205第六章 向量代数与空间解析几何在平面解析几何中，通过平面直角坐标系建立了平面上的点与二元有序实数对之间的一一对应关系，从而可以用代数方法来研究几何问题，这为一元微积分学提供了直观的几何背景．空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的，并为研究多元函数微积分学提供直观的几何背景．本章先引进向量的概念，根据向量的线性运算建立空间直角坐标系，然后利用坐标讨论向量的运算，并利用向量工具讨论空间中的平面和直线、空间曲线和曲面的有关内容．第一节 向量及其线性运算一、向量的概念在研究力学以及其他应用科学时，常会遇到这样一类量，它们既有大小，又有方向．例如力、力矩、位移、速度、加速度等，这一类量叫做向量（或矢量）．在数学上，用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作AB −−→（图6-1）．向量也可用黑粗体字母表示，也可在字母上加箭头表示，例如，a ，r ，F 或a →，→r ，→F ．由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量，简称向量．因此，如果向量a 和b 的大小相等，且方向相同，则说向量a 和b 是相等的，记为=a b ．相等的向量经过平移后可以完全重合．向量的大小叫做向量的模．向量a ，→a ，AB −−→的模分别记为||a ，||→a ，||AB −−→．模等于1的向量叫做单位向量．模等于0的向量叫做零向量，记作0或→0．零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的．与a 的模相等而方向相反的向量，称为a 的负向量，记作-a ．设a 和b 为非零向量，在空间中任取一点O ，作OA −−→=a ，OB b −−→=，规定不超过π的AOB ∠（即0AOB ≤∠≤π）称为向量a 和b 的夹角（图6-2），记作(,)∧a b 或(,)∧b a ．如果a 和b 中有一个为零向量，规定它们的夹角可在0与π之间任意取值．若(,)0∧=a b 或π，即向量a 和b 的方向相同或相反，则称这两个向量平行，记作a //b ．可认为零向量与任何向量都平行．若(,)∧=a b 2π，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ．也可认为零向量与任何向量都垂直．当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共的起点在一条直线上．因此，两向量平行又称两向量共线．206 类似还有向量共面的概念，设有(3)k k ≥个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果k 个终点和公共起点在一个平面上，就称这k 个向量共面．二、向量的线性运算1．向量的加法向量的加法运算规定如下：设有两个向量a 与b ，任取一点A ，作AB −−→=a ，再以B 为起点，作BC −−→=b ，连接AC ，（图6-3），那么向量AC −−→=c 称为向量a 与b 的和，记作+a b ，即=+c a b ．上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则．向量加法还满足如下平行四边形法则（图6-4）：当向量a 与b 不平行时，平移向量a ，使a 与b 的起点重合，以a ，b 为邻边作一平行四边形，从公共起点到对角的顶点C 的向量等于向量a 与b 的和+a b ．向量的加法满足下列运算规律： （1）交换律 +=+a b b a ；（2）结合律 ()()++=++a b c a b c ．由于向量的加法符合交换律与结合律，故n 个向量12,,n a a a (3)n ≥相加可写成12+++n a a a ,并按向量相加的三角形法则，可得n 个向量相加的法则如下：使前一向量的终点作为次一向量的起点，相继作向量12,n a a a ，再以第一向量的起点为起点，最后一向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求的和．我们规定两个向量b 与a 的差为()-=+-b a b a （图6-5）． 特别地，当=b a 时，有()-=+-=a a a a 0．显然，任给向量AB −−→及点O ，有AB AO OB OB OA −−→−−→−−→−−→−−→=+=-，因此，若把向量a 与b 移到同一起点O ，则从a 的终点A 向b 的终点B 所引向量AB −−→便是向量b 与a 的差-b a ．由三角形两边之和大于第三边的原理，有+≤+a b a b 及 -≤+a b a b ， 其中等号在b 与a 同向或反向时成立．2．向量与数的乘法向量a 与实数λ的乘积记作λa ，规定λa 是一个向量，它的模为207λλ=a a ．当0λ>时，向量λa 与a 的方向相同，当0λ<时，向量λa 与a 的方向相反．当0λ= 时，0λ=a ，即λa 为零向量，这时它的方向可以是任意的． 特别地，当1λ=±时，有1,(1)=-=-a a a a ． 向量与数的乘积运算满足下列运算规律：（1）结合律 ()()()λμμλλμ==a a a ； （2）分配律 ()λμλμ+=+a a a ；()λλλ+=+a b a b ．向量加法与数乘运算统称为向量的线性运算．●●例1 化简13525-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭b a a b b ． 解 13525-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭b a a b b 51(13)1525⎛⎫=-+--+⋅ ⎪⎝⎭a b 522=--a b ． ●●例2 设在平面上给了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：KL NM −−→−−→=．