高等数学上作业

一般班高数作业（上）第一章 函数1、试判断以下每对函数是不是同样的函数，并说明原因： （2） y sin(arcsin x) 与（6） yarctan(tan x) 与 y x ；（4）y x ；（8）y x 与 y x2；y f ( x) 与 xf ( y) 。

解：判断两个函数的定义域和对应法例能否同样。

（2） y sin(arcsin x) 定义域不一样，所以两个函数不一样；（4） y x 2x ，两个函数同样；（6） y arctan(tan x) 定义域不一样，所以两个函数不一样；（8） yf (x) 与 xf ( y) 定义域和对应法例都同样，所以两个函数同样。

2、求以下函数的定义域，并用区间表示：x 211（2） yx；（7） y ex x；（3） y 2 xarcsinln 1x解：（2） x [ 2,0) ；（3） x [1 e 2 ,0) (0,1 e 2 ] ；（7） x(0, e)(e,) 。

1 。

1 ln xf (x)x 2 1, x 03、设 1x 2, x ，求 f ( x) f ( x) 。

解：按 x 0 ， x 0 ， x 0 时，分别计算得， f (x)0 x 0f ( x)x 。

2 04、议论以下函数的单一性（指出其单增区间和单减区间） ：（2） y4xx2；（4） y x x 。

解：（2） y 4xx24 ( x 2) 2单增区间为 [0,2] ，单减区间为 [ 2,4] 。

（4） yx x2x x 0) 。

0 x ，定义域为实数集，单减区间为 ( ,5、议论以下函数的奇偶性：（2）f ( x) x x2 1 tanx ；（3）f (x) ln( x2 1 x)；（6） f ( x) cosln x ；1 x, x 0 （7） f (x)x, x 0。

1解：（2）奇函数；（3）奇函数；（ 6）非奇非偶函数；（ 7）偶函数。

6、求以下函数的反函数及反函数的定义域：2x), D f ( ,0) ；（） f ( x) 2x 1, 0 x 1（）。

高数作业的常见题型与解题方法高等数学作业中的题型多样而复杂，每一种题型都有其独特的解题方法。

在面对这些挑战时，理解题型和掌握解题策略是关键。

高数作业常见的题型可以分为几个主要类别，每种题型都有其解决的窍门和技巧。

首先，函数与极限题型是高数作业中常见的一类。

这类题目通常要求学生分析函数的性质、计算极限值。

要解决这类题目，首先需要对函数的定义域、连续性和极限进行深入理解。

常用的方法包括代入法、极限法则以及洛必达法则。

代入法适用于简单的极限计算，而洛必达法则则在遇到形式不确定的极限时提供了强有力的工具。

其次，导数和微分的题型也是高数作业中的重点。

导数的计算不仅涉及到基本的求导法则，还包括应用导数进行函数的极值分析。

常用的解题方法包括利用导数的定义求解导数值，以及通过链式法则、积商法则等规则进行复杂函数的求导。

在微分方程的解题中，首先需要确认方程的类型，然后选择合适的方法，如分离变量法、积分因子法等，进行求解。

第三，积分题型则要求学生掌握多种积分技巧。

常见的积分题型包括不定积分和定积分。

解决这类题目时，首先需要选择合适的积分方法，如换元法、分部积分法等。

对于定积分，常常需要利用牛顿-莱布尼茨公式以及积分的性质进行计算。

对积分区域的充分理解和图形的直观判断也有助于提高解题的准确性和效率。

此外，高数作业中的级数题型也不容忽视。

这类题目通常要求学生分析级数的收敛性，并计算其和。

常用的方法包括比值法、根值法以及利用级数的性质进行判断。

在处理级数问题时，需要对常见的收敛判别准则有深入的掌握，以确保得到正确的结论。

在面对这些高数题型时，系统化的学习和不断的练习是提高解题能力的关键。

理解每种题型的基本概念、掌握解题方法的应用，并通过大量的习题进行巩固，最终能够让学生在高数作业中游刃有余。

每一种题型都是高数学习过程中的重要组成部分，通过深入的分析和实践，最终能够在解决问题时获得更高的自信和能力。

高等数学作业题（一）第一章 函数1、填空题（1）函数1142-+-=x x y 的定义域是 2、选择题(1)下列函数是初等函数的是（ ）。

A.3sin -=x y B.1sin -=x y C.⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,01,112x x x x yD. ⎩⎨⎧≥<+=0,0,1x x x x y (2)xy 1sin =在定义域内是（ ）。

