高一数学指数函数与对数函数的关系

对数与指数的之间的关系理解和归纳知识点：对数与指数之间的关系理解和归纳一、对数与指数的定义和性质1.对数的定义：对数是幂的指数，用来表示幂的次数。

2.指数的定义：指数是基数的幂，用来表示幂的次数。

3.对数的基本性质：(1)对数的底数必须大于0且不等于1。

(2)对数的真数必须大于0。

(3)对数的值是实数。

4.指数的基本性质：(1)指数的底数必须大于0且不等于1。

(2)指数的值可以是正数、负数或0。

(3)指数的幂是实数。

二、对数与指数的互化关系1.对数与指数的互化公式：(1)如果y=log_a(x)，则a^y=x。

(2)如果y=a^x，则log_a(y)=x。

2.对数与指数互化的意义：(1)对数可以用来求解指数方程。

(2)指数可以用来求解对数方程。

三、对数与指数的增长速度1.对数增长速度：对数函数的增长速度逐渐变慢。

2.指数增长速度：指数函数的增长速度逐渐变快。

四、对数与指数的应用1.对数与指数在科学计算中的应用：(1)天文学：计算星体距离。

(2)生物学：计算细菌繁殖。

(3)经济学：计算货币贬值。

2.对数与指数在实际生活中的应用：(1)通信：计算信号衰减。

(2)计算机科学：计算数据压缩率。

(3)物理学：计算放射性物质衰变。

五、对数与指数的图像和性质1.对数图像：对数函数的图像是一条斜率逐渐减小的曲线。

2.指数图像：指数函数的图像是一条斜率逐渐增大的曲线。

3.对数与指数的性质：(1)对数函数的定义域是(0,+∞)，值域是R。

(2)指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞)。

(3)对数函数和指数函数都是单调函数。

六、对数与指数的关系总结1.对数与指数是幂的两种表示形式，它们之间可以相互转化。

2.对数与指数具有不同的增长速度，对数增长速度逐渐变慢，指数增长速度逐渐变快。

3.对数与指数在科学研究和实际生活中有广泛的应用。

4.对数与指数的图像和性质反映了它们的单调性和变换规律。

通过以上对对数与指数之间关系的理解和归纳，我们可以更好地掌握对数与指数的知识，并在学习和生活中灵活运用。

指数函数和对数函数之间有什么关系？
指数函数和对数函数是数学中常见的两类函数，它们之间有着
紧密的关系。

指数函数可以表示为 y = a^x，其中 a 为底数常数，x 为指数。

在指数函数中，底数 a 为一个正数时，随着 x 的增大，函数 y 的值
也会随之增大；底数 a 为一个小于 1 的分数时，随着 x 的增大，函
数 y 的值会减小。

指数函数的图像通常呈现出上升或下降的曲线。

对数函数是指数函数的逆运算。

对数函数可以表示为 x =
log_a(y)，其中 a 为底数常数，y 为函数的值。

对数函数中，底数 a
的取值与指数函数相反。

当y 为正数时，对数函数的值是一个实数；当 y 为负数时，对数函数的值是一个虚数。

指数函数和对数函数之间的关系体现在它们的定义和性质上。

具体而言，对数函数是指数函数的反函数，即 log_a(a^x) = x。

这个
关系表明，指数函数和对数函数可以互相抵消，从而得到原来的数值。

另外，指数函数和对数函数还具有以下的一些性质和关系：
1. 指数函数的图像是上升或下降的曲线，而对数函数的图像是一条直线，与 x 轴交于正半轴；
2. 当底数 a 大于 1 时，指数函数是增长的，对数函数也是增长的；当底数 a 在 0 和 1 之间时，指数函数是衰减的，对数函数也是衰减的；
3. 指数函数和对数函数关于 y = x 对称；
4. 指数函数和对数函数都具有相似的性质，如指数规律和对数运算法则等。

综上所述，指数函数和对数函数之间有紧密的关系。

它们是数学中重要的概念和工具，被广泛应用在科学、经济、工程等领域的问题中。

指数函数与e的对数函数的转换指数函数和e的对数函数在高中数学中都是非常重要的知识点。

它们在数学和科学领域中有着广泛的应用。

虽然它们在形式上很不同，但是它们之间有着紧密的关系，可以相互转换。

本文将介绍关于指数函数与e的对数函数的转换。

指数函数是数学中的一个基本概念，它的形式为y=a^x (a>0,a≠1)，其中a称为底数，x称为指数。

当a>1时，指数函数呈现增长趋势，当0<a<1时，指数函数呈现下降趋势。

指数函数的图像经常出现在科学和金融领域中。

e是自然常数，是一个无理数，它大约等于2.71828。

e的对数函数的形式为y=ln x (x>0)，它是以e为底数的对数函数。

它的定义为：log_e (x) = ln (x)。

下面是指数函数与e的对数函数的转换：1. 指数函数转换为e的对数函数的方法指数函数y=a^x（a>0，a≠1）可以表示为下面的形式：y=a^(xlna)此时，a>0且a≠1，则ln a是一个确定的实数。

这个结果很重要，因为此时，指数函数y=a^x能够表示为e的对数函数y=ln(a^xlna)。

通过简单的代换，可以得到下面的说明：y=ln (a^xlna)y=xlna·lna（由lna是常数，a^xlna为底数）如果使用e作为底数，则可以得到：y=xlna·ln (e)但是，ln (e)的值为1，因此，上面的式子可以化简为：y=xlna这个式子可以很容易地转换为阳性式子：a^x=e^(xlna)2. e的对数函数转换为指数函数的方法e的对数函数y=ln x可以重写为x=e^ln x。

这个式子不仅可以很容易地证明，还可以将e的对数函数转换为指数形式，如下所示：y=ln xx=e^y由此得到：e^(y×ln a)=(e^(lna))^y=a^y因此，以自然常数e为底数的对数函数和以a为底数的指数函数之间存在这种紧密的联系。

高中数学中的指数与对数函数的性质指数与对数函数是高中数学中重要的概念，它们在数学和实际生活中都具有广泛的应用。

本文将探讨指数与对数函数的性质，包括定义、图像、性质以及应用等方面。

一、指数函数的性质指数函数是以底数为常数的幂的形式表示的函数，其中底数是一个正实数，指数是自变量。

指数函数的一般形式为：f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。

1. 定义和图像指数函数的定义域是全体实数，值域是正实数。

当底数a大于1时，指数函数是递增函数；当底数a介于0和1之间时，指数函数是递减函数。

指数函数的图像特点是从左下方向右上方逼近x轴，并且永远不会与x轴相交。

当底数a等于1时，指数函数 f(x) = 1^x = 1，为常函数。

2. 性质（1）指数函数的基本性质：f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1。

当a>1时，函数f(x)是递增函数；当0<a<1时，函数f(x)是递减函数。

当a=1时，f(x)=1^x=1，为常函数。

（2）指数运算法则：对于指数函数，指数运算有以下法则：a^m * a^n = a^(m+n)(a^m)^n = a^(m*n)(a*b)^m = a^m * b^m（3）特殊指数函数的性质：a^0 = 1 （其中a为正实数，且a≠0）a^(-n) = 1/(a^n) （其中a为正实数，且a≠0）a^(1/n) = 平方根a （其中a为正实数）a^m * a^(-m) = a^0 = 13. 应用指数函数的应用非常广泛，例如：（1）财务增长和投资回报的计算。