证 如图6-6所示，连结AC ，则在BAC ∆中，KL −−→=12AC −−→；在DAC ∆中，NM −−→=12AC −−→．所以KL NM −−→−−→=． 设≠0a ，则向量||aa 是与a 同方向的单位向量，记为a e ．于是||=a a a e ．由向量的数乘运算知向量λa 与a 平行，因此有如下定理：设向量≠0a ，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使λ=b a ．证 条件的充分性是显然的，下面证明条件的必要性．设b //a ．取||a b ||||=λ，当b 与a 同向时λ取正值；当b 与a 反向时λ取负值，即λ=b a ．这是因为此时b 与a 同向，且λλ===ba a ab a． 再证明实数λ的唯一性．设λ=b a ，又设μ=b a ，两式相减，得()λμ-=0a ，即 0λμ-=a ．因0≠a ，故0λμ-=，即λμ=．定理获证．定理1是建立数轴的理论依据，我们知道，给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴．设点O 及单位向量i 确定了数轴Ox ，对于数轴上任一点P ，对应一个向量OP −−→，由OP //i ，根据定理1，必有唯一的实数x ，使OP x −−→=i ，（实数x 叫做数轴上有向线段OP −−→的值），并知OP −−→与实数x 一一对应．于是点P向量OP x −−→=i 实数x ，从而数轴上的点P 与实数x 有一一对应的关系．据此，定义实数x 为数轴上点P 的坐标．208 由此可知，数轴上点P 的坐标为x 的充分必要条件是OP x −−→=i ．三、空间直角坐标系在空间取定一点O 和3个两两垂直的单位向量i ，j ，k ，就确定了3条都以O 为原点的两两垂直的数轴，依次记为x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），统称为坐标轴．它们构成一个空间直角坐标系，称为Oxyz 坐标系或[];,,O i j k 坐标系．通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线，它们的正向通常符合右手规则，即用右手握住z 轴，其余四指从正向x 轴以π2角度转向正向y 轴时，大拇指所指的方向为z 轴的正向，如图6-7所示．在空间直角坐标系中，任意两个坐标轴可以确定一个平面，这种平面称为坐标面．x 轴及y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面，另两个由y 轴及z 轴和z 轴及x 轴所确定的坐标面分别叫做yOz 面和zOx 面．3个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限，含有3个正半轴的卦限叫做第一卦限，在xOy 面的上方，按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限．在xOy 面的下方，与第一卦限对应的是第五卦限，按逆时针方向分别是第六卦限、第七卦限和第八卦限．八个卦限分别用字母I ，II ，III ，IV ，V ，VI ，VII ，VIII 表示（图6-8）．设M 为空间一点，过点M 作3个平面分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴，它们与x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为P 、Q 、R （图6-9），这3点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标依次为x ，y ，z ．于是空间点M 就唯一地确定了一个有序数组(,,)x y z ．反之，若已知一个有序数组(,,)x y z ，我们可以在x 轴上取坐标为x 的点P ，在y 轴上取坐标为y 的点Q ，在z 轴上取坐标为z 的点R ，然后通过P ，Q ，R 分别作与x 轴、y 轴、z 轴垂直的平面，由这3个平面得到唯一的交点M （图6-9）．用上述方法，我们建立了空间点与三元有序数组之间的一一对应关系．这组数,,x y z 叫做点M 的坐标，并依次称,x y 和z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．点M 通常记作(,,)M x y z ．记OM −−→=r ，则=r OM OP PN NM OP OQ OR −−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→=++=++，设OP x −−→=i ，OQ y −−→=j ，OR z −−→=k ，则OM x y z −−→==++r i j k ．上式称为向量r 的坐标分解式，x i ，y j ，z k 称为向量r 沿3个坐标轴方向的分向量．有序数,,x y z 称为向量r 在坐标系Oxyz 中的坐标，记作r (,,)x y z =．向量OM −−→=r 称为点M 关于原点O 的向径．上述定义表明，一个点与该点的向径有相同209的坐标．记号(,,)x y z 既表示点M ，又表示向量OM −−→．究竟何时表示点，何时表示向量要看具体的情况．坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征．例如：点M 在xOy 面上，则0=z ；类似地，点M 在yOz 面上，则0=x ；点M 在zOx 面上，则0=y ．如果点M 在x 轴上，则0==y z ；同样，点M 在y 轴上，有0z x ==；点M 在z 轴上，有0x y ==．如果点M 为原点，则x =y 0z ==．