人教版数学八年级下册16.1第1课时《二次根式的概念》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1第1课时《二次根式的概念》是初中数学的重要内容，主要让学生了解二次根式的概念，理解二次根式与有理数、实数之间的关系，为后续学习二次根式的运算和应用打下基础。
本节课的内容包括二次根式的定义、性质和运算方法，通过学习，让学生能够熟练掌握二次根式的相关知识，提高他们的数学素养。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数等相关知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。
但二次根式作为新的数学概念，对于部分学生来说可能较为抽象，难以理解。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出二次根式的概念，帮助他们建立直观的认识，从而更好地理解和掌握二次根式的相关知识。
三. 教学目标1.让学生了解二次根式的定义、性质和运算方法。
2.培养学生从实际问题中抽象出二次根式的能力。
3.提高学生的数学素养，培养他们的逻辑思维能力和运算能力。
四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质。
2.二次根式的运算方法。
3.引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设实际问题情境，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
2.讲授法：讲解二次根式的定义、性质和运算方法。
3.实践操作法：让学生通过实际操作，掌握二次根式的运算方法。
4.小组讨论法：分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示二次根式的相关知识。
2.实际问题：准备一些与生活实际相关的问题，用于引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实际问题情境，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
例如，讲解一个物体从地面上升到最高点再下降到地面的过程，上升和下降的距离分别是3米和4米，求物体的最大高度。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的定义、性质和运算方法。
题型二：二次根式有意义的条件4．（2023春·八年级单元测试）代数式56x x --有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．5x ≤B ．5x ≥C ．5x >且6x ≠D ．5x ≥且6x ≠5．（2022春·河南三门峡·八年级统考阶段练习）若式子1a b-+有意义，则点(,)P a b 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．（2022·全国·八年级专题练习）已知()2117932x x x y ---+-=-，则2218x y -的值为（ ）．A ．22B ．20C ．18D ．16题型三：二次根式的参数问题7．（2022春·四川凉山·八年级校考期中）如果174a +是一个正整数，则整数a 的最小值是（ ）A ．-4B ．-2C ．2D ．88．（2021秋·八年级单元测试）若最简二次根式343a b a b -+和26a b -+能合并，则a 、b 的值分别是（ ）A ．2和1B ．1和2C ．2和2D ．1和19．（2019春·山东聊城·八年级校考期末）若(2)(3)23x x x x --=-⋅-()()2323x x x x --=-⋅-成立，则x的取值范围为（ ）A ．x ≤3B ．x ≥2C ．2＜x ＜3D ．2≤x ≤3题型四：复合二次根式的性质化简10．（2022春·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）若3222a a a a +=-+，则a 的取值范围是（ ）A ．20a -≤≤B ．0a ≤C ．a<0D ．2a ≥-11．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）化简二次根式31-x x的正确结果是（ ）A ．x-B ．xC ．x-D ．x--12．（2022·全国·八年级专题练习）当4x =时，22232343124312x x x x x x -+--+++的值为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．3题型五：利用二次根式的性质化简13．（2023秋·上海·八年级专题练习）化简：A ．2b c -B ．2b a -A ．2a b +B ．2a b --C ．b①526-③4102541025+②7210-++++．43．（2023春·全国·八年级专题练习）观察下列各式及其化简过程：2223222221222112121（）（）（），+=++=+⨯+=+=+222（）（）（）．5263262323223232-=-+=-⨯+=-=-(1)按照上述两个根式的化简过程的基本思路，将31106-化简；(2)化简358743-+；(3)针对上述各式反映的规律，请你写出()±=±>中，m，n与a，b之间的关系．2m n a b a b故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式组5060x x -≥⎧⎨-≠⎩．5．