（2）物质的衰变和放射性的测量。

（3）自然生长和人口增长的模拟。

（4）科学实验数据的分析。

（5）信号传输和电磁波的分析等。

二、对数函数的性质对数函数是指以某个正实数为底数，使得指数等于给定数的函数。

对数函数的一般形式为：f(x) = loga(x)，其中a为底数，x为实数。

1. 定义和图像对数函数的定义域是正实数，值域是全体实数。

指数函数与对数函数知识点总结一、指数函数1、指数函数的定义一般地，函数\（y ＝ a^x\）（＼（a ＞ 0\）且\（a ≠ 1\））叫做指数函数，其中\（x\）是自变量，函数的定义域是\（R\）。

需要注意的是，底数\（a\）的取值范围，当\（a ＝ 1\）时，函数就变成了\（y ＝ 1^x ＝ 1\），是一个常函数，不符合指数函数的定义；当\（a ＜ 0\）时，对于某些\（x\）的值，＼（a^x\）无意义，比如\（（－2)＾｛＼frac{1}｛2}｝＼）就没有实数解。

2、指数函数的图象当\（a ＞ 1\）时，指数函数\（y ＝ a^x\）的图象是上升的，经过点\（（0, 1)＼），在\（R\）上单调递增；当\（0 ＜ a ＜ 1\）时，指数函数\（y ＝ a^x\）的图象是下降的，经过点\（（0, 1)＼），在\（R\）上单调递减。

我们可以通过几个特殊的点，比如\（（0, 1)＼）、＼（（1, a)＼）、＼（（－1, ＼frac{1}｛a}）＼）等来大致描绘指数函数的图象。

3、指数函数的性质（1）定义域：＼（R\）（2）值域：＼（（0, ＋∞）＼）（3）恒过定点\（（0, 1)＼）（4）单调性：当\（a ＞ 1\）时，在\（R\）上单调递增；当\（0 ＜a ＜ 1\）时，在\（R\）上单调递减（5）函数值的变化情况当\（a ＞ 1\）时，若\（x ＞ 0\），则\（a^x ＞ 1\）；若\（x ＝ 0\），则\（a^x ＝ 1\）；若\（x ＜ 0\），则\（0 ＜ a^x ＜ 1\）。

当\（0 ＜ a ＜ 1\）时，若\（x ＞ 0\），则\（0 ＜ a^x ＜ 1\）；若\（x ＝ 0\），则\（a^x ＝ 1\）；若\（x ＜ 0\），则\（a^x ＞ 1\）。

4、指数运算的性质（1）＼（a^m × a^n ＝ a^｛m ＋ n}＼）（2）＼（＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＼）（＼（a ≠ 0\））（3）＼（（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＼）（4）＼（（ab)＾n ＝ a^n b^n\）这些运算性质在化简指数表达式和进行指数运算时经常用到。

指数函数与对数函数的级数展开指数函数和对数函数是高等数学中常见的两类函数。

它们在数学、物理、工程等领域具有重要的应用价值。

本文将对指数函数和对数函数的级数展开进行讨论和探究。

一、指数函数的级数展开指数函数可以用级数来表示，即指数级数展开。

指数函数的级数展开形式为：e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ...其中e为自然对数的底数，x为自变量。

这个级数在整个实数范围内都收敛，且收敛速度很快。

级数中的每一项都是x的幂函数与n的阶乘的乘积。

幂函数的阶乘项逐渐变小，因此级数的每一项也越来越小，当n趋向于无穷大时，级数趋于收敛。

二、对数函数的级数展开对数函数的级数展开称为对数级数展开。

对数函数的级数展开形式为：ln(1 + x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...其中ln为自然对数函数，x为自变量。

这个级数在区间(-1,1]上收敛，当x等于1时，级数的和是ln2。

对于其他值的x，通过级数展开计算ln(1 + x)的近似值。

三、指数函数与对数函数的关系指数函数和对数函数是互为反函数的关系。

即e^x与lnx是互为反函数，它们的图像关于y=x对称。

指数函数的级数展开和对数函数的级数展开中，每一项的正负号交替出现，这是因为指数函数和对数函数的反函数关系导致的。

四、应用举例指数函数和对数函数在实际问题中有许多应用。

以下举几个例子：1. 金融领域中的复利计算：复利的计算涉及到指数函数的性质。

利息的计算可以通过指数函数的级数展开来近似计算。

2. 物理学中的无限放大现象：当一束光线通过透镜或者反射镜聚焦时，可以利用对数函数的级数展开来近似计算成像的位置。

3. 电路中的电压衰减：电路中的电压衰减过程可以用指数函数的级数展开来描述，可以通过级数展开计算电压的衰减速度。

以上只是指数函数和对数函数在实际应用中的一些例子，实际应用中还涉及到更多的问题和计算方法。

指数函数和对数函数的关系指数函数和对数函数是数学中非常重要的两类函数，它们有着密切的关系。

指数函数是具有形如f(x)=a^x的函数，其中a是一个常数且a>0且不等于1，x是自变量；而对数函数是具有形如f(x)=loga(x)的函数，其中a是一个常数且a>0且不等于1，x是自变量。

接下来，我们来详细探讨指数函数和对数函数的关系。

1.定义关系：f(g(x))=a^(loga(x))=xg(f(x))=loga(a^x)=x也就是说，对于指数函数f(x)和对数函数g(x)，当它们的自变量和函数的定义域和值域匹配时，它们的函数值相互等于自变量。

2.特点对比：- 指数函数f(x)=a^x是增长的函数，也就是说随着x的增大，函数值也随之增大；而对数函数g(x)=loga(x)是上升的函数，它的函数值随着x的增大而增加。

- 当a>1时，指数函数f(x)=a^x的图像是上升的且没有上界；而对数函数g(x)=loga(x)的图像是上升的且有一个水平渐近线y=0。

- 当0<a<1时，指数函数f(x)=a^x的图像是下降的且没有下界；而对数函数g(x)=loga(x)的图像是下降的且有一个水平渐近线y=0。

-指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集(0,+∞)；而对数函数的定义域为正实数集(0,+∞)，值域为实数集R。