四、利用坐标作向量的线性运算利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：设(,,)x y z a a a =a ，(,,)x y z b b b =b ，即x y z a a a =++a i j k ， x y z b b b =++b i j k ，则加法：()()()x x y y z z a b a b a b +=+++++a b i j k ； 减法：()()()x x y y z z a b a b a b -=-+-+-a b i j k ； 数乘：()()()x y z a a a λλλλ=++a i j k （λ为实数） 或(,,)x x y y z z a b a b a b +=+++a b ， (,,)x x y y z z a b a b a b -=---a b ，(,,)x y z a a a λλλλ=a ．由此可见，对向量进行加、减及与数相乘，只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了．由定理1可知：若≠0a 时，向量//b a 相当于λ=b a （λ为实数），即(,,)(,,),x y z x y z b b b a a a λ= 也相当于向量的对应坐标成比例，即.y x zx y zb b b a a a == ●●例3 求解以向量为未知元的线性方程组53,32-=⎧⎨-=⎩x y a x y b ，其中(2,1,2)=a ，(1,1,2)=--b ．解 如同解二元一次线性方程组，可得23,35=-=-x a b y a b ．以a 、b 的坐标表示式代入，即得2(2,1,2)3(1,1,2)(7,1,10)x =---=-， 3(2,1,2)5(1,1,2)(11,2,16)=---=-y ．●●例4 已知两点111(,,)A x y z 和222(,,)B x y z 以及实数1λ≠-，在直线AB 上求一点M ，使AM MB λ−−→−−→=．解法1 如图6-10所示，由于AM OM OA −−→−−→−−→=-，MB OB OM −−→−−→−−→=-，因此 ()OM OA OB OM λ−−→−−→−−→−−→-=-，210 从而 1()1OM OA OB λλ−−→−−→−−→=++ 121212( , , )111x x y y z z λλλλλλ+++=+++，这就是点M 的坐标．解法2 设所求点为(,,)M x y z ，则111(, , )AM OM OA x x y y z z −−→−−→−−→=-=---，222(, , )MB OB OM x x y y z z −−→−−→−−→=-=---．依题意有AM MB λ−−→−−→=，即111222(,,)(,,)λ---=---x x y y z z x x y y z z ， 则有111222(,,)(,,)(,,)(,,)λλ-=-x y z x y z x y z x y z ，故) , ,(11) , ,(212121z z y y x x z y x λλλλ++++=，从而 λλ++=121x x x ，121y y y λλ+=+，λλ++=121z z z ．点M 叫做有向线段AB −−→的λ分点，当1λ=时，点M 是有向线段AB −−→的中点，其坐标为221x x x +=，221y y y +=，221z z z +=．五、向量的模、方向角、投影1．向量的模与两点间的距离公式设向量r =(,,)x y z ，作OM −−→=r （图6-9），则OM OP OQ OR −−→−−→−−→−−→==++r ，按勾股定理可得||||OM −−→==r因为OP x −−→=i ，OQ y −−→=j ，OR z −−→=k ，所以||,||,||OP x OQ y OR z −−→−−→−−→===，于是得向量模的坐标表示式222||z y x ++=r ．设有点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z , 则222111212121 (,,)(,,)(,,)−−→−−→−−→=-=-=---AB OB OA x y z x y z x x y y z z ，于是A 、B 两点间的距离为||||AB AB −−→==●●例5 求证：以(1,2,3)A ，(2,1,4)B ，(4,2,1)C --为顶点的三角形是直角三角形． 证 因为2222(21)(12)(43)3AB =-+-+-=， 2222(41)(22)(13)41AC =-+--+--=， 2222(42)(21)(14)38BC =-+--+--=，211所以，2233841AB BC +=+=，又因为241AC =，根据勾股定理可知，ABC ∆是直角三角形．●●例6 设点P 在x轴上，它到点1P 的距离为到点2(0,1,1)P -的距离的两倍，求点P 的坐标．解 因为点P 在x 轴上，故可设点P 的坐标为(,0,0)x ，则1PP =，2PP =由于122PP PP=，即，解之得1x =±．从而所求点P 的坐标为(1,0,0)或(1,0,0)-．●●例7 已知两点(1,0,3)A 和(3,1,1)B ，求与AB −−→方向相同的单位向量e ． 解 因为 (3,1,1)(1,0,3)(2,1,2)AB OB OA −−→−−→−−→=-=-=-,所以，||3AB −−→=，从而 =e 1(2,1,2)3||ABAB −−→−−→=-． 2．方向角与方向余弦非零向量r =(,,)x y z 分别与x 轴、y 轴、z 轴的夹角αβγ、、称为向量r 的方向角（图6-11）．c o s,c o s ,c o s αβγ称为向量r 的方向余弦．则||cos ,||cos ,||cos x y z αβγ===r r r ．cos ||x α=r ，cos ||y β=r ，cos ||zγ=r ．从而1(cos , cos , cos )||r αβγ==r e r ． 上式表明，以向量r 的方向余弦为坐标的向量就是与r 同方向的单位向量r e ，而且有222cos cos cos 1αβγ++=．●●例8 已知两点A )和 (1, 3, 0)B ，求向量AB −−→的模、方向余弦和方向角． 