福建省厦门第一中学2019届高三3月模拟数学(文)试题(含解析)

2019届福建省厦门市高中毕业班第一次（3月）质量检查数学（文)试题一、单选题1．若集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解不等式得到集合A后再求出即可．【详解】由题意得，所以．故选A．【点睛】本题考查集合的交集运算，通过解不等式求出集合A是解题的关键，考查计算能力，属于简单题．2．是虚数单位，则的虚部是（）A．-2 B．-1 C．D．【答案】B【解析】根据复数的除法运算把复数化为代数形式后可得其虚部．【详解】由题意得，所以复数的虚部是．故选B．【点睛】本题考查复数的运算和复数的基本概念，解答本题时容易出现的错误是认为复数的虚部为，对此要强化对基本概念的理解和掌握，属于基础题．3．已知，，，则（）A．0 B．1 C．D．2【答案】D【解析】根据向量的垂直求出，然后可求出．【详解】∵，，∴．又，∴，∴，∴，∴．故选D．【点睛】本题考查向量的坐标运算，求解时注意向量运算的坐标表示，然后根据相关运算的定义进行求解，考查计算能力．4．设双曲线：的离心率为2，则的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据离心率求出间的关系，然后可求出双曲线的渐近线方程．【详解】∵，∴，∴双曲线的方程为．由得，即，∴双曲线的渐近线方程为．故选B．【点睛】已知双曲线的标准方程求渐近线方程时，只需把标准方程中等号后的“1”改为“0”，然后求出与之间的一次关系，即为渐近线方程．本题考查双曲线中的基本运算和离心率，解题时注意各个基本量间的关系及转化．5．在中，，，，则的面积等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意及正弦定理得，然后根据余弦定理求出，最后结合面积公式可得三角形的面积．【详解】由及正弦定理得．在中，由余弦定理得，所以，解得，所以．又，所以．故选D．【点睛】三角形的面积常与解三角形结合在一起考查，解题时要根据条件得到求面积时的所需量，往往要用到三角形中边角间的互化，考查变形和计算能力，属于中档题．6．下图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述不正确的是（）A．2018年3月的销售任务是400台B．2018年月销售任务的平均值不超过600台C．2018年第一季度总销售量为830台D．2018年月销售量最大的是6月份【答案】D【解析】根据图形中给出的数据，对每个选项分别进行分析判断后可得错误的结论．【详解】对于选项A，由图可得3月份的销售任务是400台，所以A正确．对于选项B，由图形得2018年月销售任务的平均值为，所以B正确．对于选项C，由图形得第一季度的总销售量为台，所以C正确．对于选项D，由图形得销售量最大的月份是5月份，为800台，所以D不正确．故选D．【点睛】本题考查统计中的识图、用图和计算，解题的关键是从图中得到相关数据，然后再根据要求进行求解，属于基础题．7．已知是偶函数，且对任意，，设，，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得偶函数在上为增函数，可将问题转化为判断到y轴的距离的大小问题求解．【详解】∵对任意，，∴函数在上为增函数．又函数为偶函数，∴在上单调递减，在上单调递增．又，∴，即．故选B．【点睛】已知函数为偶函数判断函数值的大小时，由于函数在对称轴两侧的单调性不同，所以可根据单调性将比较函数值大小的问题转化为比较变量到对称轴的距离的大小的问题求解，解题时可结合图象进行求解，考查判断和计算能力，属于中档题．8．设函数，若直线是图像的一条对称轴，则（）A．的最小正周期为，最大值为1B．的最小正周期为，最大值为2C．的最小正周期为，最大值为1D．的最小正周期为，最大值为2【答案】A【解析】先根据直线是图象的一条对称轴，并借助特殊值求出参数的值，再将函数化为的形式后求解即可得到答案．【详解】∵直线是图象的一条对称轴，∴，即，解得．∴，∴的最小正周期为，最大值为．故选A．【点睛】利用特殊值求出是解题的关键，另外，解决有关三角函数的问题时，首先应将函数解析式化为的形式，然后将看作一个整体，再结合正弦函数的相关性质求解，注意“整体代换”的应用，属于基础题．9．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据古典概型概率求解，先确定从八卦中任选两卦的所有可能的种数，再求出取出的两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的种数，进而可得所求概率．【详解】由题意得，从八卦中任取两卦的所有可能为种，设“取出的两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线”为事件A，则事件A包含的情况为：一卦有三根阳线、另一卦有两根阳线和一根阴线，共有3种情况．由古典概型概率公式可得，所求概率为．故选A．【点睛】根据古典概型求事件A的概率时，首先要求出试验的所有的结果，即所有的基本事件数，然后再求出事件A包含的基本事件的个数，最后根据公式求解即可．求基本事件数时，常用的办法是列举法，列举时要做到不重不漏．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据三视图得到三棱锥的直观图，再根据三棱锥的结构特征判断出球心的位置，并根据题中的数据求出球的半径，进而可得球的表面积．【详解】由三视图可得，三棱锥为如图所示的三棱锥，其中侧面底面，在和中，，．取的中点，连，则为外接圆的圆心，且底面，所以球心在上．设球半径为，则在中，，由勾股定理得，解得，所以三棱锥的外接球的表面积为．故选C．【点睛】求几何体外接球的体积或表面积时，关键是求出球的半径，其中确定球心的位置是解题的突破口．对于椎体的外接球来讲，球心在过底面圆的圆心且与底面垂直的直线上，然后在球心、底面圆的圆心和球面上一点构成的直角三角形中求解可得球半径，进而可得所求结果．考查计算能力和空间想象能力．11．设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得方程有两个不同的实数根，从而得到函数的图象和函数的图象有两个不同的交点，画出两函数的图象，结合图象可得所求的范围．【详解】∵函数恰有两个零点，∴方程有两个不同的实数根，即方程有两个不同的实数根，∴函数的图象和函数的图象有两个不同的交点．①当时，显然不符合题意．②当时，函数的图象为过原点且斜率小于0的直线．画出两函数的图象，如下图所示．由图象可得两函数的图象总有两个不同的交点．所以符合题意．③当时，函数的图象为过原点且斜率大于0的直线．画出两函数的图象，如下图所示．由图象可得，当时，两函数的图象总有一个交点，所以要使得两函数的图象再有一个交点，只需直线的斜率小于曲线在原点处的切线的斜率．由，得，所以，所以，解得，所以．综上可得或．故选A．【点睛】本题考查已知函数的零点个数求参数的取值范围，解题的关键是结合函数的图象、并根据参数的几何意义进行求解，解题时要根据题意对参数进行分类讨论，考查画图能力和分类讨论思想方法的运用．12．设动点在抛物线上，点，直线的倾斜角互补，中点的纵坐标为，则不可能为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】由题意设直线的方程为，将直线方程和抛物线方程联立消元后得到，借助根与系数的关系可得点的纵坐标，同理可得点的纵坐标，于是得到．再根据判别式得到的取值范围，进而可得的取值范围．【详解】设，直线的方程为，由消去y整理得，∵直线和抛物线交于两点，∴，解得且．又点，∴，故，∴．以代替上式中的，可得．∴，由且可得且．故选C．【点睛】解答本题的关键是求出两点的坐标，进而得到的表达式．求解时借助代数运算求解，由于解题过程中要涉及到大量的运算，所以在解题中要注意合理运用代换的方法以达到简化运算的目的，考查转化和计算能力．二、填空题13．已知，则__________．【答案】【解析】由题意求出和，然后再利用倍角公式求解．【详解】∵，∴，∴．故答案为．【点睛】本题考查同角三角函数关系及倍角公式，解题时容易出现的错误是忽视函数值的符号，属于简单题．14．若满足，则的最大值为__________．【答案】2【解析】画出不等式组表示的可行域，由变形得，平移直线并结合的几何意义求解可得结果．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．由变形得，平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最大值．由，解得，所以点A的坐标为，所以．故答案为2．【点睛】求目标函数的最值时，可将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的纵截距的最值间接求出z的最值．解题时要注意：①当时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；②当时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．15．在中，，，，动点在以点为圆心，半径为1的圆上，则的最小值为__________．【答案】【解析】根据题意建立平面直角坐标系，设，然后将数量积用点的坐标表示出来，再结合圆中的最值问题求解即可．【详解】如图，以点为原点，边所在直线为轴建立平面直角坐标系．则，设，则，∴，其中表示圆A上的点P与点间距离的平方，由几何图形可得，∴．故答案为．【点睛】（1）解答本题的关键是将问题转化为坐标运算来求解，利用代数运算来解决向量数量积的问题，体现数形结合的利用．（2）求与圆有关的最值问题时仍需要结合图形进行，结合图形利用两点间的距离或点到直线的距离求解，解题时注意几何方法的运用．16．在正三棱锥中，，，分别为的中点，平面过点，平面，平面，则异面直线和所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】根据题意画出图形，作出异面直线和所成的角，再根据题中的数据利用解三角形的知识求解可得结果．【详解】画出图形，正三棱锥如图所示．因为平面，平面，平面平面，所以．取的中点，连接，则，所以，所以为异面直线和所成角或其补角．取的中点，则，，又，所以平面，又平面，所以，所以．在中，，，所以，，所以异面直线和所成角的余弦值为．【点睛】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行，解题时要注意异面直线所成角的范围．三、解答题17．已知数列是公差为2的等差数列，数列满足，.（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由可得，再根据等差数列的通项公式得到；然后再由得到，两式作差后可得．（2）当时根据裂项相消法求得，最后验证当时也成立，于是可得所求结果．【详解】（1）依题意得，又数列为公差为2的等差数列，所以，所以．因为所以，两式相减得：，，所以，，又不满足上式，所以．（2）当时，所以，又当时，满足上式，所以.【点睛】（1）求数列的通项公式时要根据所给条件选择合适的方法，常见例类型有：已知数列类型求通项，累加（乘）求通项，已知数列和的形式求通项、构造法求通项等．（2）用裂项相消法求数列的和时要注意从第几项开始进行列项，另外裂项相消后所剩项具有前后对称的特点，即前面剩几项后面就剩几项，前面剩第几项后面就剩第几项．18．如图，在多面体中，均垂直于平面，，，，.（1）过的平面与平面垂直，请在图中作出截此多面体所得的截面，并说明理由；（2）若，，求多面体的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）取的中点，连接，则平行四边形即为所求的截面．然后根据空间中的线面关系可证得平面平面即可．（2）利用分割或补形的方法可求得多面体的体积．【详解】（1）取的中点，连接，则平行四边形即为所求的截面.理由如下：因为均垂直于平面，所以，因为，，所以四边形为梯形．又分别为中点，所以，，所以，，所以为平行四边形，因为，为中点，所以．又平面，平面，所以．又，所以平面又平面，所以平面平面，所以平行四边形即为所作的截面.（2）法一：过点作于点．因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面在中，，，，得，所以，因为，所以，，所以.法二：将多面体补成直三棱柱，其中，，，，则在中，，，，得，所以，所以，所以.法三：在多面体中作直三棱柱，则，在中，，，，得，所以，设边上的高为，则，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面．所以，，所以．【点睛】对于空间中线面位置关系的判定，解题时要结合图形选择合适的定理进行证明即可，解题时有时要添加辅助线，因此要注意常见辅助线的作法．求几何体的体积时，对于不规则的几何体，可采取分割或补形的方法，转化为规则的几何体的体积求解，考查转化和计算能力．19．某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用与年销售量的数据，得到散点图如图所示：（1）利用散点图判断，和（其中为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用和年销售量的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）.（2）对数据作出如下处理：令，，得到相关统计量的值如下表：根据（1）的判断结果及表中数据，求关于的回归方程；（3）已知企业年利润（单位：千万元）与的关系为（其中），根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，【答案】（1）选择回归类型；（2）；（3）2.7亿元.【解析】（1）根据散点图的形状可判断应选择回归类型．（2）将两边取对数，把问题转化为线性回归方程求解．（3）根据（2）中的回归方程，结合导数的知识求得其最大值即可．【详解】（1）由散点图知，选择回归类型更适合．（2）对两边取对数，得，即由表中数据得：，∴，∴，∴，∴年研发费用与年销售量的回归方程为.（3）由（2）知，，∴，令，得，且当时，单调递增；当时，单调递减．所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为亿元.答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入2.7亿元.【点睛】求非线性回归方程时，通过换元或取对数的方法将非线性的形式转化为线性回归方程求解．由于在计算中要涉及大量的计算，所以在解题时要注意计算的准确性、合理运用题中给出的中间数据，考查转化能力和计算能力，属于中档题．20．已知椭圆：，过点且与轴不重合的直线与相交于两点，点，直线与直线交于点.（1）当垂直于轴时，求直线的方程；（2）证明：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）当垂直于轴时，其方程为，求出点的坐标后可得直线的斜率，于是可得直线方程。

绝密★启用前【市级联考】福建省厦门市2019届高中毕业班第一次（3月)质量检查数学(文科 )试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．若集合 ， ，则 （ ） A ． B ． C ． D ．2． 是虚数单位，则的虚部是（ ）A ．-2B ．-1C ．D ．3．已知 ， ， ，则 （ ） A ．0B ．1C ．D ．24．设双曲线 ：的离心率为2，则 的渐近线方程为（ ） A ．B ．C ．D ．5．在 中，， ， ，则 的面积等于（ ） A ．B ．C ．D ．6．下图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述不正确的是（ ）………外…………○……………………线…………○……※※请※※不※………内…………○……………………线…………○……A ．2018年3月的销售任务是400台B ．2018年月销售任务的平均值不超过600台C ．2018年第一季度总销售量为830台D ．2018年月销售量最大的是6月份7．已知 是偶函数，且对任意 ，，设，， ，则（ ） A ．B ．C ．D ．8．设函数 ，若直线是 图像的一条对称轴，则（ ） A ． 的最小正周期为 ，最大值为1 B ． 的最小正周期为 ，最大值为2 C ． 的最小正周期为 ，最大值为1 D ． 的最小正周期为 ，最大值为29．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该…………○………………○……A ．B ．C ．D ．11．设函数，若函数 恰有两个零点，则实数 的取值范围是（ ） A ． B ． C ．D ．12．设动点 在抛物线 上，点 ，直线 的倾斜角互补， 中点的纵坐标为 ，则 不可能为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6外…………○………※※请※※不内…………○………第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．已知，则 __________． 14．若 满足，则 的最大值为__________．15．在 中， ， ，，动点 在以点 为圆心，半径为1的圆上，则的最小值为__________． 16．在正三棱锥 中， ， 分别为 的中点，平面 过点 ， 平面 ， 平面 ，则异面直线 和 所成角的余弦值为__________． 三、解答题17．已知数列 是公差为2的等差数列，数列 满足 ，.（1）求 ， 的通项公式； （2）求数列的前 项和.18．如图，在多面体 中， 均垂直于平面 ， ， ， ， .（1）过 的平面 与平面 垂直，请在图中作出 截此多面体所得的截面，并说明理由；（2）若 ， 的体积.19．某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用 （单位：千万……订……………线…………○…________考号：___……订……………线…………○…售量 的数据，得到散点图如图所示：（1）利用散点图判断， 和 （其中 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用 和年销售量 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）. （2）对数据作出如下处理：令 ， ，得到相关统计量的值如下表：根据（1）的判断结果及表中数据，求 关于 的回归方程； （3）已知企业年利润 （单位：千万元）与 的关系为（其中 ），根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据 ， ， ， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为，20．已知椭圆 ：，过点 且与 轴不重合的直线与 相交于 两点，点 ，直线 与直线 交于点 . （1）当 垂直于 轴时，求直线 的方程； （2）证明： .21．设函数 . （1）求 的极值；（2）证明： .22．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为（ 为参数），以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为. （1）求 的普通方程和 的直角坐标方程；（2）若上恰有2个点到的距离等于，求的斜率. 23．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对任意恒成立，求的取值范围.参考答案1．A【解析】【分析】解不等式得到集合A后再求出即可．【详解】由题意得，所以．故选A．【点睛】本题考查集合的交集运算，通过解不等式求出集合A是解题的关键，考查计算能力，属于简单题．2．B【解析】【分析】根据复数的除法运算把复数化为代数形式后可得其虚部．【详解】由题意得，所以复数的虚部是．故选B．【点睛】本题考查复数的运算和复数的基本概念，解答本题时容易出现的错误是认为复数的虚部为，对此要强化对基本概念的理解和掌握，属于基础题．3．D【解析】【分析】根据向量的垂直求出，然后可求出．【详解】∵，，∴．又，∴，∴，∴，∴．故选D．【点睛】本题考查向量的坐标运算，求解时注意向量运算的坐标表示，然后根据相关运算的定义进行求解，考查计算能力．4．B【解析】【分析】根据离心率求出间的关系，然后可求出双曲线的渐近线方程．【详解】∵，∴，∴双曲线的方程为．由得，即，∴双曲线的渐近线方程为．故选B．【点睛】已知双曲线的标准方程求渐近线方程时，只需把标准方程中等号后的“1”改为“0”，然后求出与之间的一次关系，即为渐近线方程．本题考查双曲线中的基本运算和离心率，解题时注意各个基本量间的关系及转化．5．D【解析】【分析】由题意及正弦定理得，然后根据余弦定理求出，最后结合面积公式可得三角形的【详解】由及正弦定理得．在中，由余弦定理得，所以，解得，所以．又，所以．故选D．【点睛】三角形的面积常与解三角形结合在一起考查，解题时要根据条件得到求面积时的所需量，往往要用到三角形中边角间的互化，考查变形和计算能力，属于中档题．6．D【解析】【分析】根据图形中给出的数据，对每个选项分别进行分析判断后可得错误的结论．【详解】对于选项A，由图可得3月份的销售任务是400台，所以A正确．对于选项B，由图形得2018年月销售任务的平均值为，所以B正确．对于选项C，由图形得第一季度的总销售量为台，所以C正确．对于选项D，由图形得销售量最大的月份是5月份，为800台，所以D不正确．故选D．【点睛】本题考查统计中的识图、用图和计算，解题的关键是从图中得到相关数据，然后再根据要求进行求解，属于基础题．7．B【分析】由题意得偶函数在上为增函数，可将问题转化为判断到y轴的距离的大小问题求解．【详解】∵对任意，，∴函数在上为增函数．又函数为偶函数，∴在上单调递减，在上单调递增．又，∴，即．故选B．【点睛】已知函数为偶函数判断函数值的大小时，由于函数在对称轴两侧的单调性不同，所以可根据单调性将比较函数值大小的问题转化为比较变量到对称轴的距离的大小的问题求解，解题时可结合图象进行求解，考查判断和计算能力，属于中档题．8．A【解析】【分析】先根据直线是图象的一条对称轴，并借助特殊值求出参数的值，再将函数化为的形式后求解即可得到答案．【详解】∵直线是图象的一条对称轴，∴，即，解得．∴，∴的最小正周期为，最大值为．故选A．【点睛】利用特殊值求出是解题的关键，另外，解决有关三角函数的问题时，首先应将函数解析式化为的形式，然后将看作一个整体，再结合正弦函数的相关性质求解，注意“整体代换”的应用，属于基础题．9．