3.换底公式：另一个重要的关系是指数函数和对数函数的换底公式。

对于任意两个正实数a和b，以及a不等于1，b不等于1，有以下换底公式：loga(b) = logc(b) / logc(a)其中，c是一个任意正实数且不等于1、换底公式的含义是，以任意底c取对数的结果都是等价的，只是在数值上有所差异。

4.解方程与求导关系：- 解指数方程通常需要利用对数函数，例如求解a^x=b的x时，可以取对数得到x=loga(b)。

- 解对数方程通常需要利用指数函数，例如求解loga(x)=b的x时，可以取指数得到x=a^b。

人教版高一数学必修一第4单元指数函数与对数函数（讲解和习题）基础知识讲解一．指数函数的定义、解析式、定义域和值域【基础知识】1、指数函数的定义：一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝a x（a＞0，且a≠1）【技巧方法】①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．①规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．二．指数函数的图象与性质【基础知识】1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域 （0，+∞） 性质过定点（0，1）当x ＞0时，y ＞1； x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1在R 上是增函数在R 上是减函数2、底数与指数函数关系①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a ＞l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y 轴；同样地，当0＜a ＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x 轴． ①底数对函数值的影响如图．①当a ＞0，且a ≠l 时，函数y ＝a x 与函数y ＝的图象关于y 轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较： 若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．三．二次函数的性质与图象【二次函数】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【二次函数的性质】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式①＝b2﹣4ac，当①＝0时，函数与x轴只有一个交点；①＞0时，与x轴有两个交点；当①＜0时无交点．①根与系数的关系．若①≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；①二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．①平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；四．指数型复合函数的性质及应用【基础知识】指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（a x）与y＝a f（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝a u y＝a g（x）增增增减减增增减减减增减．五．指数函数的单调性与特殊点【基础知识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a 的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝a x如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．六．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．七．指数式与对数式的互化【基础知识】a b＝N①log aN＝b；指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）a f（x）＝b①f（x）＝log a b；log a f（x）＝b①f（x）＝a b（定义法）（2）a f（x）＝a g（x）①f（x）＝g（x）；log a f（x）＝log a g（x）①f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）a f（x）＝b g（x）①f（x）log m a＝g（x）log m b；（两边取对数法）（4）log a f（x）＝log b g（x）①log a f（x）＝；（换底法）（5）A log x+B log a x+C＝0（A（a x）2+Ba x+C＝0）（设t＝log a x或t＝a x）（换元法）八．对数的运算性质【基础知识】对数的性质：①＝N；①log a a N＝N（a＞0且a≠1）．log a（MN）＝log a M+log a N；log a＝log a M﹣log a N；log a M n＝n log a M；log a＝log a M．九．换底公式的应用【基础知识】换底公式及换底性质：（1）log a N＝（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．（2）log a b＝，（3）log a b•log b c＝log a c，十．对数函数的定义域【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．十一．对数函数的值域与最值【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．定点：函数图象恒过定点（1，0）十二．对数值大小的比较【基础知识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）十三．对数函数的单调性与特殊点【基础知识】对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y＝log a x在（0，+∞）上为增函数当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在（0，+∞）上为减函数 2、特殊点对数函数恒过点（1，0）十四．对数函数图象与性质的综合应用 【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a ＞10＜a ＜1图象定义域 （0，+∞）值域 R 定点 过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1，y ＜0当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【技巧方法】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十五．指数函数与对数函数的关系【基础知识】指数函数和对数函数的关系：（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称．（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数．（3）指数函数与对数函数的联系与区别：十六．反函数【基础知识】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x①A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y①C）叫做函数y＝f（x）（x①A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f （﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C（其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．十七．对数函数图象与性质的综合应用【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a＞10＜a＜1图象定义域（0，+∞）值域R定点过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【解题方法点拨】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十八．函数的零点【基础知识】一般地，对于函数y＝f（x）（x①R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f （x）（x①D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．十九．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．【技巧方法】（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．二十．函数的零点与方程根的关系【基础知识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．二十一. 二分法【基础知识】二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．习题演练一．选择题（共12小题）1．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-+∞C ．()0,1D ．()(),01,-∞⋃+∞2．下列式子计算正确的是（ ） A ．m 3•m 2＝m 6 B ．（﹣m ）2＝21m - C ．m 2+m 2＝2m 2D ．（m +n ）2＝m 2+n 23．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．设2,8()(8),8x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(17)f =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．函数13x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．()0,2-B ．()1,3--C ．()0,3-D ．()1,2--6．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+7．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．8．已知2log a e =，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>9．函数()2xf 的定义域为[1,1]-，则()2log y f x =的定义域为（ ）A ．[1,1]-B．C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[1,4]10．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减11．已知函数()ln 1,01,0xx x f x e x ⎧+>=⎨+≤⎩，()22g x x x =--，若方程()()0f g x a -=有4个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．(]0,1C ．(]1,2D ．[)2,+∞12．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭二．填空题（共6小题）13．计算：13021lg8lg 25327e -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________．14．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 15．已知当(]1,2x ∈时，不等式()21log a x x -≤恒成立，则实数a 的取值范围为________.16．若关于x 的方程11224a x x =-++-的解集为空集，求实数a 的取值范围______. 17．已知函数223,3()818,3x x f x x x x -⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数为_________．18．已知定义在R 上的函数()f x 满1(2)()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，()x f x x e =+，则(2019)f =_______.三．解析题（共6小题）19．已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<.（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的零点；（3）若函数()f x 的最小值为－4，求a 的值.20．已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.21．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)=2f . (1)求a 的值；(2)求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.22．已知实数0a >，定义域为R 的函数()x x e af x a e=+是偶函数，其中e 为自然对数的底数．（①）求实数a 值；（①）判断该函数()f x 在(0,)+∞上的单调性并用定义证明；（①）是否存在实数m ，使得对任意的t R ∈，不等式(2)(2)f t f t m -<-恒成立．若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．23．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >． （1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x xf -<．24．甲商店某种商品4月份（30天，4月1日为第一天）的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系如图所示（1），该商品日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系如图(2)所示.（1）（2）（1）写出图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式()P f t =，写出图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式()Q g t =及日销售金额M （元）与时间的函数关系式()M h t =. （2）乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N （元）与时间t （天）之间的函数关系式为22102750N t t =--+，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系。

