统，并决定该平衡点的类型。
（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=xy y dt
dy xy x dt
dx
平衡点（0，0）
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==y dt dy x dt dx
鞍点 （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++-=222
2y x y x dt dy y x x y dt
dx
平衡点（0，0）
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-=x dt
dy y dt dx
中心、焦点或中心焦点之一 （3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==3x x dt
dy y dt dx 平衡点（0，0），⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x
dt dy y dt dx 鞍点
（1，0），（-1，0）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∆-=∆∆=∆x dt
y d y dt x
d 中心、焦点或中心焦点之一 （4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=+21y y dt
dy e dt dx y x 平衡点（0，0）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=y dt dy y x dt dx 不稳定退化结点
3-6 考察下列非线性系统是否存在极限环，如存在极限环，通过极坐标变换来判断极限环的稳定性。