A【解析】【分析】根据古典概型概率求解，先确定从八卦中任选两卦的所有可能的种数，再求出取出的两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的种数，进而可得所求概率．【详解】由题意得，从八卦中任取两卦的所有可能为种，设“取出的两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线”为事件A，则事件A包含的情况为：一卦有三根阳线、另一卦有两根阳线和一根阴线，共有3种情况．由古典概型概率公式可得，所求概率为．故选A．【点睛】根据古典概型求事件A的概率时，首先要求出试验的所有的结果，即所有的基本事件数，然后再求出事件A包含的基本事件的个数，最后根据公式求解即可．求基本事件数时，常用的办法是列举法，列举时要做到不重不漏．10．C【解析】【分析】根据三视图得到三棱锥的直观图，再根据三棱锥的结构特征判断出球心的位置，并根据题中的数据求出球的半径，进而可得球的表面积．【详解】由三视图可得，三棱锥为如图所示的三棱锥，其中侧面底面，在和中，，．取的中点，连，则为外接圆的圆心，且底面，所以球心在上．设球半径为，则在中，，由勾股定理得，解得，所以三棱锥的外接球的表面积为．故选C．【点睛】求几何体外接球的体积或表面积时，关键是求出球的半径，其中确定球心的位置是解题的突破口．对于椎体的外接球来讲，球心在过底面圆的圆心且与底面垂直的直线上，然后在球心、底面圆的圆心和球面上一点构成的直角三角形中求解可得球半径，进而可得所求结果．考查计算能力和空间想象能力．11．A【解析】【分析】由题意得方程有两个不同的实数根，从而得到函数的图象和函数的图象有两个不同的交点，画出两函数的图象，结合图象可得所求的范围．【详解】∵函数恰有两个零点，∴方程有两个不同的实数根，即方程有两个不同的实数根，∴函数的图象和函数的图象有两个不同的交点．①当时，显然不符合题意．②当时，函数的图象为过原点且斜率小于0的直线．画出两函数的图象，如下图所示．由图象可得两函数的图象总有两个不同的交点．所以符合题意．③当时，函数的图象为过原点且斜率大于0的直线．画出两函数的图象，如下图所示．由图象可得，当时，两函数的图象总有一个交点，所以要使得两函数的图象再有一个交点，只需直线的斜率小于曲线在原点处的切线的斜率．由，得，所以，所以，解得，所以．综上可得或．故选A．【点睛】本题考查已知函数的零点个数求参数的取值范围，解题的关键是结合函数的图象、并根据参数的几何意义进行求解，解题时要根据题意对参数进行分类讨论，考查画图能力和分类讨论思想方法的运用．12．C【解析】【分析】由题意设直线的方程为，将直线方程和抛物线方程联立消元后得到，借助根与系数的关系可得点的纵坐标，同理可得点的纵坐标，于是得到．再根据判别式得到的取值范围，进而可得的取值范围．【详解】设，直线的方程为，由消去y整理得，∵直线和抛物线交于两点，∴，解得且．又点，∴，故，∴．以代替上式中的，可得．∴，由且可得且．故选C．【点睛】解答本题的关键是求出两点的坐标，进而得到的表达式．求解时借助代数运算求解，由于解题过程中要涉及到大量的运算，所以在解题中要注意合理运用代换的方法以达到简化运算的目的，考查转化和计算能力．13．【解析】【分析】由题意求出和，然后再利用倍角公式求解．【详解】∵，∴，∴．故答案为．【点睛】本题考查同角三角函数关系及倍角公式，解题时容易出现的错误是忽视函数值的符号，属于简单题．14．2【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，由变形得，平移直线并结合的几何意义求解可得结果．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．由变形得，平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最大值．由，解得，所以点A的坐标为，所以．故答案为2．【点睛】求目标函数的最值时，可将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的纵截距的最值间接求出z的最值．解题时要注意：①当时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；②当时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．15．【解析】【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设，然后将数量积用点的坐标表示出来，再结合圆中的最值问题求解即可．【详解】如图，以点为原点，边所在直线为轴建立平面直角坐标系．则，设，则，∴，其中表示圆A上的点P与点间距离的平方，由几何图形可得，∴．故答案为．【点睛】（1）解答本题的关键是将问题转化为坐标运算来求解，利用代数运算来解决向量数量积的问题，体现数形结合的利用．（2）求与圆有关的最值问题时仍需要结合图形进行，结合图形利用两点间的距离或点到直线的距离求解，解题时注意几何方法的运用．16．【解析】【分析】根据题意画出图形，作出异面直线和所成的角，再根据题中的数据利用解三角形的知识求解可得结果．【详解】画出图形，正三棱锥如图所示．因为平面，平面，平面平面，所以．取的中点，连接，则，所以，所以为异面直线和所成角或其补角．取的中点，则，，又，所以平面，又平面，所以，所以．在中，，，所以，，所以异面直线和所成角的余弦值为．【点睛】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行，解题时要注意异面直线所成角的范围．17．（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由可得，再根据等差数列的通项公式得到；然后再由得到，两式作差后可得．（2）当时根据裂项相消法求得，最后验证当时也成立，于是可得所求结果．【详解】（1）依题意得，又数列为公差为2的等差数列，所以，所以．因为所以，两式相减得：，，所以，，又不满足上式，所以．（2）当时，所以，又当时，满足上式，所以.【点睛】（1）求数列的通项公式时要根据所给条件选择合适的方法，常见例类型有：已知数列类型求通项，累加（乘）求通项，已知数列和的形式求通项、构造法求通项等．（2）用裂项相消法求数列的和时要注意从第几项开始进行列项，另外裂项相消后所剩项具有前后对称的特点，即前面剩几项后面就剩几项，前面剩第几项后面就剩第几项．18．（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，则平行四边形即为所求的截面．然后根据空间中的线面关系可证得平面平面即可．（2）利用分割或补形的方法可求得多面体的体积．【详解】（1）取的中点，连接，则平行四边形即为所求的截面.理由如下：因为均垂直于平面，所以，因为，，所以四边形为梯形．又分别为中点，所以，，所以，，所以为平行四边形，因为，为中点，所以．又平面，平面，所以．又，所以平面又平面，所以平面平面，所以平行四边形即为所作的截面.（2）法一：过点作于点．因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面在中，，，，得，所以，因为，所以，，所以.法二：将多面体补成直三棱柱，其中，，，，则在中，，，，得，所以，所以，所以.法三：在多面体中作直三棱柱，则，在中，，，，得，所以，设边上的高为，则，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面．所以，，所以．【点睛】对于空间中线面位置关系的判定，解题时要结合图形选择合适的定理进行证明即可，解题时有时要添加辅助线，因此要注意常见辅助线的作法．求几何体的体积时，对于不规则的几何体，可采取分割或补形的方法，转化为规则的几何体的体积求解，考查转化和计算能力．19．（1）选择回归类型；（2）；（3）2.7亿元.【解析】【分析】（1）根据散点图的形状可判断应选择回归类型．（2）将两边取对数，把问题转化为线性回归方程求解．（3）根据（2）中的回归方程，结合导数的知识求得其最大值即可．【详解】（1）由散点图知，选择回归类型更适合．（2）对两边取对数，得，即由表中数据得：，∴，∴，∴，∴年研发费用与年销售量的回归方程为.（3）由（2）知，，∴，令，得，且当时，单调递增；当时，单调递减．所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为亿元. 答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入2.7亿元.【点睛】求非线性回归方程时，通过换元或取对数的方法将非线性的形式转化为线性回归方程求解．由于在计算中要涉及大量的计算，所以在解题时要注意计算的准确性、合理运用题中给出的中间数据，考查转化能力和计算能力，属于中档题．20．（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）当垂直于轴时，其方程为，求出点的坐标后可得直线的斜率，于是可得直线方程。

2019 年福建省厦门一中中考数学三模试卷一．选择题（共10 小题，满分40 分，每小题4 分）1．如图所示，圆的周长为4 个单位长度，在圆周的4 等分点处标上字母A，B，C，D，先将圆周上的字母A 对应的点与数轴的数字1 所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动、那么数轴上的﹣2019 所对应的点与圆周上字母（）所对应的点重合．A．A B．B C．C D．D2．下列说法中正确的是（）A．有理数a 的倒数可表示为 B．有理数a 的相反数可表示为﹣aC．若|a|＝﹣a，则a 为负数D．若x3＝x，则x＝1 或03．下面调查中，适合采用全面调查的是（）A.对南宁市市民进行“南宁地铁1 号线线路”B．对你安宁市食品安全合格情况的调查C．对南宁市电视台《新闻在线》收视率的调查D．对你所在的班级同学的身高情况的调查4．如图，几何体的左视图是（）A．B．C．D．5．如果代数式有意义，则实数x 的取值范围是（）A．x≥﹣3 B．x≠0 C．x≥﹣3 且x≠0 D．x≥3 6．已知：如图，在△ABC 中，∠A＝60°，∠C＝70°，点D、E 分别在AB 和AC 上，且DE∥BC．则∠ADE 的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°7.在检测一批刚出厂的足球的质量时，随机抽取了4 个足球来测量其质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检测结果如下表：则生产较合格的足球的编号是（）A.1号B．2 号C．3 号D．4 号8.如图，PA、PB 分别与圆O 相切于A、B 两点，C 为圆上一点，∠P＝70°，则∠C＝（）A．60°B．55°C．50°D．45°9．如图，O 为直线AB 上一点，∠COB＝26°30′，则∠1＝（）A．153°30′B．163°30′C．173°30′D．183°30′10.某校将举办一场“中国汉字听写大赛”，要求每班推选一名同学参加比赛，为此，初二（1）班组织了五轮班级选拔赛，在这五轮选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是96 分，甲的成绩的方差是0.3，乙的成绩的方差是0.4，根据以上数据，下列说法正确的是（）A．甲的成绩比乙的成绩稳定B．乙的成绩比甲的成绩稳定C．甲、乙两人的成绩一样稳定D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定二．填空题（共6 小题，满分24 分，每小题4 分）11.对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b＝，如3※2＝＝，那么6※3＝．12.若x+5，x﹣3 都是多项式x2﹣kx﹣15 的因式，则k＝．13.八边形的内角和为．14.如图，在灯塔O 处观测到轮船A 位于北偏西54°的方向，同时轮船B 在南偏东15°的方向，那么∠AOB＝．足球的编号 1 2 3 4 与标准质量的差（克）+3 +2 ﹣1 ﹣215.如图1，点E，F，G 分别是等边三角形ABC 三边AB，BC，CA 上的动点，且始终保持AE＝BF＝CG，设△EFG 的面积为y，AE 的长为x，y 关于x 的函数图象大致为图2 所示，则等边三角形ABC 的边长为．16.如果把函数y＝x2（x≤2）的图象和函数y＝的图象组成一个图象，并称作图象E，那么直线y＝3 与图象E 的交点有个；若直线y＝m（m 为常数）与图象E 有三个不同的交点，则常数m 的取值范围是．三．解答题（共9 小题，满分86 分）17．（8 分）计算：﹣22﹣+|1﹣4sin60°|18．（8 分）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．19．（8 分）如图，∠ABC＝∠ACB，∠ADE＝∠AED，BE＝CD，试说明：△ABD≌△ACE．20．（8 分）已知函数y＝（m+1）x2+4（m2 一1）x+2（m+1）（1）若函数图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．（2）是否存在整数m，使函数图象与x 轴有两个交点，且两个交点之间的距离为2？若存在，求出符合条件的m 值；若不存在，请说明理由．21．（8 分）为了解家长对“学生在校带手机”现象的看法，某校“九年级兴趣小组”随机调查了该校学生家长若干名，并对调查结果进行整理，绘制如下不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次接受调查的家长总人数为人．（2）在扇形统计图中，求“很赞同”所对应的扇形圆心角的度数；（3）若在这次接受调查的家长中，随机抽出一名家长，恰好抽到“无所谓”的家长概率是多少？22．（10 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BD 是角平分线，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OB 为半径的圆经过点D，交BC 于点E．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若OB＝10，CD＝5，求图中阴影部分的面积．23．（10 分）元旦节前夕，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销量大，店主决定将玫瑰每枝降价2 元促销，降价后80 元可购买玫瑰的数量是原来可购买玫瑰数量的1.25 倍．（1）试问：降价后每枝玫瑰的售价是多少元？（2）根据销售情况，店主用不多于1000 元的资金再次购进两种鲜花共180 枝，康乃馨进价为6 元/枝，玫瑰的进价是5 元/枝．试问；至少需要购进多少枝玫瑰？24．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝+2 分别交x 轴、y 轴于点A、B，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A、B．点P 是x 轴上一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线分别交抛物线和直线AB 于点E 和点F．设点P 的横坐标为m．（1）点A 的坐标为．（2）求这条抛物线所对应的函数表达式．（3）点P 在线段OA 上时，若以B、E、F 为顶点的三角形与△FPA 相似，求m 的值．（4）若E、F、P 三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、F、P 三点为“共谐点”．直接写出E、F、P 三点成为“共谐点”时m 的值．25．（14 分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2 与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，点C（2，m）为直线y＝x+2 上一点，直线y＝﹣x+b 过点C．（1）求m 和b 的值；（2）直线y＝﹣x+b 与x 轴交于点D，动点P 从点D 开始以每秒1 个单位的速度向x 轴负方向运动．设点P 的运动时间为t 秒．①若点P 在线段DA 上，且△ACP 的面积为10，求t 的值；②是否存在t 的值，使△ACP 为等腰三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．2019 年福建省厦门一中中考数学三模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10 小题，满分40 分，每小题4 分）1.【分析】圆每转动一周，A、B、C、D 循环一次，﹣2019 与1 之间有2020 个单位长度，即转动2020÷4＝505（周），据此可得．【解答】解：1﹣（﹣2019）＝2020，2020÷4＝505（周），所以应该与字母A 所对应的点重合．故选：A．【点评】此题考查数轴，以及循环的有关知识，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成．2.【分析】依据倒数的定义、相反数的定义、绝对值的性质进行判断即可．【解答】解：A.0 不存在倒数，故A 错误；B．a 的相反数是﹣a，故B 正确；C．若|a|＝﹣a，则a≤0，故C 错误；D．x3＝x，则x＝1 或0 或﹣1，故D 错误．故选：B．【点评】本题主要考查的是倒数、相反数、绝对值的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．3.【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．【解答】解：A、对南宁市市民进行“南宁地铁1 号线线路”适宜采用抽样调查方式；B、对你安宁市食品安全合格情况的调查适宜采用抽样调查方式；C、对南宁市电视台《新闻在线》收视率的调查适宜采用抽样调查方式；D、对你所在的班级同学的身高情况的调查适宜采用普查方式；故选：D．【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．4.【分析】找到从几何体左面看得到的平面图形即可．【解答】解：从几何体左面看得到是矩形的组合体，且长方形靠左．故选：A．【点评】此题主要考查了三视图的相关知识；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形是解决本题的关键．5.【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：∴x≥﹣3 且x≠0故选：C．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的有意义的条件，本题属于基础题型．6.【分析】根据三角形内角和定理求出∠B，再根据平行线的性质求出∠ADE 即可．【解答】解：在△ABC 中，∵∠A＝60°，∠C＝70°，∴∠B＝180°﹣60°﹣70°＝50°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝50°，故选：B．【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.【分析】检测质量时，与标准质量偏差越小，合格的程度就越高．比较与标准质量的差的绝对值即可．【解答】解：|+3|＝3，|+2|＝2，|﹣1|＝1，|﹣2|＝2而1＜2＜3∴3 号球与标准质量偏差最小．故选：C．【点评】本题考查的是绝对值的应用，理解绝对值表示的意义是解决本题的关键．8.【分析】连接OB、OA，如图，利用切线的性质得OA⊥PA，OB⊥PB，再利用四边形内角和得到∠AOB＝110°，然后根据圆周角定理得到∠C 的度数．【解答】解：连接OB、OA，如图，∵PA、PB 分别与圆O 相切于A、B 两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣70°＝110°，∴∠C＝∠AOB＝55°．故选：B．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．9．【分析】根据邻补角互补可得∠1＝180°﹣26°30′＝153°30′．【解答】解：∵∠COB＝26°30′，∴∠1＝180°﹣26°30′＝153°30′，故选：A．【点评】此题主要考查了补角，关键是掌握邻补角互补．10.【分析】根据方差越小，数据离散程度越小，成绩越稳定求解可得．【解答】解：∵甲的成绩的方差是0.3，乙的成绩的方差是0.4，∴甲的成绩比乙的成绩更稳定，故选：A．【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．二．填空题（共6 小题，满分24 分，每小题4 分）11.【分析】根据※的运算方法列式算式，再根据算术平方根的定义解答．【解答】解：6※3＝＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了算术平方根的定义，读懂题目信息，理解※的运算方法是解题的关键．12.【分析】根据因式分解与多项式相乘是互逆运算，把多项式乘法展开再利用对应项系数相等即可求解．【解答】解：根据题意得（x+5）（x﹣3）＝x2+2x﹣15，＝x2﹣kx﹣15，∴﹣k＝2，解得k＝﹣2．【点评】本题主要考查了因式分解与整式的乘法是互为逆运算，并且考查了代数式相等条件：对应项的系数相同．13.【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°进行计算即可得解．【解答】解：（8﹣2）•180°＝6×180°＝1080°．故答案为：1080°．【点评】本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式是解题的关键．14.【分析】首先计算出∠3 的度数，再计算∠AOB 的度数即可．【解答】解：由题意得：∠1＝54°，∠2＝15°，∠3＝90°﹣54°＝36°，∠AOB＝36°+90°+15°＝141°．故答案为：141°．【点评】此题主要考查了方向角，关键是根据题意找出图中角的度数．15.【分析】设出等边三角形ABC 边长和BE 的长，表示等边三角形ABC 的面积，讨论最值即可．【解答】解：设等边三角形ABC 边长为a，则可知等边三角形ABC 的面积为设BE＝x，则BF＝a﹣xS△BEF＝易证△BEF≌△AGE≌△CFGy＝﹣3（）＝当x＝时，△EFG 的面积为最小．此时，等边△EFG 的面积为，则边长为1EF 是等边三角形ABC 的中位线，则AC＝2故答案为：2【点评】本题是动点函数图象问题，考查了等边三角形的性质及判断．