指数函数的反函数和对数函数指数函数和对数函数是高中数学教材中一个重要的知识点。

在实际应用中，指数函数和对数函数的反函数也很重要。

本文将介绍指数函数的反函数和对数函数的概念、性质和应用。

一、指数函数的反函数1. 概念指数函数的反函数，也叫做对数函数。

对数函数是一种特殊的函数，用于求出一个数在以某个正实数为底的幂中的指数。

也就是说，对数函数可以把指数函数的自变量和因变量交换位置，从而得到反函数。

2. 性质对数函数与指数函数有如下的性质：（1）对数函数的定义域为正实数，值域为实数。

（2）在同一底数下，对数函数和指数函数是反函数关系。

（3）对数函数是单调递增的。

（4）对数函数的图像与指数函数的图像关于直线y=x对称。

（5）对数函数的导数为f'(x)=1/x。

3. 应用对数函数在实际应用中有很多用处，例如：（1）对于化学物质的pH值，可以使用对数函数来计算。

（2）在信号处理中，对数函数用于将幅度值转换为分贝表示。

（3）对数函数也广泛用于金融领域，如计算投资收益率等。

二、对数函数1. 概念对数函数是一个以正实数为底的幂的指数，用于表示幂的指数。

一般情况下，我们使用以10为底的对数函数和以e为底的自然对数函数。

2. 性质对数函数有以下性质：（1）对数函数的定义域为正实数，值域为实数。

（2）以任意正实数为底的对数函数之间可以相互转化，根据换底公式可知，以不同底数a和b的对数函数之间有如下的转化关系：loga b = 1 / (logb a)（3）对于以10为底的对数函数，通常使用lg表示；而对于以e为底的自然对数函数，通常使用ln表示。

