六年级-市北资优生培养教材-数学练习册第一章 公因数与公倍数(无解析)

沪教版六年级上册《第1章数的整除》同步练习卷A（2）一、想一想，填一填．（每小题3分，共36分）1. 既是素数又是偶数的数是________．2. 最小的合数与最小的素数的最小公倍数是________．3. 在19，29，39，49，59，69这六个数中，素数有________个。

4. 一个合数的因数至少有________．5. 一个数的最小倍数是32，它的因数有________个。

6. 把120分解素因数是，120=________．7. 在51的所有因数中，是素数的有________；是合数的有________．8. 在a=2×3×7中，a的素因数有________个，a的因数共有________个。

9. A=2×3×a，B=2×7×a，如果A、B两数的最大公因数是10，那么A=________，B=________．10. a与b是互素数，它们的最大公因数是________，最小公倍数是________．11. 在1、4、5、8四个数中，互素的数有________对，它们是________．12. 在1∼20这20个自然数中，奇数有________个，偶数有________个，素数有________个，合数有________个。

既是奇数，又是合数的数是________；既是偶数，又是素数的数是________；既不是素数，也不是偶数的数是________．二、对号入座．（将正确的答案序号选入括号内）（每小题4分，共16分）下列各组数中，互素数有（）3和5；6和9；14和15；18和1．A.1组B.2组C.3组D.4组已知甲数=2×2×3×5×7，乙数=2×3×3×5×5，那么甲数和乙数的最小公倍数是（）A.30B.210C.450D.6300下列分解素因数的正确算式是（）A.8=2×4B.9=1×3×3C.12=2×2×3D.24=2×3×4下列关于1的描述，错误的是（）A.1既不是素数，也不是合数B.1是最小的正整数C.1除以任何数都等于这个数本身D.任何一个偶数加上1都是奇数三、解答题．（共68分）对号入座。

沪教版六年级（上）数学辅导教学讲义1．理解公因数，最大公因数和素因数的意义，并会求两个数的公因数，最大公因数，知道互素和素数的区别；2．理解公倍数、最小公倍数的意义，掌握求公倍数、最小公倍数的基本方法；3．会合理使用列举法、分解素因数法、短除法求两个数的最大公因数、最小公倍数．案例1：公因数、最大公因数操作：请分别写出6的因数，8的因数；6 的因数：1 、2 、3 、6 ；8 的因数：1 、2 、4 、8 ；问题：6与8相同的因数是什么？你能否给出几个数的公因数的定义？定义：几个数共有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个数叫做这几个数的最大公因数例1：求8和9的所有公因数，并求它们的最大公因数。

解：8的因数有1，2，4，8；9的因数有1，3，9；8和9只有公因数1，因此8和9的最大公因数是1；结论：如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．练一练：1．下列每组数中的两个数不是互素的是（）A、5和6；B、21和9；C、7和11；D、25和26．2．下列每组数中的两个数是互素数的是（）A、35和36 ；B、27和36；C、7和21；D、78和26．参考答案：1．B；2．A；例2：求18和30的最大公因数．解法1：18的因数有1，2，3，6，9，1830的因数有1，2，3，5，6，10，15，3018和30的公因数有1，2，3，6最大的公因数是6解法2：把18和30分别分解素因数18＝2×3×330＝2×3×518和30全部共有的素因数是2和3，因此2和3的乘积6就是18和30的最大公因数；结论：求几个整数的最大公因数，只要把它们所有的公共素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数解法3：为了简便，也可以用短除法计算18和30的最大公因数是2×3＝6练一练：求下列各组数中的最大公因数；（1）45和75 （2）36和90 （3）48和72参考答案：（1）15；（2）18；（3）24案例2：公倍数、最小公倍数操作：请分别写出3的倍数，4的倍数；3的倍数：3，6，9，12，15，18，21，24，27…；4 的倍数：4，8，12，16，20，24，28，36，40…；问题：3与4相同的倍数是什么？你能否给出几个数的公倍数的定义？定义：几个整数的公有的倍数叫做他们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数．例：求18和30的最小公倍数．解法1：18的倍数有18，36，54，72，90，…；30的倍数有30，60，90，120，160，….所以18和30的最小公倍数是90．解法2：把18和30分解素因数18＝2×3×330＝2×3×5探究：18和30的公倍数里，应当既包含18 的所有素因数，又包括30的所有素因数，但相同的素因数可以只取一个，只要取出18，30的所有公有的素因数（1个2和1个3），再取各自剩余的素因数（3和5），将这些数连乘，所得得积2×3×3×5（90）就是30和18的最小公倍数所以18和30的最小公倍数是90（2×3×3×5）结论：求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得得积就是这两个数的最小公倍数解法3：用短除法练一练：求下列各组数中的最小公倍数；（1）36和84；（2）42和14；（3）16和24；参考答案：（1）252；（2）42；（3）48例题1：（1）因为10与11 是互素数，所以10与11的公因数是__________；（2）17和18的最大公因数是___________；（3）两个相邻正整数的最大公因数是__________；参考答案：（1）1；（2）1；（3）1试一试：（1）3和11的最大公因数是__________；（2）8和15的最大公因数是__________（2）18和36的最大公因数是__________；（3）6和48的最大公因数是__________；通过求这四组数中的最大公因数，你发现了什么规律？规律：两个整数中，如果两个数互素，那么它们的最大公因数就是1 ；如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数。