解答时要注意通过设出未知量构造数学模型．16.【分析】在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2（x≤2）和函数y＝的图象，根据函数图象即可得到直线y＝3 与图象E 的交点个数以及常数m 的取值范围．【解答】解：在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2（x≤2）和函数y＝的图象，由图可得，直线y＝3 与图象 E 的交点有2 个，∵直线y＝m（m 为常数）与图象E 有三个不同的交点，∴直线y＝m 在直线y＝2 的下方，且在x 轴的上方，∴常数m 的取值范围是0＜m＜2，故答案为：2，0＜m＜2．【点评】本题主要考查了反比例函数以及二次函数的图象，解决问题的关键是在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2（x≤2）和函数y＝的图象，依据函数图象进行判断．三．解答题（共9 小题，满分86 分）17.【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣4﹣2 +4×﹣1＝﹣4﹣2+2 ﹣1＝﹣5．【点评】此题主要考查了实数运算以及特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．18.【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把y 系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．【解答】解：两边都乘以12 得，2（y+1）﹣3（2y﹣5）≥12，去括号得，2y+2﹣6y+15≥12，移项，合并同类项得，﹣4y≥﹣5，系数化为1 得，y≤，把不等式的解集在数轴上表示如下：【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19.【分析】根据AAS 推出△ABD≌△ACE 即可．【解答】解：∵∠ADE＝∠AED，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣∠AED＝∠AEC又∵BE＝CD，∴BD＝BE﹣DE＝CD﹣DE＝CE在△ADB 与△ACE 中，，∴△ADB≌△ACE【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答．20.【分析】（1）判断二次函数图象与x 轴的交点情况，相当于求方程（m+1）x2+4（m2一1）x+2（m+1）＝0 的判别式符号，函数图象与x 轴只有一个交点，则△＝0；（2）运用根与系数关系，求出符合条件的m 值，用△＞0 检验．【解答】解：（1）由条件可知：△＝[4（m2﹣1）]2﹣4（m+1）•2（m+1）＝8（m+1）2（m﹣1+1）（m﹣1﹣1）＝0，解得：m＝﹣1 或0 或2；（2）不存在，理由是：假设存在符合条件的m 的值，设函数图象与x 轴的两个交点横坐标是x1，x2，∴x1+x2＝﹣＝4﹣4m，x1x2＝＝2，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（4﹣4m）2﹣8＝（2 ）2，解得m＝0 或2，∵m＝0 或m＝2 都使得△＝0，∴不存在整数m，使函数图象与x 轴有两个交点，且两个交点之间的距离为2．【点评】本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c 的图象与x 轴交点的个数的判断，能理解二次函数与x 轴的交点和方程的根的判别式的关系是解此题的关键．21.【分析】（1）根据表示“赞同”的人数是50，所占的百分比是25%即可求得总人数；（2）利用360°乘以对应的百分比即可求得圆心角的度数；（3）求得表示“很赞同”的人数，然后利用概率公式求解．【解答】解：（1）这次接受调查的家长总人数为50÷25%＝200 人，故答案为：200；（2）∵“无所谓”的人数为200×20%＝40 人，∴“很赞同”的人数为200﹣（50+40+90）＝20 人，则“很赞同”所对应的扇形圆心角的度数为360°×＝36°；（3）∵在所抽取的200 人中，表示“无所谓”的人数为40，∴恰好抽到“无所谓”的家长概率是＝0.2．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．总体数目＝部分数目÷相应百分比．22.【分析】（1）欲证明AC 是⊙O 的切线，只要证明OD⊥AC 即可．（2）证明△OBE 是等边三角形即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵BD 为∠ABC 平分线，∴∠1＝∠2，∵OB＝OD，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，∴OD⊥AC，∴AC 是⊙O 的切线．（2）过O 作OG⊥BC，连接OE，则四边形ODCG 为矩形，∴GC＝OD＝OB＝10，OG＝CD＝5 ，在Rt△OBG 中，利用勾股定理得：BG＝5，∴BE＝10，则△OBE 是等边三角形，∴阴影部分面积为﹣×10×5 ＝﹣25 ．【点评】本题考查切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，思想的面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23.【分析】（1）设降价后每枝玫瑰的售价是x 元，则降价前每枝玫瑰的售价是（x+2）元，根据数量＝总价÷单价结合降价后80 元可购买玫瑰的数量是原来可购买玫瑰数量的 1.25 倍，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验即可得出结论；（2）设购进玫瑰y 枝，则购进康乃馨（180﹣y）枝，根据总价＝单价×数量结合总价不多于1000 元，即可得出关于y 的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设降价后每枝玫瑰的售价是x 元，则降价前每枝玫瑰的售价是（x+2）元，根据题意得：＝×1.25，解得：x＝8，经检验，x＝8 是原方程的解．答：降价后每枝玫瑰的售价是8 元．（2）设购进玫瑰y 枝，则购进康乃馨（180﹣y）枝，根据题意得：5y+6（180﹣y）≤1000，解得：y≥80．答：至少购进玫瑰80 枝．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．24.【分析】（1）解方程即可得到A 点的坐标；（2）利用待定系数法即可求得函数解析式；（3）由M 点坐标可表示P、N 的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB 的长，分∠NBP＝90°和∠BNP＝90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m 的方程，可求得m 的值；（4）用m 可表示出P、F、E 的坐标，由题意可知有F 为线段PE 的中点、P 为线段EF 的中点或E 为线段PF 的中点，可分别得到关于m 的方程，可求得m 的值．【解答】解：（1）在y＝+2 中，令y＝0，则x＝4，∴A（4，0）；故答案为：（4，0）；（2）∵在y＝+2 中，令x＝0，则y＝2，∴B（0，2），把A（4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，得b＝，∴这条抛物线所对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；（3）∵P（m，0），E（m，﹣m2+ m+2），F（m，﹣m+2），∵△BEF 和△APF 相似，且∠BFE＝∠AEP，∴∠BEP＝∠APF＝90°或∠EBF＝∠APF＝90°，当∠BEF＝90°时，则有BE⊥PE，∴E 点的纵坐标为2，∴﹣m2+ m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝，如图1，当∠EBF＝90°时，过点E 作EC⊥y 轴于点C，则∠EBC+∠BEC＝90°，EC＝m，BC＝﹣m2+ m+2﹣2＝﹣m2+ m，∵∠EBF＝90°，∴∠EBC+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BEC，∴Rt△ECB∽Rt△BOA，∴＝，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，解得，m＝，综上所述，以B、E、F 为顶点的三角形与△FPA 相似，m 的值＝，；（4）由（1）知，P（m，0），E（m，﹣m2+ m+2），F（m，﹣m+2），∵E、F、P 三点为“共谐点”，∴有F 为线段PE 的中点、P 为线段FE 的中点或E 为线段PF 的中点，当F 为线段PE 的中点时，则有2（﹣m+2）＝﹣m2+ m+2，解得m＝4（三点重合，舍去）或m＝；当P 为线段FE 的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+ m+2）＝0，解得m＝4（舍去）或m＝﹣1；当E 为线段FP 的中点时，则有﹣m+2＝2（﹣m2+ m+2），解得m＝4（舍去）或m＝﹣；综上可知当E、F、P 三点成为“共谐点”时m 的值为﹣1 或﹣或．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中利用相似三角形的性质得到关于m 的方程是解题的关键，注意分两种情况，在（2）②中利用“共谐点”的定义得到m 的方程是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，分情况讨论比较多，难度较大．25.【分析】（1）分别令y＝0 可得b 和m 的值；（2）①根据△ACP 的面积公式列等式可得t 的值；②存在，分三种情况：i）当AC＝CP 时，如图1，ii）当AC＝AP 时，如图2，iii）当AP＝PC 时，如图3，分别求t 的值即可．【解答】解：（1）把点C（2，m）代入直线y＝x+2 中得：m＝2+2＝4，∴点C（2，4），∵直线y＝﹣x+b 过点C，4＝﹣+b，b＝5；（2）① 由题意得：PD＝t，y＝x+2 中，当y＝0 时，x+2＝0，x＝﹣2，∴A（﹣2，0），y＝﹣x+5 中，当y＝0 时，﹣x+5＝0，x＝10，∴D（10，0），∴AD＝10+2＝12，∵△ACP 的面积为10，∴•4＝10，t＝7，则t 的值7 秒；②存在，分三种情况：i）当AC＝CP 时，如图1，过C 作CE⊥AD 于E，∴PE＝AE＝4，∴PD＝12﹣8＝4，即t＝4；ii）当AC＝AP 时，如图2，AC＝AP1＝AP2＝＝4 ，∴DP1＝t＝12﹣4 ，DP2＝t＝12+4 ；iii）当AP＝PC 时，如图3，∵OA＝OB＝2∴∠BAO＝45°∴∠CAP＝∠ACP＝45°∴∠APC＝90°∴AP＝PC＝4∴PD＝12﹣4＝8，即t＝8；综上，当t＝4 秒或（12﹣4）秒或（12+4）秒或8 秒时，△ACP 为等腰三角形．【点评】本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的判定，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，并注意运用分类讨论的思想解决问题．。

厦门市2019届高中毕业班第一次质量检查数学（文科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式得到集合A后再求出即可．【详解】由题意得，所以．故选A．【点睛】本题考查集合的交集运算，通过解不等式求出集合A是解题的关键，考查计算能力，属于简单题．2.是虚数单位，则的虚部是（）A. -2B. -1C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算把复数化为代数形式后可得其虚部．【详解】由题意得，所以复数的虚部是．故选B．【点睛】本题考查复数的运算和复数的基本概念，解答本题时容易出现的错误是认为复数的虚部为，对此要强化对基本概念的理解和掌握，属于基础题．3.已知，，，则（）A. 0B. 1C.D. 2【答案】D【解析】【分析】根据向量的垂直求出，然后可求出．【详解】∵，，∴．又，∴，∴，∴，∴．故选D．【点睛】本题考查向量的坐标运算，求解时注意向量运算的坐标表示，然后根据相关运算的定义进行求解，考查计算能力．4.设双曲线：的离心率为2，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据离心率求出间的关系，然后可求出双曲线的渐近线方程．【详解】∵，∴，∴双曲线的方程为．由得，即，∴双曲线的渐近线方程为．故选B．【点睛】已知双曲线的标准方程求渐近线方程时，只需把标准方程中等号后的“1”改为“0”，然后求出与之间的一次关系，即为渐近线方程．本题考查双曲线中的基本运算和离心率，解题时注意各个基本量间的关系及转化．5.在中，，，，则的面积等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意及正弦定理得，然后根据余弦定理求出，最后结合面积公式可得三角形的面积．【详解】由及正弦定理得．在中，由余弦定理得，所以，解得，所以．又，所以．故选D．【点睛】三角形的面积常与解三角形结合在一起考查，解题时要根据条件得到求面积时的所需量，往往要用到三角形中边角间的互化，考查变形和计算能力，属于中档题．6.下图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述不正确的是（）A. 2018年3月的销售任务是400台B. 2018年月销售任务的平均值不超过600台C. 2018年第一季度总销售量为830台D. 2018年月销售量最大的是6月份【答案】D【解析】【分析】根据图形中给出的数据，对每个选项分别进行分析判断后可得错误的结论．【详解】对于选项A，由图可得3月份的销售任务是400台，所以A正确．对于选项B，由图形得2018年月销售任务的平均值为，所以B正确．对于选项C，由图形得第一季度的总销售量为台，所以C正确．对于选项D，由图形得销售量最大的月份是5月份，为800台，所以D不正确．故选D．【点睛】本题考查统计中的识图、用图和计算，解题的关键是从图中得到相关数据，然后再根据要求进行求解，属于基础题．7.已知是偶函数，且对任意，，设，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得偶函数在上为增函数，可将问题转化为判断到y轴的距离的大小问题求解．【详解】∵对任意，，∴函数在上为增函数．又函数为偶函数，∴在上单调递减，在上单调递增．又，∴，即．故选B．【点睛】已知函数为偶函数判断函数值的大小时，由于函数在对称轴两侧的单调性不同，所以可根据单调性将比较函数值大小的问题转化为比较变量到对称轴的距离的大小的问题求解，解题时可结合图象进行求解，考查判断和计算能力，属于中档题．8.设函数，若直线是图像的一条对称轴，则（）A. 的最小正周期为，最大值为1B. 的最小正周期为，最大值为2C. 的最小正周期为，最大值为1D. 的最小正周期为，最大值为2【答案】A【解析】【分析】先根据直线是图象的一条对称轴，并借助特殊值求出参数的值，再将函数化为的形式后求解即可得到答案．【详解】∵直线是图象的一条对称轴，∴，即，解得．∴，∴的最小正周期为，最大值为．故选A．【点睛】利用特殊值求出是解题的关键，另外，解决有关三角函数的问题时，首先应将函数解析式化为的形式，然后将看作一个整体，再结合正弦函数的相关性质求解，注意“整体代换”的应用，属于基础题．9.《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据古典概型概率求解，先确定从八卦中任选两卦的所有可能的种数，再求出取出的两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的种数，进而可得所求概率．【详解】由题意得，从八卦中任取两卦的所有可能为种，设“取出的两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线”为事件A，则事件A包含的情况为：一卦有三根阳线、另一卦有两根阳线和一根阴线，共有3种情况．由古典概型概率公式可得，所求概率为．故选A．【点睛】根据古典概型求事件A的概率时，首先要求出试验的所有的结果，即所有的基本事件数，然后再求出事件A包含的基本事件的个数，最后根据公式求解即可．求基本事件数时，常用的办法是列举法，列举时要做到不重不漏．10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图得到三棱锥的直观图，再根据三棱锥的结构特征判断出球心的位置，并根据题中的数据求出球的半径，进而可得球的表面积．【详解】由三视图可得，三棱锥为如图所示的三棱锥，其中侧面底面，在和中，，．取的中点，连，则为外接圆的圆心，且底面，所以球心在上．设球半径为，则在中，，由勾股定理得，解得，所以三棱锥的外接球的表面积为．故选C．【点睛】求几何体外接球的体积或表面积时，关键是求出球的半径，其中确定球心的位置是解题的突破口．对于椎体的外接球来讲，球心在过底面圆的圆心且与底面垂直的直线上，然后在球心、底面圆的圆心和球面上一点构成的直角三角形中求解可得球半径，进而可得所求结果．考查计算能力和空间想象能力．11.设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意得方程有两个不同的实数根，从而得到函数的图象和函数的图象有两个不同的交点，画出两函数的图象，结合图象可得所求的范围．【详解】∵函数恰有两个零点，∴方程有两个不同的实数根，即方程有两个不同的实数根，∴函数的图象和函数的图象有两个不同的交点．①当时，显然不符合题意．②当时，函数的图象为过原点且斜率小于0的直线．画出两函数的图象，如下图所示．由图象可得两函数的图象总有两个不同的交点．所以符合题意．③当时，函数的图象为过原点且斜率大于0的直线．画出两函数的图象，如下图所示．由图象可得，当时，两函数的图象总有一个交点，所以要使得两函数的图象再有一个交点，只需直线的斜率小于曲线在原点处的切线的斜率．由，得，所以，所以，解得，所以．综上可得或．故选A．【点睛】本题考查已知函数的零点个数求参数的取值范围，解题的关键是结合函数的图象、并根据参数的几何意义进行求解，解题时要根据题意对参数进行分类讨论，考查画图能力和分类讨论思想方法的运用．12.设动点在抛物线上，点，直线的倾斜角互补，中点的纵坐标为，则不可能为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】由题意设直线的方程为，将直线方程和抛物线方程联立消元后得到，借助根与系数的关系可得点的纵坐标，同理可得点的纵坐标，于是得到．再根据判别式得到的取值范围，进而可得的取值范围．【详解】设，直线的方程为，由消去y整理得，∵直线和抛物线交于两点，∴，解得且．又点，∴，故，∴．以代替上式中的，可得．∴，由且可得且．故选C．【点睛】解答本题的关键是求出两点的坐标，进而得到的表达式．求解时借助代数运算求解，由于解题过程中要涉及到大量的运算，所以在解题中要注意合理运用代换的方法以达到简化运算的目的，考查转化和计算能力．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知，则__________．【答案】【解析】【分析】由题意求出和，然后再利用倍角公式求解．【详解】∵，∴，∴．故答案为．【点睛】本题考查同角三角函数关系及倍角公式，解题时容易出现的错误是忽视函数值的符号，属于简单题．14.若满足，则的最大值为__________．【答案】2【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，由变形得，平移直线并结合的几何意义求解可得结果．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．由变形得，平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最大值．由，解得，所以点A的坐标为，所以．故答案为2．【点睛】求目标函数的最值时，可将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的纵截距的最值间接求出z的最值．解题时要注意：①当时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；②当时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．15.在中，，，，动点在以点为圆心，半径为1的圆上，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设，然后将数量积用点的坐标表示出来，再结合圆中的最值问题求解即可．【详解】如图，以点为原点，边所在直线为轴建立平面直角坐标系．则，设，则，∴，其中表示圆A上的点P与点间距离的平方，由几何图形可得，∴．故答案为．【点睛】（1）解答本题的关键是将问题转化为坐标运算来求解，利用代数运算来解决向量数量积的问题，体现数形结合的利用．（2）求与圆有关的最值问题时仍需要结合图形进行，结合图形利用两点间的距离或点到直线的距离求解，解题时注意几何方法的运用．16.在正三棱锥中，，，分别为的中点，平面过点，平面，平面，则异面直线和所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】【分析】根据题意画出图形，作出异面直线和所成的角，再根据题中的数据利用解三角形的知识求解可得结果．【详解】画出图形，正三棱锥如图所示．因为平面，平面，平面平面，所以．取的中点，连接，则，所以，所以为异面直线和所成角或其补角．取的中点，则，，又，所以平面，又平面，所以，所以．在中，，，所以，，所以异面直线和所成角的余弦值为．【点睛】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行，解题时要注意异面直线所成角的范围．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列是公差为2的等差数列，数列满足，.（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由可得，再根据等差数列的通项公式得到；然后再由得到，两式作差后可得．（2）当时根据裂项相消法求得，最后验证当时也成立，于是可得所求结果．【详解】（1）依题意得，又数列为公差为2的等差数列，所以，所以．