A. 单调函数 B. 周期函数 C. 无界函数 D. 有界函数3、求函数2)1ln(++-=x x y 的定义域4、设,1)(2+-=x x x f 计算xf x f ∆-∆+)2()2(5、要做一个容积为250立方米的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍，设池底单位造价为a 元，试将总造价表示为底半径的函数。

6、把一个圆形铁片，自中心处剪去中心角为α的一扇形后，围成一个无底圆锥，试将此圆锥体积表达成α的函数。

第二章 极限与连续1、填空题（1）32+=x y 的间断点是 （2）0=x 是函数x x y +=1的第 类间断点。

（3）若极限a x f x =∞→)(lim 存在，则称直线a y =为曲线=y ()x f 的 渐近线。

（4）有界函数与无穷小的乘积是（5）当0→x ，函数x 3sin 与x 是 无穷小。

（6）xx x 1)21(lim 0+→= （7）若一个数列{}n x ，当n 时，无限接近于某一个常数a ，则称a 为数列{}n x 的极限。

（8）若存在实数0>M ，使得对于任何的R x ∈，都有()M x f <，且()0lim 0=→x g x ， 则()()=→x g x f x 0lim （9）设x y 3sin =，则=''y(10) x x x)211(lim -∞→=2、选择题（1）xx x sin lim 0→的值为（ ）。

A.1 B.∞ C.不存在 D.0 （2）当x →0时，与3100x x +等价的无穷小量是( )。

《高等数学》考题，内容包括第一、二、三章一、选择题： １．函数)1ln(1)(++=x xx f 的定义域是（ c ） Ａ．)0,1(- Ｂ．),0(+∞Ｃ．),0()0,1(+∞- Ｄ．),0()0,(+∞-∞2．=+→x x x 1)21(lim （ c ） Ａ．e Ｂ．e Ｃ．2e Ｄ．１3．)32cos()431sin(ππ+++=x x y 的周期是（d ） Ａ．π2 Ｂ．π6 Ｃ．π4 Ｄ．π124．设)(x f 是奇函数，当0>x 时，)1()(x x x f -=，则0<x 时，)(x f 的解析式是（ b ）Ａ．)1(x x -- Ｂ．)1(x x + Ｃ．)1(x x +- Ｄ．)1(--x x5．函数21x y -=，)01(≤≤-x 的反函数是（ c ）A ．21x y --= )01(≤≤-xB ．21x y --= )10(≤≤xC ．21x y -= )10(≤≤xD ．21x y -= )11(≤≤-x6．在下列各函数中，表示同一函数的是（ b ）A ．2x y =与2)(x y =B ．x y sin =与x y 2cos 1-=C ．x x y -+=12与xx y ++=112 D ．)12ln(2+-=x x y 与)1ln(2-=x y 7．x x 2sin sin 2-=α, x cos 1-=β, 则当0→x 时，α与β的关系是（d ）A ．βα~B ．β是比α高阶的无穷小C ．βα,是同阶无穷小D ． α是比β高阶的无穷小 8．在区间)0,∞-（内与xx x y 32-=是相同函数的是（ b ）A ．x -1B ．x --1C ．1--xD ．1-x9．设)999()2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f （ c ）A ．999B ．999⨯999C ．999!D ．-999!10．若)(0x f '存在，则=∆∆--∆+→∆x x x f x x f x )()2(lim000（ c ） A ．)(0x f 'B ．)(20x f 'C ．)(30x f 'D ．)(40x f ' 11．函数24121arcsinx x y -+-=的定义域是（ d ） A ．[-2, +2] B ．[-1, 2] C ．[-1, 2] D ．(-1, 2)12．函数x x y --=22的图形（ a ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．不是对称图形13．当0→x 时，下列式子是无穷小量的是（ c ）A ．xx sin B ．x x 1)1(+ C ．x x 1sin 31 D ．x 1sin 14．曲线x x y 33-=在点（2，2）处的法线方程为（ b ）A ．)2(912-=-x y B ．92091+-=x y C ．9291+-=x y D ．)2(92-=-x y15．x nx ex λ∞→lim （n 为自然数，0>λ）的极限是（ b ） A ．1 B ．不存在 C ．0 D ．nλ1 16．x x f sin )(=在0=x 处的导数是（ a ）A ．0B ．2C ．不存在D ．117．当∞→n 时比21n 低价无穷小的应是以下中的（ d ） A ．21sin n B ．35-n C ．321n n + D ．n18．下列函数中不是初等函数的有（d ）A ．x x y sin =B ．x x y ++=)1log(2C ．2cos 2arcsin x x y ⋅=D ．x x sin 19．=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x x 3sin 2sinlim 0（ b ） A ．0 B ．3 C ．5 D ．220．函数x x x f -=3)(在[0, 3]上满足罗尔定理的=ζ（ d ）A ．0B ．3C ．23D ．2二、填空题（每小题4分，共20分）1．曲线2t x =, t y 2=在1=t 对应点处的切线方程是 y=x+1 。

