下载文档原格式
宁夏固原市2021届新高考数学模拟试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{1,3,5}A =，{1,2,3}B =，{2,3,4,5}C =，则()A B C ⋂⋃=（ ） A ．{1,2,3,5} B ．{1,2,3,4}C ．{2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的基本运算即可求解. 【详解】解：{1,3,5}A =Q ，{1,2,3}B =，{2,3,4,5}C =， 则(){1,3}{2,3,4,5}{1,2,3,4,5}A B C ⋂⋃=⋃= 故选：D. 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．2．小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为( ) A ．17B ．27C ．13D ．1835【答案】A 【解析】 【分析】 利用An P n=计算即可，其中A n 表示事件A 所包含的基本事件个数，n 为基本事件总数. 【详解】从7本作业本中任取两本共有27C 种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有23C 种不同结果，由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为232717C C =.故选：A. 【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题. 3．将函数sin f x x π⎛⎫=+图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为（ ）A ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭C ．(),0πD ．4,03π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象的变换规律可得到()y g x =解析式，然后将四个选项代入逐一判断即可. 【详解】解：()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到1sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数()1sin +236g x x ππ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象 ()1sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，403g π⎛⎫=⎪⎝⎭故选：D 【点睛】考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质，基础题.4．已知集合{|24}A x x =-<<，集合2560{|}B x x x =-->，则A B =I A ．{|34}x x << B ．{|4x x <或6}x > C ．{|21}x x -<<- D ．{|14}x x -<<【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由2560x x -->可得1)60()(x x -+>，解得1x <-或6x >，所以B ={|1x x <-或6}x >， 又{|24}A x x =-<<，所以{|21}A B x x ⋂=-<<-，故选C ．5．已知函数()2121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（ ）A ．12B ．1-C ．±1D ．12±【答案】C【分析】设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩，计算可得()()()()()()()2,2,g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，再结合图像即可求出答案. 【详解】设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩，则()()221g x x axh x x⎧=+⎪⎨=-⎪⎩， 则()()()()()()()()()()()2,2,g x g x h x f x g x h x g x h x h x g x h x ⎧≥⎪=++-=⎨<⎪⎩，由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()(),g x h x 的大致图像，结合图像，210x -=，得1x =±， 所以1a =±. 故选：C 【点睛】本题主要考查了分段函数的图像与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题.6．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A 3B ．23C ．22D ．1【答案】C 【解析】试题分析：设200,)2y P y p （，由题意(,0)2p F ，显然00y <时不符合题意，故00y >，则 21112y y p u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r223263OMyky py pp yp==≤=++，当且仅当22002,y p y==时取等号，故选C．考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件2PM MF=，利用向量的运算可知200(,)633y ypMp+，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．7．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（）A．0,6⎛⎝⎦B．5⎫⎪⎪⎣⎭C．0,5⎛⎝⎦D．5⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】C【解析】【分析】根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.【详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.=6，所以椭圆离心率e==，所以0,5e⎛∈⎝⎦.故选：C【点睛】本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.8．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，,lα⊄,lβ⊄则A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以//l α，又n ⊥平面β，,l n l β⊥⊄，所以l β//，由直线,m n 为异面直线，且m ⊥平面,n α⊥平面β，则α与β相交，否则，若//αβ则推出//m n ，与,m n 异面矛盾，所以,αβ相交，且交线平行于l ，故选D ．考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．9．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ） A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π【答案】D 【解析】 【分析】根据统计数据，求出频率，用以估计概率. 【详解】70412212π≈. 故选:D. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题. 10．已知1111143579π≈-+-+-L ，如图是求π的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入A ．121i n =-- B ．12i i =-+ C ．(1)21ni n -=+D ．(1)2ni i -=+【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由于111113579-+-+-L 中正项与负项交替出现，根据S S i =+可排除选项A 、B ；执行第一次循环：011S =+=，①若图中空白框中填入(1)21n i n -=+，则13i =-，②若图中空白框中填入(1)2ni i -=+，则13i =-，此时20n >不成立，2n =；执行第二次循环：由①②均可得113S =-，③若图中空白框中填入(1)21ni n -=+，则15i =，④若图中空白框中填入(1)2ni i -=+，则35i =，此时20n >不成立，3n =；执行第三次循环：由③可得11135S =-+，符合题意，由④可得13135S =-+，不符合题意，所以图中空白框中应填入(1)21ni n -=+，故选C ．11．定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有()()21210f x f x x x ->-成立，已知()ln a f π=，12b f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 6c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质和单调性即可判断.解：对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有()()21210f x f x x x ->-()f x 在(),0x ∈-∞上递增因为定义在R 上的偶函数()f x 所以()f x 在()0,x ∈+∞上递减 又因为221log log 626=>，1ln 2π<<，1201e -<< 所以b a c >> 故选：A 【点睛】考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题.12．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( ) A ．29 B ．30C ．31D ．32【答案】B 【解析】 【分析】设正项等比数列的公比为q ，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求． 【详解】设正项等比数列的公比为q ， 则a 4=16q 3，a 7=16q 6， a 4与a 7的等差中项为98， 即有a 4+a 7=94， 即16q 3+16q 6，=94，解得q=12（负值舍去），则有S 5=()5111a q q--=511612112⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-=1．【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