B【分析】先根据二次根式有意义的条件求出a 、b 的值，然后根据平面直角坐标系内各象限点的坐标特征直接判断即可．【详解】解：由题意得，0a -≥，0b >，∴a<0，∴点(,)P a b 在第二象限．故选：B ．【点睛】本题考查平面直角坐标系内各象限点的坐标特征以及二次根式有意义的条件，解题关键是根据二次根式有意义的条件求出a 、b 的值．6．A【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．【详解】解：解：∵11x -一定有意义，∴11x ≥，∴()2117932x x x y ---+-=-，117932x x x y -+-+-=-，整理得：113x y -=，∴2119x y -=，则()2222182112x x x y =--=-．故答案为：22．【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，解题的关键是正确化简二次根式．7．A【分析】根据174a +是一个正整数，得出174a -＞，根据a 为整数，得出a 的最小值为4-，最后代入4a =-验证174a +是一个正整数符合题意，得出答案即可．【详解】解：∵174a +是一个正整数，∴1740a +＞，∴174a -＞，∵a 为整数，∴a 的最小值为4-，且4a =-时，17417161a +=-=符合题意，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意求出174a -＞，是解题的关键．8．D【分析】由二次根式的定义可知32a b -=，由最简二次根式343a b a b -+和26a b -+能合并，可得4326a b a b +=-+，由此即可求解．【详解】解：∵最简二次根式343a b a b -+和26a b -+能合并，∴324326a b a b a b -=⎧⎨+=-+⎩，∴3223a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，故选D ．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．9．D【分析】利用二次根式的定义和二次根式的乘除，即可解答.【详解】根据二次根式根号下被开方的数是非负数，得2030x x --⎧⎨⎩…… ，所以2⩽x ⩽3．故选D.【点睛】此题考查二次根式的乘除法，二次根式的定义，解题关键在于利用其定义.10．A【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可解答．【详解】∵32222 ()2a a a a a a +=+=-+，∴020a a ≤+≥，，∴-20a ≤≤．故选A ．【点睛】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质列出不等式是解题的关键．【分析】根据二次根式成立的条件确定x 的取值，从而利用二次根式的性质进行化简．【详解】解：由题意可得：x ＜0∴()11x x x x x x x⋅-=⋅--=--故选：D ．【点睛】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键．12．A【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．【详解】解：原式=()()2223232323x x x x -+--+112323x x =--+将4x =代入得，原式11423423=--+()()22111313=--+113113=--+()()13313113+-+=-+1=.故选：A.【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．13．(1)52-(2)222(++1++1)2a a a a -【分析】（1）根据完全平方差公式，将二次根式恒等变形后，利用二次根式性质化简，再结合去绝对值运算即可得到结论；（2）根据完全平方和公式，将二次根式恒等变形后，利用二次根式性质化简，再结合去绝对值运算即可得到结论．解：945-=9220-22=(5)254+(4)⋅⋅-()2=54-=52-=52-；（2）解：2241++1++a a a 2242+2+21++=2a a a 2222(++1)+2(++1)(+1)+(+1)2a a a a a a a a --=222(++1++1)2a a a a -=222++1++12a a a a =-222(++1++1)2a a a a =-．【点睛】本题主要考查复合二次根式的化简，注意观察，被开方式可转化为一个完全平方式，即()2+2==a b ab a b a b ±±±，同时根据二次根式性质及去绝对值运算进行相关化简是解决问题的关键．14．1【分析】先由数轴上a ，b 两点的位置，判断出a ，b 的符号，再化简二次根式，立方根，进行运算解答．【详解】根据数轴可知，20a <<－，12b <<，则20a +>，10-<b ，∴()()2232321a a b b ++-+-()2(1)a ab b =++--+-21a ab b =+--+-1=．【点睛】本题考查了二次根式、立方根的性质与化简以及实数与数轴，解题的关键是熟练掌握运算法则．15．(1)3±2，7±5(2)6±3(3)106222+-【分析】（1）仿照阅读材料，把被开方数变形成完全平方式，即可得答案；（2）把62变形成218，仿照阅读材料的方法可得答案；（3）将5变形成524，3变形成324，再把被开方数变形成完全平方式，即可算得答案．