1.5 公倍数与最小公倍数思考在上海火车站，地铁1号线每隔三分钟发车，轨道交通3号线每隔4分钟发车．如果地铁1号线和轨道交通3号线早上6:00同时发车，那么至少再过多少时间它们又同时发车？分析 问题转化为求3和4的最小公倍数．3的倍数有：3，6，9，12，15，18，21，14，27，……4的倍数有：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，……3和4的倍数有：12，24，……，其中最小的是12．如果a 1，a 2，…，a n 和m 都是正整数，且1a m ，2a m ，…，n a m ，那么m 叫做a 1，a 2，…，a n 的公倍数．公倍数中最小的数叫做a 1，a 2，…，a n 的最小公倍数，记作[a 1，a 2，…，a n ] ．如对于4、8、12这一组数，显然24、48、96都是它们的公倍数，但24是这些公倍数中最小的，所以24是它们的最小公倍数，记作[4，8，12]=24．例1 求18和30的最小公倍数．解 方法一：18的倍数有18，36，54，72，90，…30的倍数有30，60，90，120，150，…所以18和30的最小公倍数为90．方法二：把18和30分解质因数18233=⨯⨯ 30235=⨯⨯只要取出所有公有的质因数（1个2和1个3），再取各自剩余的质因数（3和5），将这些数连乘，所得的积90是它们的最小公因数．方法三：用短除法来计算∴ 18和30的最小公倍数为233590⨯⨯⨯=．例2 求18和30的最小公倍数．解∴ 18和30的最小公倍数为223560⨯⨯⨯= ．，，，531593018321，2，11，6，32，12，310，12，15532练习1.51．求2520和5940的最大公因数和最小公倍数．2．用分解质因数的方法求24和90的最大公因数和最小公倍数．3．张三、李四、王五三位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张．如果已知的最小公倍数是60，x 和y 的最大公因数为4，y 和z 的最大公因数为3，那么张三发出的新年贺卡共有多少张？练习1.5答案1．180；83 1602．6；3603．4或20．提示：4是x 的约数，60是x 的整数倍，因此x 只可能是4，12，20，60．显然60x ≠．因为4是y 的因数，3是y 的因数，因此y 是12的整数倍，因此12x ≠．由此4x =或20．1.5 《公倍数与最小公倍数》练习练习1.51．15的最大因数是（ ），最小倍数是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．152．在1427=⨯中，2和7都是14的（ ）A ．素数B ．倍数C ．素因数3．有一个数，它既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（ ）A ．6B ．12C ．24D ．1444．一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有剩余，这筐苹果最少应有（ ）A ．120个B ．90个C ．60个D ．30个5．甲、乙两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，已知甲数是18，那么乙数应是（ ）A ．16B ．82C ．48D ．646．幼儿园大班有36个小朋友，中班有48个小朋友，小班有54个小朋友．按班分组，三个班的各组人数一样多，问每组最多有（ ）个小朋友．A ．2B ．4C ．6D ．87．下面算式中，被除数能被除数整除的有（ ）A ．265 5.2÷=B ．3575÷=C ．0.90.33÷=8．自然数中，所有17的倍数（ ）A ．都是偶数B ．有偶数有奇数C ．都是奇数9．有一个素数，是由两个数字组成的两位数，两个数字之和是8，两个数字之差是2，那么这个素数是几？10．一块砖底面长22厘米，宽10厘米，要铺成一个正方形地面（不要折断，只能铺整砖）至少要多少块砖？11．三个连续奇数的和是15，这三个奇数的最小公倍数是多少？12．从运动场的一端到另一端全长10米，从一端起到另一端止每隔4米插一面小红旗．现在要改成每隔5米插一面小红旗，有多少面小红旗不用移动？13．在一根长木棍上，有三种刻度线：第一种刻度线将木棍分成十等分，第二种刻度线将木棍分成十二等分，第三种刻度线将木棍分成十五等分．如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？1.5《公倍数与最小公倍数》练习答案1．D 2．C 3．B 4．C 5．C 6．C 7．B 8．B9．53 提示：这两个数字中较大的为5，较小的为3，所以这个素数是53．÷=，10．55块提示：22与10的最小公倍数为110，即正方形的边长最小为110厘米．又110225⨯=（块）．1101011÷=，因此至少要51155⨯⨯=．11．105 提示：由题意知，中间这个奇数为5，则这三个数为3，5，7，它们的最小公倍数为357105÷+= 12．6面提示：4与5的最小公倍数是20，即每隔20米有一面小红旗不用移动，因此共有1002016（面）小红旗不用移动．13．28段提示：10、12、15的最小公倍数是60，不妨设木棍的长度为60，若十等分，则每段长度为++=（条）刻度线．因6；若十二等分，则每段长度为5；若十五等分，则每段长度为4．木棍上有9111434÷-=（条）；因为5与4的为6与5的最小公倍数为30，因此十等分与十二等分重复的刻度线有603011÷-=（条）．以上重复的刻度线之间最小公倍数为20，因此十二等分与十五等分重复的刻度线有602012---=（条），即木棍总共被锯成28段．并不重复，因此刻度线共有3414227。

第一章数的整除1.3素数、合数与分解素因数练习1.3（1）1.如果有两个素数之和等于24，可以是_______+_________，___________+__________或________+________．2.在50以内的自然数中，最大的素数是________，最小的合数是_________．3.既是素数又是奇数的最小的一位数是__________．4.在20以内的素数中__________加上2还是素数．5.判断.(1)两个素数相乘的积还是素数.（）(2)任何一个自然数，它的最大因数和最小倍数都是它本身.（）(3)一个合数至少得有三个因数.（）(4)在自然数中，除2以外，所有的偶数都是合数.（）(5)12是36与48的最大公因数.（）6.有四个数，一个是最小的奇素数，一个是最小的偶素数，一个是小于30的最大素数，另一个是大于70的最小素数，求它们的和.7.一个两位素数，将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个两位素数，我们称它为“无暇素数”，求所有“无暇素数”之和.练习1.3（2）1.把330分解素因数是__________________________________．2.把66分解素因数是（）A .66=1×2×3×11B .66=6×11C .66=2×3×11D .2×3×11=663.初中年级某学生参加计算机操作技能比赛，他获得的名次、他的年龄、他的得分三者的乘积是2910.已知共有八十多人参加这次比赛，试问这个学生是第几名？成绩是多少？（计算机操作技能比赛满分为100分）4.六位数5367F E 是1375的倍数，这个六位数是______________．5.一位长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形，按照上面的过程，不断地重复，求最后剪得的正方形的边长是多少毫米？。