（4）对数函数是单调递增的。

（5）对数函数的导数为f'(x)=1/(x*lna)。

3. 应用对数函数在实际应用中也有很多用处，例如：（1）在电路分析中，对数函数用于计算电压和电流比值的分贝值。

（2）对数函数还广泛用于数据表示和图像处理中，如图像的亮度和对比度调整和数据的归一化等。

指数函数与对数函数的关系课标解读课标要求核心素养1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,以及它们的图像间的对称关系.(重点)2.利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异.3.利用指数函数、对数函数的图像性质解决一些简单问题.(难点)1.通过反函数的概念及指数函数与对数函数图像间的关系的学习,培养直观想象的核心素养.2.借助指数函数与对数函数综合应用的学习,提升数学运算、逻辑推理的核心素养.观察下面的变换:y=a x x=log a y y=log a x.问题1:指数函数y=a x的值域与对数函数y=log a x的定义域是否相同?答案相同.问题2:指数函数y=a x的定义域与对数函数y=log a x的值域相同吗?答案相同.1.反函数的概念与记法(1)反函数的概念:一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有①唯一的x与之对应,那么②x是③y的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数,此时,称y=f(x)存在④反函数.(2)反函数的记法:一般地,函数y=f(x)的反函数通常用⑤y=f-1(x)表示.思考:如何准确理解反函数的定义?什么样的函数存在反函数?提示反函数的定义域和值域正好是原函数的值域和定义域,反函数也是函数,因为它符合函数的定义.对于任意一个函数y=f(x),不一定总有反函数,只有当一个函数是单调函数时,这个函数才存在反函数.2.指数函数与对数函数的关系(1)指数函数y=a x与对数函数y=log a x⑥互为反函数.(2)指数函数y=a x与对数函数y=log a x的图像关于直线⑦y=x对称.探究一求函数的反函数例1 求下列函数的反函数.(1)y=;(2)y=x2(x≤0).解析(1)由y=,得x=lo y,且y>0,所以f-1(x)=lo x(x>0).(2)由y=x2得x=±.因为x≤0,所以x=-.所以f-1(x)=-(x≥0).1.(1)已知函数y=e x的图像与函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称,则( )A.f(2x)=e2x(x∈R)B.f(2x)=ln2×lnx(x>0)C.f(2x)=2e x(x∈R)D.f(2x)=ln2+lnx(x>0)(2)求函数y=0.2x+1(x≤1)的反函数.答案(1)D解析(1)由题意知函数y=e x与函数y=f(x)互为反函数,y=e x>0,∴f(x)=lnx(x>0),则f(2x)=ln2x=ln2+lnx(x>0).(2)由y=0.2x+1得x=log0.2(y-1),对换x、y得y=log0.2(x-1).∵原函数中x≤1,∴y≥1.2,∴反函数的定义域为[1.2,+∞),因此y=0.2x+1(x≤1)的反函数是y=log0.2(x-1),x∈[1.2,+∞).探究二指数函数与对数函数图像之间的关系例2 (1)已知a>0,且a≠1,则函数y=a x与y=log a x的图像只能是( )(2)当a>1时,函数y=a-x与y=log a x在同一平面直角坐标系中的图像是( )答案(1)C (2)A解析(1)y=a x与y=log a x的单调性一致,故排除A、B;当0<a<1时,排除D;当a>1时,C正确.(2)因为当a>1时,0<<1,所以y=a-x=是减函数,其图像恒过(0,1)点,y=log a x为增函数,其图像恒过(1,0)点,故选A.思维突破互为反函数的两个函数图像的特点(1)互为反函数的两个函数图像关于直线y=x对称;图像关于直线y=x对称的两个函数互为反函数.(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致.2.(1)已知函数f(x)=a x+b的图像过点(1,7),其反函数f-1(x)的图像过点(4,0),则f(x)的表达式为( )A.f(x)=4x+3B.f(x)=3x+4C.f(x)=5x+2D.f(x)=2x+5(2)若函数y=的图像关于直线y=x对称,则a的值为.答案(1)A (2)-1解析(1)∵f(x)的反函数的图像过点(4,0),∴f(x)的图像过点(0,4),又f(x)=a x+b的图像过点(1,7),故有方程组解得故f(x)的表达式为f(x)=4x+3,选A.(2)由y=可得x=,则原函数的反函数是y=,所以=,解得a=-1. 探究三指数函数与对数函数的综合应用例3 已知f(x)=(a∈R),f(0)=0.(1)求a的值,并判断f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的反函数;(3)对任意的k∈(0,+∞),解不等式f-1(x)>log2.解析(1)由f(0)=0,得a=1,所以f(x)=.f(x)的定义域为R,关于原点对称.因为f(x)+f(-x)=+=+=0,所以f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数.(2)因为f(x)=y==1-,所以2x=(-1<y<1),所以f-1(x)=log2(-1<x<1).(3)因为f-1(x)>log2,即log2>log2,所以化简得所以当0<k<2时,原不等式的解集为{x|1-k<x<1};当k≥2时,原不等式的解集为{x|-1<x<1}.3.(变结论)本例中的条件不变,判断f-1(x)的单调性,并给出证明.解析f-1(x)为(-1,1)上的增函数.证明:由原题知f-1(x)=log2(-1<x<1).任取x1,x2∈(-1,1)且x1<x2,令t(x)===-1+,则t(x1)-t(x2)=-=-==.因为-1<x1<x2<1,所以1-x1>0,1-x2>0,x1-x2<0,所以t(x1)-t(x2)<0,t(x1)<t(x2),所以log2t(x1)<log2t(x2),即f-1(x1)<f-1(x2),所以函数f-1(x)为(-1,1)上的增函数.1.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=( )A.log2xB.C.lo xD.2x-2答案 A y=a x的反函数为f(x)=log a x,又f(2)=1,所以1=log a2,所以a=2,所以f(x)=log2x.2.若函数y=f(x)的反函数的图像过点(1,5),则函数y=f(x)的图像必过点( )A.(1,1)B.(1,5)C.(5,1)D.(5,5)答案 C 原函数的图像与它的反函数的图像关于直线y=x对称,因为y=f(x)的反函数的图像过点(1,5),而点(1,5)关于直线y=x的对称点为(5,1),所以函数y=f(x)的图像必过点(5,1).3.若函数y=log3x的定义域为(0,+∞),则其反函数的值域是( )A.(0,+∞)B.RC.(-∞,0)D.(0,1)答案 A 由原函数与反函数的关系知,反函数的值域为原函数的定义域.4.已知f(x)=2x+b的反函数为f-1(x),若y=f-1(x)的图像过点Q(5,2),则b= .答案 1解析由f-1(x)的图像过点Q(5,2),得f(x)的图像过点(2,5),即22+b=5,解得b=1.数学抽象——指数函数和对数函数关系的理解和应用设方程2x+x-3=0的根为a,方程log2x+x-3=0的根为b,求a+b的值.素养探究:方程根的问题可以借助图像转化为两个函数的图像的交点问题,进而形象、直观地解决问题,过程中体现数形结合的思想和数学抽象核心素养.解析将两个方程整理得2x=-x+3,log2x=-x+3.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=log2x的图像及直线y=-x+3,如图.由图可知,a是指数函数y=2x的图像与直线y=-x+3的交点A的横坐标,b是对数函数y=log2x的图像与直线y=-x+3的交点B的横坐标.因为函数y=2x与y=log2x互为反函数,所以它们的图像关于直线y=x对称,易知A,B两点也关于直线y=x对称,于是A,B两点的坐标可设为A(a,b),B(b,a).因为点A,B都在直线y=-x+3上,所以b=-a+3(A点坐标代入)或a=-b+3(B点坐标代入),故a+b=3.实数x、y满足x+lnx=8,y+e y=8,求x+y的值.解析由x+lnx=8,得lnx=8-x,由y+e y=8,可得e y=8-y,在同一平面直角坐标系中作出直线y=8-x及函数y=lnx,y=e x的图像,如图所示,联立y=8-x与y=x,解得x=y=4,所以点C的坐标为(4,4),方程x+lnx=8的根可视为直线y=8-x与函数y=lnx图像的交点B的横坐标,方程y+e y=8的根可视为直线y=8-x与函数y=e x图像的交点A的横坐标,由图像可知,点A、B关于直线y=x对称,因此,x+y=8.——————————————课时达标训练—————————————1.函数y=log3x的反函数是( )A.y=lo xB.y=3xC.y=D.y=x3答案 B ∵y=log3x,∴3y=x,∴函数y=log3x的反函数是y=3x,故选B.2.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数,其图像经过点(,a),则f(x)=( )A.log2xB.lo xC. D.x2答案 B 因为y=a x的反函数为y=log a x,且函数f(x)的图像经过点(,a),所以log a=a,解得a=,所以f(x)=lo x.3.(2019山东沂水第一中学高一期中)函数f(x)=log2(3x+1)的反函数y=f-1(x)的定义域为( )A.(1,+∞)B.[0,+∞)C.(0,+∞)D.[1,+∞)答案 C y=f-1(x)的定义域即为其原函数的值域,∵3x+1>1,∴log2(3x+1)>0.故选C.4.函数y=e x+1的反函数是( )A.y=1+lnx(x>0)B.y=1-lnx(x>0)C.y=-1-lnx(x>0)D.y=-1+lnx(x>0)答案 D 由y=e x+1得x+1=lny,即x=-1+lny,所以所求反函数为y=-1+lnx(x>0).故选D.5.已知函数y=f(x)的图像与y=a x(a>0,a≠1)的图像关于直线y=x对称,则下列结论正确的是( )A.f(x2)=2f(|x|)B.f(2x)=f(x)·f(2)C.f=f(x)+f(2)D.f(2x)=2f(x)答案 A y=f(x)的图像与y=a x(a>0,a≠1)的图像关于直线y=x对称,则f(x)=log a x,f(x2)=log a x2=2log a|x|=2f(|x|),A中结论正确;log a(2x)≠log a x·log a2,B中结论错误;log a≠log a x+log a2=log a(2x),C中结论错误;log a(2x)≠2log a x,D中结论错误.故选A.6.已知函数f(x)=1+log a x,y=f-1(x)是函数y=f(x)的反函数,若y=f-1(x)的图像过点(2,4),则a的值为.答案 4解析因为y=f-1(x)的图像过点(2,4),所以函数y=f(x)的图像过点(4,2),又因为f(x)=1+log a x,所以2=1+log a4,即a=4.7.如果函数f(x)=的反函数为g(x),那么g(x)的图像一定过点.答案(1,0)解析函数f(x)=的反函数为g(x)=lo x,所以g(x)的图像一定过点(1,0).8.已知函数f(x)=log2(x+a)的反函数为y=f-1(x),且f-1(2)=1,则实数a= .答案 3解析函数f(x)=log2(x+a)的反函数为y=f-1(x),且f-1(2)=1,则2=log2(1+a),解得a=3.9.(多选)已知函数f(x)=log a x(a>0,且a≠1)的图像经过点(4,2),则下列说法中正确的是( )A.函数f(x)为增函数B.函数f(x)为偶函数C.若x>1,则f(x)>0D.函数f(x)的反函数为g(x)=2x答案ACD 由题意得2=log a4,解得a=2,故f(x)=log2x,则f(x)为增函数且为非奇非偶函数,故A正确,B错误.当x>1时,f(x)=log2x>log21=0成立,故C正确.f(x)=log2x的反函数为g(x)=2x,故D正确.故选ACD.10.将函数y=2x的图像,再作关于直线y=x对称的图像,可得到函数y=log2(x+1)的图像.( )A.先向上平移一个单位长度B.先向右平移一个单位长度C.先向左平移一个单位长度D.先向下平移一个单位长度答案 D 将函数y=2x的图像向下平移一个单位长度得到y=2x-1的图像,再作关于直线y=x对称的图像即可得到函数y=log2(x+1)的图像.故选D.11.函数y=log a(2x-3)+过定点,函数y=lo x的反函数是.答案;y=()x解析∵对数函数y=log a x过定点(1,0),∴函数y=log a(2x-3)+过定点.函数y=lo x的反函数是y=()x.12.若函数f(x)=log a x(a>0,且a≠1)满足f(27)=3,则f-1(log92)= . 答案解析∵f(27)=3,∴log a27=3,解得a=3.∴f(x)=log3x,∴f-1(x)=3x,∴f-1(log92)===.13.已知f(x)=log a(a x-1)(a>0,且a≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)讨论f(x)的单调性;(3)解方程f(2x)=f-1(x).解析(1)要使函数有意义,必须满足a x-1>0,当a>1时,x>0;当0<a<1时,x<0.∴当a>1时,f(x)的定义域为(0,+∞);当0<a<1时,f(x)的定义域为(-∞,0).(2)当a>1时,任取x1,x2,且0<x1<x2,则1<<,故0<-1<-1,∴log a(-1)<log a(-1),∴f(x1)<f(x2).故当a>1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;类似地,当0<a<1时,f(x)在(-∞,0)上单调递增.(3)令y=log a(a x-1),则a y=a x-1,∴x=log a(a y+1),∴f-1(x)=log a(a x+1).由f(2x)=f-1(x),得log a(a2x-1)=log a(a x+1),∴a2x-1=a x+1,解得a x=2或a x=-1(舍去),∴x=log a2.14.已知函数f(x)=,函数g(x)的图像与f(x)的图像关于直线y=x对称.(1)若g(mx2+2x+1)的定义域为R,求实数m的取值范围;(2)当x∈[-1,1]时,求函数y=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值h(a).解析(1)由题意得g(x)=lo x,∵g(mx2+2x+1)=lo(mx2+2x+1)的定义域为R,∴mx2+2x+1>0恒成立,所以解得m>1.故实数m的取值范围是(1,+∞).(2)令t=,则t∈,y=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2,当a>2时,可得t=2时,y min=7-4a;当≤a≤2时,可得t=a时,y min=3-a2;当a<时,可得t=时,y min=-a.∴h(a)=。