【详解】（1）解：2526(32)32±=±=±，212235(75)75±=±=±，故答案为：32±，75±；（2）29629218(63)63±=±=±=±；（3）3523-++53322244=-++225131()()2222=-++51312222=-++1062+=，同理可得1062235232+--+-=．【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂题意，能仿照阅读材料将被开方数变形乘完全平方．16．B【分析】根据题意，利用二次根式性质可判断30x -≥，由此即可求出x 的范围．【详解】解：2(3)3x x -=-，可得30x -≥，解得：3x ≥，故选：B ．【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握2a a =是解本题的关键．17．A【分析】根据二次根式有意义的条件及二次根式的性质与化简进行计算即可得．【详解】解：由题意得，0x <，1x x x x x x---=-=--g ，故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，解题的关键是掌握二次根式的性质和化简．18．B【分析】根据二次根式的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、x ，x 有可能小于0，故不一定是二次根式，不合题意；B 、21x +，210x +>，故21x +一定是二次根式，符合题意；C 、21x -，若11x -<<时，21x -无意义，不合题意；D 、35是三次根式，故此选项不合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如()0a a ≥的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．19．B【分析】直接利用二次根式的定义，进行分析得出答案．【详解】解：∵||0a ≥，20a ≥，210a +>，2(1)0a -≥，∴||a 、2a 、21a +、2(1)a -四个是二次根式，因为a 是实数时，10a +、21a -不能保证是非负数，因此10a +与21a -不一定是二次根式，故选：B.【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，形如(0)a a >的代数式是二次根式，正确把握定义是解题关键．20．C【分析】根据a 、b 、c 在数轴上的位置得出0c a b <<<，c b >，从而得出0a c b ++<，0c a -<，再根据绝对值的意义和二次根式性质，进行化简即可．【详解】解：根据a 、b 、c 在数轴上的位置可知，0c a b <<<，c b >，∴0a c b ++<，0c a -<，∴2||()a c b c a ++--()()a c b c a =-++---⎡⎤⎣⎦()a cbc a =---+-a cbc a=---+-2a b =--．故选：C ．【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，二次根式的性质，数轴上点的特点，解题的关键是根据点a 、b 、c 在数轴上的位置确定0a c b ++<，0c a -<．21．23x ≤且12x ≠-【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】解：由题意得，210x +≠，且230x -≥，解得23x ≤且12x ≠-，故答案为：23x ≤且12x ≠-．【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．22．0【分析】根据三角形三边关系得到0,0a b c b a c --<-+>，再化简二次根式及绝对值即可．【详解】解：∵a ，b ，c 是三角形的三边长，∴0,0a b c b a c --<-+>，∴2()a b c b a c----+a b c b a c=----+b c a b a c=+--+-0=，故答案为：0．【点睛】此题考查了三角形的三边关系，二次根式的化简，化简绝对值，正确理解三角形的三边关系：两边和大于第三边是解题的关键．23．(1)53(2)0.7(3)9(4)45【分析】(1)首先把带分数化为假分数，再根据二次根式的性质化简，即可求得结果；(2)首先根据二次根式的性质化简，再进行有理数的减法运算，即可求得结果；(3)首先根据平方差公式进行运算，再根据二次根式的性质化简，即可求得结果；(4)首先进行有理数的减法运算，再根据二次根式的性质化简，即可求得结果．【详解】（1）解：729259=53=；（2）解：0.810.04-0.90.2=-0.7=；（3）解：224140-()()41404140=+⨯-81=9=；（4）解：9125-1625=45=．【点睛】本题考查了利用利用二次根式的性质化简运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．24．2x +【分析】先根据第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负，得到210390x x ->⎧⎨-<⎩，进而推出30210x x -<->，，据此利用二次根式的性质化简即可．【详解】解：∵点()2139P x x --，在第四象限，∴210390x x ->⎧⎨-<⎩，解得132x <<，∴30210x x -<->，，∴2269441x x x x -++-+()()22321x x =-+-321x x =-+-2x =+．【点睛】本题主要考查了化简二次根式，解一元一次不等式组，已知点所在的象限求参数，正确得到30210x x -<->，是解题的关键．