解因为(12, 32, 0(1, 1, AB −−→=---=-， 所以||2)2AB −−→=，从而(cos , cos , cos )||ABAB αβγ−−→−−→=，即 1cos 2α=-，1cos 2β=，cos γ=，故 α=23π，β=3π，γ= 34π．212 ●●例9 设向量12P P −−→与x 轴和y 轴的夹角分别为3π和4π，而且122|PP |−−→=，如果点1P 的坐标为(1,0,3)，求点2P 的坐标．解 设点2P 的坐标为(,,)x y z ，则12P P −−→的坐标为(1,0,3)x y z ---，又设向量12P P −−→的方向角为α、β、γ，由题设可得α=3π，1cos 2α=，β=4π，cos β= 因为222cos cos cos 1αβγ++=，所以1cos 2γ=±．即γ=3π或γ=23π．由121cos x |PP |α−−→-= 可得12x -12=，解之得2x =，由120cos y |PP |β−−→-= 可得02y-=y = 由123cos z |PP |γ−−→-=可得32z -12=±，解之得4z =或2z =． 故点2P的坐标为或．3．向量在轴上的投影设点O 及单位向量e 确定u 轴（图6-12）．任给向量r ，作OM −−→=r ，再过点M 作与u 轴垂直的平面交u 轴于点M '（点M '叫作点M 在u 轴上的投影），则向量OM −−→'称为向量r 在u 轴上的分向量．设OM −−→'λ=e ，则数λ称为向量r 在u 轴上的投影，记作Pr j u r 或()u r ． 按此定义，向量a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标,,x y z a a a 就是a 在3条坐标轴上的投影，即Pr j ,Pr j ,Pr j x x y y z z a a a ===a a a ．投影的性质：性质1 ()cos u a a ϕ=（即Pr j cos u a a ϕ=），其中ϕ为向量a 与u 轴的夹角． 性质2 ()()()u u u a b a b +=+（即Pr j ()Pr j Pr j u u u a b a b +=+）．性质3 ()()u u a a λλ=（即Pr j ()Pr j u u a a λλ=）．习 题 6-11．在平行四边形ABCD 中，设a −−→=AB ，AD −−→=b ，试用a 和b 表示向量MA −−→、MB −−→、MC −−→、MD −−→，其中M 是平行四边形对角线的交点．2．若四边形的对角线互相平分，用向量方法证明它是平行四边形．2133．求起点为(1,2,1)A ，终点为(19,18,1)B --的向量AB −−→与12AB -的坐标表达式．4．求平行于(1,1,1)=a 的单位向量．5．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)A B C D ------6．求点(,,)M x y z 与x 轴，xOy 平面及原点的对称点坐标．7．已知点(,,)A a b c ，求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐标）．8．过点(,,)P a b c 分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面，问它们上面的点的坐标各有什么特点？9．求点(2,5,4)P -到原点、各坐标轴和各坐标面的距离．10．求证以1(4,3,1)M 、2(7,1,2)M 、3(5,2,3)M 3点为顶点的三角形是一个等腰三角形． 11．在yOz 坐标面上，求与三个点(3,1,2),(4,2,2),(0,5,1)A B C --等距离的点的坐标． 12．z 轴上，求与点(4,1,7)-A ，点(3,5,2)-B 等距离的点． 13．求λ使向量(,1,5)λ=a 与向量(2,10,50)=b 平行． 14．求与y 轴反向，模为10的向量a 的坐标表达式．15．求与向量(1,5,6)=a 平行，模为10的向量b 的坐标表达式． 16．已知向量6410=-+a i j k ，349=+-b i j k ，试求： （1）2+a b ； （2）32-a b ．17．已知两点A ，(3,0,4)B ，求向量AB −−→的模、方向余弦和方向角．18．设向量的方向角为α，β，γ．若已知π3α=，2π3β=．求γ．19．已知3点(1,0,0)A =，(3,1,1)B ，(2,0,1)C ，求：（1）BC −−→与CA −−→及其模；（2）BC −−→的方向余弦、方向角；（3）与BC −−→同向的单位向量． 20．设23=++m i j k ，23=+-n i j k ，34=-+p i j k ，求向量23=+-a m n p 在x 轴上的投影和在y 轴上的分向量．21．一向量的终点为点(2,1,4)B --,它在x 轴，y 轴和z 轴上的投影依次为3，-3和8， 求这向量起点A 的坐标．22．已知向量a 的两个方向余弦为2cos 7α=，3cos 7β=，且a 与z 轴的方向角是钝角．求cos γ．23．设有三个力12=-F i k ，2234=-+F i j k ，3=+F j k 作用于同一质点，求合力的大小和方向角．214 第二节 数量积 向量积 混合积*一、向量的数量积1．数量积的定义设一物体在常力F 作用下沿直线从点1M 移动到点2M ，以s 表示位移12M M −−→． 由物理学知道, 力F 所作的功为cos θ=W F s , 其中θ为F 与s 的夹角（图6-13）．在现实生活中还有很多问题的求解都归结于求两个向量a 和b 的模||a 、||b 及它们的夹角θ的余弦的乘积，我们称之为向量a 和b 的数量积，记作a b ⋅（图6-14），即cos θ⋅=a b a b ．由数量积的定义可以知道,力F 所作的功是力F 与位移s 这两个向量的数量积，即W =⋅F s ，下面我们来讨论数量积的一些性质．2．