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泊松分布的数学期望与方差
拟华尔沃思定理（Poisson theorem）又称泊松定理，指的是当落入位置的某物的出现的频率（也就是它的概率）满足泊松分布时，对其它特定变量的数学期望也可以满足泊松分布。
当把某事件发生的概率视为随机变量时，用泊松定理可以推导出概率分布的数学期望与方差。
泊松分布是以次数n为变量的概率分布，其发生的概率服从泊松过程，即n的概率分布定义为：
$P(n)={\frac{\lambda^n}{n!}}e^{-\lambda}$
其中$\lambda$为泊松分布的参数，对应着这一定义，n的数学期望可以表示为：
$E(n)=\sum nP(n)=\lambda$
以上是求解泊松分布中n的数学期望。
接下来，我们讨论泊松分布中n的方差：
$D(n)=E(n^2)-(E(n))^2$
于是得到
$D(n)=\lambda+\lambda^2-(\lambda)^2=\lambda$
从而得到泊松分布中n的方差等于它的数学期望。
这也就是所谓的“方差与期望无关”，即它的方差不会随期望的变化而改变，而是在特定的参数下具有固定的值。
泊松分布（定义、期望、方差、例题）设随机变量 X 取值为0, 1, … ，分布律为：P\{X=k\}=e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k}}{k !}, k=0,1, \cdots, \lambda>0称X服从参数为λ 的泊松（ Possion）分布，记为X~P(λ).2.数学期望与方差X~P(λ) 泊松分布的数学期望：λ证明：X ~ P(λ) (λ>0),求E( X )解：\begin{aligned} E(X) &=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdotp_{k} \\ &=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot\frac{\lambda^{k}}{k !} e^{-\lambda} \\ &=\lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1) !} \\ &=\lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} \\&=\lambda \end{aligned}X~P(λ) 泊松分布的方差：λ3.应用：•一段时间内物理试验仪器捕获的粒子数；•一段时间内计算机病毒入侵数；•一本书中的错字数；例题：（排队等候问题）某服务机构有两个服务窗口. 设一段时间内前来访问的人数X~P(1). 问在这段时间内, 出现排队等候的概率为多少？解：例题：（疾病分布律）设某地区患某种疾病的人数X~P(λ)，λ未知，若已知患此病的概率为0.001，求X的分布律分析：患病的概率是0.001，不患病就是0.999.P(X=0)=0.999。
泊松分布分布律公式泊松分布是统计分析中一种重要的概率分布形式，它主要用于研究随机事件发生的次数和时间间隔。
这一概率分布形式是以著名的俄国数学家和物理学家Siméon Denis Poisson命名的，因此被称为“泊松分布分布律”。
它能够以简洁、适当和有用的方式定义随机事件在时间上的分布。
泊松分布是一种随机分布，它假定某一个可以用次数来描述的随机事件发生的概率与次数成比例，这一概率的具体数值由泊松分布律给出。
其中，最重要的参数是λ，它表示该事件在一个时间单位内期望发生的次数，例如单位时间内期望收到来自某一特定传播源的信号的次数。
由于泊松分布定义的是一种随机分布，因此可以对其进行数学变换，以更好地表示其特性。
它的概率密度函数可以用此形式表示： f(x)=λ^xe^(-λ)/x!其中，x为随机变量，λ为期望次数参数，^表示乘方，e为自然底数，x!表示x的阶乘。
泊松分布的另一个重要性质是数学期望值和方差均可以表示为λ，即E(X)=Var(X)=。
由此可见，λ对整个分布具有重要作用，它实际上可以看做是泊松分布的参数，它控制着数学期望和方差。
泊松分布可以应用于诸如抽样研究、概率统计和经济计量分析等领域。
它是用来估计某一次事件发生的概率的有效方法，可以表示某一场景中的事件的发生次数。
此外，由于泊松分布的期望值和方差相等，它可以用来估算诸如总体、社会、社团或某一个人所受的分数的分布。
泊松分布的优点还在于它的模型非常简单，而且容易理解并实现。
它可以用来描述大量的数据，而不会增加太多的计算复杂度。
此外，泊松分布由于只有一个参数λ，因此可以通过极大似然估计容易地求解。
泊松分布是一种有用的概率分布模型，它可以很好地表示随机事件的发生概率和次数及其相关性质。
它可以应用于各种领域，以描述大量的随机事件，如概率统计、抽样研究、经济计量分析等。
其有效性和简洁性是它成为统计学及其他领域的一种重要分布模型的原因。
数学期望的几种求法