指数函数与对数函数知识点总结一、指数函数（一）指数函数的定义一般地，函数\（y ＝ a^x\）（＼（a ＞ 0\）且\（a ＼neq 1\））叫做指数函数，其中\（x\）是自变量，函数的定义域是\（R\）。

（二）指数函数的图象与性质1、当\（a ＞ 1\）时，指数函数的图象是上升的，函数在\（R\）上单调递增。

图象过定点\（（0, 1)＼），即当\（x ＝ 0\）时，＼（y ＝ 1\）。

当\（x ＞ 0\）时，＼（y ＞ 1\）；当\（x ＜ 0\）时，＼（0 ＜ y ＜1\）。

2、当\（0 ＜ a ＜ 1\）时，指数函数的图象是下降的，函数在\（R\）上单调递减。

图象过定点\（（0, 1)＼）。

当\（x ＞ 0\）时，＼（0 ＜ y ＜ 1\）；当\（x ＜ 0\）时，＼（y ＞1\）。

（三）指数运算的基本法则1、＼（a^m ＼times a^n ＝ a^｛m ＋ n}＼）2、＼（＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＼）（＼（a ＼neq 0\））3、＼（（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＼）4、＼（a^0 ＝ 1\）（＼（a ＼neq 0\））5、＼（a^｛n} ＝＼frac{1}｛a^n}＼）（＼（a ＼neq 0\））（四）指数函数的应用1、指数函数在经济领域中的应用，比如计算利息、复利等。

2、在生物学中，指数函数可以用来描述细胞的分裂、细菌的繁殖等增长过程。

3、在物理学中，指数衰减的现象可以用指数函数来描述，比如放射性物质的衰变。

二、对数函数（一）对数函数的定义一般地，如果\（a^x ＝ N\）（＼（a ＞ 0\）且\（a ＼neq 1\）），那么数\（x\）叫做以\（a\）为底\（N\）的对数，记作\（x ＝＼log_aN\），其中\（a\）叫做对数的底数，＼（N\）叫做真数。

函数\（y ＝＼log_a x\）（＼（a ＞ 0\）且\（a ＼neq 1\））叫做对数函数，其中\（x\）是自变量，函数的定义域是\（（0, ＋＼infty)＼）。