数量积的性质性质 1 当a ≠0时，Pr j ⋅=a a b a b ；当b ≠0时，Pr j ⋅=b a b b a ．这就是说，两向量的的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这个向量上的投影的乘积.由向量投影的定义即可证明，证明略．性质2 2⋅=a a a ．证 因为向量a 与自身的夹角0θ=，所以 2cos θ⋅==a a a a a ．性质3 两个向量a 与b 垂直的充要条件是0⋅a b =．证 若向量a 与b 中至少有一个为零向量时，由于零向量的方向可以看作是任意的，故可以认为零向量与任何向量都垂直，上述结论显然成立．如果向量a 与b 均不为零向量时，则a 与b 均不为零，故当0⋅=a b 时一定有cos 0θ=，从而θ=π2，即a ⊥b ； 反之，如果a ⊥b ，那么π2θ=，cos 0θ=，于是cos 0θ⋅==a b a b ． 3．数量积满足的运算规律（1） 交换律 a b b a ⋅=⋅．（2） 分配律 ()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．（3） 结合律 ()()a b a b λλ⋅=⋅, ()()()a b a b λμλμ⋅=⋅ （λ、μ 为常数）． 证 下面只证明分配律()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅，余下的证明留给读者． 当0c =时，上式显然成立，当0c ≠时，由性质1及投影的性质有()P r ()(P r P r )c c c j j j +⋅=+=+a b c c a b c ab Pr Prc c j j =+=⋅+⋅c a c b a c b c ．●●例1 试用向量证明三角形的余弦定理．215证 设在ABC ∆中，BCA θ∠=，=BC a ，CA b =，AB c =（图6-15），要证2222cos θ=+-c a b ab ．记CB −−→=a ，CA −−→=b ，AB −−→=c ， 则有 =-c a b ，从而2()()2=⋅=-⋅-=⋅+⋅-⋅c c c a b a b a a b b a b222cos(,).=+-a b a b a b即2222cos θ=+-c a b ab ．4．数量积的坐标表示设 ()x y z a ,a ,a a =，()x y z b ,b ,b =b ，则按数量积的运算规律可得()()x y z x y z x x x y x z y x y y y z z x z y z z a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⋅=++⋅++=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅a b i j k i j ki i i j i k j i j j j k k i k j k k因为i j k 、、是两两互相垂直的单位向量，所以0⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=i j j i j k k j k i i k ，1⋅=⋅=⋅=i i j j k k ．从而a b ⋅=++x x y y z z a b a b a b ．这就是两个向量的数量积的坐标表示式.5．两向量夹角的余弦的坐标表示设(,)θ∧=a b 则当,≠≠00a b 时, 由数量积的定义cos θ⋅=⋅a b a b 有cos ||||a b a b a b θ++⋅==⋅a ba b ． ●●例2 已知(1,1,4)=-a ，(1,2,2)=-b ，求（1）⋅a b ； （2）a 与b 的夹角； （3）a 在b 上的投影． 解 （1）⋅a b 111(2)(4)2=⋅+⋅-+-⋅9.=-（2）因为cos a b a b a b θ++==θ=3π4． （3）因为||Prj ⋅=b a b b a ，所以 P rj 3||⋅==-b a ba b ． 二、向量的向量积1．向量积的定义在研究物体转动问题时，不但要考虑这物体所受的力，还要分析这些力所产生的力矩． 设O 为一根杠杆L 的支点，有一个力F 作用于这杠杆上P 点处． F 与OP −−→的夹角为θ（图6-16）．由力学规定，力F 对支点O 的力矩是一向量M , 它的模sin |||OP |||θ−−→=M F , 而M 的方向垂直于OP −−→与F 所决定的平面, M 的指向是按右手规则从OP −−→以不超过π的角转向F 来确定的（图6-17）．216设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出：（1）c 的模：sin θ=c a b ，其中θ为a 与b 间的夹角；（2）c 的方向：垂直于a 与b 所决定的平面，c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定（图6-18）．那么，向量c 叫做向量a 与b 的向量积，记作⨯a b ，即=⨯c a b．根据向量积的定义，力矩M 等于OP −−→与F 的向量积，即OP −−→=⨯M F ．2．向量积的性质性质1 ×0a a =．性质2 两个向量//a b 的充要条件是×0a b =．证 若向量a 与b 中至少有一个为零向量时，由于零向量的方向可以看作是任意的，故由于可以认为零向量与任何向量都平行，上述结论显然成立．如果向量a 与b 均不为零向量时，则a 与b 均不为零，故当×0a b =时一定有sin 0θ=，从而0θ=或πθ=，即//a b ；反之，如果//a b ，那么0θ=或πθ=，则sin 0θ=，于是×0a b =．3．向量积的运算规律（1）反交换律 ⨯=-⨯a b b a ．（2）分配律 ()+⨯=⨯+⨯a b c a c b c ．（3）结合律 ()()()λλλ⨯=⨯=⨯a b a b a b （λ为数）．4．