-公倍数与最小公倍数六年级上册数学一课一练一、单选题1.2345个小朋友，都正好分完，这筐苹果最少个小朋友或一筐苹果，平均分给个小朋友或个小朋友或）应有（A. 60B. 120C. 900D. 30 个个个个2.1260( ) 。

两个数的最大公因数是，这两个数分别是，最小公倍数是A. 112 B. 160 C. 1260 D. 12720 和和和和 3.1854 ）。

和的最小公倍数是（A. 18 B. 54C. 108D. 1624.501504的倍数的同学一朵花。

数学老师给所有编号是个同学按的顺序编号，语文老师给所有编号是～3( ) 人。

的倍数的同学一枝笔，那么既有花又有笔的同学有A. 12B. 16C. 4D. 85.961612( ) 。

的是和A. B.C. 公约数公倍数最小公倍数 6.60273 ），则这两个整数的乘积是（两个整数的和是，它们的最小公倍数是A. 273 B. 819C. 1911D. 35497.424 ）两个数的最大公因数是，那么这两个数分别是（，最小公倍数是A. 1224B. 824C. 424和和和二、判断题8. 两个非零的数字中，大数是小数的整数倍，大数是它们的最小公倍数，小数是它们的最大公因数。

9. 两个数的公倍数是有限的。

10. 两个数的最小公倍数一定大于这两个数的最大公因数。

11. 几个数的公倍数是无限的，最小的只有一个。

12.711 没有最小公倍数。

和三、填空题13.ab17ab________________ ．除以自然数的最大公因数是商是，最小公倍数是，那么如果自然数与14.1832(________)219________ 。

的最大公因数是，的最小公倍数是和和15.ab ab ab________ ，除以和，那么和都是自然数，的最大公约数是商是整数没有余数，最如果________ 。

小公倍数是16.A=2×5×7B=2×3×5×11AB________________ ．和的最大公因数是，最小公倍数是，，那么17.3648________________ 。

1．3 素数、合数与分解素因数自然数是我们最熟悉的数，全体自然数可以按照约数的个数进行分类；只有一个约数的自然数，这类数只有1；有两个约数的自然数，这类数叫做素数（也叫质数），如2，3，5，7，11，17等等，这样的数只有1和它本身两个约数，自然数中质数的个数有无限多个．有两个以上约数的自然数，这类数叫做合数，如4，6，8，9，10等等，这些数除了1与它本身两个约数外，至少还有一个另外的约数，自然数中合数的个数也有无限多个．显然，1既不是质数也不是合数；2是最小的质数，而且是质数中唯一的一个偶数；除了2以外的其他质数都是奇数．例1 找出1～100这100个自然数中所有的质数？分析 可用淘汰法来解，先划去比2大的所有2的倍数，再划去比3大的所有3的倍数，接下来再划去比5大的所有5的倍数，如此进行下去．解：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97．例2 判断3 333 334 111 111是素数还是合数？ 解: 3 333 334 111 111=3 333 333 000 000+1 111 111=1 111 111×3 000 000+1 111 111 =1 111 111（3 000 000+1） =1 111 111×3 000 001所以，3 333 334 111 111是合数．例3 桌子上有一堆石子共1001料，第一步从中扔去一粒石子，并将余下的石子分成两堆．以后的每一步，都从某个石子数目多于1的堆中扔去一粒，再把这堆分成两堆，试问：能否在若干步以后，使桌上的每一堆中都刚好有3粒石子？解：如果可能的话，假设最后剩下n 堆，每堆3粒，则在此之前一共进行了（n -1）次操作（开始时只有一堆石子，每操作一次，多分出一堆，操作（n -1）次后分成n 堆），而每次操作都扔去一粒，所以一共扔去了（n -1）粒，因此，()311001n n +-= 即41002n =上式中，左边是4的倍数，右边是2的倍数，但不是4的倍数，这样就产生了矛盾，所以，不可能在若干步后，使桌子上的每一堆中都刚好有3粒石子．练习1．3（1）1．在1到100这100个自然数中任取其中的n 个，要使这n 个数至少有一个合数，则n 至少是多少？ 2．有三张卡片，在它们上面各写着一个数字2、3、4，从中抽出一张、二张、三张按任意顺序排列起来，请你将其中的质数都写出来．3．已知P ，P ＋10，P +14都是质数，求所有这样的数P ． 答案练习13．1（1）1． 27 提示：1～100中有25个质数，又有一个1，因此至少任取27个数才能确保有一个合数． 2． 2、3、23、433． 3P = 提示：若3P k =（k 为正整数），则只有当k =1时P =3、P +10=13、P +14=17均为素数，而k ＞1时，P 为合数不符合题意；当31P k =+时，P +14=3k +15总能被3整除，是合数；当32P k =+时，10312P k +=+总能被3整除，是合数，因此P 只能等于3．思考：6，28和60可以写出哪几个素数相乘的形式？6 = 2 × 32 × 36 2 × 2 × 728 = 2 × 2 × 74 × 72860 =2 × 3 × 2 × 5 = 2 × 2 × 3 × 52 ×3 × 2 × 56 × 1060××××从上面的例子可以看出：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．例4 把48，35，60分解素因数解：48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 332 62 1 22 2 42 4 875 3 535 = 5 × 7560 = 2 × 2 × 3 × 53 1 52 3 02 6 0用短除法分解素因数的步骤如下：1．先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；2．得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止； 3．然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．质数与合数的有关性质： 1．质数有无数多个．2．2是唯一的偶质数．大于2的质数必为奇数．如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2；如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是2． 3．若质数|p ab ，则必有|p a 或|p b ．4．若正整数a 、b 的积是质数，则必有a p =或b p =．5．唯一分解定理：任何整数n （n ＞1）可以唯一地分解为：1212k a aa k n p p p =，其中12k p p p ＜＜＜是质数；12,,k a a a 是正整数．例5 已知四个质数满足1234p p p p ＜＜＜，且22221234511p p p p =+++，试求这四个质数．分析 511是一个奇数，所以这四个质数不都是奇数，即其中必有偶质数2．解：显然有12p =，代入得222234507p p p =++，因为250752923=＜，所以419p ≤若419p =，则2223146p p =+，所以7≤3p ＜13，故311p =，这时25p =．若417p =，则2223218p p =+，所以11＜3p ＜17，故313p =，这时27p =．所以，这四个质数为2、5、11、19或2、7、13、17．例6 当x 取1到10之间的质数时，四个整式：22x +、24x +、26x +、28x +的值中共有质数多少个？ 解：1到10之间的质数有2、3、5、7，但2是偶数，所以可用质数为3、5、7．当3x =时，2211x +=，2413x +=，2615x +=，2817x +=，其中15不是质数． 当5x =时，2227x +=，2429x +=，2631x +=，2833x +=，其中27、33不是质数． 当7x =时，2251x +=，2453x +=，2655x +=，2857x +=，其中51、55、57不是质数．所以共有6个符合条件．例7 三个质数的积等于它们的和的11倍，求这三个质数．分析 设这三个质数分别为P 、Q 、R ，则有()11PQR P Q R =++，解方程即可． 解：由分析中方程可知，必有一质数为11，不妨设R =11，P ≤Q ，则方程变为：11PQ P Q =++或()()1112P Q Q ---=，即()()1112P Q --=．所以11P -=，112Q -=或12P -=，16Q -=，故所求的三个质数为2、11、13或3、7、11．练习1．3（2）1．分解素因数：45，88，126．2．农民用几只船分三次运送315袋化肥，已知每只船载的化肥袋数相等且至少载7袋，问每次应有多少只船，每只船载多少袋化肥？（每只船至多载50袋化肥）3．在乘积1000×999×998×……×3×2×1中，末尾连续有多少个0？ 4．已知三个质数a 、b 、c ，它们的积等于30，求适合条件的a 、b 、c 的值．5、证明：存在2006个连续自然数，它们都是合数．6．如图是一张8×8的正方形纸片，将它的左上角一格和右下角一格去掉，剩下的部分能否剪成若干个1×2的长方形纸片？练习1．3（2）1．45=3×3×5；88=2×2×2××11；128=2×3×3×72． 3条船，35袋化肥或5条船21袋或7条船15袋化肥或15条船7袋化肥．提示：每次运105袋化肥，对105分解素因数即可．3． 249个提示：只需考虑乘积中因数5的个数：100010001000625249 525125625+++=（个）．4． 2，3，5； 2，5，3； 3，2，5； 3，5，2； 5，2，3； 5，3，25．提示：1×2×3×…×2007+2，1×2×3×…×2007+3，1×2×3×…×2007+4，…，1×2×3×…×2007+2007，共2006个合数．。