武汉理工大学高等数学（上）网上机考作业一一、单选(共计100分,每题2.5分)答案：A2、下列函数表示同一函数的是（）答案：C3、设，则下列说法中正确的是（）A. 无间断点B. 只有一个间断点C. 只有2个间断点D. 只有3个间断点答案：B4、设，则 ( )答案：B5、以下结论正确的是（）A. 函数的导数不存在的点，一定不是的极值点B. 若为的驻点，则必为的极值点C. 若在处有极值，且存在，则必有 =0D. 若在处连续，则一定存在答案：B答案：C7、函数及其图形在区间上( )A. 单调减少上凹B. 单调增加上凹C. 单调减少上凸D. 单调增加上凸答案：A8、若的一个原函数是，则（）答案：B9、曲线的垂直渐近线方程（）A. 仅为 x=-3B. 仅为 x=1C. 为x=3 和 x=1D. 不存在答案：D10、设，则（）答案：C11、设 =1，则在处，当时与相比较为( )A. 低阶无穷小量B. 高阶无穷小量C. 同阶但不等价D. 等价无穷小量答案：D答案：D13、设，则k= （）答案：A14、曲线的拐点是（）A. （2，0）B. （1，-1 ）C. （0 ，-2 ）D. 不存在的答案：B15、下列积分中，积分值为零的是（）答案：B16、用区间表示满足不等式所有x的集合是( )答案：B17、曲线的凸区间是（）答案：A答案：B19、下列函数中，哪个函数是在x=1 处没有导数的连续函数（）答案：B20、函数的定义域为( )答案：D21、广义积分当p 满足下列哪个条件时收敛（）答案：A22、设，则（）答案：B23、定积分作适当变换后应等于（）答案：A24、设，则在x=0处，当时与相比较为( )A. 低阶无穷小量B. 高阶无穷小量C. 同阶但不等价D. 等价无穷小量答案：C25、函数为（）A. 基本初等函数B. 复合函数C. 初等函数D. 分段函数答案：B26、函数及其图形在区间上( )A. 单调减少上凹.B. 单调增加上凹.C. 单调减少上凸.D. 单调增加上凸.答案：D27、下列关系式正确的是（）答案：B28、设，则 a =( )答案：C29、极限（）答案：B30、设，则（）答案：C31、设则（）答案：C32、 x=1 是函数的（）A. 连续点B. 可去间断点C. 跳跃间断点D. 无穷间断点答案：C答案：C答案：C35、下列极限存在的是（）答案：C36、设函数在上连续，则定积分等于 ( )答案：D37、函数及其图形在区间上( )A. 单调减少上凹B. 单调增加上凹C. 单调减少上凸D. 单调增加上凸答案：A38、已知，则 =（）答案：D39、设都是可导函数，且，则等于（）答案：B40、函数在区间[0，2]上（）A. 单调增加B. 单调减少C. 不增不减D. 有增有减答案：A。