向量积的坐标表示设x y z a a a =++a i j k ，x y z b b b b =i +j +k ， 按向量积的运算规律可得()()x y z x y z x x x y x z y x y y y z z x z y z z a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯a b i j k i j k i i i j i k j i j j j k k i k j k k由于⨯=⨯=⨯=0i i j j k k ，,,⨯=⨯=⨯=i j k j k i k i j ---⨯⨯⨯,j i =k,k j =i,i k =j ，所以()()()y z z y z x x z x y y x a b a b a b a b a b a b ⨯=-+-+-a b i j k ．217为了帮助记忆, 利用三阶行列式, 上式可写成x yz x yza a ab b b ⨯=i jk a b ． ●●例3 设向量2a i j k =+-，23b j k =+．计算a b ⨯，并计算以a ，为b 邻边的平行四边形的面积．解 121023i j ka b ⨯=-211112230302i j k --=-+832i j k =-+．根据向量积的模的几何意义，a b ⨯的模在数值上就是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积．因而其面积S 为S ||=⨯a b●●例4 求同时垂直于向量(=-a解 记368(803)010,,=⨯=-=--i j kb a j ，故同时垂直于向量a 与y 轴的单位向量为803),,±=--b b ． ●●例5 用向量方法证明：三角形的正弦定理sin a A ＝sin bB ＝sin c C． 证 如图6-19所示，在ABC ∆中，设−−→=BC a ，CA −−→=b ，−−→=AB c ，且=a a ，b =b ，c =c , 则0++=a b c ，从而()=-+c a b ，因此()⨯=-+⨯=-⨯=⨯0c a a b a b a a b ，同理可得⨯=⨯b c a b ，所以⨯=⨯=⨯b c c a a b ．故 ⨯=⨯=⨯b c c a a b ，即 sin sin sin bc A ca B ab C ==，于是sin a A ＝sin bB ＝sin c C． 三、向量的混合积*1．向量的混合积的定义已知3个向量a 、b 、c ，向量a b ⨯与向量c 的数量积()⨯⋅a b c 称为这3个向量的混合积，记为[]abc ．2．混合积的坐标表示设 (,,)x y z a a a =a ，(,,)x y z b b b =b ，(,,)x y z c c c =c ，因为218 xy z x y za a ab b b ⨯=ij ka b yz x yx zyz x yx z a a a a a a b b b b b b =-+i j k ． 再按两向量的数量积的坐标表达式可得[]()=⨯⋅abc a b c yz x yx zxy zy z x yx za a a a a a c c cb b b b b b =-+xy zx y z x y za a ab b bc c c =． 由上述坐标表达式不难验证 []()()()=⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅a b ca b c b c a c a b ． 3．向量的混合积的几何意义向量的混合积[]()=⨯⋅abc a b c 的绝对值表示以向量,,a b c 为棱的平行六面体的体积．如果向量,,a b c 组成右手系（即c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定），那么混合积的符号是正的；如果向量,,a b c 组成左手系（即c 的指向按左手规则从a 转向b 来确定），那么混合积的符号是负的．下面我们来解释这一问题．一方面，设−−→OA =a ，−−→OB =b ，−−→OC =c ，按向量积的定义，向量积a b f ⨯=是一个向量，它的模在数值上等于向量a 和b 为边所作的平行四边形OADB 的面积，它的方向垂直于这平行四边形的平面，且当,,a b c 组成右手系时，向量f 与向量c 朝着这平面的同侧（图6-20）；当,,a b c 组成左手系时，向量f 与向量c 朝着这平面的异侧．所以，如设f 与c 的夹角为α，那么当,,a b c 组成右手系时，α为锐角；当,,a b c 组成左手系时，α为钝角．由于[]()cos α=⨯⋅=⨯abc a b c a b c ．所以当,,a b c 组成右手系时，[]abc 为正；当,,a b c 组成左手系时，[]abc 为负．另一方面，以向量,,a b c 为棱的平行六面体的底（平行四边形OADB ）的面积S 在数值上等于a b ⨯，它的高h 等于向量c 在向量f 上的投影的绝对值，即h Prj cos α==f c c ，所以平行六面体的体积==V Sh []cos α⨯=a b c abc ．由上述混合积的几何意义可知，若混合积[]0abc ≠，则能以,,a b c 三向量为棱构成平行六面体，从而,,a b c 三向量不共面；反之，若,,a b c 三向量不共面，则必能以,,a b c 为棱构成平行六面体，从而[]0abc ≠．于是有下述结论：三向量,,a b c 共面的充分必要条件是它们的混合积[]0abc =，即0x y zx y z xyza a ab b bc c c =． ●●例6 已知[]2=abc ，计算[()()]()+⨯+⋅+a b b c c a ．解 [()()]()+⨯+⋅+a b b c c a [)]()=⨯+⨯+⨯+⨯⋅+a b a c b b b c c a219()()()0=⨯⋅+⨯⋅+⋅+⨯⋅a b c a c c c b c c ()()()0+⨯⋅+⨯⋅+⋅+⨯⋅a b a a c a a b c a 2()=⨯⋅a b c 2[]=abc 4=．