1.4 公因数与最大公因数思考植树节这天，老师带领24名女生和32名男生到植物园种树．老师把这些学生分成人数相等的若干个小组，每个小组中男生人数相等，请问，这56名同学最多能分成几组？分析分成的组数能整除24和32也就是24和32的因数．24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24；32的因数有：1，2，4，8，16，32；24和32公有的因数有：1，2，4，8；其中最大的一个公有的因数为8．因此老师最多可以把这些学生分成8组．每组中分别有3名女生和4名男生．几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数．如果a1，a2，…，a n和d都是正整数，且d|a1，d|a2，…，d|a n，那么d叫做a1，a2，…，a n的公因数．公因数中最大的叫做a1，a2，…，a n的最大公因数，记作（a1，a2，…，a n）．如对于4、8、12这一组数，显然1、2、4都是它们的公因数，但4是这些公因数中最大的，所以4是它们的最大公因数，记作(4，8，12)＝4．最大公因数等于公因数的最低次幂的积．例1求8，9和30的最大公因数．解：8的因数有：1，2，4，8；9的因数有：1，3，9；30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30．因此，8，9和30的最大公因数是1．如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．例1中的8和9就是互素．例2求18和30的最大公因数．解：把18和30分别分解素因数．18＝2×3×3，30＝2×3×5．可以看出：18和30全部公有的素因数是2和3，因此2和3的乘积6就是18和30的最大公因数．归纳：求几个整数的最大公因数，只要把它们的所有共有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．利用短除法也可以求最大公因数．例3三角形三边的长a、b、c都是整数，且[a，b，c]＝60，(a，b)＝4，(b，c)＝3（注：[a，b，c]表示a、b、c的最小公倍数，(a，b)表示a、b的最大公约数），求a＋b＋c的最小值．分析：求出a、b、c可能的取值是解决这道题的关键，因为b只可能取12或24，又因为要求的是a＋b ＋c的最小值，所以，可以确定b＝12，而且在满足任意两数之和大于第三个数的条件下，a和c的值越小越好，先定a＝4，c＝15，符合题意，从而可以求得答案．解：因为(a，b)＝4，(b，c)＝3，则b最小为4×3＝12，a最小为4，又[a，b，c]＝60，则c最小为3×5＝15，a＋b＋c的最小值为31．练习1.41．2520的因数有多少个？2．求24，44，60的最大公因数．3．分数1111115015是不是最简分数？4．一块长方形木料，长72 cm，宽60 cm，高36 cm，请你把它锯成同样大的正方形木块，且木块的体积要最大，木料又不能剩．算一算可以锯成几块？5．有一级茶叶165克，二级茶叶198克，三级茶叶242克，三者价值相等，现将这三种茶叶分别装袋（均为整克数），每袋价值相等，价格最低，怎样分装？练习1.4练习答案1．48个．提示：2520＝23×32×5×7，因数有(3＋1)×(2＋1)×(1＋1)×(1＋1)＝48（个）．2．4．3．是．4．90块．提示：(72，60，36)＝12，因此正方体的长、宽、高均为12 cm，共90块．5．各装11袋，一级每袋15克，二级每袋18克，三级每袋22克．1.4《公因数与最大公因数》练习1．填空．12的因数是；18的因数是；12和18的公因数是；12和18的最大公因数是．2．填空．（1）3、4和5的最大公因数是；（2）18、24和36的最大公因数是；（3）6、7和12的最大公因数是；（4）8、9和15的最大公因数是．3．成为互素数的两个数，都是素数．（填“一定”、“不一定”或“一定不”）4．如果a＝2×2×5，b＝2×3×5，那么a和b的最大公因数是（）．A．2 B．5 C．10 D．65．求出12、18和24的最大公因数．6．写出小于20的三个自然数，使它们的最大公因数是1，但其中任意两个数不互素．7．有铅笔433支、橡皮260块，平均分配给若干学生．学生人数在30～50之间，最后剩余铅笔13支、橡皮8块，问学生究竟有多少人？1.4《公因数与最大公因数》练习答案1．1，2，3，4，6，12；1，2，3，6，9，18；1，2，3，6；6．2．（1）1；（2）6；（3）1；（4）1．3．不一定．4．C．5．6．6．6，10，15等（答案不唯一）．7．42人．提示：433－13＝420（支），260－8＝252（块），420与252的公因数中符合条件的是42，因此共有42个学生．。