期望是统计学中的重要概念，又称均值数或期望值。
求数学期望有如下几种方法：
1、求期望的定义：
数学期望是指在定义域出现各可能结果的概率乘以其可能结果的积分的和的称之为期望，用符号Ε(X)表示为：
Ε(X)=Σx·P(x)
其中，Σx表示每一个可能出现的x的值的求和，P(x)表示可能出现的x的概率的和的称之。
2、求期望的性质：
（1）当数学期望中的x取任意值，则期望值保持不变：
Ε(aX+b)=aΕ(X)+b
（2）期望和越大，其中取值越多，则期望值越大：
Ε(X+Y)≥Ε(X)+Ε(Y)
3、求期望的常用公式：
（1）二项分布期望：
二项分布期望公式：Ε(X)=n·P
其中，n表示试验次数，P表示每次试验发生事件的概率。
（2）二项分布方差：
方差公式：V(X)=n·P·(1-P)
其中，n表示试验次数，P表示每次试验发生事件的概率。
（3）泊松分布期望：
泊松分布期望公式：Ε(X)=λ
其中，λ表示实验的平均数。
（4）泊松分布方差：
方差公式：V(X)=λ
其中，λ表示实验的平均数。
泊松分布与复合泊松分布的性质作者：***来源：《神州·上旬刊》2019年第01期摘要：本文主要讲述了泊松分布和复合泊松分布的各种性质。
本文在第一部分主要讲述了泊松分布和二项分布的关系以及泊松分布的数学期望和方差的计算;在第二部分推导了复合泊松分布的概率分布及其数字特征，并阐述了复合泊松分布在非寿险精算中的应用。
关键词：二项分布;泊松分布;复合泊松分布;全概率公式一、泊松分布（一）二项分布的极限情形为泊松分布设随机变量序列，并且随机变量，即若假设，则有下面给出证明。
记對于固定的k有，因此，若随机变量X的可能取值为所有非负整数，并且则我们称随机变量X服从参数为λ的泊松分布，记作X～P（λ）.随机变量所有可能取值之和必定为1，关于泊松分布的所有可能取值之和我们有，（二）泊松分布的含义泊松分布是计数分布的一种，通常用来描述单位时间内事件发生的次数，比如可以用来描述某银行柜台某时间段内来办业务的顾客数。
（三）泊松分布的数学期望和方差泊松分布的数学期望和方差都是λ，下面给出证明，为计算泊松分布的方差，首先给出一般随机变量的方差计算公式，利用上述方差计算公式，我们可以给出泊松分布的方差，二、复合泊松分布（一）复合泊松分布的定义称随机变量为参数为λ复合泊松分布，若满足，（1）X1，X2，…，N独立的;（2）X1，X2，…是同分布的;（3）N～P（λ）.复合泊松分布在保险中是常用的概率分布，随机变量N可看成 N 个保险保单组合，Xi（i=1，2，…）是第i个保单可能的索赔额，则S是这N个保单组合的总索赔额。
因此探讨S 的概率分布及数学期望和方差对保险公司来说有着重要的意义。
（二）复合泊松分布概率分布的算法复合泊松分布的概率分布的计算需要用到全概率公式，下面叙述该公式。
设事件A1， A2，…， An，…是样本空间Ω的一个分割，亦称为完备事件组，即Ai（i=1， 2，…， n，…）两两互不相交，而且假设样本空间中有另外一个事件B，这样一来这样我们可以得到全概率公式，由全概率公式，复合泊松分布的概率分布可以写成，的计算需要用到卷积公式，这里可以举个例子说明这个公式的计算。
【精选】泊松分布的数学期望与方差
泊松分布是一种常见的离散概率分布，用于描述单位时间或单位空间内随机事件的发生次数。
泊松分布的数学期望和方差可以通过其参数λ来计算。
泊松分布的数学期望为μ = λ，即平均每个单位时间或单位空
间内事件的平均发生次数等于λ。
例如，λ=2表示平均每个单
位时间或单位空间内发生2次事件。
泊松分布的方差为σ^2 = λ，即每个单位时间或单位空间内事
件的发生次数的方差等于λ。
方差表示随机变量的离散程度，
泊松分布的方差等于其数学期望。
如果泊松分布的参数λ较大，那么其数学期望和方差也会相应增加，整个分布会呈现出较大的中心趋势和较大的离散程度。
反之，如果λ较小，分布的中心趋势和离散程度也会相应减小。
泊松分布的数学期望和方差都与其参数λ有关，数学期望等于λ，方差也等于λ。
概率论中的二项分布与泊松分布概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件发生的概率以及它们之间的关系。
在概率论中，二项分布和泊松分布是两个常见且重要的概率分布。
本文将分别介绍二项分布和泊松分布的定义、特点以及应用。
一、二项分布二项分布是指在一系列独立的、相同概率的伯努利试验中，成功事件发生的次数服从二项分布的概率分布。
其中，伯努利试验是指只有两个可能结果的试验，如抛硬币的结果只有正面和反面两种情况。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中，n代表试验次数，k代表成功事件发生的次数，p代表每次试验成功的概率，C(n,k)代表组合数。
二项分布的特点有以下几点：1. 二项分布的随机变量只能取非负整数值，即k只能取0,1,2,...,n。
2. 二项分布的期望值为E(X)=np，方差为Var(X)=np(1-p)。