●●例7 已知(1,1,2)A -，(5,6,2)B -，(1,3,1)C -，(,,)D x y z 4点共面，试求D 点的坐标所满足的关系式．解 A B C D 、、、 四点共面相当于−−→AB 、−−→AC 、AD −−→三个向量共面，而(450)−−→=-，，AB ，(043)−−→=-，，AC ，(112)−−→=-+-，，AD x y z ，由3个向量共面的充要条件可知：1124500043-+--=-x y z ． 即 151216350++-=x y z 为所求的关系式．习 题 6-21．已知向量(112),,=a ，(010),,=b ，(0,0,1)=c ，求（1）⋅a b ，⋅a c ，⋅b c ；（2）⨯a a ，⨯a b ，⨯a c ，⨯b c ．2．已知向量(100),,=a ，(221),,=b ，求⋅a b ，⨯a b 及a 与b 的夹角余弦．3．已知π5,2,(,)3∧===a b a b ，求23a b -．4．证明下列问题：（1）证明向量(101),,=a 与向量(-111),,=b 垂直； （2）证明向量c 与向量()()a c b b c a ⋅-⋅垂直．5．求点(1M 的向径OM −−→与坐标轴之间的夹角． 6．求与=++a i j k 平行且满足1⋅=a x 的向量x ．7．求与向量324=-+a i j k ，2=+-b i j k 都垂直的单位向量．8．在顶点为(1,-1,2)A 、(5,-6,2)B 和(1,3,-1)C 的三角形中，求三角形ABC 的面积以及AC 边上的高BD ．9．已知向量2222, , ||||||().≠≠⨯=-⋅00证明a b a b a b a b10．证明：如果++=0a b c ，那么⨯=⨯=⨯b c c a a b ，并说明它的几何意义． 11．已知向量23,3=-+=-+a i j k b i j k 和2=-c i j ，计算下列各式：（1）()()⋅-⋅a b c a c b ； （2）()()+⨯+a b b c ； （3）()⨯⋅a b c ； （4）⨯⨯a b c ．第三节 曲面及其方程一、曲面方程的概念类似于在平面解析几何中把平面曲线看作是动点的运动轨迹，在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点的几何轨迹．在这样的意义下, 如果曲面S 与三元方程(,,)0F x y z = （1）220 有下述关系：（1） 曲面S 上任一点的坐标都满足方程（1）,（2） 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程（1）, 那么，方程(,,)0F x y z =就叫做曲面S 的方程，而曲面S 就叫做方程（1）的图形（图6-21）．下面我们来建立几个常见的曲面的方程．●●例1 建立球心在0000()M x ,y ,z 、半径为R 的球面的方程． 解 设(,,)M x y z 是球面上的任一点（图6-22），那么0M M =R ，即R或 2222000()()()R x x y y z z -+-+-=． （2） 这就是球面上的点的坐标所满足的方程．而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程． 特别地，如果球心在原点，那么球面方程为2222x y z R ++=．●●例2 求与原点O 及0(2,3,4)M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程．解 设(,,)M x y z 是曲面上任一点，根据题意有0||1||2MO MM =，即12=， 整理得: 22224116(1)339x y z ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．与方程（2）比较可知，该方程表示球心在点24,1,33⎛⎫--- ⎪⎝⎭求球面上的点的坐标所满足的方程，而不在此球面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求球面的方程．以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示，反之，变量x 、y 和z 间的方程通常表示一个曲面．因此在空间解析几何中关于曲面的研究，有下列两个基本问题：（1） 已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程；图6-22图6-21221（2） 已知坐标x 、y 和z 间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面的形状． 上述两个例子是从已知曲面建立其方程的例子，下面举一个由已知方程研究它所表示的曲面的例子．●●例3 方程222240x y z x y ++-+=表示怎样的曲面？ 解 通过配方，原方程可化为222(1)(2)5x y z -+++=，与方程（2）比较可知，原方程表示球心在点0(1,2,0)M -、半径为R = 一般地，设有三元二次方程2220x y z Dx Ey Fz G ++++++=，这个方程的特点是缺xy ，yz ，zx 各项，而且平方项系数相同，如果能将方程经过配方化成2222000()()()x x y y z z R -+-+-=的形式，那么它的图形就是一个球面．下面，我们来讨论一些特殊的曲面．二、旋转曲面以一条平面曲线绕其所在平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴．设在yOz 坐标面上有一已知曲线:(,)0C f y z =，把该曲线绕z 轴旋转一周，就得到一个以z 轴为轴的旋转曲面（图6-23），下面求该旋转曲面的方程．设111(0,,)M y z 为曲线C 上的任一点，那么有11(,)0=f y z ， （3）当曲线C 绕z 轴旋转时，点1M 也绕z 轴旋转到另一点(,,)M x y z ，这时1z z =保持不变，且点M 到z 轴的距离1d y ．