宁夏 2021 年高三上学期期末数学试卷（理科）（I）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 集合 A. B. C. D.， 集合,则（）2. （2 分） (2019·晋中模拟) 已知 A . -1 B.1 C.，则（）D.3. （2 分） 若 =（﹣2，1）， =（x，﹣3），， 则 x=（ ）A.B. C.6D.4. （2 分） (2016 高一下·福建期末) 已知角 α 的终边上一点 P 的坐标为（ 值为（ ），﹣1），则角 α 的最小正第 1 页 共 22 页A. B. C. D. 5. （2 分） 运行如图算法语句时，输出的数=（ ）A . 10B.4C.6D . 156. （2 分） 给出以下命题：①若 、 均为第一象限角，且 ，且；②若函数的最小正周期是 ，则 ；③函数是奇函数；④函数的周期是 ；⑤函数的值域是[0,2].其中正确命题的个数为（ ）第 2 页 共 22 页A.3 B.2 C.1 D.07. （2 分） 已知 x,y 满足 A.2,记目标函数 z=2x+y 的最大值为 7，最小值为 1，则=（ ）B.1C . －1D . －28. （2 分） (2017 高一上·濉溪期末) 如图是某几何体的三视图且 a=b，则该几何体主视图的面积为（ ）A. B.C.D.9. （2 分） 已知方程在有两个不同的解 （ ） ，则下面结论正确的是（ ）A.第 3 页 共 22 页B.C.D. 10. （2 分） 已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上．若 AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12. 则球 O 的半径为（ ）A. B.2 C. D.311. （2 分） (2019 高二下·滁州期末) 设双曲线 过点 与 轴垂直的直线与双曲线的一个交点为 ，且的左焦点为 ，右顶点为 ， ，则此双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.12. （2 分） (2019 高一上·遵义期中) 已知函数 数根，则实数 的取值范围为（ ）A.B.第 4 页 共 22 页,若方程有三个不同的实C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） 同时掷两枚质地均匀的骰子，所得的点数之和为 5 的概率是________14. （1 分） (2020·合肥模拟) 设 为数列 的前 项和，若，则________15. （1 分） (2018 高二上·海安期中) 定义：点到直线的有向距离为已知点，，直线 m 过点，若圆上存在一点 ，使得三点到直线 m 的有向距离之和为 0，则直线 m 斜率的取值范围是________.16. （1 分） (2020 高三上·双鸭山开学考) 定义在 上函数满足，且在上是增函数，给出下列几个命题：①是周期函数；②的图象关于对称；③在上是增函数；④．其中正确命题的序号是________．三、 解答题 (共 8 题；共 80 分)17. （10 分） (2018 高二上·湖南月考) 数列 满足，.（1） 求证：数列是等差数列；（2） 若，求 的取值范围.第 5 页 共 22 页18. （10 分） (2016 高二下·新洲期末) 某校为了解一个英语教改实验班的情况，举行了一次测试，将该班 30 位学生的英语成绩进行统计，得图示频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80）， [80，90），[90，100]．（1） 求出该班学生英语成绩的众数，平均数及中位数； （2） 从成绩低于 80 分的学生中随机抽取 2 人，规定抽到的学生成绩在[50，60）的记 1 绩点分，在[60，80） 的记 2 绩点分，设抽取 2 人的总绩点分为 ξ，求 ξ 的分布列． 19.（5 分）(2016 高二下·黑龙江开学考) 在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1⊥底面 ABCD，∠ADC=90°，AB∥CD， AD=CD=DD1=2AB=2． （Ⅰ） 求证：AD1⊥B1C； （Ⅱ） 求二面角 A1﹣BD﹣C1 的正弦值．20. （10 分） (2018 高二上·巴彦期中) 已知抛物线过点与抛物线 交于两点，点 关于 轴的对称点为 ，连接 .，直线 过点第 6 页 共 22 页（1） 求抛物线 标准方程； （2） 问直线 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.21. （15 分） (2019 高三上·宜宾期末) 定义在 上的函数满足，．（1） 求函数的解析式；（2） 求函数的单调区间；（3） 如果 、 、 满足，那么称 比 更靠近 ．当且时，试比较 和哪个更靠近 ，并说明理由．22. （10 分） 如图，已知 AB 为圆 O 的直径，C，D 是圆 O 上的两个点，C 是劣弧 BD 交 AC 于 G，交 CE 于 F．的中点，CE⊥AB 于 E，（1） 求证：CF=FG（2） 求证：DG•AC=AG•CE．23. （10 分） 平面直角坐标系 xOy，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的直角坐标为（1，﹣5），直线 l 过点 P 且倾斜角为 ，点 C 极坐标为，圆 C 的半径为 4．第 7 页 共 22 页（1） 写出直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程； （2） 判断直线 l 与圆 C 的位置关系．24. （10 分） (2018 高一上·和平期中) 已知函数（1） 求的值；（2） 求函数的定义域和值域．第 8 页 共 22 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点：解析： 答案：3-1、 考点：解析： 答案：4-1、 考点： 解析：第 9 页 共 22 页答案：5-1、 考点： 解析：答案：6-1、 考点： 解析：第 10 页 共 22 页考点：解析：答案：8-1、考点：解析：考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共8题；共80分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
宁夏2021年数学高三上学期理数期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一上·苍南月考) 已知集合，集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高二下·大庆月考) 已知复数，i为虚数单位，则等于（）A .B .C .D .3. （2分）(2019·上饶模拟) “ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2015高二上·柳州期末) 某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（）A .B . 3πC .D . π5. （2分） (2018高一下·湖州期末) 已知数列的首项，前n项和为，且满足，则满足的n的最大值是A . 8B . 9C . 10D . 116. （2分）有一个正四棱锥,它的底面边长与侧棱长均为，现用一张正方形纸将它完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠）那么包装纸最小边长应为（）A .B .C .D .7. （2分）我班制定了数学学习方案: 星期一和星期日分别解决4个数学问题, 且从星期二开始, 每天所解决问题的个数与前一天相比, 要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”.在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（）A . 50种B . 51种C . 140种D . 141种8. （2分） (2017高一下·嘉兴期末) 下列函数中，最小正周期为π且为奇函数的是（）A . y=sinB . y=cosC . y=cos2xD . y=sin2x9. （2分）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A . 1B .C .D . 210. （2分）设椭圆的左、右焦点分别为是上的点，，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2015高三上·保定期末) 已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣ay2=a的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二下·深圳期中) 函数y= x2 ㏑x的单调递减区间为（）A . （ 1,1]B . （0,1]C . [1，+∞）D . （0，+∞）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·衡阳模拟) 双曲线E： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ， P是E坐支上一点，且|PF1|=|F1F2|，直线PF2与圆x2+y2=a2相切，则E的离心率为________．14. （1分）二项式（ax+ ）6的展开式的第二项的系数为﹣，则a的值为________．15. （1分）已知长方体的全面积为8cm2 ，则它的对角线长的最小值为________cm．16. （1分）(2019·全国Ⅱ卷理) 的内角的对边分别为 .若，则的面积为________.三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2020高一下·温江期末) 设△ 的面积为，且．（1）求角的大小；（2）若，且角不是最小角，求的取值范围．18. （5分） (2016高二上·宝应期中) 高二年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：分组频数频率[85，95）①0.025[95，105）0.050[105，115）0.200[115，125）120.300[125，135）0.275[135，145）4②[145，155]0.050合计③（1）根据图表，①②③处的数值分别为________、________、________；（2）在所给的坐标系中画出[85，155]的频率分布直方图；（3）根据题中信息估计总体落在[125，155]中的概率．19. （10分） (2019高二上·南湖期中) 如图，在三棱锥P﹣ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．（1）求证：EF∥平面PAB；（2）若平面PAC⊥平面ABC，且PA=PC，∠ABC=90°，求证：平面PEF⊥平面PBC．20. （10分）(2020·新课标Ⅰ·理) 已知函数 .（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.21. （10分）(2020·上海模拟) 若函数对任意的，均有，则称函数具有性质P．（1）判断下面两个函数是否具有性质，并说明理由．① ；② ．（2）若函数具有性质，且，求证：对任意有；（3）在（2）的条件下，是否对任意均有．若成立给出证明，若不成立给出反例．22. （10分） (2018高二上·成都月考) 已知圆过两点，且圆心在上．（1）求圆的方程；（2）设是直线上的动点，是圆的两条切线，为切点，求四边形面积的最小值.23. （10分） (2019高一上·新余月考) 设函数，其中a为常数. （1）当，求a的值；（2）当时，关于x的不等式恒成立，求a的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、。
宁夏2021版数学高三上学期理数期末考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·涪城月考) 已知全集 ,集合 ,则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高一上·慈溪期中) 已知函数，给出下列命题：① 必是偶函数；②当时，的图像关于直线对称；③若，则在区间上是增函数；④若，在区间上有最大值 . 其中正确的命题序号是：（）A . ③B . ②③C . ③④D . ①②③3. （2分） (2017高一下·扶余期末) 设满足约束条件则目标函数的最大值是（）A . 3B . 4C . 6D . 84. （2分） (2018高一上·赣州月考) 若角的终边上有一点，则的值是（）A .B .C .D .5. （2分） (2020高二下·杭州期末) 以双曲线的左顶点A为圆心作半径为a的圆，此圆与渐近线交于坐标原点O及另一点B，且存在直线使得B点和右焦点F关于此直线对称，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D . 36. （2分） (2015高二上·广州期末) 某几何体的三视图如图所示（均为直角边长为2的等腰直角三角形），则该几何体的表面积为（）A . 4+4B . 4+4C . 6+2D . 87. （2分）在区间上随机地取一个数,则事件“”发生的概率为（）A .B .C .D .8. （2分）(2020·沈阳模拟) 如果将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的值为（）A . 2B .C .D . 39. （2分） (2016高二下·钦州期末) 设随机变量ξ的取值为0，1，2．若P（ξ=0）= ，E（ξ）=1，则D（ξ）=（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高三上·高台期末) 设抛物线C：y2=3px（p≥0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（）A . y2=4x或y2=8xB . y2=2x或y2=8xC . y2=4x或y2=16xD . y2=2x或y2=16x11. （2分）设a，b，c∈（0，+∞），则三个数a+， b+， c+的值（）A . 