3. 当试验次数n趋向于无穷大时，二项分布逼近于泊松分布。
二项分布在实际应用中有广泛的应用，比如在质量控制中，可以使用二项分布来计算在一定数量的产品中出现不合格品的概率；在投资决策中，可以使用二项分布来计算在一系列投资项目中成功项目的数量等。
二、泊松分布泊松分布是指在一段时间或区域内，事件发生的次数服从泊松分布的概率分布。
泊松分布适用于事件发生的概率很小，但试验次数很大的情况。
泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k)=(e^(-λ)*λ^k)/k!，其中，λ代表单位时间或单位区域内事件的平均发生率。
泊松分布的特点有以下几点：1. 泊松分布的随机变量只能取非负整数值，即k只能取0,1,2,...。
2. 泊松分布的期望值和方差均为λ。
3. 当试验次数n趋向于无穷大，每次试验成功的概率p趋向于0，但np保持不变时，二项分布逼近于泊松分布。
泊松分布在实际应用中也有广泛的应用，比如在电话交换机的排队系统中，可以使用泊松分布来描述单位时间内到达电话的数量；在可靠性工程中，可以使用泊松分布来描述设备的故障率等。
泊松分布的期望和方差分别是什么公式？
一、泊松分布的期望：
P(λ)
期望E(X)=λ
方差D(X)=λ
利用泊松分布公式P(x=k)=e^(-λ)*λ^k/k!
可知P(X=0)=e^(-λ)
二、解泊松分布的方差：
方差D(X)=λ
利用泊松分布公式P(x=k)=e^(-λ)*λ^k/k!
可知P(X=0)=e^(-λ)
p(x>1)=1-p(x=0，所以直接对f(k)=e^(-λ)*λ^k/k!求定积分k从0到1即可求出p(x1)了。
扩展资料：
泊松分布是最重要的离散分布之一，它多出现在当X表示在一定的时间或空间内出现的事件个数这种场合。
在一定时间内某交通路口所发生的事故个数，是一个典型的例子。
泊松分布的产生机制可以通过如下例子来解释。
当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为n p。
通常当n≧20,p≦0.05时，就可以用泊松公式近似得计算。
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导一维随机变量期望与方差二维随机变量期望与方差协方差1.一维随机变量期望与方差：公式：离散型：E（X）=∑i=1->nXiPiY=g（x）E（Y）=∑i=1->ng（x）Pi连续型：E（X）=∫-∞->+∞xf（x）dxY=g（x）E（Y）=∫-∞->+∞g（x）f（x）dx方差：D（x）=E（x2）-E2（x）标准差：根号下的方差常用分布的数学期望和方差：0~1分布期望p 方差p（1-p）二项分布B（n，p）期望np，方差np（1-p）泊松分布π（λ）期望λ方差λ几何分布期望1/p ,方差（1-p）/p2正态分布期望μ，方差σ2均匀分布，期望a+b/2,方差（b-a）2/12指数分布E（λ）期望1/λ,方差1/λ2卡方分布，x2（n）期望n 方差2n期望E（x）的性质：E（c）=cE（ax+c）=aE（x）+cE（x+-Y）=E（X）+-E（Y）X和Y相互独立：E（XY）=E（X）E（Y）方差D（X）的性质：D（c）=0D（aX+b）=a2D（x）D（X+-Y）=D（X）+D（Y）+-2Cov（X，Y）X和Y相互独立：D（X+-Y）=D（X）+D（Y）2.二维随机变量的期望与方差：3.协方差：Cov（X，Y）：D（X+-Y）=D（X）+D（Y）+-2Cov（X，Y）协方差：Cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）相关系数：ρxY=Cov（X，Y）/X的标准差*Y的标准差ρxY=0为X与Y不相关记住：独立一定不相关，不相关不一定独立。
协方差的性质：Cov（X，Y）=Cov（Y，X）Cov（X，C）=0CoV（X，X）=D（X）Cov（ax+b，Y）=aCov（X，Y）。
泊松分布泊松分布概率质量函数累积分布函数参数支撑集概率質量函數累积分布函数期望值中位数众数方差偏度峰度信息熵动差生成函数特性函数Poisson分布又称泊松小数法则（Poisson law of small numbers），是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年时发表。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等。
泊松分布的概率质量函数为：泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。
性质服从泊松分布的随机变量，其数学期望与方差相等，同为参数λ： E(X)=V(X)=λ动差生成函数：泊松分布的来源在二项分布的伯努力试验中，如果试验次数n很大，二项分布的概率p很小，而乘积λ= n p比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。