将1z z =，1y =3）式，即得旋转曲面的方程为()0f z =，即将曲线C 的方程(,)0f y z =中的y改成，便得曲线C 绕z 轴旋转所成的旋转曲面的方程．同理yOz 坐标面上的已知曲线(,)0f y z =绕y 轴旋转一周的旋转曲面方程为(0f y,=．同理xOy 坐标面上的已知曲线(,)0=f x y 绕x 轴旋转一周的旋转曲面方程为(,0f x =．●●例4 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角π(0)2αα<<叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角为α的圆锥面（图6-24）222 的方程．解 yOz 面上直线L 的方程为cot z y α=，因为z 轴为旋转轴，L 为母线，所以只要将方程cot z y α=中的y改成即可得到所要求的圆锥面方程z α=或 2222()z a x y =+，其中cot a α=．显然，圆锥面上任一点M 的坐标一定满足此方程．如果点M 不在圆锥面上，那么直线OM 与z 轴的夹角就不等于α，于是点M 的坐标就不满足此方程．三、柱面给定一曲线C 和一定直线L （L 不在曲线C 所在的平面内），如果一动直线平行于定直线L 并沿着曲线C 平行移动所生成的曲面叫做柱面，其中，曲线C 叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线．下面仅讨论母线平行于坐标轴的柱面．设准线C 为xOy 面内的一条曲线，其方程为(,)0F x y =，沿C 作母线平行于z 轴的柱面（图6-25）．在柱面上任取一点(,,)M x y z ，过M 点作一条与z 轴平行的直线，则该直线与xOy 平面的交点为0(,,0)M x y ，由于0M 在准线C 上，所以有(,)0F x y =．即M 点的坐标应满足方程 (,)0F x y =． 反之,如果空间一点000(,,)M x y z 满足方程(,)0F x y =,即00(,)0F x y =,则000(,,)M x y z 必在过准线C 上一点00(,)x y 而平行于z 轴的直线上，于是点000(,,)M x y z 必在柱面上．所以，方程(,)0F x y =在空间就表示母线平行于z 轴的柱面．例如方程222x y R +=表示母线平行于z 轴，准线是xOy 平面上以原点为圆心、以R 为半径的圆的柱面（图6-26），称其为圆柱面，类似地，曲面222x z R +=、222y z R +=都表示圆柱面．方程22y x =表示母线平行于z 轴，以xOy 坐标面上的抛物线22y x =为准线的柱面，该柱面叫做抛物柱面（图6-27）．一般地，只含,x y 而缺z 的方程(,)0F x y =，在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，其准线为xOy 面上的曲线C ：(,)0F x y =．类似地，只含,x z 而缺y 的方程(,)0G x z =和只含,y z 而缺x 的方程(,)0=H y z 分别表示母线平行于y 轴和x 轴的柱面．223图6-29例如，方程0-=x z 表示母线平行于y 轴的柱面，其准线是xOz 面上的直线0-=x z ，所以它是过y 轴的平面．四、二次曲面与平面解析几何中介绍的二次曲线相类似，我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面．把平面叫做一次曲面．怎样了解三元方程(,,)0F x y z =所表示的曲面的形状呢? 方法之一是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相交，考察其交线的形状，然后加以综合，从而了解曲面的形状．这种方法叫做截痕法．另外一种常见的方法是所谓的伸缩变形的方法，即通过把空间图形伸缩变形形成新的曲面的方法：设S 是一个曲面，其方程为(,,)0F x y z =，S '是将曲面S 沿x 轴方向伸缩λ倍所得的曲面，显然，若(,,)x y z S ∈，则(,,)x y z S λ'∈；若(,,)x y z S '∈，则1,,x y z S λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因此，对于任意的(,,)x y z S '∈，有1,,0λ⎛⎫= ⎪⎝⎭F x y z ，即1,,0F x y z λ⎛⎫= ⎪⎝⎭是曲面S '的方程．下面我们来介绍几种典型的二次曲面．1．椭圆锥面由方程22222x y z a b+=所表示的曲面称为椭圆锥面（图6-28）．我们先用截痕法来讨论其图形．以垂直于z 轴的平面z t =截此曲面,当0t =时得一点(0,0,0)；当0t ≠时，得平面z t =上的椭圆1)()(2222=+bt y at x ．当t 变化时， 上式表示一族长短轴比例不变的椭圆，当||t 从大到小并变为0时，这族椭圆从大到小并缩为一点．综合上述讨论，可得椭圆锥面． 另外，我们也可以用伸缩变形的方法来讨论其图形．把圆锥面2222x y a z +=沿y 轴方向伸缩a b倍，也可得到椭圆锥面的方程为2222()a x y a z b +=，即 22222x yz a b+=．2．椭球面由方程2222221x y z a b c++=所表示的曲面称为椭球面（图6-29）．把xOz 面上的椭圆22221x z a c +=绕z 轴旋转一周所得的曲面称 为旋转椭球面，其方程为222221x y z=a c ++，再把旋转椭球面沿y 轴 方向伸缩a b 倍，便得椭球面2222221x y z a b c++=.另外，把球面2222x y z a ++=沿z 轴方向伸缩a c 倍，得旋转椭球面222221x y z a c++=，再沿y 轴方向伸缩a b倍，也可得椭球面2222221x y z a bc++=．。