都大于2B . 都小于2C . 至少有一个不大于2D . 至少有一个不小于212. （2分）(2018·唐山模拟) 已知函数满足，在下列不等关系中，一定成立的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·新课标Ⅰ卷理) 已知向量，的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2|=________．14. （1分）（2x﹣1）10=a0+a1x+a2x2+…+a9x9+a10x10 ，则a2+a3+…+a9+a10=________．15. （1分） (2016高一下·平罗期末) 从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：1）矩形的4个顶点；2）每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；3）每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；4）有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．其中正确结论的个数为________．16. （1分） (2018高一下·长阳期末) 设的内角所对边的长分别为，若,则角________ .三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分） (2019高二上·石门月考) 已知数列满足令．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式.18. （10分）(2014·新课标I卷理) 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（1）证明：AC=AB1；（2）若AC⊥AB1 ，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．19. （15分） (2020高一下·开封期末) 经营费用指流通企业对在经营过程中发生除经营成本以外的所有费用，如管理费用、财务费用、法律费用等，这些费用没有直接用于生产产品或提供服务，但它是影响公司收益的重要因素．某创业公司从2014年开始创业到2019年每年的经营费用y（万元）、年份及其编号t，有如下统计资料：年份201420152016201720182019t123456y9.512.214.617.419.6m已知该公司从2014年到2019年年平均经营费用为16万元，且经营费用y与年份编号t呈线性相关关系．（1）求2019年该公司的经营费用；（2） y关于t的回归方程为，求，并预测2020年所需要支出的经营费用；（3）该公司对2019年卖出的产品进行质量指标值检测，由检测结果得如图所示频率分布直方图：预计2020年生产产品质量指标值分布与上一年一致，将图表中频率作为总体的概率．当每件产品质量指标值不低于215时为优质品，指标值在185到215之间是合格品，指标值低于185时为次品．出售产品时，每件优质品可获利1.5万元，每件合格品可获利0.7万元，次品不仅全额退款，还要对客户进行赔付，所以每件次品亏损1.3万元．若2020年该公司的产量为500台，请你预测2020年该公司的总利润（总利润销售利润经营费用）．20. （10分） (2019高二上·哈尔滨月考) 在平面直角坐标系中，矩形的一边在轴上，另一边在轴上方，且，，其中，如图所示．（1）若为椭圆的焦点，且椭圆经过两点，求该椭圆的方程；（2）若为双曲线的焦点，且双曲线经过两点，求双曲线的方程．21. （10分）(2020·阿拉善盟模拟) 已知函数在点处的切线为.（1）求函数的解析式；（2）若，且存在，使得成立，求的最小值.22. （10分）(2017·太原模拟) 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ（tanα•cosθ﹣sinθ）=1（α为常数，0＜α＜π，且α≠ ），点A，B（A在x轴下方）是曲线C1与C2的两个不同交点．（1）求曲线C1普通方程和C2的直角坐标方程；（2）求|AB|的最大值及此时点B的坐标．23. （10分）已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|﹣m（1）当m=5时，求f（x）＞0的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥0的解集是R，求m的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2024届宁夏固原市五中高三数学（理）上学期第二次月考卷（试卷满分为150分，时间为120分钟）2023.10一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}{}0,1,21,2A =-,B=，则()U A B =ð（）A ．{}01，B ．{}0,1,2C ．{}1,1,2-D ．{}0,1,1,2-2．“x 为整数”是“21x +为整数”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要3．函数()21x f x x-=的图像为（）A．B ．C．D．4．已知0.72a =，0.713b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b>>5．化简()()48392log 3log 3log 2log 2++的值为（）A ．1B ．2C ．4D ．66．函数()3142e 3x f x x x =-+的极值点所在的区间为（）.A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,37．设()f x 为可导函数，且()()112lim1x f f x x →--=-△△△，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为（）A ．2B ．-1C ．1D ．12-8．函数()212log 45y x x =+-的单调递增区间是（）A ．(),5-∞-B ．(),2-∞-C ．()2,-+∞D ．()1,+∞9．已知0a >，0b >，且2a b +=，则2811a b +++的最小值是（）A ．2B ．4C ．92D ．910．设函数1()1x f x x -=+，则下列函数中为奇函数的是（）A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++11．已知函数()()2e 1x f x x x =-+，则下列选项正确的有（）A ．函数()f x 极小值为-1B ．函数()f x 在()1,-+∞上单调递增C ．当[]2,2x ∈-时，函数()f x 的最大值为23eD ．当3e k <时，方程()f x k =恰有3个不等实根12．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，e 为自然对数的底数，对x ∀∈R 均有()()()'f x xf x xf x +>成立，且()22=f e ，则不等式()2xxf x e >的解集是A ．(),e -∞B ．(),e +∞C ．(),2-∞D ．()2,+¥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数()()()2log ,03,0x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值是.14．若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为.15．已知函数()'cos sin 4f x f x xπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为．16．若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，则实数a 的取值范围是.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知()y f x =为二次函数，且满足：对称轴为1x =，(2)3,(3)0f f =-=．(1)求函数()f x 的解析式，并求()y f x =图象的顶点坐标；(2)在给出的平面直角坐标系中画出|()|y f x =的图象，并写出函数|()|y f x =的单调区间．18．已知y ＝x2-3lnx ．(1)求该曲线在1x =处的切线方程；(2)求该函数的单调减区间．19．已知函数()3f x ax bx=+在1x =处有极值2．（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在区间12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值．20．设命题:p 实数x 满足()()30x a x a --<，其中0a >，命题:q 实数x 满足302x x -<-.（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.21．函数()22x x af x =-是奇函数.(1)求a ；(2)当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，求m 的取值范围.22．已知函数()()ln a x a f x x+=(1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)求证：当0a >时，()22e af x -≤1．A【分析】先求出U B ð，再根据交集的定义可求()U A B ∩ð.【详解】{}2,0,1U B =-ð，故(){}0,1U A B = ð，故选：A.2．A【分析】用充分条件、必要条件的定义判断.【详解】由x 为整数能推出21x +为整数，故“x 为整数”是“21x +为整数”的充分条件，由12x =,21x +为整数不能推出x 为整数，故“x 为整数”是“21x +为整数”的不必要条件，综上所述，“x 为整数”是“21x +为整数”的充分不必要条件，故选：A.3．D【分析】分析函数()f x 的定义域、奇偶性、单调性及其在(),0∞-上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数()21x f x x-=的定义域为{}0x x ≠，且()()()2211x x f x f x xx----==-=--，函数()f x 为奇函数，A 选项错误；又当0x <时，()210x f x -=≤，C 选项错误；当1x >时，()22111x x f x x xx x --===-函数单调递增，故B 选项错误；故选：D.4．C【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】因为0.70.7221120log 1log 33⎛⎫>>=> ⎪⎝⎭，故a b c >>.故答案为：C.5．B【分析】根据对数的性质可求代数式的值.【详解】原式2233111(2log 3log 3)(log 2log 2)232=⨯++2343log 3log 2232=⨯=，故选：B 6．B【分析】求导，根据导函数的正负确定函数的单调性即可结合零点存在性定理以及极值点定义求解.【详解】由()3142e 3xf x x x =-+得()242e xf x x '=-+，当0x >时，由于函数24,e xy x y =-=均为单调递增函数，故()242e xf x x '=-+在0x >单调递增，而()()020,132e 0f f =-''<=-+>，故存在()00,1x ∈，使得()0=0f x '，且当()()00,,0,x x f x '∈<当()()0,1,0,x x f x >'∈故0x x =是()f x 极值点，当0x <时，令()()242e x g x f x x '==-+，则()22e xg x x '=+单调递增，而()()1020,122e 0g g =-''>-=-+<，故存在()1,0a ∈-，使得()=0g a '，且当()()(),,0,x a g x f x ''∈-∞<单调递减，当()()(),0,0,x a g x f x ''∈>单调递增，由于()()22=2=2e 0f g -¢-->，()()21=1=3+2e 0f g -¢---<故存在()'02,1x ∈--，使得()'00f x =，故'0x x =是()f x 极值点，故选：B7．D【分析】利用导数的定义及几何意义进行求解.