微分方程作业11．设L 是一条平面曲线，其上任意一点(,)(0)P x y x >到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 过点(1,0).求曲线L 所满足的微分方程.y xy '=-，1|0x y ==]2．利用代换cos u y x=将方程cos 2sin 3cos x y x y x y x e '''-+=化简.[4xu u e ''+=] 3．验证由方程ln()y xy =所确定的函数为微分方程2()20xy x y xy yy y '''''-++-=的解.微分方程作业21．求下列微分方程的通解或特解：（1）2cos 0y y x '-=；[1(sin )y x C -=-+]（2）2(1)x y xy '+=，0|1x y ==；[y =（3）cos d (1)sin d 0xy x e y y -++=，0|4x y π==.[cos 1)4xy e =+] 2．一曲线上任意一点处的法线都过原点，且点(2,2)在该曲线上，求这一曲线的方程. [228x y +=]3．假定物体在空气中的冷却速度是正比于该物体的温度和它周围的空气温度之差. 若室温为020c 时，一物体由0100c 冷却到060c 须经过20分钟，问共经过多少时间方可使此物体的温度从开始时的0100c 降低到030c .[60分钟]微分方程作业31．求下列微分方程的通解或特解： （1）sin cos xy y x e'-=；[sin ()xy ex C =+]（2）3(2)2(2)x y y x '-=+-；[3(2)(2)y x C x =-+-]（3）d sin d y y x x x x +=，|1x y π==. [1(1cos )y x xπ=--] 2．已知某曲线经过点(1,1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程. [(1ln )y x x =-]3．设可导函数()f x 满足0()cos 2()sin d 1x f x x f t t t x +=+⎰，求()f x .[()sin cos f x x x =+]微分方程作业41．求下列微分方程的通解或特解： （1）40y y '''-=；[412xy C C e =+] （2）6130y y y ''''++=；[312(cos 2sin 2)xy eC x C x -=+]（3）20y y y ''''-+=，0|2x y ==，0|3x y ='=. [2xxy e xe =+]2．设圆柱形浮筒，直径为0.5m ，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为2s ，求浮筒的质量.[约195kg]微分方程作业51．求下列微分方程的通解或特解：（1）22364y y y x x '''-+=-+；[/2212x x y C e C ex =++]（2）452xy y y e '''-+=；[212(cos sin )xx y e C x C x e =++] （3）369(64)xy y y x e '''-+=-；[32312(2)xy e C C x x x =+-+] （4）4xy y xe ''-=,(0)0y =,(0)1y '=.[2(1)xxy x x e e -=-+-]2．设函数()f x 连续，且满足0()2()d ()d x xx f x e tf t t x f t t =+-⎰⎰，求()f x .[()cos sin xf x x x e =++]3．已知21x x y xe e =+，2x xy xe e -=+，23xxx y xe ee -=+-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，求此微分方程.[2y y y '''--(12)xx e =-]无穷级数作业11．判别下列级数的收敛性：（1）111()22n n n ∞=+∑；（2）1(n ∞=∑；（3）211(1cos )n n n ∞=-∑；（4）13(1)n nn n n ∞=+∑. 2．设级数1n n u ∞=∑的部分和为111n s n n n =++++ ，求级数的一般项n u 及和s . [11212n u n n=--；ln 2s =] 3．已知lim 0n n nu →∞=，级数11(1)()n n n n uu ∞+=+-∑收敛，证明级数1n n u ∞=∑也收敛.无穷级数作业21．用比较审敛法或其极限形式判别下列级数的收敛性：（1）21223n n n ∞=++∑；（2）221cos n n n ∞=∑；（3）1sin 2nn π∞=∑；（4）1sin 2n n π∞=∑； （5）11)n n ∞=+；（6）11(0)1nn a a∞=>+∑. 2．若级数21nn a∞=∑及21nn b∞=∑都收敛，证明级数21()nn n ab ∞=+∑也收敛.3．设n n n a b c ≤≤，若级数1nn a∞=∑及1nn c∞=∑都收敛，证明级数1nn b∞=∑也收敛.4．判别下列级数的收敛性：（1）312n n n ∞=∑；（2）1!n n n n ∞=∑；（3）12!()nn n n ∞=∑；（4）2212123()32n n n n ∞-=++∑；（5）2111()3n n n n n ∞=+∑；（6）11()(0)nn a a n ∞=+>∑. 5．判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？ （1）1(1)n n ∞-=-∑（2）21(1)ln n n n n ∞=-∑；（3）21(2)n n n ∞=-∑；（4）11(1)ln n n n n -∞=--∑. 