因为所以，两式相减得：，，所以，，又不满足上式，所以．（2）当时，所以，又当时，满足上式，所以.【点睛】（1）求数列的通项公式时要根据所给条件选择合适的方法，常见例类型有：已知数列类型求通项，累加（乘）求通项，已知数列和的形式求通项、构造法求通项等．（2）用裂项相消法求数列的和时要注意从第几项开始进行列项，另外裂项相消后所剩项具有前后对称的特点，即前面剩几项后面就剩几项，前面剩第几项后面就剩第几项．18.如图，在多面体中，均垂直于平面，，，，.（1）过的平面与平面垂直，请在图中作出截此多面体所得的截面，并说明理由；（2）若，，求多面体的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，则平行四边形即为所求的截面．然后根据空间中的线面关系可证得平面平面即可．（2）利用分割或补形的方法可求得多面体的体积．【详解】（1）取的中点，连接，则平行四边形即为所求的截面.理由如下：因为均垂直于平面，所以，因为，，所以四边形为梯形．又分别为中点，所以，，所以，，所以为平行四边形，因为，为中点，所以．又平面，平面，所以．又，所以平面又平面，所以平面平面，所以平行四边形即为所作的截面.（2）法一：过点作于点．因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面在中，，，，得，所以，因为，所以，，所以.法二：将多面体补成直三棱柱，其中，，，，则在中，，，，得，所以，所以，所以.法三：在多面体中作直三棱柱，则，在中，，，，得，所以，设边上的高为，则，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面．所以，，所以．【点睛】对于空间中线面位置关系的判定，解题时要结合图形选择合适的定理进行证明即可，解题时有时要添加辅助线，因此要注意常见辅助线的作法．求几何体的体积时，对于不规则的几何体，可采取分割或补形的方法，转化为规则的几何体的体积求解，考查转化和计算能力．19.某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用与年销售量的数据，得到散点图如图所示：（1）利用散点图判断，和（其中为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用和年销售量的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）.（2）对数据作出如下处理：令，，得到相关统计量的值如下表：根据（1）的判断结果及表中数据，求关于的回归方程；（3）已知企业年利润（单位：千万元）与的关系为（其中），根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，【答案】（1）选择回归类型；（2）；（3）2.7亿元.【解析】【分析】（1）根据散点图的形状可判断应选择回归类型．（2）将两边取对数，把问题转化为线性回归方程求解．（3）根据（2）中的回归方程，结合导数的知识求得其最大值即可．【详解】（1）由散点图知，选择回归类型更适合．（2）对两边取对数，得，即由表中数据得：，∴，∴，∴，∴年研发费用与年销售量的回归方程为.（3）由（2）知，，∴，令，得，且当时，单调递增；当时，单调递减．所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为亿元.答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入2.7亿元.【点睛】求非线性回归方程时，通过换元或取对数的方法将非线性的形式转化为线性回归方程求解．由于在计算中要涉及大量的计算，所以在解题时要注意计算的准确性、合理运用题中给出的中间数据，考查转化能力和计算能力，属于中档题．20.已知椭圆：，过点且与轴不重合的直线与相交于两点，点，直线与直线交于点.（1）当垂直于轴时，求直线的方程；（2）证明：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）当垂直于轴时，其方程为，求出点的坐标后可得直线的斜率，于是可得直线方程。

福建省厦门第一中学2019届高三3月模拟数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式求出集合A，求定义域得出B，再根据交集的定义写出A∩B．【详解】集合A＝{x|x2﹣3x+2＜0}＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|y＝lg（3﹣x）}＝{x|3﹣x＞0}＝{x|x＜3}，则A∩B＝{x|1＜x＜2}．故选：A．【点睛】本题考查了集合的基本运算，不等式解集,函数定义域,准确计算是关键,是基础题目．2.已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程得到a，b的关系，再根据离心率公式计算即可．【详解】∵双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为，∴，∴双曲线的离心率为e故选：D．【点睛】本题考查双曲线的方程和几何性质，考查渐近线方程的运用，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．3.中国将于今年9月3日至5日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤.某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译.现从中随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用古典概率计算公式计算即可．【详解】从5人中随机选2人的基本事件总数为恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的事件总数为P （恰有1个英语翻译，1个俄语翻译），故选：C．【点睛】本题考查了古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tan（α）的值．【详解】∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（，2），∴tanα，则tan（α）3，故选：A．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式，熟记定义与公式，准确计算是关键，属于基础题．5.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺。

2019年福建省厦门市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）2．在数列{a n}中，a n+1﹣a n=3，a2=4，S n为{a n}的前n项和，则S5=（）A．30 B．35 C．45 D．50y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：）A．=0.7x﹣2.3 B．=﹣0.7x+10.3 C．=﹣10.3x+0.7 D．=10.3x﹣0.74．已知双曲线的离心率为2，则其一条渐近线方程为（）A．x﹣3y=0 B．x﹣y=0 C．x﹣y=0 D．3x﹣y=05．在△ABC中M是BC的中点，BC=8，AM=3，AM⊥BC，则•=（）A．﹣7 B．﹣C．0 D．76．已知函数f（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）=log2（x+l）+m，则f（1﹣）的值为（）A．﹣ B．﹣log2（2﹣）C．D．log2（2﹣）7．在如图程序框图中，输入n=l，按程序运行后输出的结果为（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知x，y满足约束条件，（其中a＞0），若z=x+y的最大值为1，则a=（）A．l.. B．3 C．4 D．59．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象经过点（，0），则函数f（x）在区间[0，]上的最大值与最小值的和为（）A．1﹣B．0 C．D．1+10．已知直线l1的方程为x﹣y﹣3=0，l1为抛物线x2=ay（a＞0）的准线，抛物线上一动点P到l1，l2距离之和的最小值为2，则实数a的值为（）A．l B．2 C．4 D．2811．如图，网格纸上的小正方形的边长为l，粗线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．12πB．24 πC．36πD．48π12．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+a不存在最值，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，]C．[1，+∞）D．[，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．若复数z满足（1+2i）z=5，则复数z的共轭复数z=________．14．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B l C1中，点D是AB的中点，平面A1DC分此棱柱成两部分，多面体A1ADC与多面体A1B1C1DBC体积的比值为________．15．已知函数f（x）=的值域为R，则实数a的取值范围是________．16．已知数列{a n}满足a1=a2=2，且a n+2=（1+cosnπ）（a n﹣1）+2（n∈N*），S n是数列{a n}的前n项和，则S2n=________．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=5且b（2sinB+sinA）+（2a+b）sinA=2csinC．（1）求C的值；（2）若cosA=，求b的值．18．作为市政府为民办实事之一的公共自行车建设工作已经基本完成了，相关部门准备对该项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，该部门为了了解市民对该项目的满意程度，在公共自行车自助点随机访问了前来使用的100名市民，并根据这100名市民对该项目满意程度的评分（满分100分），绘制了如图频率分布直方图：（1）为了了解部分市民对公共自行车建设项目评分较低的原因，该部门从评分低于60分的市民中随机抽取2人进行座谈，求这2人评分恰好都在[50，60）的概率；（2）根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由．（注：满意指数=）19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=，△ADP为等边三角形．（1）求证：AD⊥PB；（2）若AB=2，BP=，求点D到平面PBC的距离．20．在椭圆E：上任取一点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，点M满足，点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点B1（0，1）作直线交椭圆E于A1，B1，交曲线C于A2，B2，当|A1B1|最大时，求|A2B2|．21．已知函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+2alnx，且g（x）有两个极值点x l，x2，其中x1∈（0，e]，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，点A在⊙O上，过点O的割线PBC交⊙O于点B，C，且PA=4，PB=2，OB=3，∠APC的平分线分别交AB，AC于D，E．（1）证明：∠ADE=∠AED；（2）证明：AD•AE=BD•CE．[选修4-4：坐标系与参数选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣4sinθ=0．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l过点M（1，0），倾斜角为．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（2）设直线l与曲线C交于A、B两点，求|MA|+|MB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）解不等式f（x）+f（x+1）≥5；（2）若|a|＞1且，证明：|b|＞2．2019年福建省厦门市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确选项【解答】解：由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，故∁R B={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x|1＜x＜4}，∴A∩（∁R B）=（3，4）故选B2．在数列{a n}中，a n+1﹣a n=3，a2=4，S n为{a n}的前n项和，则S5=（）A．30 B．35 C．45 D．50【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知等式可得由数列为公差是3的等差数列，再求出首项，代入等差数列的前n 项和得答案．【解答】解：在数列{a n}中，由a n+1﹣a n=3，可得数列{a n}是公差为3的等差数列，由a2=4，得a1=a2﹣d=4﹣3=1，∴．故选：B．y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：）A．=0.7x﹣2.3 B．=﹣0.7x+10.3 C．=﹣10.3x+0.7 D．=10.3x﹣0.7【考点】线性回归方程．【分析】根据表中数据，计算、，再根据变量y随变量x的增大而减小，是负相关，验证回归直线方程是否过过样本中心点（，）即可．【解答】解：根据表中数据，得；=（6+5+10+12）=，=（6+5+3+2）=4，且变量y随变量x的增大而减小，是负相关，所以，验证=时，=﹣0.7×+10.3≈4，即回归直线=﹣0.7x+10.3过样本中心点（，）．故选：B．4．已知双曲线的离心率为2，则其一条渐近线方程为（）A．x﹣3y=0 B．x﹣y=0 C．x﹣y=0 D．3x﹣y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a=1，即可得到所求渐近线方程．【解答】解：双曲线的离心率为2，可得e===2，解得a=1，由b=，可得双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：B．5．在△ABC中M是BC的中点，BC=8，AM=3，AM⊥BC，则•=（）A．﹣7 B．﹣C．0 D．7【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据勾股定理求出AB，AC，利用余弦定理解出cosA，代入数量积的定义式计算．【解答】解：∵M是BC中点，∴BM=CM==4，∵AM⊥BC，AM=3，∴AB=AC=5．在△ABC中，cos∠BAC==﹣．∴•=AB×AC×cos∠BAC=﹣7．故选：A．6．已知函数f（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）=log2（x+l）+m，则f（1﹣）的值为（）A．﹣ B．﹣log2（2﹣）C．D．log2（2﹣）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质，利用f（0）=0，先求出m，然后代入即可．【解答】解：函数f（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）=log2（x+l）+m，∴f（0）=log2l+m=0，则m=0，则f（1﹣）=﹣f（﹣1）=﹣log2（﹣1+l）=﹣log2=﹣，故选：A．7．在如图程序框图中，输入n=l，按程序运行后输出的结果为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出程序输出的数值是什么．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；i=0，n=1，1是奇数，n=3×1+1=4；i=0+1=1，4≠1，4不是奇数，n=2；i=1+1=2，2≠1，2不是奇数，n=1；i=2+1=3，1=1，输出i的值为3．故选：C．8．已知x，y满足约束条件，（其中a＞0），若z=x+y的最大值为1，则a=（）A．l.. B．3 C．4 D．5【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点A的坐标，通过图象得出=1，解出即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（，），由z=x+y得：y=﹣x+z，显然直线过A时，z最大，此时，z==1，解得：a=5，故选：D．9．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象经过点（，0），则函数f（x）在区间[0，]上的最大值与最小值的和为（）A．1﹣B．0 C．D．1+【考点】正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最大值和最小值，可得函数f（x）在区间[0，]上的最大值与最小值的和．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，可得=π，求得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）．再根据其图象经过点（，0），可得sin（+φ）=0，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣）．则函数f（x）在区间[0，]上，2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣=﹣时，函数f（x）的最小值为﹣；当2x﹣=时，函数f（x）的最大值为1，的最大值与最小值的和为﹣+1=，故选：C．10．已知直线l1的方程为x﹣y﹣3=0，l1为抛物线x2=ay（a＞0）的准线，抛物线上一动点P到l1，l2距离之和的最小值为2，则实数a的值为（）A．l B．2 C．4 D．28【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线定义，距离和的最小值为抛物线焦点F（0，）到直线l1：x﹣y﹣3=0的距离．【解答】解：由题意，利用抛物线定义，距离和的最小值为抛物线焦点F（0，）到直线l1：x﹣y﹣3=0的距离，∴距离之和的最小值d==2，∴a=4．故选：C．11．如图，网格纸上的小正方形的边长为l，粗线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．12πB．24 πC．36πD．48π【考点】球的体积和表面积；简单空间图形的三视图．【分析】判断几何体的特征，长方体中的三棱锥，利用长方体的体对角线得出外接球的半径求解即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD，底面为；直角三角形，镶嵌在长方体中，DC=4，AB=2，BD=2，三棱锥与长方体的外接球是同一球，半径为R==，∴该球的表面积为4π×6=24π，故选：B．12．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+a不存在最值，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，]C．[1，+∞）D．[，+∞）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】问题等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象最多1个交点，当y=lnx和y=2ax﹣1相切时，设切点是（x0，lnx0），求出a的临界值即可．【解答】解：由题意，f′（x）=lnx+1﹣2ax令f′（x）=0，得lnx=2ax﹣1，函数f（x）不存在最值，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1最多1个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象最多1个交点，当y=lnx和y=2ax﹣1相切时，设切点是（x0，lnx0），∴，解得：a=，故当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，故a≥时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象最多1个交点．则实数a的取值范围是[，+∞）．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．若复数z满足（1+2i）z=5，则复数z的共轭复数z=1+2i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+2i）z=5，得，∴．故答案为：1+2i．14．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B l C1中，点D是AB的中点，平面A1DC分此棱柱成两部分，多面体A1ADC与多面体A1B1C1DBC体积的比值为1：5．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设出棱柱的底面积和高，由D为AB的中点求出三角形ADC的面积，由棱锥体积公式求得多面体A1ADC的体积，作差得到多面体A1B1C1DBC体积，作比得答案．【解答】解：如图，设三棱柱ABC﹣A1B l C1的底面ABC的面积为S，高为h，则三棱柱的体积V=Sh，∵D为AB的中点，∴，三棱锥A1﹣ADC的高为h，∴，则多面体A1B1C1DBC的体积，则多面体A1ADC与多面体A1B1C1DBC体积的比值为．故答案为：1：5．15．已知函数f（x）=的值域为R，则实数a的取值范围是[0，）．