【详解】由导数的几何意义，点()() 1,1f 处的切线斜率为(1)f '，因为0x →△时，()()1121f f x x --→- ，所以()()()()00112112112(1)liml 22im x x f f x f f f x x x →→----=='=-，所以在点()() 1,1f 处的切线斜率为12-，故选：D.8．A【分析】求出定义域，在定义域内确定内层函数245t x x =+-的单调性，再由复合函数单调性得结论．【详解】、由2450t x x =+->得5x <-或1x >，易知函数245t x x =+-在(,5)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，又12log y t=是减函数，所以原函数的增区间是(,5)-∞-．故选：A ．9．C【分析】根据“乘1法”，运用基本不等式即可求解.【详解】依题意，因为2a b +=，所以()()114a b +++=，则()()281281111411a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()()218111910241041142b a a b ++⎡⎤=++⨯⨯+=⎢⎥++⎣⎦≥，当且仅当13a =，53b =时，等号成立．故选：C.10．B【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得12()111x f x x x -==-+++，对于A ，()2112f x x --=-不是奇函数；对于B ，()211f x x -=+是奇函数；对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.11．C【分析】求导得到()f x 的单调性，即可判断AB 选项；分别求出[]22-,上的极大值和端点处的函数值，通过比较大小得到最大值，即可判断C 选项；将方程()f x k=的根的个数可以转化为函数()f x 的图象与y k =的图象的交点个数，然后结合图象判断D 选项.【详解】()()()21x x f x x x x x '=+=⋅+e e ，令()0f x ¢>，解得1x <-或0x >，令()0f x '<，解得10x -<<，所以()f x 在(),1-∞-，()0,∞+上单调递增，()1,0-上单调递减，故B 错；()f x 在0x =处取得极小值，极小值为1，故A 错；()272e f -=，()31e f -=，()223f =e ，所以()f x 在[]22-,上的最大值为3e ，故C 正确；()f x的大致图象如下：方程()f x k=的根的个数可以转化为函数()f x 的图象与y k =的图象的交点个数，由图可知，当31e k <<时，图象有3个交点，即方程()f x k =有3个不等实根，故D 错.故选：C.12．D【分析】先构造函数()()x xf x g x e =，再利用导数研究函数单调性，最后根据单调性解不等式.【详解】原不等式等价于()2xxf x e >，令()()x xf x g x e =，则()()()()0x f x xf x xf x g x e '+-'=>恒成立，()g x ∴在R 上是增函数，又()22f e =，()22g ∴=，∴原不等式为()()2g x g >，解得2x >，故选D .【点睛】本题考查利用导数解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.13．19【分析】根据分段函数的表达式代入进行求解即可.【详解】因为()()()2log ,03,0x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，所以211log 244f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()2112349f f f -⎡⎤⎛⎫=-==⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故答案为：1914．8【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.【详解】作出可行域如下图所示：2z x y =-，移项得2y x z =-，联立有3129x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，设()5,2A ，显然平移直线2y x =使其经过点A ，此时截距z -最小，则z 最大，代入得8z =，故答案为：8.15．1【详解】()''sin cos 4f x f x x π⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭ ，''sin cos 4444ff ππππ⎛⎫⎛⎫∴=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得'14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故)'cos sin 11444422f f ππππ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为1.16．18⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭,【分析】根据()f x 在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增得到当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '≥恒成立，然后求a 的范围即可.【详解】()21122ax f x ax x x +='=+，因为()f x 在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '≥恒成立，整理得212a x -≥，即2max 12a x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以211228a -≥=-⨯.故答案为：18⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭,.17．(1)2()23f x x x =--,顶点坐标为()1,4-.(2)图象见解析，函数的增区间为：[][)1,1,3,-+∞，函数的减区间为：(][],1,1,3-∞-.【分析】(1)根据已知条件列出方程组即可求解；(2)作出函数图象可求解.【详解】（1）设函数为2()f x ax bx c =++，所以12423930b x a a b c a b c ⎧=-=⎪⎪++=-⎨⎪++=⎪⎩解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以2()23f x x x =--，所以(1)4f =-，所以顶点坐标为()1,4-.（2）图象如图所示，函数的增区间为：[][)1,1,3,-+∞，函数的减区间为：(][],1,1,3-∞-.18．(1)20x y +-=(2)62⎛ ⎝⎭【分析】（1）由题意求出导数，根据导数的几何意义，可得切线的斜率，即可得出答案；（2）由题意求得函数定义域，令0'<y ，求出0'<y 的解集，即可得出答案．【详解】（1）由题意得23232x y x x x -'=-=，∴11x y ='=-，当1x =时，1y =，∴曲线在1x =处的切线方程为()11y x -=--，即20x y +-=；（2）由题意得函数定义域为()0,∞+，223x y x '-=，由0'<y 得602x <<，∴函数的单调减区间为⎛ ⎝⎭．19．（1）1a =-，3b =；（2）最小值是-2，最大值是2．【分析】（1）由题意知()10f '=，()12f =，求()f x 的导函数()f x '，代入计算可得,a b 的值，注意检验；（2）()f x 在12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间，从而确定最小值，计算端点值比较可求出最大值.【详解】解：（1）()3f x ax bx=+，()23f x ax b'=+∵函数()3f x ax bx=+在1x =处取得极值2，∴()12f a b =+=，()130f a b '=+=解得1a =-，3b =()33f x x x=-+，经验证在1x =处取极值2，故1a =-，3b =（2）由()()()311f x x x '=-+-，令()0f x ¢>，解得11x -<<令()0f x '<，解得1x >或1x <-，因此，()f x 在[)2,1--递减，在11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦递增，()f x 的最小值是()12f -=-而()1112228f f ⎛⎫-=>=⎪⎝⎭，故函数()f x 的最大值是2．20．（1）23x <<；（2）12a ≤≤.【分析】（1）若1a =，分别求出p ，q成立的等价条件，利用p q ∧为真，从而得到结果；（2）利用p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件，即可得到结果．【详解】由()()30x a x a --<，其中0a >，得3a x a <<，则:3p a x a <<，()0a >.由302x x -<-，解得23x <<，即:23q x <<（1）若1a =解得13x <<，若p q ∧为真，则p ，q同时为真，即2313x x <<⎧⎨<<⎩，解得23x <<，∴实数x 的取值范围()2,3；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q是p 的充分不必要条件，332a a ≥⎧∴⎨≤⎩，即12a a ≥⎧⎨≤⎩，解得12a ≤≤，经检验等号成立∴实数a 的取值范围12a ≤≤．21．(1)1a =(2)5m <-【分析】（1）根据奇函数()()f x f x -=-的性质求a 即可；（2）将()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立转化为()2min 2421x x m ⎡⎤<-⋅-⎢⎥⎣⎦，然后用换元法求最小值即可.【详解】（1）因为()f x 为奇函数，所以()()()11222,1202222x x x x x x x x a a f x a f x a --⎛⎫-=-=-⋅=-=-+-+= ⎪⎝⎭，所以1a =.（2）()24x f x m ->⋅+整理得()22421x x m >-⋅-，因为()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，所以()2min 2421x x m ⎡⎤<-⋅-⎢⎥⎣⎦，令2x t =，()22421x x n =-⋅-，则1t >，()2241255n t t t =--=--≥-，当2t =，即1x =时等号成立，所以5m <-.22．(1)增区间为()0,1，减区间为()1,+∞(2)证明见解析【分析】（1）当1a =时，求出()f x '，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数()f x 的增区间和减区间；（2）当0a >时，利用导数求出函数()f x 的最大值为1e a a -，然后证明221e e a a a --≤，即证：1e a a -≥，构造函数()1e a g a a -=-，利用导数证得()max 0g a ≥即可.【详解】（1）解：当1a =时，()ln 1x f x x +=，()2ln x f x x '=-，由()0f x '<，可得1x >，由()0f x ¢>，可得01x <<，故当1a =时，函数()f x 的增区间为()0,1，减区间为()1,+∞.（2）解：当0a >时，因为()()ln a x a f x x +=，则()()21ln a a x f x x --'=，由()0f x '<，可得1e a x ->，由()0f x ¢>，可得10e a x -<<，所以，函数()f x 的增区间为()10,e a-，减区间为()1e ,a -+∞，所以()()11man e e a a a f x f --==，下证：221e e a a a --≤，即证：1e a a -≥．记()1e a g a a -=-，()1e 1a g a -'=-，当()0,1a ∈时，()0g a '<，当()1,a ∈+∞时，()0g a '>，所以，函数()g a 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞，所以，()()max 10g a g ==，所以()0g a ≥恒成立，即1e a a -≥．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f xg x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。