3.2.2 对数函数-3.2.3 指数函数与对数函数的关系自主整理1.对数函数的定义：函数y=log a x(a>0,且a≠1,x>0)称为对数函数，它的定义域为(0,+∞),值域为R.a>10<a<1图象性质定义域:(0,+∞)值域:R过点(1,0),即当x=1时,y=0x∈(0,1)时,y<0x∈(1,+∞)时,y>0x∈(0,1)时,y>0x∈(1,+∞)时,y<0 在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数3.指数函数与对数函数的关系:名称指数函数对数函数一般形式y=a x(a>0,a≠1)y=log a x(a>0,a≠1)定义域(-∞,+∞)(0,+∞)值域(0,+∞)(-∞,+∞)函数值变化情况当a>1时,⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>,1,0,1,0,1xxa x当0<a<1时,⎪⎩⎪⎨⎧<>==><,1,0,1,0,1xxxa x当a>1时,⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>1,0,1,0,1,0logxxxxa当0<a<1时,⎪⎩⎪⎨⎧<>==><1,0,1,0,1,0xxx单调性当a>1时,a x是增函数;当0<a<1时,a x是减函数当a>1时,log a x是增函数;当0<a<1时,log a x是减函数图象y=a x的图象与y=log a x的图象关于直线y=x对称4.反函数当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.一般地，如果函数y=f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y=f-1(x)，反函数也是函数，它具有函数的一切特性.反函数是相对于原函数而言的，函数与它的反函数互为反函数.指数函数y=a x（a＞0,且a≠1）和对数函数y=log a x（a＞0,且a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域相互对换，单调性相同，图象关于直线y=x对称.高手笔记1.解对数不等式的关键是善于把真数视为一个整体，用对数函数的单调性构造不等式,但一定要注意真数大于零这一隐含条件.2.求函数定义域时，常见的限制条件有：分母不为零，开偶次方时被开方数非负，对数的真数大于零，底数大于零且不等于1等.3.考查对数函数与其他函数组成的复合函数时,要注意利用复合函数的单调性法则和函数单调性的定义.考查对数函数的值域问题时,要注意只有当对数的真数取到所有的正数时,对数值才可能取到所有的实数.4.利用对数函数的图象的平移和对称可以认识与对数函数有关的一些函数的图象和性质,这些图象的变换规律与指数函数的有关图象变换规律是类似的.5.作出函数y=log a x 的图象,再将所得图象沿y 轴对称到y 轴左侧,所得两部分组合在一起就是函数y=log a |x|的图象.作出函数y=log a x 的图象,再将所得图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方,与原x 轴上方的部分一起,就是y=|log a x|的图象. 名师解惑1.比较两个对数的大小，一般可采用哪些方法？ 剖析：两数（式）大小的比较主要是找出适当的函数，把要比较的两数作为此函数的函数值，然后利用函数的单调性等来比较两数的大小.一般采用的方法有： （1）直接法：由函数的单调性直接作答；（2）作差法：把两数作差变形，然后判断其大于、等于、小于零来确定；（3）作商法：若两数同号，把两数作商变形，判断其大于、等于、小于1来确定； （4）转化法：把要比较的两数适当地转化成两个新数大小的比较；（5）媒介法：选取适当的“媒介”数，分别与要比较的两数比较大小，从而间接地求得两数的大小.2.对数函数的图象特征和对数函数的性质之间有哪些对应关系？ 剖析:对数函数的图象特征和对数函数的性质之间有以下对应关系：（1）图象都位于y 轴右侧，且以y 轴为渐近线→函数定义域为（0，+∞）. （2）图象向上、向下无限延展→函数值域为R .（3）图象恒过定点（1，0）→1的对数是零，即log a 1=0.（4）当a ＞1时，图象由左向右逐渐上升→当a ＞1时，y=log a x 在（0，+∞）上是增函数； 当0＜a ＜1时，图象由左向右逐渐下降→当0＜a ＜1时，y=log a x 在（0，+∞）上是减函数. （5）当a ＞1时，在直线x=1的右侧，图象位于x 轴上方；在直线x=1与y 轴之间，图象位于x 轴下方→当a ＞1时，x ＞1，则y=log a x ＞0；0＜x ＜1，则y=log a x ＜0.当0＜a ＜1时，在直线x ＝1的右侧，图象位于x 轴下方；在直线x ＝1与y 轴之间，图象位于x 轴上方→当0＜a ＜1时，x ＞1，则y=log a x ＜0；0＜x ＜1，则y=log a x ＞0. 3.怎样把对数函数与指数函数联系起来研究?剖析：（1）对数函数的反函数是指数函数，所以要利用指数函数的性质来研究对数函数.应该注意到：这两种函数都要求底数a ＞0，且a≠1；对数函数的定义域为(0，+∞)，结合图象看，对数函数在y 轴左侧没有图象，即负数与0没有对数，也就是真数必须大于0.这些知识可以用来求含有对数函数的定义域.(2)通过将对数函数与指数函数的图象进行对比，可以发现：当a ＞1，或0＜a ＜1时，对数函数与指数函数的单调性是一致的〔即在区间(0，＋∞)上同时为增函数，或者同时为减函数〕.对数函数的图象都经过点（1，0），这与性质log a 1=0a 0=1是分不开的. (3)既然对数函数y=log a x 与指数函数y=a x 互为反函数，那么它们的图象关于直线y ＝x 对称.于是通过对a 分情况（约定不同的取值范围），再结合函数y=log 2x,y=log 21x 的图象来揭示对数函数的性质，应该是一件水到渠成的事. 讲练互动图3-2-2【例题1】图3-2-2是对数函数y=log a x 当底数a 的值分别取3，34，53，101时所对应图象，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 的值依次是( ) A.3,34,53,101 B.3,34,101,53 C.34,3,53,101 D.34,3,101,53 解析：因为底数a 大于1时，对数函数的图象自左向右呈上升趋势，且a 越大，图象就越靠近x 轴；底数a 大于0且小于1时，对数函数的图象自左向右呈下降趋势，且a 越小，图象就越靠近x 轴. 答案：A 绿色通道由对数函数的图象间的相对位置关系判断底数a 的相互关系，应根据对数函数图象与底数间的变化规律来处理.在指数函数y=a x 中，底数a 越接近1，相应的图象就越接近直线y=1，对数函数与指数函数是一对反函数，其图象是关于直线y=x 对称的，直线y=1关于直线y=x 的对称直线是x=1，所以我们有结论：对数函数y=log a x ，底数a 越接近1，其图象就越接近直线x=1. 变式训练1.若log a 2<log b 2<0,则( )A.0<a<b<1B.0<b<a<1C.a>b>1D.b>a>1 解析：注意到此题两对数值底数不同真数相同,用图象法或用换底公式均可.方法一：由底数与对数函数的图象关系(如图)可知y=log a x,y=log b x 图象的大致走向.再由对数函数的图象规律：从第一象限看，自左向右底数依次增大. 方法二：利用换底公式转化成同底的对数再进行比较. 由已知，得ba 22log 1log 1<<0,则0>log 2a>log 2b,即log 21>log 2a>log 2b.∵y=log 2x 为增函数, ∴0<b<a<1.方法三：取特殊值法. ∵log 212=-1,log 412=21-,∴log 212<log 412<0.∴可取a=21,b=41，则0<b<a<1. 答案：B【例题2】比较大小： （1）log 0.27与log 0.29； （2）log 35与log 65；（3）（lgm ）1.9与（lgm ）2.1（m ＞1）； （4）log 85与lg4.分析:（1）log 0.27和log 0.29可看作是函数y=log 0.2x ，当x=7和x=9时对应的两函数值，由y=log 0.2x 在（0，+∞）上单调递减，得log 0.27＞log 0.29. （2）考查函数y=log a x 底数a ＞1的底数变化规律，函数y=log 3x （x ＞1）的图象在函数y=log 6x （x ＞1）的上方，故log 35＞log 65.（3）把lgm 看作指数函数的底数，要比较两数的大小，关键是比较底数lgm 与1的关系.若lgm ＞1即m ＞10，则（lgm ）x 在R 上单调递增，故（lgm ）1.9＜（lgm ）2.1;若0＜lgm ＜1即1＜m ＜10，则（lgm ）x 在R 上单调递减，故（lgm ）1.9＞（lgm ）2.1;若lgm=1即m=10，则（lgm ）1.9＝（lgm ）2.1.（4）因为底数8、10均大于1，且10＞8， 所以log 85＞lg5＞lg4，即log 85＞lg4. 解：（1）log 0.27＞log 0.29. （2）log 35＞log 65.（3）当m ＞10时，（lgm ）1.9＜（lgm ）2.1;当m=10时，（lgm ）1.9=（lgm ）2.1;当1＜m ＜10时，（lgm ）1.9＞（lgm ）2.1. （4）log 85＞lg4.绿色通道本题比较大小代表了几个典型的题型.其中题（1）是直接利用对数函数的单调性；题（2）是对数函数底数变化规律的应用；题（3）是指数函数单调性及对数函数性质的综合运用；题（4）是中间量的运用.当两个对数的底数和真数都不相同时，需要找出中间量来“搭桥”，再利用对数函数的增减性.常用的中间量有0、1、2等可通过估算加以选择. 变式训练2.比较下列各组数中两个值的大小: （1）log 23.4,log 28.5; （2）log 0.31.8;log 0.32.7;（3）log a 5.1,log a 5.9(a>0且a≠1); （4）log 67,log 76.分析:对于底数相同的两个对数值比较大小，可由对数的单调性确定，利用对数函数的增减性比较两个对数的大小.当不能直接进行比较时，可在两个对数中间插入一个已知数（如1或0等），间接比较两个数的大小.解：（1）考查对数函数y=log 2x ，因为它的底数2>1，所以它在(0,+∞)上是增函数，于是log 23.4<log 28.5.（2）考查对数函数y=log 0.3x ，因为它的底数满足0<0.3<1，所以它在(0,+∞)上是减函数，于是log 0.31.8>log 0.32.7.（3）对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1，而已知条件中并未明确指出底数a 与1哪个大，因此需要对底数a 进行讨论:当a>1时，函数y=log a x 在(0,+∞)上是增函数，于是log a 5.1<log a 5.9； 当0<a<1时，函数y=log a x 在(0,+∞)上是减函数，于是log a 5.1>log a 5.9. （4）∵log 67>log 66=1，log 76<log 77=1， ∴log 67>log 76.【例题3】已知函数y=lg （12+x -x ），求其定义域，并判断其奇偶性、单调性. 分析:注意到12+x +x=xx -+112，即有lg （12+x -x ）=-lg （12+x +x ），从而f（-x ）=lg （12+x +x ）=-lg （12+x -x ）=-f （x ），可知其为奇函数.又因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，所以我们只需研究（0，+∞）上的单调性. 解：由题意12+x -x ＞0，解得x ∈R ，即定义域为R . 又f （-x ）=lg ［1)(2+-x -（-x ）］ =lg （12+x +x ）=lg1112-+x=lg （12+x -x ）-1=-lg （12+x -x ） =-f （x ）,∴y=lg （12+x -x ）是奇函数. 任取x 1、x 2∈（0，+∞）,且x 1＜x 2， 则xx x x ++⇒++11121221＞22211x x -+，即有121+x -x 1＞122+x -x 2＞0， ∴lg （121+x -x 1）＞lg （122+x -x 2），即f （x 1）＞f （x 2）成立.∴f （x ）在（0，+∞）上为减函数. 又f （x ）是定义在R 上的奇函数， 故f （x ）在（-∞，0）上也为减函数.绿色通道研究函数的性质一定得先考虑定义域.在研究函数单调性时，注意奇偶性对函数单调性的影响，即偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性,奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性. 变式训练3.(2006广东高考,1)函数f(x)=xx -132+lg(3x+1)的定义域是( )A.(31-,+∞) B.(31-,1) C.(31-,31) D.(-∞,31-) 解析：由.13113,01<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x答案：B【例题4】(1)解不等式:log 3(4-x)>2+log 3x; (2)解方程:2lg 3-x -3lgx+4=0.分析:对于(1),将对数不等式转化为解代数不等式组,对于(2)用换元法将其转化为一元二次方程.解：(1)原不等式可化为log 3(4-x)>log 3(9x),其等价于⎪⎩⎪⎨⎧>>>0,x 0,x -49x,x -4解得0<x<52. ∴原不等式的解集为{x|0<x<52}. (2)设2-3lgx =t,则t≥0. 原方程化为-t 2+t+2=0. 解得t=2,或t=-1(舍去).由2-3lgx =2,得lgx=2.故x=100.经检验x=100是原方程的解.黑色陷阱(1)形如f(log a x)=0,f(log a x)>0的对数方程或不等式，往往令t=log a x 进行换元转化. (2)解对数方程和不等式时要注意防止定义域的扩大，处理办法为：第一，若不是同解变形，最后一定要验根；第二，解的过程中要加以限制条件，使定义域保持不变，即进行同解变形，最后通过解混合不等式组得到原不等式的解. 变式训练4.(2006陕西高考,理4)设函数f(x)=log a (x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a+b 等于( )A.3B.4C.5D.6解析：因为函数f(x)的图象经过点（2，1），所以f(2)=1，即log a （2+b ）=1,即a=2+b. 又其反函数的图象经过点（2，8），故函数f(x)的图象经过点（8，2），有log a (8+b)=2，即a 2=8+b,解得a=-2,b=-4(舍去)，或a=3,b=1，所以a+b=4. 答案：B5.设函数f （x ）=x 2-x+b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a≠1），则f （log 2x ）的最小值为_____________.解析：由已知,得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-,2)(log ,log log 22222b a a b b a a即)2()1(,4,0)1(log log 222⎩⎨⎧=+-=-b a a a a由①得log 2a=1，∴a=2.代入②得b=2.∴f （x ）=x 2-x+2.∴f （log 2x ）=log 22x-log 2x+2=（log 2x 21-）2+47. ∴当log 2x=21时，f （log 2x ）取得最小值47，此时x=2.答案：47。