【考点】函数的值域；分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式，分别求出每一段上函数的取值范围进行求解即可．【解答】解：当x≥1时，f（x）=2x﹣1≥1，当x＜1时，f（x）=（1﹣2a）x+3a，∵函数f（x）=的值域为R，∴（1﹣2a）x+3a必须到﹣∞，即满足：，解得0≤a＜，故答案为：[0，）．16．已知数列{a n}满足a1=a2=2，且a n+2=（1+cosnπ）（a n﹣1）+2（n∈N*），S n是数列{a n}的前n项和，则S2n=2n+1+2n﹣2．【考点】数列的求和．【分析】根据条件讨论n的奇偶性，分别化简递推公式并判断出数列的特征，由等比数列的通项公式求通项公式a n，根据等差数列和等比数列的前n项和公式，可求数列的前2n项的和S2n．【解答】解：（1）当n是奇数时，cosnπ=﹣1，由a n+2=（1+cosnπ）（a n﹣1）+2（n∈N*）得，a n+2=2，所以a1，a3，a5，…，a2n，…是各项为2的常数列，﹣1当n为偶数时，cosnπ=1，同理可得a n+2=2a n，所以a2，a4，a6，…，a2n，…是首项为a2=2，公比为2的等比数列，则，）+（a2+a4+a6+…a2n）所以S2n=（a1+a3+a5+…+a2n﹣1=2n+=2n+1+2n﹣2，故答案为：2n+1+2n﹣2．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=5且b（2sinB+sinA）+（2a+b）sinA=2csinC．（1）求C的值；（2）若cosA=，求b的值．【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式可得（2b+a）b+（2a+b）a=2c2，化简可得：a2+b2﹣c2=﹣ab，利用余弦定理可求cosC=﹣，结合范围C∈（0，π），即可求得C的值．（2）由已知，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用两角和的正弦函数公式即可求得sinB=sin（A+C）的值，由正弦定理即可计算求得b=的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵b（2sinB+sinA）+（2a+b）sinA=2csinC．∴（2b+a）b+（2a+b）a=2c2，…2分化简可得：a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC==﹣，…4分∵C∈（0，π），∴C=…6分（2）∵cosA=，A∈（0，π），∴sinA=，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==，…10分∴由正弦定理可得：b===4．…12分18．作为市政府为民办实事之一的公共自行车建设工作已经基本完成了，相关部门准备对该项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，该部门为了了解市民对该项目的满意程度，在公共自行车自助点随机访问了前来使用的100名市民，并根据这100名市民对该项目满意程度的评分（满分100分），绘制了如图频率分布直方图：（1）为了了解部分市民对公共自行车建设项目评分较低的原因，该部门从评分低于60分的市民中随机抽取2人进行座谈，求这2人评分恰好都在[50，60）的概率；（2）根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由．（注：满意指数=）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图得评分在[40，50），[50，60）的市民分别有2个和3个，由此能求出该部门从评分低于60分的市民中随机抽取2人进行座谈，这2人评分恰好都在[50，60）的概率．（2）求出样本满意程度的平均得分80.5，从而求出市民满意指数，由此能求出结果．【解答】解：（1）由频率分布直方图得评分在[40，50），[50，60）的频率分别为0.02和0.03，∴评分在[40，50），[50，60）的市民分别有2个和3个，∴该部门从评分低于60分的市民中随机抽取2人进行座谈，基本事件总数n==10，这2人评分恰好都在[50，60）包含的基本事件个数m==3，∴这2人评分恰好都在[50，60）的概率p=．（2）样本满意程度的平均得分为：45×0.02+55×0.03+65×0.15+75×0.24+85×0.3+95×0.26=80.5，估计市民满意程度的平均分为80.5，∴市民满意指数为：，∴该项目能通过验收．19．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠DAB=，△ADP 为等边三角形． （1）求证：AD ⊥PB ；（2）若AB=2，BP=，求点D 到平面PBC 的距离．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】（1）取AD 中点O ，连结PO ，BO ，由已知可得PO ⊥AD ，BO ⊥AD ，又PO ∩BO=O ，即可证AD ⊥平面POB ，从而可得PB ⊥AD ．（2）先证明PO ⊥AD ，可得PO ⊥平面ABCD ，利用等体积，求出点D 到平面PBC 的距离．【解答】（1）证明：取AD 中点O ，连结PO ，BO ．侧面PAD 为等边三角形，底面ABCD 为菱形且∠DAB=∴PO ⊥AD ，BO ⊥AD ，又PO ∩BO=O ，∴AD ⊥平面POB ，∴PB ⊥AD ；（2）解：由题意，可得OB=OP=，∵PB=，∴PB 2=OB 2+OP 2，∴OP ⊥OB∵OB ∩AD=O ，∴PO ⊥平面ABCD∴V D ﹣PBC =V P ﹣DBC ==1，∵AD ∥BC ，∴PB ⊥BC ，∴S△PBC==，设点D到平面PBC的距离为h，则，∴h=．20．在椭圆E：上任取一点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，点M满足，点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点B1（0，1）作直线交椭圆E于A1，B1，交曲线C于A2，B2，当|A1B1|最大时，求|A2B2|．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（1）设M（x，y），P（x0，y0），则D（x0，0），求得向量DM，DP的坐标，由向量共线的坐标表示，结合P在椭圆上，代入化简即可得到所求曲线的方程；（2）讨论当直线的斜率不存在时，可得|A1B1|=2；当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程可得（1+4k2）x2+8kx=0，（k≠0），求得点A1，B1，运用两点的距离公式和基本不等式求得最大值，再由圆内的垂径定理，化简整理即可得到所求值．【解答】解：（1）设M（x，y），P（x0，y0），则D（x0，0），=（x﹣x0，y），=（0，y0），由，可得x﹣x0=0，且y=2y0，即为x0=x，y0=y，由P在椭圆上，可得+（）2=1，即有曲线C的方程为x2+y2=4；（2）当直线的斜率不存在时，可得|A1B1|=2；当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程可得（1+4k2）x2+8kx=0，（k≠0），解得x1=﹣，x2=0，即有B1（0，1），A1（﹣，），|A1B1|==•≤•=，当且仅当3k2=1+k2，即k=±时，|A1B1|取得最大值；由＞2，可得k=±．当k=时，直线A2B2的方程为y=x+1，即x﹣2y+2=0，圆心O到直线A2B2的距离为d=，由垂径定理可得，（）2=r2﹣d2=4﹣=，即|A2B2|=．21．已知函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+2alnx，且g（x）有两个极值点x l，x2，其中x1∈（0，e]，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求函数的定义域和导数，讨论a的取值范围，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．（2）求出函数g（x）的表达式，求出函数g（x）的导数，利用函数极值，最值和导数之间的关系进行求解．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=1+﹣=，①当a≤0时，f′（x）≥0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，②当a＞0时，由f′（x）=0，得x2﹣ax+1=0，1）当判别式△=a2﹣4≤0时，即0＜a≤2时，f′（x）≥0恒成立，此时函数在（0，+∞）上是增函数，2）当△=a2﹣4＞0时，即a＞0时，方程x2﹣ax+1=0的两个根x1=，x2=，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数，当x∈（，）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数，综上当a≤2时，f（x）的递增区间为（0，+∞），无递减区间．当a＞2时，函数的递增区间为（0，），∈（，+∞），单调递减区间为（，）．（2）由于g（x）=f（x）+2alnx=x﹣+alnx，其定义域为（0，+∞），求导得，g′（x）=1++=，若g′（x）=0两根分别为x1，x2，则有x1•x2=1，x1+x2=﹣a，∴x2=，从而有a=﹣x1﹣，则g（x1）﹣g（x2）=g（x1）﹣g（）=x1﹣+alnx1﹣（﹣x1+aln）=2（x1﹣）+2alnx1=2（x1﹣）﹣2（x1+）lnx1，令h（x）=2（x﹣）﹣2（x+）lnx，x∈（0，e]，则[g（x1）﹣g（x2）]min=h（x）min，h′（x）=2（1+）﹣2[（1﹣）lnx+（x+）]=，当x∈（0，1]时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1]上单调递减，x∈（1，e]时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，e]上单调递减，则h（x）min=h（e）=﹣，∴g（x1）﹣g（x2）的最小值为﹣．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，点A在⊙O上，过点O的割线PBC交⊙O于点B，C，且PA=4，PB=2，OB=3，∠APC的平分线分别交AB，AC于D，E．（1）证明：∠ADE=∠AED；（2）证明：AD•AE=BD•CE．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由弦切角定理得∠BAP=∠C，从而∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，由此能证明∠ADE=∠AED．（2）利用角平分线的性质得到比值相等，即可证明结论．【解答】证明：（1）连接OA，∵AP2+OA2=16+9=25=（OB+BP）2，∴OA⊥AP，∴PA为⊙O的切线，∴∠PAB=∠C，∵∠AEP=∠C+∠BPE，∠ADE=∠PAB+∠APE，∵PE平分∠APC，∴∠BPE=∠APE∴∠ADE=∠AED；（2）∵PE是∠APC的平分线，∴==，=，∴=，∴AD•AE=BD•CE．[选修4-4：坐标系与参数选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣4sinθ=0．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l过点M（1，0），倾斜角为．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（2）设直线l与曲线C交于A、B两点，求|MA|+|MB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）根据极坐标和参数方程的定义进行求解即可．（2）设A，B对应的参数分别为t1，t2，联立方程求出结合|MA|+|MB|=|t1|+|t2|进行计算即可．【解答】解：（1）由ρ﹣4sinθ=0得ρ=4sinθ⇒ρ2=4ρsinθ⇒x2+y2﹣4y=0⇒x2+（y﹣2）2=4，即曲线C的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2=4，∵直线l过点M（1，0），倾斜角为．∴直线l的参数方程为，（t是参数），（2）设A，B对应的参数分别为t1，t2，把直线的参数方程代入曲线方程得（1﹣t）2+（t﹣2）2=4，整理得t2﹣3t+1=0，则t1+t2=3，t1t2=1，∴t1＞0，t2＞0，则|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1|+|t2|=3．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）解不等式f（x）+f（x+1）≥5；（2）若|a|＞1且，证明：|b|＞2．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，解不等式即可；（2）求出f（ab）和f（），代入不等式，问题转化为|ab﹣2|＞|b﹣2a|，平方证明即可．【解答】（1）解：原不等式等价于|x﹣2|+|x﹣1|≥5，当x＞2时，不等式可化为：（x﹣2）+（x﹣1）≥5，解得：x≥4，当1≤x≤2时，不等式可化为（2﹣x）+（x﹣1）≥5，1≥5，无解，x＜1时，不等式可化为：（2﹣x）+（1﹣x）≥5，解得：x≤﹣1，综上，不等式的解集是{x|x≥4或x≤﹣1}；（2）证明：⇔|ab﹣2|＞|a||﹣2|⇔|ab﹣2|＞|b﹣2a|⇔（ab﹣2）2＞（b﹣2a）2⇔a2b2+4﹣b2﹣4a2＞0⇔（a2﹣1）（b2﹣4）＞0，∵|a|＞1，∴a2﹣1＞0，∴b2﹣4＞0，∴|b|＞2，证毕．2019年9月7日。

绝密★启用前福建省厦门第一中学2019届高三3月模拟数学（文)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合 ， ，则 （ ） A ． B ．C ．D ．2．已知双曲线的一条渐近线为 ，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．2C ．D ．3．中国将于今年9月3日至5日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤.某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译.现从中随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是（ ） A ．B ．C ．D ．4．已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺。

莞生一日，长一尺。

蒲生日自半。

莞生日自倍。

问几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍.为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，输入 ， .那么在①处应填（ ）…外…………○○…………线…………○……※…内…………○○…………线…………○……A ．B ．C ．D ．6．实数 ， 满足，则 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．18D ．247．定义在 上的连续函数 ，当 时，函数 单调递增，且函数 的图象关于直线 对称，则使得 成立的 的取值范围是（ ）A ． 或B ．C ． 或D ．8．在平行四边形 中， ， ，，，若 ，则（ ） A ．B ．C ．D ．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， ， 是 上两动点，且 （ 为常数），线段 中点为 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，若的最小值为1，则A．B．C．D．11．已知数列的前项和为，直线与圆交于，两点，且.若对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知，为动直线与和在区间上的左，右两个交点，，在轴上的投影分别为，.当矩形面积取得最大值时，点的横坐标为，则（）A．B．C．D．○…………装……学校:___________姓名：__○…………装……联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人. 用样本估计总体的思想，解决如下问题：（Ⅰ）估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数；（Ⅱ）若月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”，根据这些数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？19．已知空间几何体 中， 与 均为边长为 的等边三角形， 为腰长为 的等腰三角形，平面 平面 ，平面 平面 .（Ⅰ）试在平面 内作一条直线，使得直线上任意一点 与 的连线 均与平面 平行，并给出详细证明； （Ⅱ）求三棱锥 的体积. 20．已知椭圆 ：，动圆 ：（圆心 为椭圆 上异于左右顶点的任意一点），过原点 作两条射线与圆 相切，分别交椭圆于 ， 两点，且切线长的最小值为. （Ⅰ）求椭圆 的方程；（Ⅱ）求证：的面积为定值.21．已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）函数有两个极值点，其中.若恒成立，求实数的取值范围.22．在直角坐标系中，曲线：（为参数）.以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与，在第一象限分别交于，两点，为上的动点.求面积的最大值.23．已知函数，若的解集是或. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）关于的不等式有解，求实数的取值范围.参考答案1．A【解析】【分析】解不等式求出集合A，求定义域得出B，再根据交集的定义写出A∩B．【详解】集合A＝{x|x2﹣3x+2＜0}＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|y＝lg（3﹣x）}＝{x|3﹣x＞0}＝{x|x＜3}，则A∩B＝{x|1＜x＜2}．故选：A．【点睛】本题考查了集合的基本运算，不等式解集,函数定义域,准确计算是关键,是基础题目．2．D【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程得到a，b的关系，再根据离心率公式计算即可．【详解】∵双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为，∴，∴双曲线的离心率为e故选：D．【点睛】本题考查双曲线的方程和几何性质，考查渐近线方程的运用，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．3．C【解析】【分析】利用古典概率计算公式计算即可．【详解】从5人中随机选2人的基本事件总数为，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的事件总数为，P（恰有1个英语翻译，1个俄语翻译），故选：C．【点睛】本题考查了古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．A【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tan（α）的值．【详解】∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（，2），∴tanα，则tan（α）3，故选：A．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式，熟记定义与公式，准确计算是关键，属于基础题．5．B【解析】【分析】根据题意由两种植物生长长度的规律结合框图，即可求解．【详解】由题意， S表示莞高，T表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，故①处应填S＞2T？．故选：B．【点睛】本题考查程序框图，考查学生的读图能力，比较基础，读懂程序的功能是关键.6．D【解析】【分析】画出满足条件的平面区域，求出交点的坐标，结合函数的图象求出z的最大值即可．【详解】画出满足条件的平面区域，如图所示：，由，解得A（3，4），由z＝4x+3y得l：y x z，平移l结合图象得直线l过A（3，4）时，z最大，z的最大值是24，故选：D．【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，准确画出可行域，确定最优解是关键，是一道中档题．7．C【解析】【分析】根据函数的对称性得到函数f（x）是偶函数，根据f（2）＝0，问题转化为|2﹣m|＞2，求出m的范围即可．【详解】函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，即函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，故函数f（x）是偶函数，而f（2）＝0，故f（2﹣m）＞0，即f（2﹣m）＞f（2）,故|2﹣m|＞2，解得：m＞4或m＜0，故选：C．【点睛】本题考查了函数奇偶性，考查转化思想以及函数的单调性，熟练运用函数的奇偶性和单调性解不等式是关键,是一道中档题．8．B【解析】【分析】根据平行四边形的性质，利用平面向量的线性表示化简，,再结合数量积运算，即可求出答案．【详解】如图所示，平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，，，∴，若•12，则•（）•（）•32223×2×cos∠BAD＝12，cos∠BAD，又∠BAD∈（0，）∴∠BAD．故选：B．【点睛】本题考查了平面向量基本定理，平面向量的数量积运算，将向量，表示为，是关键，基础题目．9．