无穷级数作业31．求下列幂级数的收敛域：（1）20214nnn n x ∞=+∑；（2）210(1)21n n n x n ∞+=-+∑；（3）1n n ∞=. [（1）(2,2)-；（2）[1,1]-；（3）[4,6)]2．求下列幂级数的和函数： （1）1(1)n n n x ∞=-∑；[21()(2)x s x x -=-，(0,2)x ∈]（2）21(1)21n n n xn ∞+=-+∑；[()arctan s x x =，[1,1]x ∈-] （3）1(1)n n n n x ∞=+∑. [32()(1)xs x x =-，(1,1)x ∈-] 无穷级数作业41．将下列函数展开成x 的幂级数： （1）ln()(0)a x a +>；[11(1)ln n nnn a x na-∞=-+∑，a x a -<<] （2）2x；[ln 2!n nn x n ∞=∑，x -∞<<+∞] （3）(1)ln(1)x x ++.[2(1)(1)n nn x x n n ∞=-+-∑，11x -<≤] 2．将下列函数()f x 展开成(1)x -的幂级数：(1) 21()56f x x x =-+；[101(1)(1)2nn n x ∞+=--∑，02x <<](2) 21()(3)f x x =-.[111(1)2n n n n x ∞-+=-∑，13x -<<]空间解析几何作业11．把ABC ∆的BC 边三等分，设分点依次为1D 、2D . 试以向量AB c = 、AC b =表示向量1AD 和2AD .[21133AD c b =+ ，12233AD c b =+]2．在y 轴上求与点(1,3,7)A -和点(5,7,5)B -等距离的点.[(0,2,0)]3．已知模为26的向径OA 与向量(3,4,12)a =同向，求点A 的坐标.[(6,8,24)]4．已知两点A 和(3,0,2)B ，求与向量AB 平行的单位向量及向量AB的方向角.[单位向量：11(,)222±-；方向角：23π、34π、3π] 空间解析几何作业21．已知(1,1,0)AB = ，(1,0,1)AC = ，求BAC ∠、AB AC ⨯和ABC ∆的面积.[/3π；(1,1,1)--2]2．设(2,3,1)a =- ，(1,2,3)b =-，(2,1,2)c = ，向量r满足r a ⊥ ，r b ⊥ ，Prj 14cr = ，求r.[(14,10,2)]3．设ABC ∆的三边长分别为2,3,4，求AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅.[-14.5]4．设||4a = ，||3b = ，(,)6a b π= ，求以2a b + 和3a b - 为边的平行四边形的面积.[30]5．设375a b a b +⊥- ，472a b a b -⊥- ，求(,)a b .[/3π]空间解析几何作业31．已知三点(1,1,1)A -、(2,2,2)B --和(1,1,2)C -，求过ABC ∆的重心且与ABC ∆垂直的直线方程.[321192x y z +-==-] 2．用参数方程表示直线4320x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩.[1,23,x t y t z t =-=-+=]3．求过点(1,2,3)且与直线2403520x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩垂直的平面方程.[161411450x y z --+=]4．求过点(3,1,2)-且通过直线43521x y z-+==的平面方程.[8922590x y z ---=]5．求过点(1,0,4)-，且平行于平面3410x y z -+=，又与直线13112x y z+-==相交的直线方程.[14161928x y z +-==] 空间解析几何作业41．求与坐标原点O 及点(2,3,4)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？[曲面方程：222333468290x y z x y z +++++-=；它表示一球面，球心为点24(,1,)33---2．设有xOy 平面上的一条双曲线224936x y -=. 若将这一双曲线绕x 轴旋转一周，则生成一个旋转 叶双曲面，其方程是 ；若将这一双曲线绕y 轴旋转一周，则生成一个旋转 叶双曲面，其方程是 . 3．下列方程表示什么曲面？画出其图形：（1）22442z x y =--；（2）22244x y z -+=；（3）2z y =；（4）(0,0)z xy x y =≥≥.空间解析几何作业51．分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线222222216x y z x z y ⎧++=⎨+-=⎩的柱面方程. 2．画出下列各曲面所围立体的图形，并求立体在xOy 面上的投影区域：（1）226z z x y ==--；[224x y +≤]（2）2222,2z x z x y =-=+；[221x y +≤]（3）21,0,0,1x z y z x y =-==+=；[11x -≤≤，01y x ≤≤-]（4）20,0,0,1,24,4x y z x x y z x ====+==-.[01x ≤≤，042y x ≤≤-.]多元函数微分学作业11．求下列函数的定义域，并画出其图形：（1）2ln()z y x =-（2）22arcsin()z x y =+；（3）ln(arccos(1)z x x =+-.2．