五原中学2020—2021学年度第一学期高三年级期末考试数学试卷（理）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题的四个选项，只有一项是符合题目要求的,请将正确选项涂到答题卡相应的位置上.1. 已知集合{}21,A a =，{}1,0,1B =-，若A B B ⋃=，则A 中元素的和为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 1-2. 已知z 的共轭复数为1023i i-+（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A.33B. 32C. 23D. 223. 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第2天所织布的尺数为（ ） A.2031B.531C.1031D.40314. 等差数列{}n a 的前n 项和12...n n S a a a =+++，若1031S =，20122S =，则30S =（ ） A. 153B. 182C. 242D. 2735. 如图是一个几何体的正（ 主） 视图和侧（ 左） 视图, 其俯视图是面积为82的矩形， 则该几何体的表面积是 （ ）A. 16B. 2C. 8D. 26. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为5y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ）A. 221810x y -=B. 22145x y -=C. 22154x y -=D. 22143x y -=7. 已知点A ()1,0-，B (1,3)，向量a ＝()21,2k -，若AB ⊥a ，则实数k 的值为( ) A. 2-B. 1-C. 1D. 28. 已知ABC 的内角A ，B ，C 成等差数列，若()3sin sin 5B αα+=+，则()sin 300α+︒=（ ） A.35B. 45-C.45D. 359. 已知函数()sin f x x x ωω=()0ω>的图像与直线2y =交于,A B 两点，若AB 的最小值为π，则函数()f x 的一条对称轴是（ ）A. 3x π=B. 4x π=C. 6x π=D. 12x π=10. 在平面直角坐标系中，双曲线C 的标准方程为2221(0)4x y t t t-=>+，则双曲线的离心率取得最大值时，双曲线的渐近线方程为（ ） A. 2y x =± B. 3y x =±C. 12y x =±D. 13y x =±11. 曲线2y x=与直线1y x =-及1x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A. 2ln 2- B. 12ln 22- C. 2ln2+ D. 12ln 22+12. 已知曲线1C ：()xf x xe =在0x =处的切线与曲线2C ：()()ln a xg x a x=∈R 在1x =处的切线平行，令()()()h x f x g x =，则()h x 在()0,∞+上（ ） A. 有唯一零点B. 有两个零点C. 没有零点D. 不确定二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应位置上.13. 已知函数()f x 是定义在R 上奇函数，当0x <时，()26f x x =-，则()4f =_____．14. 已知圆2240x y x a +-+=截直线0x -=所得的弦长为a 的值为_____.15. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的体积为____________.16. 若对(,1]x ∈-∞-时，不等式21()2()12x xm m --<恒成立，则实数m 的取值范围是____________..三．解答题：本大题共6小题，共70分，请将答案写在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 是等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，35a =，749=S .（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）若数列{}n b 满足12n n n b s s +⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 已知函数()2cos3cos sin 222x x x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）在ABC 中，1AB =，()31=+f C ，且ABC 的面积为3，求sin sin A B +的值． 19. 如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，AB ∥CD ，122AB AD CD ===，点M 在线段EC 上．（1）当点M 为EC 中点时，求证：BM ∥平面ADEF ； （2）当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为66M 在线段EC 上的位置． 20. 已知椭圆22:24C x y += （1）求椭圆C 的标准方程和离心率；（2）是否存在过点()0,3P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21. 已知函数()e ln xb f x a x x=-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为22x y ---0e =. （1）求a ，b 的值；（2）证明函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()02ln 22f x <-.选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修44-：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 过点(0,2)P ，倾斜角为2παα⎛⎫≠ ⎪⎝⎭.以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：2cos 2sin 0ρθθ-=. （1）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，M 为AB 中点，且满足||,||,||PA PM PB 成等比数列，求直线l 的斜率.[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数()21f x x a x =-+-,()a R ∈. （1）当1a =时,求()2f x ≤的解集;（2）若()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求实数a 的取值范围.。
宁夏固原市2021届新高考数学五模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =--.若对任意(,]x m ∈-∞，都有40()9f x ≤，则m 的取值范围是（ ）. A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．19,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(,7]-∞D ．23,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】求出()f x 在(2,22]x n n ∈+的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案. 【详解】当(2,22]x n n ∈+时，2(0,2]x n -∈，()2(2)2(2)(22)n nf x f x n x n x n =-=----，max ()2n f x =，又40489<<，所以m 至少小于7，此时3()2(6)(8)f x x x =---， 令40()9f x =，得3402(6)(8)9x x ---=，解得193x =或233x =，结合图象，故193m ≤. 故选：B. 【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的范围，考查学生数形结合的思想，是一道中档题. 2．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【答案】B 【解析】化简圆到直线的距离，又 两圆相交. 选B3．设复数z 满足()117i z i +=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】 【分析】化简得到34z i =--，得到答案. 【详解】()117i z i +=-，故()()()()1711768341112i i i iz i i i i -----====--++-，对应点在第三象限. 故选：C . 【点睛】本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力.4．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( ) A ．255-B ．55-C ．55D ．25-【答案】A 【解析】 【分析】设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β，由任意角的三角函数的定义可以求得sin β的值，依题有OA OB ⊥,则90αβo=+，利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图，设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β因为点()1,2A 在角β的终边上，所以2225sin 12β==+依题有OA OB ⊥,则90αβo=+，所以25cos cos(90)sin αββo =+=-=-， 故选：A 【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题. 5．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC V 中，“30B ︒>”是“3cos B <”的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象． 其中假命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案. 【详解】对于命题①,因为()220002110x x x --+=≥,所以“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;对于命题②,充分性:ABC V 中,若30B ︒>,则30180B ︒︒<<,由余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即31cos B -<<,即可得到3cos B <,即充分性成立;必要性:ABCV中,0180B ︒︒<<,若cos 2B <,结合余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即30180B ︒︒<<,可得到30B ︒>,即必要性成立.故命题②正确;对于命题③,将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度,可得到π2cos 23π2cos 26x y x ⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎛⎥⎫+ ⎪⎝⎝⎣⎦⎭⎭的图象,即命题③是假命题． 故假命题有①③. 故选:C 【点睛】本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.6．双曲线2212y x -=的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y x =±C ．y =D ．y =【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程. 