A【解析】【分析】根据四棱锥的三视图知该四棱锥为底面为矩形，高为的四棱锥，放入长方体，设该四棱锥的外接球球心为O，求出外接球的半径，计算外接球的表面积．【详解】根据四棱锥的三视图，知该四棱锥为底面为矩形，高为的四棱锥；且侧面PAB⊥底面ABCD，如图所示；放入长方体（图2所示），长方体的长CD=2，宽为，高为．设该四棱锥的外接球球心为O，则过O作OM⊥平面PAB，M为△PAB的外心，作ON⊥平面ABCD，则N为矩形ABCD对角线的交点；∴OM，ON；∴外接球的半径满足R2＝ON2+AN2，∴外接球的表面积为S＝4πR2＝4π．故选：A．【点睛】本题考查了由空间几何体三视图，外接球问题，准确还原几何体，将四棱锥放到长方体中是关键，是综合性题目．10．C【解析】如图，过点A，B分别作准线的垂线AQ，BP，垂足分别是Q，P．设|AF|=a，|BF|=b，连AF，BF．由抛物线定义得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|．在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．在中，由余弦定理得．∴，当且仅当，即时等号成立．∵的最小值为1，∴，解得，∴．选C．点睛：（1）抛物线定义在解题中的两个应用：①当已知曲线是抛物线时，可利用抛物线上的点M 满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，利用此结论可解决有关距离、最值、弦长等问题．②当动点满足的几何条件符合抛物线的定义时，可根据定义得到动点的轨迹是抛物线，进而可求得抛物线的方程．（2）应用基本不等式求最值时，一定要注意不等式使用的条件，当所给式子不满足条件时需要通过变形得到所需要的形式，然后再用不等式求解．【解析】【分析】由已知得到关于数列{a n}的递推式，进一步得到{S n+2}是以+2为首项，2为公比的等比数列．求出数列{a n}的前n项和为S n，进一步求得数列{a n}的通项，然后利用错位相减法求得，代入＜λa n2+2，分离参数λ，求出的最大值得答案．【详解】圆心O（0，0）到直线y＝x﹣2，即x﹣y﹣20的距离d2，由d2r2，且，得22+S n＝2a n+2，∴4+S n＝2（S n﹣S n﹣1）+2，即S n+2＝2（S n﹣1+2）且n≥2；∴{S n+2}是以+2为首项，2为公比的等比数列．由22+S n＝2a n+2，取n＝1，解得＝2，∴S n+2＝（+2）•2n﹣1，则S n＝2n+1﹣2；∴（n≥2）．＝2适合上式，∴．设，，所以.所以，若对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立. 设，因为，所以，故的最小值为因为，所以.【点睛】本题考查数列通项公式，数列求和，数列的最值，不等式恒成立问题，考查数学转化思想方法，训练了利用错位相减法求数列的前n项和，考查直线与圆的位置关系，是中档题．12．A【解析】【分析】由题意知，P与Q关于直线对称，设P（x，sinx），则矩形PQRS的面积为S（x）＝（2x）•sinx，（0＜x＜），再利用导数求得矩形面积S（x）的最大值，结合零点存在定理和得的范围【详解】由题意知，与关于直线对称，设，则，∴，∴，∴，∵，∴，∴在区间上单调递减，且，，∴在区间存在唯一零点，即为.令得：，即.由不等式得：，解得：，故选：A.【点睛】本题考查函数与导数综合,零点,不等式等，三角函数的图象与性质,考查数形结合思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力，属于中档题．13．【解析】【分析】由复数代数形式的除法运算得z,再由共轭复数得答案．【详解】由，得z，∴．故答案为：．【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，准确计算是关键，是基础题．14．30【解析】【分析】设等差数列{a n}的公差为d，根据，，可得3d＝﹣15，3+6d＝15，解得d，．令，解得n，进而得出的最大值．【详解】设等差数列{a n}的公差为d，∵，，∴3d＝﹣15，3+6d＝15，解得d＝﹣5，＝15．∴a n＝15﹣5（n﹣1）＝20﹣5n，由＝﹣＝﹣解得3≤n≤4．则的最大值为＝＝3×1530．故答案为：30．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，数列和的最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．【解析】【分析】由题意，B，∠＝60°，求出底面的边长，即可求出三棱柱ABC﹣的侧面积．【详解】由题意，面，B，∠＝60°，∴，B，∴AB，∴三棱柱ABC﹣的侧面积为（2）×1，故答案为．【点睛】本题考查三棱柱的侧面积，线面位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．16．1【解析】【分析】（a﹣2b﹣1）2+（a﹣c﹣lnc）2＝0，可得a＝2b+1，a＝c+lnc.，得,故|b﹣c|，令f（c）＝1+c﹣lnc（c＞0），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可求解．【详解】∵（a﹣2b﹣1）2+（a﹣c﹣lnc）2＝0，∴a＝2b+1，a＝c+lnc．∴2b+1＝c+lnc，∴b．∴|b﹣c|，令f（c）＝1+c﹣lnc（c＞0），f′（c）＝1，当c>1, f′（c）>0;0<c<1, f′（c）<0可得：c＝1时，函数f（c）取得极小值即最小值，f（1）＝2＞0．∴|b﹣c|1，故答案为：1．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，解直角三角形求出A，可得f（x）的解析式．（Ⅱ）利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数g（x）的单调递减区间．【详解】（Ⅰ）由题意得，且=6,故，由正弦定理得，整理得：，即，又，所以.在中，易知，取中点易得，即，所以. （Ⅱ）函数图像向左平移1个单位，得，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得，由，解得.所以函数单调递减区间为.【点睛】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，解直角三角形求出A．还考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．18．（Ⅰ）；（Ⅱ）在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关.【解析】【分析】（Ⅰ）利用组中值，即可估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数；（Ⅱ）根据条件中所给的数据，列出列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．【详解】（Ⅰ）估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数为.（Ⅱ）根据题意，得出如下列联表.根据这些数据，能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关.【点睛】本题考查独立性检验的应用，本题解题的关键是根据所给的数据列出列联表，准确计算是关键，是中档题19．(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）.【解析】分析：第一问注意到任意直线都与平面是平行的，从而想到应该是线所在的平面与对应平面是平行的，再结合题中所给的条件，求得结果，第二问结合题中的条件，求出与三棱锥的体积相关的量，最后代入体积公式求得结果.详解：( Ⅰ )如图所示,取 DC 中点 N ,取 BD 中点 M ,连结MN ,则 MN 即为所求证明:取 BC 中点 H ,连结AH , ∵ ΔABC 为腰长为 3 的等腰三角形,H 为 BC 中点,∴ AH ⊥ BC ,又平面ABC ⊥ 平面 BCD ,平面ABC ∩ 平面 BCD = BC ,AH ⊂平面 ABC ,∴ AH ⊥ 平面 BCD ,同理可证EN ⊥ 平面BCD , ∴ EN∥ AH ,∵ EN ⊄平面 ABC , AH ⊂平面ABC , ∴ EN ∥ 平面ABC .又 M , N 分别为 BD , DC 中点, ∴ MN ∥ BC ,∵ MN ⊄平面 ABC , BC ⊂平面EMN , ∴ MN ∥ 平面ABC .又MN ∩ EN = N , MN ⊂平面 EMN ,EN ⊂平面 EMN ,∴ 平面EMN ∥ 平面 ABC ,又 EF ⊂平面EMN , ∴ EF ∥ 平面 ABC .( Ⅱ )连结 DH ,取 CH 中点 G ,连结 NG ,则NG ∥ DH ,由( Ⅰ)可知EN ∥ 平面 ABC ,所以点 E 到平面 ABC 的距离与点 N 到平面 ABC 的距离相等 .又ΔBCD 是边长为 2 的等边三角形, ∴ DH ⊥ BC ,又平面ABC ⊥ 平面 BCD ,平面ABC ∩ 平面 BCD = BC , DH ⊂平面 BCD ,∴ DH ⊥ 平面ABC , ∴ NG ⊥ 平面 ABC ,∴ DH = ,又 N 为 CD 中点, ∴ NG =,又AC = AB =3 ,BC =2 , ∴ S ΔABC = ·BC·AH =2∴ V E- ABC = V N - ABC = ·S ΔABC · | NG |=注:本题用空间向量做同样给分点睛：该题考查的是有关空间的线线、线面、面面的平行垂直关系，要求对这些定理的条件都得熟记，并且能够将问题转化，再者，在计算三棱锥的体积时，对应的高线在求解时，需要做的垂线必须借助于垂面来完成，即所有的垂线以及平行线都不是凭空而来的. 20．（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）将圆心坐标代入椭圆方程，根据两点之间的距离公式，|OT|，由切线长的最小值为，即可求得b的值，求得椭圆C的方程；（Ⅱ）当斜率不存在，此时M、N分别为长、短轴一个端点，则△MON的面积为，当斜率存在，分别设出切线方程，代入求得M和N的坐标，由三角形的面积S△MON，即可求得△MON的面积【详解】（Ⅰ）因为椭圆：＜＜，焦点在x轴上，P（，）在椭圆方程上，则2＝b2（1），由＜b＜2，得：＝（1）+b2≥b2＞r2，故点O在圆P外，不妨设OM与圆P相切于T，则有：切线长|OT|，代入得|OT|，由已知得：，解得：b2＝2，所以椭圆的方程为：（Ⅱ）当切线或斜率不存在即圆与轴相切时，易得，代入椭圆方程得：，说明圆同时也与轴相切，此时、分别为长、短轴一个端点，则的面积为当切线、斜率都存在时，设切线方程为：，由得：，整理得：.由知：，即，此时，方程必有两个非零根，记为，则，分别对应直线，的斜率，由韦达定理得：，将代入得：，由上知：，设点位于第一、三象限，点位于第二、四象限，若点位于第一象限，点位于第二象限，设：与椭圆方程联立可得：，设：与椭圆方程联立可得：，分别过M,N作，垂直x轴，则梯形，代入坐标有：，同理，当点、位于其它象限时，结论也成立.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系，考查推理运算和方程求解能力．运用化归转化手段．将切线长最短问题转化为椭圆上的动点到定点距离最短问题；考查圆锥曲线中的有关定值问题，从变化中寻找不变量，并通过必要的推理和运算化简求值．考查转化化归思想、分类整合思想，属于难题．21．（Ⅰ）或时，函数的增区间是，，减区间是.时，函数的增区间是；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于m＞恒成立，即m＞恒成立，令t＝a﹣2（t＞2），则，令g（t），根据函数的单调性求出g（t）的最小值，从而求出m 的范围即可．【详解】（Ⅰ），令.（1）当时，即或时方程有两根，，，函数的增区间是，，减区间是.（2）当时，即时，在上恒成立，函数的增区间是. 综上所述，或时，函数的增区间是，，减区间是.时，函数的增区间是.（Ⅱ）∵有两根，且，∴且，∴.恒成立等价于恒成立，即恒成立，令，则，令.当时，函数单调递增，，∴.∴，∴的取值范围是.本题考查函数的单调性问题，考查导数的应用，解决与不等式有关的参数范围和证明问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，分类思想，考查运算能力，是一道综合题．22．（1）（2）【解析】【分析】(Ⅰ)先求出曲线的普通方程,再把普通方程化为极坐标方程.再写出直线的直角坐标方程.( Ⅱ)先求出,再求出以为底边的的高的最大值为, 再求面积的最大值.【详解】(Ⅰ)依题意得,曲线的普通方程为,曲线的极坐标方程为,直线的直角坐标方程为．(Ⅱ)曲线的直角坐标方程为,设,,则,即,得或(舍),,则,到的距离为,以为底边的的高的最大值为,则的面积的最大值为【点睛】(1)本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线和圆的位置关系，考查面积的最值的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）本题的解题的关键是求出.23．（1）m=3 (2)或试题分析：（Ⅰ）作出f（x）的图象，结合题意可得，由此求得m的值．（Ⅱ）求得f（x）的最小值为2，可得2＜a2+a﹣4，由此求得a的范围．试题解析：（1）解法一：，，，作出函数的图象由的解集为及函数图象得得解法二：，，，①得得，②得，不合题意③得当 时， ，不符合 ，舍去 当 时，综上不等式的解集为或，（2）解法一：由（Ⅰ）得 ，， ，∵ 有解 ∴ 即即，实数的取值范围解法二：由绝对值不等式几何意义得有解即实数的取值范围点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

福建省厦门第一中学2019届高三3月模拟数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式求出集合A，求定义域得出B，再根据交集的定义写出A∩B．【详解】集合A＝{x|x2﹣3x+2＜0}＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|y＝lg（3﹣x）}＝{x|3﹣x＞0}＝{x|x＜3}，则A∩B＝{x|1＜x＜2}．故选：A．【点睛】本题考查了集合的基本运算，不等式解集,函数定义域,准确计算是关键,是基础题目．2.已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程得到a，b的关系，再根据离心率公式计算即可．【详解】∵双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为，∴，∴双曲线的离心率为e故选：D．【点睛】本题考查双曲线的方程和几何性质，考查渐近线方程的运用，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．3.中国将于今年9月3日至5日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤.某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译.现从中随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用古典概率计算公式计算即可．【详解】从5人中随机选2人的基本事件总数为恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的事件总数为P（恰有1个英语翻译，1个俄语翻译），故选：C．【点睛】本题考查了古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tan（α）的值．【详解】∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（，2），∴tanα，则tan（α）3，故选：A．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式，熟记定义与公式，准确计算是关键，属于基础题．5.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺。

厦门市2019届三月高三质量检测数学（文科）试题本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分.满分为150分，考试时间120分钟.1参考公式：锥体体积公式V - Sh,其中S为底面面积，h为高.3第I卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R，集合A x|x21，那么C U A等于A. （,1）B. （ 1,1）C. 1,1D. （1,2.如图，在边长为2的正方形内随机取一个点，则此点在正方形的内切圆内部的概率为4 1 4A . B. C. D.4 4 43•若x R，则“ x 0 ”是“ x2 2x0 ”的A .充分不必要条件C •充要条件4.下列命题正确的是B .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件A . log 0.2 3 log 0.2 2 3 2B . 0.2 0.2 0.2C . 2 30.23 D .5.设m,n是两条不同的直线, 是两个不同的平面，给出下列条件，能得到m 的是A . , mB . mC . m n,nD . m //n, n6.将函数f（x）的图象，则它的一个对称中心是A.( 2,0)B.7.定义n! 1 2 L填的条件是A . i 10 B. i(,0) C. ( ,0) D. ( ,0)6 6 3n.右图是求10!的程序框图，则在判断框内应10 C. i 11 D. i 102&已知F是抛物线y4x的焦点，准线与x轴的交点为M，点N在13A . 30B . 45C . 60D . 75(b,c,a)(c,a,b)，则称(a,b,c)为轮换对称式.给出如下三个式子：①（a,b,c ） abc :②（a,b,c ） a 2 b 2 c 2 ；③(代B,C) cosC cos(A B) cos 2C (A,B,C 是 ABC 的内角).其中，为轮换对称式的个 数是A . 0B . 1C . 2D . 311 .如图，在边长为2的菱形ABCD 中， ABC 60o ,对角线相交于点uuv LUV段BD 的一个三等分点，则 AP AC 等于A. 1 B . 2C. 3D .412 .对于函数f x ，若存在区间 m,n ，使x m, n 时，f xkm,kn (k N*)，则称区间 m,n为函数f x 的“ k 倍区间”.已知函数f x x 3 sinx ，贝y f x 的“ 5倍区间”的个数是 A . 0B . 1C . 2D . 3第H 卷(非选择题：共90分)二、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分•把答案填在答题卡的相应位置•14 .焦点在x 轴上，渐近线方程为 y 、3x 的双曲线的离心率为 _______________抛物线上，且 NF -|MN ,则FMN 等于9.函数f （x ）x 2 1, log 2（xx 1的零点个数为1), x 110 .式子（a, b,c ）满足 （a,b,c ） 13 .设i 为虚数单位，则复数2 i1 2i13则b ____________ 16 .给出下列命题：-x 3的最小值是 x 2 215 .已知△ ABC 的三个内角A, B,C 所对的边分别为a,b,c ,若厶ABC 的面积为 ----- ,a43,B1②若a b,则—a 1-成立的充要条件是ab 0 ; b③若不等式x2 ax 4 0对任意x （ 1,1）恒成立，则a的取值范围为（3,3）.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答.17.(本小题满分12分)为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况，对他们的7次数学测试成绩(满分100分)进行统计, 作出如下的茎叶图，其中x, y处的数字模糊不清.已知甲同学成绩的中位数是83,乙同学成绩的平均分是86分.(I)求x和y的值；(H)现从成绩在］90, 100］之间的试卷中随机抽取两份进行分析，求恰抽到一份甲同学试卷的概率.甲乙6 3787 x 18 3 3 y2 390 1 6(第17题1图)18.(本小题满分12分)已知函数f(x) sin(x ) 、.3cos(x ).3 3(I)求f (x)在［0,2 ］上的单调递增区间；(n)设函数g(x) (1 sinx)f(x)，求g(x)的值域.19.(本小题满分12分) 如图，在三棱锥P ABC中，PA丄底面ABC , D, E分别是线段BC, PD的中点•(I)若AP AB AC 2 ,BC 2 .3，求三棱锥P ABC的体积;EF // 平面PAC .(n)若点F在线段AB上，且AF-AB，证明：直线4C)使f (x) g(x)成立，求实数a 的取值范围.21 .(本小题满分12分)某校高一学生1000人，每周一次同时在两个可容纳600人的会议室，开设“音乐欣赏”与“美术鉴赏”的校本课程.要求每个学生都参加，要求第一次听“音乐欣赏”课的人数为 m 400 m 600，其余的人听“美术鉴赏”课；从第二次起，学生可从两个课中自由选择.据 往届经验，凡是这一次选择“音乐欣赏”的学生，下一次会有 20%改选“美术鉴赏”，而选“美术鉴赏”的学生，下次会有30%改选“音乐欣赏”，用a n ,b n 分别表示在第n 次选“音乐欣赏”课的人数和选“美术鉴赏”课的人数.(I )若m 500，分别求出第二次，第三次选“音乐欣赏”课的人数 a 2, a 3 ； (n ) (i)证明数列 a n 600是等比数列，并用n 表示a n ；(ii)若要求前十次参加“音乐欣赏”课的学生的总人次不超过5800,求m 的取值范围.20.(本小题满分12 分)设直线l : y 5x 4是曲线C: f (x) (I)求切点坐标及 m 的值； 1 3 2-x x 2x m 的一条切线, 3g(x) ax 22x 23 .(n)当m Z 时，存在x [0,22.(本小题满分1 4分)22 x y2已知圆0: x y 34，椭圆C: 1 .5 9(I)若点P在圆0上，线段0P的垂直平分线经过椭圆的右焦点，求点P的横坐标;(n)现有如下真命题：2x “过圆x y 5 3上任意一点Q(m.n)作椭圆飞5 垂直”；2x “过圆x y 4 7上任意一点Q(m.n)作椭圆飞4 垂直”.