指数函数与对数函数总结指数函数与对数函数总结一、 [知识要点]：1. 指数函数y ＝ax 与对数函数y ＝a log x 的比较：的比较：定义定义 图象图象 定义域 值域值域 性质性质奇偶性 单调性 过定点值的分布值的分布最值最值y ＝a x （a>0且a ≠1） 叫指数函数a>1 （－∞，＋∞）∞）（0，＋∞） 非奇 非偶 增函数（0，1）即a 0＝1 x>0时y>1；0<x<1时 0<y<1 无最值无最值0<a<1 减函数x>0时0<y<1； 0<x<1时 y>1 y ＝a log （a>0且a ≠1） 叫对数函数a>1Oy x（0，＋∞） （－∞，＋∞）∞） 非奇非偶 增函数 （1，0） 即log a 1＝0 x>1时y>0；0<x<1时 y<0 无最值无最值 0<a<1Oy x减函数x>1时y<0；0<x<1时 y>0 对称性函数y ＝ax 与y ＝a －x （a>0且a ≠1）关于y 轴对称；函数y ＝a x 与y ＝log a x 关于y ＝x 对称对称 函数y ＝log a x 与y ＝1log a x （a>0且a ≠1）关于x 轴对称轴对称 2. 记住常见指数函数的图形及相互关系以及常见对数函数的图形及相互关系及相互关系①②3. 几个注意点几个注意点（1）函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x （a>0，a ≠1）互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系；（2）比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型。

数的大小是对数函数性质应用的常见题型。

在具体比较时，可以首在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常可再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较；（3）在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用。