沪教版六年级上册《第1章数的整除》单元测试卷一、填空题（每小题3分，满分36分）1. 能被2整除的两位数中，最小的是________．2. ________和________统称为自然数。

3. 12和3，________是________的因数，________是________的倍数。

4. 写出2个能被5整除的两位数：________．5. 写出2个既能被5整除又能被2整除的数：________．6. 写出2个2位数的素数：________．7. 在11到20中，合数有：________．8. 分解质因数：24=________．9. 8和12的最大公因数是________．10. 求18和30的最大公因数是________．11. 3和15的最小公倍数是________．12. 已知A＝2×2×3×5，B＝2×3×3×7，则A、B的最小公倍数是________，最大公因数是________．二、选择题（每题3分，满分12分）对20、4和0，这三个数，下列说法中正确的是（）A.20能被4整除B.20能被0整除C.4能被20整除D.0能被20整除下列说法中，正确的是（）A.1是素数B.1是合数C.1既是素数又是合数D.1既不是素数也不是合数下列说法中，正确的是（）A.奇数都是素数B.偶数都是合数C.合数不都是偶数D.素数都是奇数下列各式中表示分解素因数的式子是（）A.2×3＝6B.28＝2×2×7C.12＝4×3×1D.30＝5×6三、解答题（17、18题每题6分，19～23题每题8分，满分52分）分解素因数。

(1)120(2)238．写出下列各数的所有约数。

（1）6（2）求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。

（1）12和18（2）24和36．写出最小的8个不同的素数。

写出最小的8个不同的合数。

六年级上册数学一课一练- 公因数与最大公因数一、单选题1.一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有余数，这筐苹果最少应有（）。

A. 90个B. 60个C. 30个2.24的因数中，质数有（）个。

A. 1B. 2C. 33.既是2的倍数，又是3的倍数的最小两位数是（）A. 6B. 12C. 24D. 964.57□2是3的倍数，□中的数可能是（）A. 3B. 5C. 75.6和8的最大公因数是（）。

A. 1B. 2C. 3D. 46.下面各数被2除余数都为0的一组是（）A. 98，45，301B. 39，48，52C. 42，980，667.下面每组的两个数,（）是互质数.A. 35和30B. 36和27C. 11和17D. 13和26二、判断题8.1是所有非0自然数的因数9.一个数最大的因数是它本身10.一个数的倍数是有限的，而它的因数却是无限的。

11.请你检查，下面求最大公因数的题目做的对不对？求42和54的最大公因数．42和54的最大公因数是：2×3×3=1812.偶数都有因数2，因此两个不同的偶数的公因数一定有1和2。

三、填空题13.它是一个三位数，同时是2、3和5的倍数，它最小是________。

14.写出9的全部因数________。

15.12的因数有________；16的因数有________；12和16的公因数有________；其中最大的一个是________。

16.求出下面每组数的最大公因数，填在括号里。

2和8________ 8 和9________18和32________17.根据所学知识填空（1）18的因数：________。

（2）24的因数：________。

（3）18和24的公因数：________。

（4）18和24的最大公因数：________。

18.将一个长30厘米，宽18厘米的长方形裁成同样大小，面积尽可能大的正方形，纸没有剩余，至少可以裁________个，每个正方形的边长是________厘米．19. 16的约数有________、________、________、________、________.24的约数有________、________、________、________、________、________、________、________. 16和24的公约数有________、________、________、________，它们的最大公约数是________．（从小到大依次填写）四、解答题20.把两根分别长45厘米、宽30厘米的彩带剪成长度一样的短彩带且无剩余，每根彩带最长是多少厘米？21.把330个红玻璃球和360个绿玻璃球分别装在小盒子里，要使每一个盒里玻璃球的个数相同且装得最多．一共要装多少个小盒？22.找出下面各数分子和分母的最大公因数，并按要求填一填．五、综合题23.从0、2、3、9、5 这5个数中（1）选出三个数组成三位数，是3的倍数有________ ；（2）选出四个数组成是2、5倍数中最大是________ ．（3）组成最大的奇数是________ ．六、应用题24.有两根木棒，长分别是12cm、44 cm，要把它们截成同样长的小棒而没有剩余，每根小棒最长能有多少厘米?答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】根据题意，这个数是2、3、4、5的共同的倍数，其中4是2的倍数，所以这四个数的最小的倍数是3×4×5＝60，故选B【分析】正确理解题意，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完，说明这个数是2、3、4、5的共同的倍数，其中4是2的倍数，所以这四个数的最小的倍数是3×4×5＝60，故选B2.【答案】B【解析】【解答】解：24=1×24=2×12=3×8=4×6，所以24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，其中质数是：2、3。