据此，写出一般结论，并加以证明.2y1的两条切线，则这两条切线互相321的两条切线，则这两条切线互相厦门市2019届高三质量检查数学(文科)参考答案、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分. 1 — 6： BAADDC 7—12： BCCCBD3312.提示：先证明函数 f x x sinx 在R 上是增函数，再确定方程 x sinx 5x 有三个不等根，得 f(x)有三个“ 5倍区间”. 、填空题: 本大题共6小题,每小题4分，共24分•在答题卡上的相应题目的答题区域内作答 13. i14.215. ,716.②、解答题: 本大题共 6小题,共74分.17.本题主要考查茎叶图，样本的数字特征，古典概型，考查数据处理能力和运算求解能力，考查或 然与必然的数学思想•满分 12分. 解：(I) Q 甲同学成绩的中位数是 83,x 3,............................................................... 3 分Q 乙同学的平均分是 86分，1y(78 83 83 80 y 90 91 96) 86,y 1....................................................................... 6 分(n)甲同学成绩在［90, 100］之间的试卷有二份，分别记为a 1, a 2, 乙同学成绩在［90, 100］之间的试卷有三份，分别记为b,, b 2, b 3,“从这五份试卷中随机抽取两份试卷”的所有可能结果为:共有10种情况,记“从成绩在［90 ,100］之间的试卷中随机抽取两份，恰抽到一份甲同学试卷”为事件 M ,则事件M 包含的基本事件为：a1> a 2 ,,a 1,b 2 ,a 1 > b 3 , a 2 > b l a ?® , a 2,b 3 , bb , gd,b 2,b 3则P(M)答：从成绩在［90, 100］之间的试卷中随机抽取两份进行分析，恰抽到一份甲同学试卷的概3率为—• ................................................... 12分518.本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的基本性质，考查运算求解的能力，化归与转化的思想.满分12分.解：(I) f(x) 2sin(x ) 2sin x, ................................................ 2 分——Q函数y sinx的单调递增区间是[2k ^,2k +尹k Z) , ...................... 4分—(n)由(I)可得,f (x)在[0,2 ]上的单调递增区间为[0,^],[~2,2 ] ；.................2g(x) 2(1 sin x)si nx 2si n x 2s in x ,设t sinx，当x R时，t [ 1,1],21 21 则h(t) 2t22t 2(t )22 2由二次函数的单调性可知，h(t) min11分Q点D是线段BC的中点AD丄BC AD 1又Qh( 1) 0,h(1) 4, h(t)max 4,则函数g(x)的值域为［2,4].12分19.本题主要考查直线与平面的位置关系、棱锥体积计算，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想•满分12分.解: (I)在ABC 中，AB AC 2, BC 2,3S ABC 1 2 — 1 .—, ............................ —分2Q PA丄底面ABC ,VPA ——26分P ABC —S ABC—(n)法一：取CD的中点H,连接FH,EH,•/ E为线段PD的中点，•••△ PDC中,EH// PC,••• EH 平面PAC , PC 平面PAC ,• EH //平面PAC , ............... 8 分1切点 P( 1, 1), m 7 , .................................................................. 4 分3切点 P(3,19), m 13 •................................................ 6 分(n )解法一：••• m Z , • m 13 , 设 h(x) f (x) g (x) 1 x 3 (1 a)x 2 36,3 若存在X [0,)使f (X) g(x)成立，则只要h(x)min 0 , .. 8分h (x) x 2 2(1 a)x x x 2(1 a),(i )若 1 a 0 即 a1 ,令 h (x)0,得 x 2(1 a)或 x 0 , Q x [0,), • h(x)在(2(1a),)上是增函数,T AF - AB ,•△ ABC 中，FH// AC,4••• FH 平面 PAC , AC 平面 PAC , • FH // 平面 PAC ,............................... Q FH I EH=H , 平面 EHF // 平面 PAC ,- Q E F 平面 EHF , EF //平面 PAC .法二:分别取 AD , AB 的中点M , N ,连结EM , Q 点E 、M 是分别是线段PD 、AD 的中点， Q EM 平面 PAC , PA 平面 PAC ,EM // 平面 PAC , ........................1 1Q AN AB , AF AB , 点 F 是线段 AN2 4Q 在 ADN 中，AF=FN , AM=MD , Q 在 ABC 中，AN=NB , CD=DB , Q MF 平面 PAC , Q EM I MF=M ,Q EF 平面 EMF ,20.本题主要考查函数的单调性的中点, AC 平面PAC, 平面EMF //平面 MF // DN, DN // AC , MF //AC , 10分 11分EF //平面 PAC .......................................... 12 分 ,最值,切线,含参数的不等式成立问题，考查运算求解的能力,考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想方法•满分12分.(I)解：设直线I 与曲线C 相切于点P(x ), y o ),f (x) 2x 2,2X o2xo5,解得X o1 或 X o 3,X o 1时, y o 1 , Q P(1, 1)在曲线C 上，• m —3X o3时, y o19 , Q P(3,19)在曲线 C 上，••• m 13, 10分 ……11分 ....... 12分MF , DN ,EM // PA ,h(x)min h(2(1a)),令h(2(1 a)) 0,解得a 2,••• a 不存在,综合(i)(ii)得，实数a 的取值范围为［2,) . .................. 12分21.本题主要考查数列的概念，等比数列的定义，数列求和，考查运算求解的能力，应用意识，考查特殊与一般的思想，分类与整合的思想. 满分12分.解：(I )由已知 a n b n 1000，又 a 1 500 ,b 1 500 , ................................. 1 分…a ? 078a 1 073d 550 ,.................. 2分--d450 ,若存在x ［0,)使f(x)g(x)成立 ，则只要 h(x)min a ,-••…8分h (x)133 372 x 63小 3 ，x 3x令 h(x) 0 解得x 6 h( x)在［6 )上是增函数，令 h(x) 0 ,解得 0 x6 h(x)在(0,6)上是减函数，h(X )minh(6) 2 ,a 2,-10分(ii)当x 0时，不等式ax 2x 2 36不成立,10分(ii)若 1a0即a 1，令h (x) 0 ,解得x2(1 a)或x 0 ,Q x ［0, • h(x)在(0,)上是增函数,h(x)minh(0), 令h(0)0,不等式无解, a 不存在,11分 综合(ii)得，实数a 的取值范围12分解法二：由 f (x) g(x)得 ax 236,0时，a1 363x x 21，设 h(x) 11分--玄30.8a20.3b2440135 575 .................... ....................... 4分(n) (i)由题意得a n 10.8a n0.3b n,a n 1 0.8a n 0.31000 a n 0.5a n 300, ............................... 5 分1a n 1 600 a n 600 , ------------------------------- 6 分2Qm 400,600 ,a 1 600 0,数列a n 600是等比数列， ------------------------- 7分n 11 a n 600 m 6002n 11得 a n 600 m 600----------------------- 8分2(I)设点 P(x °,y °)，则 x 。

○…………外…………○学校○…………内…………○绝密★启用前2019届福建省厦门第一中学高三最后一次模拟数学（文)试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设集合{}2|log (1)0M x x =-<，集合{|2}T x x =<-，则()R M T =I ð（ ） A ．{|12}x x << B ．{|2}x x < C ．{|22}x x -≤<D ．{|12}x x -<<2．已知i 为虚数单位，a,b R ∈，若()a 2i i b 2i +=+，则a b +=（ ） A ．2-B ．0C ．2D ．43．甲乙两名同学分别从“象棋”、“文学”、“摄影”三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．234．如图为厦门市2018年国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，请你根据折线图对这7天的认购量（单位：套）与成交量（单位：套），则下列选项中正确的是（ ）外…………○…………装※※请※※不※※要内…………○…………装B ．日成交量超过日平均成交量的有2天 C ．认购量与日期正相关D ．10月7日认购量的增长率小于10月7日成交量的增长率 5．已知双曲线的渐近线方程为12y x =±，焦距为则该双曲线的标准方程是（ ） A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．2214x y -=或2214x y -=D ．2214y x -=或2214y x -=6．已知数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，且满足11,a =()12n n a a n n -=+≥，则n S 等于（ ） A ．()32n n +B ．()12n n +C ．()43n n +D ．()14n n + 7．把函数()sin 2f x x x =的图象向右平移ϕ个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()2sin g x x =的图象，则ϕ的一个可能值为（ ） A ．3π-B ．3π C ．6π-D ．6π 8．已知函数()f x 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A ．()ln xx f x e =B ．()ln xf x e x = C ．()ln x f x x=D ．()()1ln f x x x =-9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几………○…………装………………线…………○……学校:___________姓名：___………○…………装………………线…………○……A ．8πB ．9πC ．163πD ．283π10．已知0.312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12log 0.3b =，b c a =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a c b <<11．公元263年左右，我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率近似值的方法.如图是利用刘徽的割圆术”思想设汁的一个程序框图，若输出n 的值为24，则判断框中填入的条件可以为（ ）(参考数据 1.732,sin150.2588,sin 7.50.1305≈︒≈︒≈)A ． 3.10?S ≤B ． 3.11?S ≤C ． 3.10?S ≥D ． 3.11?S ≥12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1AA 的中点，M 在侧面11AA B B 上，若1D M CP ⊥，则BCM ∆面积的最小值为（ ）○…………线…………○……○…………线…………○……A B C D第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．若向量(2,3)AB=，(4,)BC m=-u u u v，且A，B，C三点共线，则AB BC⋅=u u u v u u u v_______.14．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)对称，则41a b+的最小值是．15．方程()()22880x ax x bx-+-+=四个不同根按一定顺序排序后可以组成首项为1的等比数列，则+a b的值为________．16．已知函数()4cosf x x xπ=+，对于[]0,2x∈都有()13xf ax e-+≤，则实数a的取值范围是________．三、解答题17．在ABCV中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(2)cos cos0a c Bb C++=．（1）求B；（2）若3a=，点D在AC边上且BD AC⊥，BD=c．o装…………○…………………线…………○…姓名：___________班级：_______装…………○…………………线…………○…AF AC ⊥，21AB AF CE ===.（1）求四棱锥B ACEF -的体积； （2）在BF 上有一点P ，使得//AP DE ，求BPPF的值. 19．某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x （单位：亿元）对年销售额y （单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①y =α+βx 2，②y =e λx+t ，其中α,β,λ,t 均为常数，e 为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金投入量x i 和年销售额y i 的数据，i =1,2,⋯,12，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令u i =x i 2,v i =lny i (i =1,2,⋯,12)，经计算得如下数据：（1）设{u i }和{y i }的相关系数为r 1，{x i }和{v i }的相关系数为r 2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）（i ）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）； （ii ）若下一年销售额y 需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x 是多少亿元？ 附：①相关系数r =∑(x −x)(y −y)ni=1√∑(x i −x)2i=1∑(y i −y)2i=1，回归直线ŷ=a +bx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =∑(x −x)(y −y)n i=1∑(x −x)2n i=1，a =y̅−bx̅； ② 参考数据：308=4×77，√90≈9.4868，e 4.4998≈90．20．在直角坐标系xOy 中，()1,0F ，动点P 满足：以PF 为直径的圆与y 轴相切. （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为曲线Γ，直线l 过点()4,0M 且与Γ交于,A B 两点，当ABF ∆与AOF ∆的面积之和取得最小值时，求直线l 的方程.21．已知函数()()2ln f x ax x x a R =-+∈．（1）研究函数()f x 的单调性；（2）研究函数()f x 的零点个数情况，并指出对应a 的范围．22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos ,1sin ,x t y t αα⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()221sin 8ρθ+=.（1）若曲线C 上一点Q 的极坐标为0,2πρ⎛⎫⎪⎝⎭，且l 过点Q ，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）设点()1P --，l 与C 的交点为,A B ，求11PA PB+的最大值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()()31f x x a x a R =++-∈.（1）当1a =-时，求不等式()1f x ≤的解集；（2）设关于x 的不等式()31f x x ≤+的解集为M ，且1,14M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求a 的取值范围.参考答案1．A 【解析】 【分析】解对数不等式求得集合M ，根据补集和交集定义即可求得结果. 【详解】{}{}01112M x x x x =<-<=<<Q ，{}2R T x x =≥-ð (){}12R M T x x ∴⋂=<<ð故选：A 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到对数不等式的求解，属于基础题. 2．B 【解析】()22a i i b i +=+，∴2ai b 2i -+=+，∴22a b =⎧⎨=-⎩，∴a b 0+=，故选B. 3．B 【解析】 【分析】分别确定甲乙同学随机选取一个社团和加入同一社团的基本事件个数，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】甲乙两名同学随机选取一个社团，共有339⨯=种情况 其中甲乙加入同一社团共有3种情况 ∴所求概率3193p == 故选：B 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题. 4．D 【解析】【分析】根据成交量可计算得到中位数和平均数，由此排除,A B ；根据曲线变化情况可知不是正相关，排除C ；根据增长率的定义可计算出10月7日认购量的增长率和成交量的增长率，知D 正确. 【详解】日成交量从小到大排序依次为：8,13,16,26,32,38,166，则中位数为26，A 错误； 平均数成交量为8131626323816642.77++++++≈套，超过日平均成交量的仅有1天，B 错误；10月1日至10月2日认购量减少幅度明显，可知认购量与日期不成正相关关系，C 错误；10月7日认购量增长率为276112146.4%112-≈，成交量增长率为16638336.8%38-≈，D正确. 故选：D 【点睛】本题考查根据折线图判断中位数、平均数、增长率与相关关系的问题，属于基础题. 5．C 【解析】∵双曲线的渐近线方程为12y x =±∴可设双曲线的标准方程为221(0)4y x λλ-=≠，即221(0)4y x λλλ-=≠∵焦距为∴当0λ>时，45λλ+=，即1λ=，则双曲线的标准方程为2214x y -=；当0λ<时，45λλ--=，即1λ=-，则双曲线的标准方程为2214x y -=.故选C.点睛：（1）已知双曲线方程22221x y a b-=求渐近线： 22220x y by x a b a -=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =，设双曲线标准方程222m x y λ-=. 6．C 【解析】 【分析】利用累加法可求得n a ，从而得到12n a n n +=，根据通项公式可知数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公差的等差数列，利用等差数列求和公式求得结果. 【详解】由1n n a a n -=+得：()121n n a a n --=+-，()232n n a a n --=+-，⋅⋅⋅，212a a =+()()11231232n n n a a n n +∴=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=12n a n n +∴= ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公差的等差数列 ()113224n n n n n S +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∴== 故选：C 【点睛】本题考查等差数列前n 项和的求解问题，关键是能够利用累加法求得数列{}n a 的通项公式，并根据n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式判断出数列为等差数列. 7．D 【解析】∵函数()sin2f x x x = ∴函数()2sin(2)3f x x π=+∴把函数()f x 的图象向右平移ϕ个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数解析式为()2sin(2)3g x x πϕ=-+.∵函数()2sin g x x = ∴22,3k k Z πϕπ-+=∈∴,6k k Z πϕπ=+∈∴当0k =时，6π=ϕ 故选D. 8．