【详解】Q 双曲线2212y x -=,∴双曲线的渐近线方程为y =，故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.7．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体平均水平优于甲 【答案】D 【解析】 【分析】根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项. 【详解】对于A 选项，甲的数据分析3分，乙的数据分析5分，甲低于乙，故A 选项错误. 对于B 选项，甲的建模素养3分，乙的建模素养4分，甲低于乙，故B 选项错误. 对于C 选项，乙的六大素养中，逻辑推理5分，不是最差，故C 选项错误.对于D 选项，甲的总得分45334322+++++=分，乙的总得分54545427+++++=分，所以乙的六大素养整体平均水平优于甲，故D 选项正确. 故选：D 【点睛】本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题.8．已知{}n a 为等比数列，583a a +=-，4918a a =-，则211a a +=（ ） A ．9 B ．－9C ．212D ．214-【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的下标和性质可求出58,a a ,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出211a a +.【详解】∵4958+=+,∴495818a a a a ==-,又583a a +=-,可解得5863a a =-⎧⎨=⎩或5836a a =⎧⎨=-⎩ 设等比数列{}n a 的公比为q ,则当5863a a =-⎧⎨=⎩时,38512a q a ==-, ∴3521183612131222a a a a q q -⎛⎫+=+=+⨯-= ⎪⎝⎭-； 当5836a a =⎧⎨=-⎩时, 3852a q a ==-,∴()()35211833216222a a a a q q +=+=+-⨯-=-. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题. 9．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x =成立【答案】A 【解析】试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2x x x ∀∈≥R ． 考点：全称命题.10．将一块边长为cm a 的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为3722cm ，则a 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】D 【解析】 【分析】推导出PM PN a +=，且PM PN =，2MN =，2a PM =，设MN 中点为O ，则PO ⊥平面ABCD ，由此能表示出该容器的体积，从而求出参数的值． 【详解】解：如图（4），PMN ∆为该四棱锥的正视图，由图（3）可知，PM PN a +=，且2aPM PN ==，由PMN ∆为等腰直角三角形可知，22MN a =，设MN 中点为O ，则PO ⊥平面ABCD ，∴1224PO MN a ==， ∴23122272232424P ABCD V a a a -⎛⎫=⨯⨯== ⎪ ⎪⎝⎭，解得12a =. 故选：D【点睛】本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题. 11．已知偶函数()f x 在区间(],0-∞内单调递减，(2log3a f =，sin 5b f π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2314c f ⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 满足（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】D 【解析】 【分析】首先由函数为偶函数，可得函数()f x 在[)0,+∞内单调递增，再由2log 3sin 5π⎛⎫>- ⎪⎝⎭2314⎛⎫> ⎪⎝⎭，即可判定大小 【详解】因为偶函数()f x 在(],0-∞减，所以()f x 在[)0,+∞上增，2log31>，1sin ,152π⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23110,42⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴c b a <<.故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递，属于中档题.12．设双曲线22:1916x yC-=的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行C的一条渐近线的直线与C交于点B，则AFB△的面积为（）A．3215B．6415C．5 D．6【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的标准方程求出右顶点A、右焦点F的坐标，再求出过点F与C的一条渐近线的平行的直线方程，通过解方程组求出点B的坐标，最后利用三角形的面积公式进行求解即可.【详解】由双曲线的标准方程可知中：223,45a b c a b==∴=+=，因此右顶点A的坐标为(3,0)，右焦点F的坐标为(5,0)，双曲线的渐近线方程为：43y x=±，根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点F作平行C的一条渐近线43y x=的直线与C交于点B，所以直线FB的斜率为43，因此直线FB方程为：4(5)3y x=-，因此点B的坐标是方程组：224(5)31916y xx y⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩的解，解得方程组的解为：1753215xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即1732(,)515B-，所以AFB△的面积为：13232(53)21515⨯-⨯-=.故选：A【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了两直线平行的性质，考查了数学运算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
五原中学2020—2021学年度第一学期高三年级期末考试数学试卷（理）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题的四个选项，只有一项是符合题目要求的,请将正确选项涂到答题卡相应的位置上.1. 已知集合{}21,A a =，{}1,0,1B =-，若A B B ⋃=，则A 中元素的和为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件可得B A ⊆，进而可得出关于a 的等式，求出a 的值，即可求得A 中元素的和. 【详解】A B B =，A B ∴⊆，20a ∴=，则0a =，{}1,0A ∴=，因此，集合A 中元素的和为011+=. 故选：B.2. 已知z 的共轭复数为1023i i-+（其中i 为虚数单位），则z =（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的运算法则化复数z 为一般形式，然后由模的定义计算模． 【详解】根据题意()()()()103103102223333310i i z i i i i i i i --=-=-=-=-++-，则33z i =+，于是z ==故选：B【点睛】本题以复数的简单运算为素材，目的是考查考生对复数运算法则的掌握情况和复数模的计算，本题计算量小，属于基础题．3. 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第2天所织布的尺数为（ ） A.2031B.531C.1031D.4031【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意，得到该女子每天所织布的长度构成等比数列，根据题意求出首项和公比，即可求出结果. 【详解】由题意可得，该女子每天所织布的长度构成等比数列，设公比为q ， 由题意知1q ≠，首项为1a ，前n 项和为n S ，由题意可得5152(1)51q a q S q =⎧⎪-⎨==⎪-⎩，解得12531q a =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以第二天织的布为211031a a q ==. 故选：C.【点睛】本题主要考查等比数列的基本量运算，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于基础题型. 4. 等差数列{}n a 的前n 项和12...n n S a a a =+++，若1031S =，20122S =，则30S =（ ） A. 153 B. 182C. 242D. 273【答案】D 【解析】试题分析：根据等差数列的前n 项和的性质：数列23243,,,,m m m m m m m S S S S S S S ---依然成等差数列可知1020103020,,S S S S S --即3031,91,122S -成等差数列，所以3091231122S ⨯=+-，解得30273S =，选D.考点：等差数列前n 项和的性质.5. 如图是一个几何体的正（ 主） 视图和侧（ 左） 视图, 其俯视图是面积为的矩形， 则该几何体的表面积是 （ ）A. 16B. 2 4+82C. 8D. 2 0+82 【答案】D 【解析】 【分析】根据俯视图是矩形，可得到几何体是一个三棱柱，然后画出几何体并根据相应数据计算表面积. 【详解】由题意可知，该几何体如图所示：则：2,22AC BC AB ===1182AB B A S =四边形14AA =， 所以()2224228220822S ⨯⎛⎫=⨯+⨯⨯+=+ ⎪⎝⎭表面积. 故选D.【点睛】本题考查利用三视图求几何体的表面积，难度较易.对于只给出三视图中的一部分视图，可通过条件将完整的三视图画出，然后再求解表面积或体积.6. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为5y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ）A. 221810x y -=B. 22145x y -=C. 22154x y -=D. 22143x y -=【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可得b a =，双曲线焦距26c =，结合,,a b c 的关系，即可求出结论.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为2y x =，则2b a =.① 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9.②由①②解得a ＝2，bC 的方程为22145x y -=.故选：B.【点睛】本题考查椭圆、双曲线的标准方程以及双曲线的简单几何性质，属于基础题.7. 已知点A ()1,0-，B (1,3)，向量a ＝()21,2k -，若AB ⊥a ，则实数k 的值为( ) A. 2- B. 1-C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】先求出AB 的坐标，再利用0AB a ⋅=求出k 的值.【详解】由题得(2,3)AB =，因为AB ⊥a ，所以4260, 1.AB a k k ⋅=-+=∴=- 故答案为B【点睛】（1）本题主要考查向量的坐标运算和向量垂直的坐标表示，考查数量积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则12120a b x x y y ⊥⇔+=. 8. 已知ABC 的内角A ，B ，C 成等差数列，若()3sin sin 5B αα+=+，则()sin 300α+︒=（ ） A.35B. 45-C.45D. 35【答案】D 【解析】 【分析】由等差中项的性质求出B ，再由辅助角公式得到()3cos 305α︒+=，最后再由诱导公式计算可得； 【详解】解：∵A ，B ，C 成等差数列，∴2B A C =+，又180A B C ++=︒，∴60B =︒，由()3sin 60sin 5αα︒+=+得，13sin 25αα-=，∴()3cos 305α︒+=，则()()()3sin 300sin 27030cos 305ααα+︒=︒+︒+=-︒+=-，故选：D ．