1.6公倍数与最小公倍数学习单姓名:_____________ 班级：______________ 学号：____________【教学目标】1．通过解决实际问题的活动，理解公倍数、最小公倍数的意义，掌握求公倍数、最小公倍数的基本方法。

【教学重点和难点】会合理使用列举法、分解素因数法、短除法求两个数的最小公倍数【学习过程】【要点1】几个整数的________________叫做它们的公倍数.几个整数的___________叫做它们的最小公倍数【练习1】(列举法)求8和12的最小公倍数【要点2】最小公倍数＝所有公有素因数______________各自剩余的素因数【练习2】(分解素因数法)求18和48的最小公倍数【练习3】(短除法)求36和84的最小公倍数【练习4】求24和60的最大公因数和最小公倍数【要点3】1、两个数为因数、倍数的关系，最大公因数是____________________2、两个数互素，最大公因数是_______________________【练习5】求下列各组数的最小公倍数7和21 9和45 7和8 11和10【课堂小结】1.最小公倍数的概念.2. 求最小公倍数的方法：(1)列举法 (2)分解素因数法 (3)短除法3.特殊条件下，求最小公倍数【课内检测】一、填空题6的倍数：________________________________________10的倍数：_______________________________________6和10的公倍数是：_______________________；最小公倍数是：__________________二、选题题1. 9和16的最小公倍数是（）A. 1B. 9C. 144D. 162. 16和48的最小公倍数是（）A. 16B. 48C. 32D. 1三、解答题3. 求下列各组数的最小公倍数21和35 24和42 4. 求出50以内，8和12的公倍数和最小公倍数。

最新北师大版小学六年级数学上册第一单元培优提升卷B（附答案）时间：90分钟满分：100分学校: __________姓名：__________班级：__________考号：__________ 注意事项：1．答题前填写好自己的班级、姓名等信息。

2．请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整。

卷面（2分）。

我能做到书写端正，格式正确，卷面整洁。

一、认真填一填。

（每空1分，共20分）1．如下图，梯形的高是( )m，上底是( )m。

2．下图中圆的直径是( )cm，半圆的周长是( )cm。

3．一条漆包线长15.7米，正好在一个圆形线圈上绕满100圈，这个线圈的直径是( )厘米。

4．把一个圆平均分成若干个小扇形，再拼成一个近似的长方形，这个长方形的长是9.42厘米，周长是24.84厘米，这个圆的周长是（）厘米，面积是（）厘米2。

5．钟面上的分针转动一周形成的图形是( )。

如果分针的长是5cm，那么它旋转一周针尖走过的路程是( )cm，分针扫过的面积是( )cm2。

6．圆的半径增加1cm，直径增加( )cm，周长增加( )cm。

7．圆的半径扩大到原来的4倍，直径扩大到原来的( )倍，周长扩大到原来的( )倍，面积扩大到原来的( )倍。

8．在长7厘米、宽5厘米的长方形中剪出一个最大的三角形，这个三角形的面积是( )平方厘米；在边长10厘米的正方形中剪出一个最大的圆，这个圆的周长是( )厘米。

9．一个圆环，内圆半径是6厘米，环宽是2厘米，这个圆环的面积是( )平方厘米，这个圆环的外圆周长比内圆周长长( )厘米。

10．下图是由一个圆和一个正方形组成的，已知圆的周长是31.4cm，那么阴影部分的面积是( )cm2。

二、仔细判一判。

（对的画√，错的画X，每题2分，共10分）1．圆周长的一半就是等半径的半圆的周长。

( )2．周长相等的两个圆，它们的面积也相等。

( )3．在长8厘米，宽6厘米的长方形中画一个最大的半圆，半圆的半径是4厘米。

【热身】 写出100以内的所有的素数：□ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □分解素因数一、1、分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。