计算下列极限：（1）(,)(0,2)limx y →[1/8]（2）2(,)(0,4)1cos lim ln(1)x y xyx y →-+；[2]（3）(,)limx y →多元函数微分学作业21．求下列函数的偏导数：（1）siny z x x=；（2）z =；（3）(1)y z xy =+. 2．求下列函数的二阶偏导数：（1）arctany z x=；（2）z =3．设2(,)(1)f x y x y =+-(,1)x f x '.4．设函数()u f r =二阶可导，且满足方程22224u u x y∂∂+=∂∂，其中r =()f r .[212()ln f r r C r C =++]多元函数微分学作业31．求下列函数的全微分： （1）x z xyy=+；（2）z =；（3）yz x =.2．求函数yz x=当2x =，1y =，0.1x ∆=，0.2y ∆=-时的全增量和全微分. [0.119z ∆=-，d 0.125z =-]3.[2.95]4．已知22zy x x∂=+∂，23z xy y ∂=+∂，且(0,0)0z =，求(,)z f x y =的表达式.[223z xy x y =++]多元函数微分学作业41．设vz u =，23u x y =+，v xy =，求z x∂∂. 2．求2(,23)z f xy x y =+的一、二阶偏导数.3．已知243(,)2f x x x x x =++，221(,)221f x x x x '=-+，求22(,)f x x '.[2221x x ++]4．设变换2u x y v x ay =-⎧⎨=+⎩可把方程2222260z z z x y x y ∂∂∂-+=∂∂∂∂简化为20zu v ∂=∂∂，求常数a .[3] 5．设(,)z f x y =具有二阶连续偏导数，cos ux e v =，sin u y e v =，试证：222222222()u z z z z e u v x y∂∂∂∂+=+∂∂∂∂. 多元函数微分学作业51．设ln x z z y =，求z x ∂∂、zy∂∂.2．设20x y z ++-=，求d z .3．设333z xyz a -=，求2z x y∂∂∂.4．设(,)z f x y z xyz =++，求zx ∂∂.[12121f yzf f xyf ''+''--]5．设(,)F u v 具有连续偏导数，证明由方程(,)0z zF x y y x++=所确定的函数(,)z f x y =满足z zxy z xy x y∂∂+=-∂∂. 多元函数微分学作业61．在曲线23,,x t y t z t ===上求一点，使曲线在此点的切线平行于平面21x y z ++=. [(1,1,1)--或(1/3,1/9,1/27)--]2．求曲线22222264x y z z y x ⎧++=⎨+-=⎩在点(1,1,2)处的切线及法平面方程.[切向量平行于(0,2,1)-] 3．求曲面2221ax by cz ++=在点000(,,)x y z 处的切平面方程.[0001axx byy czz ++=]4．求曲面222x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程.[2230x y z +--=]5．试证曲面(,)0f x az y bz --=上任一点处的切平面与直线:x yL z a b==平行，其中f 可微，,a b 为常数.多元函数微分学作业71．求函数322(,)333f x y x x y xy x =-+-的极值.[极小值(2,1)4f =-，极大值(2,1)4f --=]2．某厂家生产两种产品Ⅰ和Ⅱ，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品Ⅰ与生产y 单位的产品Ⅱ的总费用是：22400230.01(33)x y x xy y +++++（元）假定销售量等于生产量.求取得最大利润时，两种产品的产量各多少？[120x =，80y =] 3．要造一个容积等于k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小.[/2时，表面积最小]4．在第一卦限内作椭球面222444x y z ++=的切平面，使它在三个坐标轴上的截距平方和最小，求该切平面的方程.[224x y ++=]重积分作业11．画出积分区域，并计算下列二重积分：（1）sin d Dxx σ⎰⎰，D 由y x =，2y x =及2x =所围；[1cos 2-] （2）4d x Dσ，D 由2y x =，2x =及x 轴所围；[161(1)6e -]（3）22()d Dx y x σ+-⎰⎰，D 由y x =，2y x =及2y =所围；[136]（4）sin d Dy x σ⎰⎰，D 由2x y =，1y =及y 轴所围；[1(1sin1)2-]（5）d x yDe σ⎰⎰，D 由y x =，3x y =及2y =所围.[41(4)2e e -] 2．画出积分区域，并交换积分次序： （1）tan 40d (,)d x x f x y y π⎰⎰；（2）212d (,)d xx f x y y -⎰⎰；（3）2220d (,)d y y y f x y x ⎰⎰；（4）220d (,)d y yy f x y x ⎰⎰.3．计算22d xI x y =⎰⎰.[43]4．计算112111224d d d d y y xxy I y e x y e x =+⎰⎰⎰⎰.[38e ]5．求由平面1x y +=，曲面22z x y =+及三坐标面所围立体的体积.[16] 重积分作业21．化下列积分为极坐标形式的二次积分：（1）1d (,)d xx f x y y ⎰⎰；（2）120d (,)d y y f x y x -⎰.2．