9. 已知函数()sin f x x x ωω=()0ω>的图像与直线2y =交于,A B 两点，若AB 的最小值为π，则函数()f x 的一条对称轴是（ ）A. 3x π=B. 4x π=C. 6x π=D. 12x π=【答案】D 【解析】 【分析】化简得()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题可得周期为π，即可求出2ω=，令2,32πππ+=+∈x k k Z 求出对称轴即可得出答案.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()f x 直线2y =交于,A B 两点，且AB 的最小值为π，T π=，则22T πω==，即()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令2,32πππ+=+∈x k k Z ，则,122k x k Z ππ=+∈， ()f x ∴的对称轴为,122k x k Z ππ=+∈， 当0k =时，12x π=.故选：D.【点睛】本题考查正弦型函数的对称轴问题，解题的关键是利用辅助角公式化简函数得出周期，求出解析式，即可解决.10. 在平面直角坐标系中，双曲线C 的标准方程为2221(0)4x y t t t-=>+，则双曲线的离心率取得最大值时，双曲线的渐近线方程为（ ） A. 2y x =± B. 3y x =±C. 12y x =±D. 13y x =±【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得c e a ==利用基本不等式求出离心率的最大值，即可求出t ，从而求出双曲线方程，即可求出渐近线；【详解】解：因为0t >，依题意可得双曲线2221(0)4x y t t t-=>+的离心率c e a ====≤=当且仅当4t t=即2t =时，等号成立，此时离心率最大， 故双曲线的标准方程为22182y x -=，所以双曲线的渐近线方程为y x =，即12y x =±故选：C【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．11. 曲线2y x=与直线1y x =-及1x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A. 2ln 2- B. 12ln 22- C. 2ln2+ D. 12ln 22+【答案】B 【解析】由曲线2 yx =与直线1y x=-联立，解得1x=-，2x=，故所求图形的面积为2221121112ln|2ln222S x dx x x xx⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰，故选B.12. 已知曲线1C：()xf x xe=在0x=处的切线与曲线2C：()()lna xg x ax=∈R在1x=处的切线平行，令()()()h x f x g x=，则()h x在()0,∞+上（）A. 有唯一零点B. 有两个零点C. 没有零点D. 不确定【答案】A【解析】【分析】先对函数()xf x xe=和()lna xg xx=求导，根据两曲线在1x=处的切线平行，由导数的几何意义求出a，得到函数()()()ln xh x f x g x e x==，对其求导，利用导数的方法判定单调性，确定其在()0,∞+上的最值，即可确定函数零点个数.【详解】∵()xf x xe=，∴()()1xf x x e'=+，又()lna xg xx=，∴()2lna a xg xx-'=，由题设知，()()01f g'='，即()02ln1101a ae-+=，∴1a=，则()()()lnlnx xxh x f x g x xe e xx==⋅=，∴()()ln1lnxxxx x eeh x e xx x+=='+，0x>，令()ln 1m x x x =+，0x >，则()ln 1m x x '=+，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '<，即函数()ln 1m x x x =+单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，即函数()ln 1m x x x =+单调递增；∴在()0,∞+上()m x 的最小值为1110m e e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， ∴()0m x >，则()0h x '>， ∴()h x ()0,∞+上单调递增，且()10h =.()h x 在()0,∞+上有唯一零点，故选：A ．【点睛】思路点睛：利用导数的方法判定函数零点个数时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，确定函数极值和最值，即可确定函数零点个数.（有时也需要利用数形结合的方法进行判断）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应位置上.13. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()26f x x =-，则()4f =_____．【答案】10- 【解析】 【分析】根据函数()f x 为奇函数，得()4(4)f f =--，代入解析式计算即可.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()24(4)4610f f ⎡⎤=--=---=-⎣⎦. 故答案为：10-.14. 已知圆2240x y x a +-+=截直线0x -=所得的弦长为a 的值为_____.【答案】0 【解析】 【分析】将圆化为标准方程，得圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理列式求解.【详解】圆2240x y x a +-+=化为标准方程为()2224x y a -+=-，所以圆心坐标为(2,0)，半径为r .由题意圆心到直线的距离为212d ==，则2414a -=+=，则0a =. 故答案为：015. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的体积为____________.【答案】 【解析】【分析】根据正方体的表面积，可得正方体边长a ，然后计算外接球的半径2R a =，利用球的体积的公式，可得结果.【详解】设正方体边长a ，正方体外接球的半径为R ， 由正方体的表面积为24，所以2624a =，则2a =，又R =，所以R ， 所以外接球的体积为：334433R ππ==.故答案为：.【点睛】方法点睛：求多面体的外接球的表面积和体积问题关键是要求出外接球的半径，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.16. 若对(,1]x ∈-∞-时，不等式21()2()12xxm m --<恒成立，则实数m 的取值范围是____________..【答案】()2,3- 【解析】 【分析】运用换元法,参变分离法来求解不等式恒成立问题.【详解】不等式()21212xxm m ⎛⎫--< ⎪⎝⎭转化为2214x xm m +-<,化简为2211()22x x m m -<+， 令12x t =,又(],1x ∈-∞-,则[)2,t ∈+∞, 即22m m t t -<+恒成立，令2()f t t t =+，又[)2,t ∈+∞， 当2t =时，()f t 取最小值min ()(2)6f t f ==，所以，26m m -<恒成立,化简得260m m --<，解不等式得23m -<<. 故答案：()2,3-【点睛】方法点晴：本题考查了不等式恒成立问题,在求解过程中运用了参变分离法,注意题目中变量的取值范围.三．解答题：本大题共6小题，共70分，请将答案写在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 是等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，35a =，749=S . （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）若数列{}n b 满足12n n n b s s +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-，2n s n =；（2）21n nT n =+. 【解析】 【分析】（1）根据条件列出式子求出数列{}n a 的首项和公差，即可求出通项公式和前n 项和； （2）可得112+1n b n n ⎛⎫=-⎪⎝⎭，利用裂项相消法即可求出. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则3171+25767+492a a d S a d ==⎧⎪⎨⨯==⎪⎩，解得1a 1,d 2， ()1+1221n a n n ∴=-⨯=-，()21+212n n n S n -==；（2）()2112+1+1n b n n n n ⎛⎫===- ⎪⎝⎭， 1111122122311n n T n n n ⎛⎫∴=-+-++-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.18. 已知函数()2cos sin 222x x x f x⎫=-⎪⎭． （1）求()f x的最小正周期和单调递增区间；（2）在ABC 中，1AB =，()1=f C ，且ABC sin sin A B +的值． 【答案】（1）2T π=，单调递增区间为()5112,2,66k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）1+. 【解析】【分析】（1）化简解析式即可得()2cos 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）由()1=f C，求出6C π=，再利用面积公式以及余弦定理代入求解出,a b ，利用正弦定理求出sin sinA B +.【详解】（1）()22sin cos sin 2cos 2226x x x f x x x x π⎛⎫=-=-+=+ ⎪⎝⎭2T π=，由()222,6πππππ+≤+≤+∈k x k k z ，得单调递增区间为()5112,2,66k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由()31=+f C ，∴2cos 3316π⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭C ，∴1cos 62π⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ， ∵()0,C π∈，∴7,666πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦C ，∴63C ππ+=，即6C π=. 由ABC 的面积为3，∴31sin 26π=ab ，∴23=ab ． 由余弦定理可得：2212cos 2π=+-a b ab ，可得：227a b +=，联立解得：2,3a b ==；或2,3==b a ．∴23+=+a b ．∴sin sin sin 12===A B C a b c ． ∴()13sin sin 12+=+=+A B a b ． 【点睛】关于三角函数解析式的化简问题，首先需要利用和差公式或者诱导公式展开化为同角，其次利用降幂公式进行降次，最后利用辅助角公式进行合一变换，最终得到()()sin f x A x =+ωϕ的形式. 19. 如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，AB ∥CD ，122AB AD CD ===，点M 在线段EC 上．（1）当点M 为EC 中点时，求证：BM ∥平面ADEF ；（2）当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为66M 在线段EC 上的位置． 【答案】（1）证明见解析；（2）点M 为EC 中点.【解析】【分析】（1）以直线DA 、DC 、DE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法可证明；（2）设()01EM EC λλ=≤≤，求出平面BDM 和平面ABF 的法向量，根据题意建立关系即可求出λ，得出结果.