2、分解素因数的方法：短除法、树杈法、机算法3、短除法：（如30）：（3步）① 找一个能整除30的素数（从最小．．的开始）去除30， ② 得到的商如果是合数，按上面的方法继续除下去，直到得到的商是素数为止，③ 把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘形式【例 1】 【基础】用短除法，将下列各数分解素因数（1）102 （2）144第二讲最大公因数和最小公倍数（3）275 （4）462【提高】按下列要求填表：【尖子】36和54相同的素因数有_____________________【例2】【基础】若A=2×3×5 ，则A共有个因数，个素因数【提高】若A=5×72×92，则A共有个因数，个素因数【尖子】若正整数A=3×B（B是素数），则A的因数有个，素因数有个【例3】【基础】两个连续的正整数的积是210，求这两个数【提高】三个连续的正偶数的乘积是960，求这三个偶数【尖子】请将六个数：2，3、14、15、30、42分成两组，使得两组数组内各数所乘的积相等.最大公因数二、1、因数和倍数：如果一个自然数a 能被自然数b 整除，那么称a 为b 的倍数，b 为a 的因数．2、最大公因数：如果一个自然数同时是若干个自然数的因数，那么称这个自然数是这若干个自 然数的公因数．在所有公因数中最大的一个公因数，称为这若干个自然数的最大公因数．3、互素：如果两个正整数只有公因数1，这两个数互素.（★）求最大公因数的方法：①分解素因数法：先分解素因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=； ②短除法：先找出所有共有的因数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；．【例 4】 用短除法求下列各组数的最大公因数:（1）24和26 （2）30和48 （3）9和54（4）24和35 （5）18、12和20 （6）12、16和20【提高、尖子】 要使得两位数1____和6互素，横线上的数字可以填哪几个？【例 5】 根据短除法计算并填空：345152B A421457A 和B 分别是________； 这两个数的最大公因数是__________； A 和B 的最大公因数是________【例 6】 【基础】若数A=2×3×3，B=3×3×5，则A 和B 的最大公因数是_________【提高】已知甲数=2×3×3×a，乙数=2×3×7×a，甲乙两数的最大公因数是30；则正整数a是________【尖子】若数A=2×2×3×5，B=2×3×5×7，问A和B的公因数有哪几个？最大公因数是哪一个？【例7】【基础】有24个梨、36个苹果和42个桔子，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的数目也相同，最多可以分给几个小组？【提高、尖子】三种级别的茶叶，已知一级茶叶144克，二级茶叶180克、三级茶叶240克的价格都是60元，现需要把三种茶叶分别按整数克装袋，要求每袋价格都相等，那么每袋价格最低是多少元？最小公倍数三、1、最小公倍数：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数．在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数．例如：2、两个整数中，一个是另一个的倍数，那么小数是它们的最大公因数，大数是它们的最小公倍数.(★)3、互素的两个整数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积. (★)【例 8】 用短除法求下列各组数的最小公倍数:（1）18和30 （2）45和210 （3）19和57（4）7和15 （5）8、9和10 （6）24、40和72【例 9】 【基础】4和7的最大公因数是_____，最小公倍数是_______.29和78的最大公因数是_______，最小公倍数是_____。

六年级-市北资优生培养教材-数学练习册第一章（1）整数与整除（无解析）预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制第一章数的整除1.1整数和整除练习1.11.在15、17、18、20和30五个数中，能被2整除的数是____________；能被3整除的数是____________；能被5整除的数是____________；能同时被2、3整除的数是____________；能同时被3、5整除的数是___________；能同时被2、5整除的数是_________；能同时被2、3、5整除的数是____________．13口能被3整除.口处可有多少种不同的填法?2.在口处填入适当的数字，使四位数63.写出全部用2、3、4、5四个数字组成的能被11整除的四位数．4.一个六位数的各位数字备不相同，最左边的一个数字是3，且此六位数能被11整除，这样的六位数中最小数是_______．5.一个能同时被2、3、5整除的三位数，它的百位上的数比十位上的数大9，这个数是_________．6.有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，那么第五个数的末位数字是___________．7.在235后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，并且要求这个数值尽可能小，这个六位数是多少?8.任取一个四位数乘6453，用A表示其积的各位数字之和，用B 表示A的各位数字之和，用C表示B的各位数字之和，那么C是__________．1.2奇数与偶数练习1.21.30个连续自然数的乘积是奇数还是偶数？2.若7个连续偶数之和为1988，求此7个数中最大的一个数.3.有一只小渡船往返于一条小河的左右两岸之间，问：若最初小船是在左岸，往返若干次后，它又回到左岸，那么这只小船过河的次数是奇数还是偶数？如果它最后到了右岸，情况又是怎样呢？4.有九只杯口向上的杯子放在桌子上，每次将其中四只杯子同时“翻转”，使其杯口向下，问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使九只杯子的杯口全部向下？为什么？5.博物馆有并列的5间展室，警卫从第一间展室开始，走到第二间，再走到第三间……走到第五间后往回走，走到第四间，再走到第三间……他每走进一间展室拨动一次这间展室的电灯开关，如果开始时五间展室都亮着灯，那么他走过100间展室后，还有几间亮着灯？6.如图是一张8×8的正方形纸片.将它的左上角一格和右下角一格去掉，剩下的部分能否剪成若干个1×2的长方形纸片？。

公因数公倍数【知识定位】本讲义主要讲解最大公因数和最小公倍数的意义和应用，并介绍了求最大公因数和最小公倍数的方法，题目稍综合，适合层次较好或者有一定基础的学生。

【知识梳理】知识梳理1：公约数和最大公约数几个数公有的约数．．．．．．．．．．．．。

．．．．．．．，叫做这几个数的最大公约数．．．．．．．．，叫做这几个数的公约数．．．．．．．．．．；其中最大的一个例如：12的约数有1，2，3，4，6，12；30的约数有1，2，3，5，6，10，15，30。

12和30的公约数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公约数。

一般地我们用（a,b）表示a,b这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。

如果（a,b）=1,则a,b两个数是互质数。

知识梳理2：公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

例如：12的倍数有12，24，36，48，60，72，…18的倍数有18，36，72，90，…12和18的公倍数有：36，72…其中36是12和18的最小公倍数。

一般地，我们用[a,b]表示自然数a,b的最小公倍数，如[12，18]=36。

知识梳理3：最大公约数与最小公倍数的求法A．最大公约数求两个数的最大公约数一般有以下几种方法：（1）分解质因数法（2）短除法（3）辗转相除法（4）小数缩倍法（5）公式法a×b = （a,b）×[a,b]B．最小公倍数求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种：（1）分解质因数法（2）短除法（3）公式法a×b=（a,b）×[a,b]上面的公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。

（4）大数翻倍法例题精讲：【试题来源】【题目】把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。

至少能剪块。

【试题来源】【题目】学校在排练团体操，要求队伍分别变为12行、15行、18行、24行时，都能成为矩形，应该至少有多少人参加团体操排练？【试题来源】【题目】有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米，现在要它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？【试题来源】【题目】有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟响铃又亮灯。