利用极坐标计算下列二重积分： （1）22d xy De σ+⎰⎰，D 由圆周224x y +=所围；[4(1)e π-]（2）arctand Dyxσ⎰⎰，D 由圆周221x y +=，224x y +=及直线0y =，y x =所围成的在第一象限内的闭区域；[23/64π]（3）1222()d Dx y σ-+⎰⎰，D 由2y x =，y x =所围；1]（4）22()d Dx y σ+⎰⎰，D 由y =，0y =所围.[12π]3．求由曲面224z x y =--与0z =所围立体的体积.[8π]重积分作业3 1．化积分(,,)d I f x y z v Ω=⎰⎰⎰为三次积分，其中Ω分别是：（1）由222z x y =+及2232z x y =--所围； （2）由2y x =，0z =及4z y =-所围. 2．计算三重积分3d d d (1)x y zx y z Ω+++⎰⎰⎰，其中Ω由1x y z ++=及三坐标面所围. [15(ln 2)28-] 3．求由曲面22z x =-与222z x y =+所围立体的体积.[32π]4．计算三重积分4d z v Ω，其中Ω由y x =，2y x =，2z π=及z x =所围.[41(1cos )1816π-] 重积分作业41．计算三重积分2d ze v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由222x y z +=与2z =所围区域.[4(1)e π-]2．计算三重积分v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由z =与2222x y z ++=所围立体区域在第一卦限部分.[1/12]3．计算三重积分22()d x y v Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由z =与0z =所围区域. [128/15π]4．求由曲面226z x y =--与z =所围立体的体积.[32/3π]5．求由曲面z =z =所围立体的体积.[41)/3π]重积分作业51．计算曲面面积（1）双曲抛物面22z x y =-被圆柱面221x y +=和224x y +=截出的部分；[/6π]（2）上半球面z =222x y x +=内部的部分；[4(2)π-]（3）曲面2232z x y =-+，(,)x y D ∈，其中D 是xOy 面的三角形，其顶点分别为(0,0)，(0,1)和(2,1).[/12]2．设一薄板所占的区域为2222:1,0x y D y a b +≤≥，且密度均匀，求此薄板的质心.[4(0,)3bπ]3．设Ω是由曲面2222z x y =+和平面4z =所围区域.一物体占有区域Ω，且密度均匀，求此物体的质心.[(0,0,8/3)]曲线积分作业11．计算下列对弧长的曲线积分：（1）32d L x y s ⎰，其中L 为半圆周x =；[256/15]（2）2d Ly s ⎰，其中L 为摆线(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-的一拱；[3256/15a ] （3）d Ly s ⎰，其中L 为由直线y x =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界；[1)/12]（4）d Ls ⎰，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围扇形的整个边界.[(2/4)2ae a π+-]2．设L 为球面2222x y z a ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周，求2d LI y s =⎰.[32/3a π]曲线积分作业21．计算()d ()d Lx y x y x y ++-⎰，其中L 是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；[34/3] （2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；[11]（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线；[14] （4）曲线221x t t =++，21y t =+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧.[32/3]2．设一个质点在(,)M x y 处受到力F 的作用，F的大小与M 到原点O 的距离平方成反比，F 的方向恒指向原点.此质点由点(,0)A a 沿椭圆22221x y a b+=按逆时针方向移动到点(0,)B b ，求力F所作的功W .[11()k b a ---]曲线积分作业31. 计算曲线积分22(2)d d Lxy y x x y -+⎰，其中L 是由曲线y =x 轴所围区域D 的正向边界曲线.[4/3]2．计算曲线积分22()d ()d Ly x y x x xy y -++⎰，其中L 是沿上半圆周y =从原点到点(2,0)的弧段.[3/4π-] 3．证明曲线积分(1,1)22(0,0)(3)d (4sin )d x y x y x y -+-⎰与路径无关，并计算积分值.[2sin 2-]4．设2d (23)d (2)d z y x x y ax y =--++，且(0,0)1z =，求常数a 及(,)z x y 的表达式. [1a =-，3221z x xy x y =--++]5．计算曲线积分22d d L x y y x I x y -=+⎰ ，其中L 是以点(1,0)为中心，R 为半径的圆周（1R >），取逆时针方向.[2π]。