【详解】（1）以直线DA 、DC 、DE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,4,0)C ，(0,0,2)E ，所以(0,2,1)M .∴(2,0,1)BM =-又(0,4,0)DC =是平面ADEF 的一个法向量.∵0BM DC ⋅=即BM DC ⊥，BM ⊄平面ADEF ，∴BM ∥平面ADEF ；（2）设(,,)M x y z ，则(,,2)EM x y z =-，又(0,4,2)EC =-，设()01EM EC λλ=≤≤，则0,4,22x y z λλ===-，即(0,4,22)M λλ-.设111(,,)n x y z =是平面BDM 的一个法向量，则11112204(22)0DB n x y DM n y z λλ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩， 取11x =得11y =-，此时显然1λ=时不符合，则121z λλ=-， 即2(1,1,)1n λλ=--， 又由题设，(2,0,0)DA =是平面ABF 的一个法向量，∴cos ,22DA n DA n DA n ⋅===⋅，解得12λ=， 即点M 为EC 中点.【点睛】利用法向量求解空间面面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20. 已知椭圆22:24C x y +=（1）求椭圆C 的标准方程和离心率；（2）是否存在过点()0,3P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）22142x y+=，e =；（2）存在，7x＝0或7x ﹣＝0 【解析】【分析】（1）将椭圆方程化为标准方程，可得a ，b ，c ，由离心率公式可得所求值；（2）假设存在过点P （0，3）的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =，可设直线l 的方程为x ＝m （y ﹣3），联立椭圆方程，消去x 可得y 的二次方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量共线的坐标表示，化简整理解方程，即可判断是否存在这样的直线．【详解】（1）由22142x y+=，得2,a b ==c ==，2c e a ==； （2）假设存在过点P （0，3）的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =，可设直线l 的方程为x ＝m （y ﹣3），联立椭圆方程x 2+2y 2＝4，可得（2+m 2）y 2﹣6m 2y +9m 2﹣4＝0，△＝36m 4﹣4（2+m 2）（9m 2﹣4）＞0，即m 2＜47， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2＝2262m m +，y 1y 2＝22942m m-+，① 由2PB PA =，可得（x 2，y 2﹣3）＝2（x 1，y 1﹣3），即y 2﹣3＝2（y 1﹣3），即y 2＝2y 1﹣3，②将②代入①可得3y 1﹣3＝2262m m +，y 1（2y 1﹣3）＝22942m m -+， 消去y 1，可得22232m m ++•22322m m -+＝22942m m -+，解得m 2＝2747<，所以7m =±， 故存在这样的直线l ，且方程为7x＝0或7x﹣＝0．【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．21. 已知函数()e ln xb f x a x x=-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为22x y ---0e =. （1）求a ，b 的值；（2）证明函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()02ln 22f x <-.【答案】（1）2,1a b ==（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，可得f '（1）a =，f （1）be =-，结合已知切线方程即可求得a ，b 的值；（2）利用导数可得0000002()221x e f x lnx lnx x x =-=--，0(1,2)x ∈，再构造新函数2()2,121h x lnx x x =-<<-，利用导数求其最值即可得证．【详解】（1）函数的定义域为(0,)+∞，2()()x x a b xe e f x x x -'=-， 则f '（1）a =，f （1）be =-，故曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为0ax y a be ---=，又曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为220x y e ---=，2a ∴=，1b =；（2）证明：由（1）知，()2x e f x lnx x =-，则22()x xx xe e f x x -+'=， 令()2x x g x x xe e =-+，则()2x g x xe '=-，易知()g x '在(0,)+∞单调递减，又(0)20g '=>，g '（1）20e =-<，故存在1(0,1)x ∈，使得1()0g x '=，且当1(0,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1(x x ∈，)+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减， 由于(0)10g =>，g （1）20=>，g （2）240e =-<，故存在0(1,2)x ∈，使得0()0g x =，且当0(0,)x x ∈时，()0>g x ，()0f x '>，()f x 单调递增，当0(x x ∈，)+∞时，()0<g x ，()0f x '<，()f x 单调递减，故函数存在唯一的极大值点0x ，且00000()20x x g x x x e e =-+=，即00002,(1,2)1x x e x x =∈-， 则0000002()221x e f x lnx lnx x x =-=--， 令2()2,121h x lnx x x =-<<-，则222()0(1)h x x x '=+>-， 故()h x 在(1,2)上单调递增，由于0(1,2)x ∈，故0()h x h <（2）222ln =-，即00222221lnx ln x -<--， 0()222f x ln ∴<-． 【点睛】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查推理论证能力，属于中档题．选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修44-：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 过点(0,2)P ，倾斜角为2παα⎛⎫≠ ⎪⎝⎭.以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：2cos 2sin 0ρθθ-=.（1）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，M 为AB 中点，且满足||,||,||PA PM PB 成等比数列，求直线l 的斜率.【答案】（1）l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩(t 为参数)，C 的直角坐标方程为：22x y =；（2）斜率为2±. 【解析】【分析】（1）根据直线过点P ，及倾斜角α，代入公式，即可求得l 的参数方程，将曲线C 左右同乘ρ，利用cos ,sin x y ρθρθ==即可求得曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，可得关于t 的一元二次方程，根据t 的几何意义及题干条件，可得212122t t t t +⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可求得答案.【详解】（1）因为直线l 过点(0,2)P ，倾斜角为2παα⎛⎫≠ ⎪⎝⎭， 所以直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩(t 为参数)， 因为2cos 2sin ρθθ=，所以22cos 2sin ρθρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为：22x y =； （2）将直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩(t 为参数)代入22x y =可得：22cos 2sin 40--=t t αα， 设A,B 所对应的参数为12,t t ，所以1212222sin 4,cos cos t t t t ααα-+=⋅=， 因为||,||,||PA PM PB 成等比数列， 所以212122t t t t +⎛⎫= ⎪⎝⎭，即242sin cos os 4c ααα=， 解得2tan 4α=，tan 2α=±，故直线l 的斜率为2±.【点睛】解题的关键是熟练掌握极坐标与普通方程、参数方程与普通方程的互化；在利用t 的几何意义时，要将直线参数方程的标准形式代入到曲线的直角坐标方程里，方可进行求解，考查计算化简的能力，属基础题. [选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数()21f x x a x =-+-,()a R ∈.（1）当1a =时,求()2f x ≤的解集;（2）若()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）403x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭（2）51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）当1a =时,()21121f x x a x x x =-+-=-+-,当()2f x ≤,即1212x x -+-≤,分别讨论12x ≤,112x <<和1≥x ,去掉绝对值,即可求得答案; （2）因为()21f x x ≤+的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,不等式()21f x x ≤+恒成立,结合已知,即可求得答案.【详解】（1）当1a =时,()21121f x x a x x x =-+-=-+-,当()2f x ≤,即1212x x -+-≤ 上述不等式可化为121122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩,或1121212x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩,或11212x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩,102x ∴≤≤或112x <<或413x ≤≤, ∴原不等式的解集为403x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. （2）()21f x x ≤+的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦, ∴当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,不等式()21f x x ≤+恒成立, 即在2121x a x x -++≤+1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立, 2121x a x x ∴-+-≤+,即2x a -≤,22x a ∴-≤-≤,22x a x ∴-≤≤+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立, ()()max min 22x a x ∴≤-≤-,512a ∴-≤≤, a ∴的取值范围为51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解,以及绝对值三角不等式的应用,其中解答中熟记含绝对值不等式的解法,以及合理应用绝对值的三角不等式求解最值是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档题.。