这在现实世界中是很常见的现象，如DNA 序列的变异、放射性原子核的衰变、电话交换机收到的来电呼叫、公共汽车站候车情况等等。
证明如下。
首先，回顾e的定义：二项分布的定义：如果令p = λ / n, n趋于无穷时P的极限:[编辑] 最大似然估计给定n个样本值k i，希望得到从中推测出总体的泊松分布参数λ的估计。
为计算最大似然估计值, 列出对数似然函数：对函数L取相对于λ的导数并令其等于零:解得λ从而得到一个驻点（stationary point）:[编辑] 例子对某公共汽车站的客流做调查，统计了某天上午10：30到11：47来到候车的乘客情况。
假定来到候车的乘客各批（每批可以是1人也可以是多人）是互相独立发生的。
观察每20秒区间来到候车的乘客批次，共得到230个观察记录。
其中来到0批、1批、2批、3批、4批及4批以上的观察记录分别是100个、81个、34个、9个、6个。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等。
泊松分布的概率质量函数为：泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。
当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。
通常当n≧20,p≦0.05时，就可以用泊松公式近似计算在概率论和统计学中，指数分布（Exponential distribution）是一种连续概率分布。
指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。
许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。
有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。
它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。
指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况，产品的失效是偶然失效时，其寿命服从指数分布。
指数分布可以看作当威布尔分布中的形状系数等于1的特殊分布，指数分布的失效率是与时间t无关的常数，所以分布函数简单。
Gamma分布的定义设α，β是正常数，如果X的密度是：就称X是服从参数为（α，β）的Gamma分布。
并记为Γ(β,α).Gamma分布中2参数为形状参数α（shape parameter）和尺度参数β（sc ale parameter），当α为正整数时，分布可看作α个独立的指数分布之和，当k趋向于较大数值时，分布近似于正态分布。
下图为概率密度函数（图中形状参数k为（shape parameter）和尺度参数θ为（sc ale parameter））。
性质：1、β=n，Γ(n,α)就是Erlang分布。
Erlang分布常用于可靠性理论和排队论中,如一个复杂系统中从第 1 次故障到恰好再出现n 次故障所需的时间;从某一艘船到达港口直到恰好有n 只船到达所需的时间都服从Erlang分布；2、当β= 1 时，Γ(1,α) 就是参数为α的指数分布,记为exp (α) ；3、当α = 1/2，β=n/2时，Γ (n/2,1/2)就是数理统计中常用的χ2( n) 分布。
排队论顾客到达时间的间隔分布和服务时间的分布（1）泊松分布（顾客到达数满足泊松分布）随机变量x （单位时间内顾客到达数），满足泊松分布：x~P(λ)，概率分布为：()!kP x k e k λλ-==注意：泊松分布中的λ，既是数学期望又是方差，即E(x)=D(X)= λ(单位时间内平均到达的顾客数)（2）负指数分布随机变量T （顾客相继到达时间间隔），满足负指数分布，即：~()()t T f t e λλ-=密度函数注意：E(T)=1/λ(为相继到达平均间隔时间),21D(T)λ=。
说明：顾客到达数满足泊松分布等价于顾客相继到达时间间隔满足负指数分布。
随机变量v （顾客相继离开的间隔时间），满足负指数分布，即：~()()t v f t e μμ-=密度函数注意：E(v)=1/μ(为相继离开平均间隔时间),D(v)= 1/μ2 。
（3）爱尔朗分布设k 个顾客到达系统的时间间隔序列为：v1 ， v2 ,…, vk ，（为相互独立的随机变量），且都服从参数为kλ的负指数分布，即：k),...,2,1(i e k ~ vi k -=λλ 则随机变量Tk I=1iT v =∑服从k 阶爱尔朗分布()()()()()()()121~0,01!111,,k k t k i i i k k t T f t e t k E v E T v D T k k λλλλλλλ--==>>-====∑ 说明1：K=1时，就是负指数分布。
说明2：假设系统中有串联的K 个服务台，每个服务台对顾客的服务时间相互独立，且服从参数为kμ的负指数分布，则一个顾客接受完k 个服务台服务所需的总时间T 就服从k 阶爱尔朗分布。