高等数学（B）（1）作业1初等数学知识一、名词解释：邻域——设是两个实数，且，满足不等式的实数的全体，称为点的邻域。

绝对值——数轴上表示数的点到原点之间的距离称为数的绝对值。

记为。

区间——数轴上的一段实数。

分为开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷区间。

数轴——规定了原点、正方向和长度单位的直线。

实数——有理数和无理数统称为实数。

二、填空题1．绝对值的性质有、、、、、。

2．开区间的表示有、。

3．闭区间的表示有、。

4．无穷大的记号为。

5．表示全体实数，或记为。

6．表示小于的实数，或记为。

7．表示大于的实数，或记为。

8．去心邻域是指的全体。

用数轴表示即为9.MANZU9．满足不等式的数用区间可表示为。

三、回答题1．答：（1）发展符号意识，实现从具体数学的运算到抽象符号运算的转变。

（2）培养严密的思维能力，实现从具体描述到严格证明的转变。

（3）培养抽象思维能力，实现从具体数学到概念化数学的转变。

（4）树立发展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变。

2．答：包括整数与分数。

3．答：不对，可能有无理数。

4．答：等价于。

5．答：。

四、计算题1．解：。

2．解：。

3．解：为方程的解。

函数（P3）一、名词解释函数——设x与y是两个变量，若当x在可以取值的范围D内任意取一个数值时，变量y通过某一法则f,总有唯一确定的值与之对应，则称变量y是变量x的函数。

其中D叫做函数的定义域，f称为对应法则，集合G={y|y=f(x),x }叫做函数的值域。

奇函数——若函数的定义域关于原点对称，若对于任意的，恒有为奇函数。

偶函数——若函数的定义域关于原点对称，若对于任意的，恒有，则称函数为偶函数。

定义域——自变量的取值范围，记作。

值域——所有函数值组成的集合，记作G={y|y=f(x),x }。

初等数学——包括几何与代数，基本上是常量的数学。

三角函数：称为三角函数。

指数函数——称函数为指数函数。

复合函数——设若的值域包含在的定义域中，则通过构成的函数，记作，称其为复合函数，称为中间变量。