25．C【分析】变形26=24，525=，比较24，25，27的大小即可．【详解】因为26=24，525=，且24＜25＜27，所以262527<<即26527<<，故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，化成二次根式比较被开方数的大小是解题的关键．26．D【分析】先判断a 和b 的符号，然后根据二次根式的符号化简即可．【详解】解：20b a -≥ 0b ∴≤0ab > 所以a 和b 同号，0,0a b ∴<<，22b b b a a a b a a a---===---故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质；熟练掌握性质是解答本题的关键．27．A【分析】先根据三角形的三边关系求出n 的取值范围，然后对二次根式进行化简求值即可．【详解】解：由三角形三边关系可知：37n <<，∴30n -<，81n ->，38n n=-+-原式()()38n n =--+-38n n=-++-5=故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的化简和求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质．28．A【分析】由题意可得：0ab <，再根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：由题意可得：0ab <，22222211333933ab a b a b a b ab ab ab ab--=⨯=⨯--⨯-ab ab=--故选：A ．【点睛】本题考查二次根式的化简，注意二次根式的结果为非负数．29．C【分析】根据点的坐标，可得a 、b 的关系，根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据整式的加减，可得答案．【详解】解：由数轴上点的位置关系，得0,||||a b a b <<>．22()()a a b a a b a a b b -+=----=-++=．故选：C ．【点睛】本题考查了实数与数轴，以及二次根式的性质，利用点的坐标得出a 、b 的关系是解题关键．30．A【分析】根据二次根式有意义的条件得出130x -≥，进而可得320x -<，然后根据二次根式的性质化简即可求解．【详解】解：∵130x -≥∴31x ≤∴320x -<229124(13)x x x -+--()()23213x x =---2313x x=--+21=-1=，故选：A.【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，掌握二次根式的性质是解题的关键．31．A【分析】利用因式分解和平方差公式和完全平方公式进行简便运算即可．【详解】解：()59120212020591x =⨯-=，()()220202*********y =-+-22202020201=-+1=，22588225882z =+⨯⨯+()25882=+2600=600=，∵1591600<<，∴y x z <<，故选：A ．【点睛】本题考查因式分解、二次根式的性质、有理数的混合运算，会利用平方差公式和完全平方公式简便运算是解答的关键．32．2532-【分析】根据2a a =化简即可．【详解】∵2532=2018>0--，∴原式＝|2532|=2532--．故答案为：2532-．【点睛】本题考查二次根式的性质，熟记2a a =是解题的关键．33．2a b -##-2b+a【分析】根据题意可得：0b a <<，从而可得0b a -<，然后利用二次根式的性质，绝对值的意义进行化简计算即可解答．【详解】解：由图可知0b a <<，0b a ∴-<，()2b a b ∴-+()()b a b =--+-a b b =--2a b =-．故答案为：2a b -．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，整式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键．34． 5x x 3 3.14π-## 3.14π-+【分析】根据二次根式性质进行的化简即可得解．【详解】解：3225255x x x x x =⋅=，()()22333-==，2(3.14π)π 3.14-=-，故答案为：5x x ，3，π 3.14-．【点睛】考查二次根式的性质和化简，掌握被开方数化为因式积的形式，正确开方化简是解题关键．35．1【分析】根据三角形的三边关系得到24k <<，再判断得到23>0k -，290k -<，再化简代数式即可．【详解】解：∵ABC V 的三边长分别为1、k 、3，∴24k <<，∴23>0k -，290k -<，∴274368123k k k --+--()()272923k k =----()79223k k =---+10292k k =--+1=．故答案为：1．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，绝对值的化简，二次根式的化简，掌握“二次根式的化简方法”是解本题的关键．36．8或2##2或8【分析】根据二次根式有意义的条件可求出x 与y 的值，然后代入原式即可求出答案．【详解】解：由题意可知：50y -≥且50y -≥，5y ∴=，3x ∴=±，当3x =时，358x y +=+=；当3x =-时，352x y +=-+=．故答案为：8或2．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．37．