教师学生上课时间学科数学年级预初课题名称分解素因数教学目标1．理解素数、合数、素因数、分解素因数的概念；2．掌握分解素因数的几种方法，熟练掌握用短除法分解素因数；3．加深对整数的认识，理解整数的多种分类方法的异同，体现分类思想．重点难点熟练掌握用短除法分解素因数分解素因数一、课前回顾1．不超过40 的正整数中，奇数有个，偶数有个；2．在数2〇内填上一个数字，使这个数有因数5，这个数是；3．数274 至少加上能同时被2、5 整除；4．用0、2、5 组成多少个偶数（）A、2；B、3；C、4；D、55．既能被2 整除又能被5 整除的最小的三位数是（）A、102；B、105；C、110； D 、100.6．用0、5、6、8 排成一个不能被2整除，但能被5 整除的没有重复数字的四位数参考答案：1．20，20；2．0或5；3．6；4．C；5．D；6．8605；三、新课讲解1. 【素数、合数的概念】操作：请每个学生写两个整数，并写出它们的因数。

整数因数个数新课导入概念】素数或质我们把只含有因数1 和本身的整数叫做素数或质合数：如果除了1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。

小练习】把下列数按要求填入下图2，9，10，21，23，29，31，39，51，91，97素数合数2. 【分解素因数】探究：（1）1 是素数还是合数？（2）按素数、合数对正整数分类，可分为几类？（3）合数与偶数、素数与奇数相同吗？若不同，你能讲出区别吗？（举例说结论：（1）1 既不是素数，也不是合数；（2）正整数可以分为1、素数和合数；（3）所有的素数（除2 外）都是奇数；所有的偶数（除 2 外）都是合数。

【小练习】1．在正整数中，1 是（A 、最小的奇数；2．在正整数中，4 是（A 、最小的奇数；3．最小的素数是）B、最小的偶数；）B、最小的偶数；C、最小的素数；C、最小的素数；D、最小的合数D、最小的合数，它是素数中唯一的数。

参考答案：1．A ；2．D ；3．2，偶．操作：请写出两个整数，然后再将它们写成几个素数相乘的形式。

最新北师大版小学六年级数学上册第一单元培优提升卷（含答案）时间：90分钟满分：100分学校: __________姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（满分16分）1．半径等于直径的一半的条件是（）。

A．任一圆内B．圆心相同的圆内C．同圆或等圆中2．圆规两脚间的距离是5厘米，那么它画成的圆的直径是（）厘米，半径是（）厘米．A．5 B．10 C．153．在一个长10厘米，宽8厘米的长方形内，剪下一个最大的圆，圆的直径是（）厘米．A．5 B．8 C．4 D．64．如图所示，线段（）A．a是直径B．b是半径C．c是半径5．如图，长方形的面积和圆的面积相等。

如果圆的半径是3厘米，阴影部分的周长是（）厘米。

A．9.42 B．18.84 C．21.195 D．23.556．一个圆的直径扩大3倍，面积（）。

A．扩大3倍B．扩大6倍C．扩大9倍7．一个圆和一个正方形的周长相等，他们的面积比较（）。

A．正方形的面积大B．圆的面积大C．一样大8．下列各图中的正方形面积相等，图（）的阴影面积与另外三图不同。

A．B．C．D．二、填空题（满分16分）9．一个环形贴片，环宽1厘米，外直径4厘米，这个环形的面积是( )平方厘米。

10．在一个长25cm，宽20cm的长方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是( )cm2，剩下的边角料的面积是( )cm2。

11．在一个周长是40分米的正方形中画一个最大的圆，这个圆的半径是( )，周长是( )，面积是( )。

12．一只挂钟的分钟长为5cm，这根分针的尖端转3圈走( )cm。

13．大圆的半径是小圆的2倍，小圆的周长是大圆周长的( )，小圆的面积是大圆面积的( )。

14．把一个圆平均分成30份，再拼成一个平行四边形（如图），这个平行四边形的周长是41.4厘米，这个圆的面积是( )平方厘米。

15．这个圆的半径是( )cm，周长是( )cm。

公因数和最大公因数教学内容：上教版六年级第一学期第一章第5节。

教学目标：1.知识目标（1）理解公因数和最大公因数的意义；（2）理解互素的意义，会判断两个数是否互素；（3）掌握用分解素因数求两个数的最大公因数的方法。

2.能力目标（1）培养学生观察、比较、抽象、概括和空间想像能力；（2）培养学生从实际问题中发现数学问题的能力。

3.德育目标（1）让学生建立自信心和克服困难的意志；（2）让学生在讨论交流中体验团体合作的价值。

教学重点:理解公因数和最大公因数的差别。

教学难点:求两个数的最大公因数。

教学过程：（一）复习相关的知识内容，为新知识的引入和教学作准备让学生拿出课堂练习本练习以下习题：把下列各数分解素因数，并写出他们所有的因数：分解素因数因数16 16=2×2×2×2 1、2、4、8、1628 28=2×2×7 1、2、4、7、14、2830 30=2×3×5 1、2、3、5、6、10、15、30（二）创设问题情境引入新课1．问题情境植树节，老师带领24名女生和32名男生到植物园种树，老师把这些学生分成人数相等的若干个小组，每个小组中的男生人数都相等，这56名同学最多能分成几组？老师在分组时，要满足哪些要求？（1）每小组的人数相等；（2）每小组男女生人数相等；（3）组数尽可能的多。

思考：根据分组要求，分成的组数必需满足什么？答：分成的组数能同时整除24和32，也就是24和32的公有的因数（且最大）24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24；32的因数有： 1、2、4、8、16、32；如下图：/photo/Sk--1txhCF8eAacr6X1XDQ==/2005227734087653330.jpg 中间相交的部分就是24和32的公因数。

所以，24和32的公有因数有：1、2、4、8，其中最大的一个公有的因数是8。

因此老师最多可以把这些学生分成8组，每组中分别有3名女生和4名男生。