m【分析】根据二次根式性质化简，再利用绝对值意义去绝对值即可得到答案．【详解】解：由数轴可知：0,,m m n m n ＜＜＞，∴0,0m n m n -+＜＜，∴22()||m m n m n ---+||m m n m n---+=m m n m n =-+-++（）（）m m n m n=-+-++m =，故答案为：m ．【点睛】本题考查代数式化简，涉及二次根式性质、去绝对值运算等知识，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．38．26【分析】图形可知，第n 行最后一个数为123n +++⋯+=()12n n +，据此可得答案．【详解】解：由图形可知，第n 行最后一个数为123n +++⋯+=()12n n +，∴第6行最后一个数为67212⨯=，则第7行从左至右第3个数是2132426+==，故答案为：26．【点睛】本题主要考查数字的变化类，二次根式的性质化简，解题的关键是根据题意得出第n 行最后一个数为()12n n +．39．c 【分析】根据数轴、绝对值、二次根式的性质，分别进行绝对值、二次根式化简即可得解．【详解】解：由数轴可知：+=0a b ，0c a ->，0c <，0a <原式02a c a c=-+---2a c a c=--++=c【点睛】本题考查数轴、相反数、绝对值、二次根式的综合运用，熟练掌握相应的定义性质是关键．40．1．【分析】先根据二次根式被开方数为非负数得出3x ≥，即可得到24>0x -，原式可变为()2+2+3=0y x y -，再根据非负数的性质得到二元一次方程组，求解得到x 和y 的值，代入即可求出+x y 的值．【详解】∵()230x y ≥-，∴30x -≥，即3x ≥，∴24>0x -，∴()224++2+3=24x y x y x ---，即()2+2+3=0y x y -，∴2+2=0(3)=0y x y ⎧⎨-⎩，解得：=3=2x y ⎧⎨-⎩．∴()+321x y =+-=．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，解二元一次方程组，另一方面考查了非负数和为零的基本模型．41．(1)1±；(2)94．【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x ，进而求出y ，根据平方根的概念解答；（2）根据平方根的概念列出方程，解方程求出a ，根据有理数的平方法则计算即可．【详解】（1）解∶由题意得，20200x -≥，20200x -≥，解得，2020x =，∴2019y =-，∴202020191x y +=-=，∵1的平方根是1±，∴x y +的平方根1±；（2）解：∵正数x 的两个平方根分别是2a +和5a +，∴250a a +++=，解得，72a =-，∴732222a +=-+=-，∴23924x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、平方根的概念，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．42．(1)227m n +，2mn(2)12或28(3)①32+，②52-，③51+【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m 、n 表示出a 、b ；（2）利用（1）中结论得到62mn =，利用a 、m 、n 均为正整数得到1m =，3n =或3m =，1n =，然后利用223a m n =+计算对应a 的值；（3）设41025+41025t -+++=，两边平方得到2410254t =-++1025++216(1025)+-+，然后利用（1）中的结论化简得到2625t =+，最后把625+写成完全平方形式可得到t 的值．【详解】（1）设()22277727a b m n m n mn +=+=++（其中a 、b 、m 、n 均为整数），则有227a m n =+，2b mn =；故答案为：227m n +，2mn ；（2）∵62mn =，∴3mn =，∵a 、m 、n 均为正整数，∴1m =，3n =或3m =，1n =，当1m =，3n =时，2222313328a m n =+=+⨯=；当3m =，1n =时，2222333112a m n =+=+⨯=；即a 的值为12或28；（3）①526+32232=++⨯()232=+32=+②7210-52252=+-⨯()252=-52=-③设41025+41025t -+++=，则2410254t =-++1025++216(1025)+-+282(51)=+-()8251=+-625=+()251=+，∴51t =+．【点睛】本题考查根据二次根式的性质进行化简，解题的关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．43．(1)56-；(2)43-；(3)m a b =+，n ab =．【分析】（1）将31分解成256+，再利用完全平方公式即可求出答案；（2）先将7分解成43+，计算第二层根式，再将35分解成163+，利用完全平方公式即可求出答案；（3）将等式两边同时平方即可求出答案．【详解】（1）31106-251066=-+2(56)=-56=-（2）358743-+3584433=-++2(23583)-+=358(23)=-⨯+351663=--1963=-16633=-+43=-（3）()2m n a b a b ±=±>两边平方可得：22m n a b ab±=+±∴m a b =+，n ab=【点睛】本题考查了二次根式的化简与性质及配方法的应用，读懂题中的配方法并明确二次根式的化简方法是解题关键．。