A 【解析】由图可得函数()f x 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，当x →+∞时，()0f x →，故排除B ，D 选项；由图象可得函数图象不关于原点对称，而选项C 为奇函数，故排除C. 故选A.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 9．A 【解析】 【分析】由三视图画出如图所示的直观图：该几何体是直三棱柱ABC A B C '''-，其中AC BC ⊥，AC BC ==2AA '=，四边形ABB A ''是正方形，则将该直三棱柱补全成长方体，如图所示：=∴该几何体外接球的表面积是248ππ⨯= 故选A.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解； (2)若球面上四点,,,P A B C 构成的三条线段,,PA PB PC 两两互相垂直，且,,PA a PB b PC c ===，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用22224R a b c =++求解．【详解】请在此输入详解！ 10．B 【解析】 【分析】由指数函数的性质可得112a <<，由对数函数的性质可得1b >，化简0.30.3b a =,由幂函数的性质可得0.30.310.32⎛⎫< ⎪⎝⎭，从而可得结果. 【详解】∵0.3121,log 0.3,2b a b c a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭∴10.30.3111112222a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<=<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112210.312b log log =>=， 0.312log 0.30.30.3110.322c ⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴c a b << 故选B. 【点睛】本题主要考查幂函数、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. 11．C 【解析】模拟执行程序可得：6n =，3sin 602S =⨯︒=，不满足条件，12n =，6sin303S =⨯︒=，不满足条件，24n =，12sin15120.2588 3.1056S =⨯︒≈⨯=，因为输出n 的值为24，则满足条件，退出循环，故判断框中填入的条件为 3.10S ≥. 故选C. 12．B 【解析】 【分析】作MG ⊥平面ABCD ，GH BC ⊥，以D 为原点建立空间直角坐标系，设()1,,M a b ，由1D M CP ⊥可得10D M CP ⋅=u u u u u r u u u r，由此得到,a b 关系；从而利用a 表示出MH ，即BCM ∆的高，利用a 表示出BCM ∆的面积，利用二次函数最值求得面积的最值. 【详解】过M 作MG ⊥平面ABCD ，垂足为G ；作GH BC ⊥于点H ，连接MH以D 为坐标原点可建立如下图所示空间直角坐标系则()0,0,0D ，()0,1,0C ，()1,0,0A ，11,0,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,1D ，()1,1,0B 设()1,,M a b ，则()11,,1D M a b =-u u u u u v ，11,1,2CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v1D M CP ⊥Q ()1111110222D M CP a b b a ∴⋅=-+-=-+=u u u u u v u u u v 21b a ∴=-1CH a ∴=-，21MG a =-MH ∴==12BCM S BC MH ∆∴=⋅=当35a =时，()2min15625a a -+=()min 12BCM S ∆∴== 故选：B 【点睛】本题考查立体几何中三角形面积最值的求解问题，关键是能够将所求三角形面积利用一个变量表示出来，得到二次函数的形式，利用二次函数的最值求得面积的最值. 13．26- 【解析】【分析】由向量平行的坐标形式求得m,利用向量的数量积公式即可得到结果. 【详解】∵A ，B ，C 三点共线，∴AB BC P u u u v u u u v，∴()234m =⨯-，则6m =-，81826AB BC ⋅=--=-u u u v u u u v. 故答案为26- 【点睛】涉及平面向量的共线（平行）的判定问题主要有以下两种思路： （1）若0a ≠vv且//a b v v，则存在实数λ，使b a λ=vv成立；（2）若()()1122,,,a x y b x y ==v v ，且//a b v v ，则12210x y x y -=.14．9 【解析】试题分析：由题意得，圆心坐标为(1,2)-，此时直线过圆的圆心，即2(1)220a b ⨯--⨯+=，即1a b +=，所以41414()()4159b a a b a b a b a b +=++=+++≥+=（当且仅当2a b =是等号是成立的）． 考点：直线与圆的位置关系；基本不等式求最值． 15．15. 【解析】 【分析】设1为280x ax -+=的根，代入求得a 和另一根；由280x bx -+=两根之积为8可确定1218x x <<<，由此可确定121,,,8x x 成等比数列，可求得12,x x ，利用韦达定理得到b ，进而求得结果. 【详解】设1为280x ax -+=的根，则180a -+=，解得：9a = ∴另一根为8280x bx -+=Q 两根之积()12128x x x x =< ∴1218x x <<<121,,,8x x ∴成等比数列 12x ∴=，24x = 126b x x ∴=+=9615a b ∴+=+=故答案为：15 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系、等比数列中的项的求解问题；关键是能够根据一元二次方程的根确定等比数列中的项. 16．211,22e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】利用导数可知()f x 在[]0,2上单调递增，结合()13f =可将所求不等式转化为011x ax e ≤-+≤；分别在11x ax e -+≤和10x ax e -+≥两种情况下，利用分离变量法求得a 的范围，取交集得到最终结果. 【详解】当[]0,2x ∈时，()4cos f x x x π=+，则()4sin f x x ππ'=-[]sin 1,1x π∈-Q ()0f x '∴> ()f x ∴在[]0,2上单调递增 ()14cos 3f π=+=Q ()()11x f ax e f ∴-+≤ 011x ax e ∴≤-+≤①当11x ax e -+≤时，0x ax e -≤ 当0x =时，10-≤恒成立 a R ∴∈当(]0,2x ∈时，xe a x≤令()()02xe g x x x=<≤，则()()221xx x e x xe e g x x x --'==∴当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调减；当(]1,2x ∈时，()0g x '>，()g x 单调增()()min 1g x g e ∴== a e ∴≤综上所述：当11x ax e -+≤时，(],a e ∈-∞ ②当10x ax e -+≥时，1x ax e ≥- 当0x =时，00≥恒成立 a R ∴∈当(]0,2x ∈时，1x e a x-≥令()()102x e h x x x -=<≤，则()()()22111x x x xe e x e h x x x---+'== 令()()()1102x p x x e x =-+<≤，则()()10x x xp x e x e xe '=+-=>()p x ∴单调递增 ()()00p x p ∴>=，即()0h x '>()h x ∴在(]0,2上单调递增 ()()2max 11222h x h e ∴==- 21122a e ∴≥-综上所述：当10x ax e -+≥时，211,22a e ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭综合①②得：实数a 的取值范围为211,22e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：211,22e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查利用函数单调性解不等式的问题，涉及到导数恒成立问题的处理思路；关键是能够利用导数求得函数的单调性，进而将所求不等式转化为自变量之间的大小关系；易错点是忽略函数定义域的要求，造成不等式缺失；求解恒成立问题的常用方法是分离变量的方法，将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系. 17．（1）23B π=；（2）5c =． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得cos B ，根据()0,B π∈求得B ； （2）利用余弦定理可得,b c 满足的方程；根据三角形面积构造方程得到,b c 关系，代入余弦定理构成的方程可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理得：()2sin sin cos sin cos 2sin cos sin cos sin cos A C B B C A B C B B C++=++()2sin cos sin 2sin cos sin 0A B B C A B A =++=+=()0,A π∈Q sin 0A ∴≠ 2cos 10B ∴+=，即1cos 2B =-()0,B π∈Q 23B π∴=（2）由余弦定理得：222239b a c ac c c =++=++BD AC ⊥Q 1sin 2ABC S ac B b BD ∆∴==⋅把3,a =2,3B π=BD =75b c =227395c c c ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，解得：5c = 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角、余弦定理和三角形面积公式的应用等知识，属于常考题型.18．(1)V =(2)12BP PF =. 【解析】 【分析】试题分析：（1）由四边形ABCD 是菱形推出BD AC ⊥，在根据平面ACEF ⊥平面ABCD 证出BD ⊥平面ACEF ，结合60,2ABC AB ∠=︒=，求出梯形ACEF 的面积，即可求得四棱锥B ACEF -的体积；（2）在平面ABF 内作//BM AF ,且1BM =,连接AM 交BF 于P ，从而四边形BMEC 是平行四边形，再由菱形ABCD 推出//BM AF ，通过BPM FPA ∆~∆即可得出BPPF的值. 试题解析：（1）∵四边形ABCD 是菱形 ∴BD AC ⊥又∵平面ACEF ⊥平面ABCD ,平面ACEF ⋂平面ABCD AC =,BD ⊂平面ABCD ∴BD ⊥平面ACEF在ABC ∆中,60,2ABC AB ∠=︒=,设BD AC O ⋂=,计算得2,AC BO ==在梯形ACEF 中,//,,2,1AF CE AF AC AC AF CE ⊥===梯形ACEF 的面积()112232S =⨯+⨯=∴四棱锥B ACEF -的体积为11333V S BO =⨯⨯=⨯=.（2）在平面ABF 内作//BM AF ,且1BM =,连接AM 交BF 于P ，则点P 满足//AP DE ,证明如下：∵//,1AF CE CE =, ∴//BM CE ,且BM CE = ∴四边形BMEC 是平行四边形. ∴//,BC ME BC ME =又菱形ABCD 中,//,BC AD BC AD =. ∴//,ME AD ME AD = ∴四边形ADEM 是平行四边形 ∴//AM DE ,即//AP DE . ∵//BM AF ∴BPM FPA ∆~∆ 又1BM = ∴12BP BM PF AF ==.【详解】请在此输入详解！19．（1）模型y =e λx+t 的拟合程度更好；（2）（i ）v ̂=0.02x +3.84；（ii ）32.99亿元. 【解析】 【分析】（1）由相关系数求出两个系数，比较大小可得； （2）（i ）先建立U 额R 0关于x 的线性回归方程，从而得出y 关于x 的回归方程；（ii ）把y =90代入（i ）中的回归方程可得x 值． 【详解】本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识,考查统计与概率思想、分类与整合思想,考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养,体现基础性、综合性与应用性． 解：（1）r 1=−u)(y −y)12i=1√∑(u i −u)2i=1∑(y i −y)2i=1=√3125000×200=2150025000=4350=0.86，r 2=∑(x −x)(v −v)12i=1√∑(x i −x)2i=1∑(v i −v)2i=1=770×0.308=1477×0.2=1011≈0.91， 则|r 1|<|r 2|，因此从相关系数的角度，模型y =e λx+t 的拟合程度更好 （2）（i ）先建立U 额R 0关于x 的线性回归方程.由y =e λx+t ，得lny =t +λx ，即v =t +λx ． 由于λ=∑(x i −x)(v i −v)12i=1∑(x i −x)212i=1=14770≈0.018，t =v −λx =4.20−0.018×20=3.84,所以U 额R 0关于x 的线性回归方程为v̂=0.02x +3.84， 所以lny ̂=0.02x +3.84，则y ̂=e 0.02x+3.84. （ii ）下一年销售额y 需达到90亿元，即y =90， 代入y ̂=e 0.02x+3.84得，90=e 0.02x+3.84， 又e 4.4998≈90，所以4.4998≈0.02x +3.84， 所以x ≈4.4998−3.840.02=32.99，所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99亿元 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性与应用性20．(1)24y x =；(2))4y x =±-. 【解析】 【分析】试题分析：（1）设点P x y （，），圆心00N x y （，），由圆与y 轴相切于点C ，得|2|PF NC =，结合两点间的距离公式整理可得点P 的轨迹方程为24y x = ；（2）（ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，方程为4x = ，可得14ABF AOF S S +=V V ．（ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设方程为11224y k x A x y B x y =-（），（，），（，）， 联立直线方程与抛物线方程，可得关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系可得1212416y y y y k+=-＝，，再由1211143222ABF AOF AOM BFM S S S S y y +=+=⋅⋅+⋅⋅≥⋅V V V V ，结合等号成立的条件求得12y y ，的值，进一步得到k 值，则ABF V 与AOF V 的面积之和取得最小值时，直线l 的方程可求 试题解析：（1）设点(),P x y ，圆心()00,N x y ， 圆与y 轴相切于点C ，则2PF NC =，02x =，又点N 为PF 的中点，所以012x x +=，1x =+，整理得：24y x =.所以点P 的轨迹方程为：24y x =.（2）（ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，方程为：4x =， 易得14ABF AOF S S ∆∆+=.（ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设方程为：()4y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由()244y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x 并整理得：24160ky y k --=， 所以124y y k+=，1216y y =-，所以1142ABF AOF AOM BFM S S S S y ∆∆∆∆+=+=⋅⋅ 211322y +⋅⋅≥⋅= 当且仅当1243y y =时等号成立，又1216y y =，所以1y =23y =-或1y =-23y =，所以1243y y k +==±，解得：k =±因为14≤，所以当两个三角形的面积和最小时，直线l 的方程为：)4y x =±-. 【详解】请在此输入详解！21．（1）见解析；（2）当0a >时，()f x 存在唯一零点；当0a ≤时，()f x 无零点 【解析】 【分析】（1）首先确定函数定义域和导函数；分别在0a =、18a ≥、108a <<和0a <四种情况下，根据导函数的正负，确定原函数的单调性； （2）根据（1）中函数的单调性，分别在0a =、18a ≥、108a <<和0a <四种情况下根据函数的极值和最值，结合单调性确定零点个数. 【详解】（1）由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()212121ax x f x ax x x-+'=-+=①当0a =时，令()0f x '=得：1x =则当()0,1x ∈时，()0f x '>；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<()f x ∴在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减②当18a ≥时，180a ∆=-≤，即()0f x '≥ ()f x ∴在()0,∞+上单调递增 ③当108a <<时，>0∆令()0f x '=，解得：1x =2x =108a <<Q 104a∴>则当()10,x x ∈和()2,x +∞时，()0f x '>；当()12,x x x ∈时，()0f x '<()f x ∴在110,4,4a a -⎛+⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∞上单调递增，在11,44a a +⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减④当0a <是，>0∆令()0f x '=，解得：10x =>，20x =<则当()10,x x ∈时，()0f x '>；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '<()f x ∴在0⎛ ⎝⎭上单调递增，在+⎫⎪∞⎪⎝⎭上单调递减 （2）①当0a =时，()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减()110f =-<Q ；当0x +→时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →-∞()f x ∴不存在零点②当0a <时，()f x在,104a ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎪上单调递增，在14a +⎛⎫⎪ ∞⎪⎝⎭上单调递减 ()21111ln f x ax x x =-+Q 且211210ax x -+= 21112x ax -=∴ ()1111ln 22x f x x ∴=--，()110,14x a == 令()()1ln 0122t h t t t =--<<，则()112022t h t t t-'=-=> ()h t ∴在()0,1上单调递增 ()()110h t h ∴<=-<又当0x +→时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →-∞()f x ∴不存在零点③当18a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增 当0x +→时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞()f x ∴必存在唯一零点④当108a <<时，()f x在110,,4,4a a ⎛++⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∞上单调递增，在11,44a a +⎛ ⎝⎭上单调递减 ()21111ln f x ax x x =-+Q 且211210ax x -+= ()1111ln 22x f x x ∴=--，()111,24x a ==令()()1ln 1222t h t t t =--<<，则()112022t h t t t-'=-=> ()h t ∴在()1,2上单调递增 ()()32ln 202h t h ∴<=-<又当0x +→时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞()f x ∴必存在唯一零点综上所述：当0a >时，()f x 存在唯一零点；当0a ≤时，()f x 无零点 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、讨论函数零点个数的问题；讨论零点个数的关键是能够结合函数的单调性，确定函数的极值和最值情况，从而确定零点个数.22．（1）2y x =+,2228x y +=；（2）43. 【解析】试题分析：（1）把0,2Q πρ⎛⎫⎪⎝⎭代入曲线C ，再化为直角坐标，结合直线l 的参数方程得直线l 过点()1P --，得直线l 的普通方程，然后根据222,sin x y y ρρθ=+=即可得到曲线C 的直角坐标方程；（2）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，结合韦达定理及三角函数的图像与性质，即可求得11PA PB+的最大值. 试题解析：（1）把0,2Q πρ⎛⎫⎪⎝⎭代入曲线C 可得2,2Q π⎛⎫⎪⎝⎭化为直角坐标为()0,2Q ，又l 过点()1P --，得直线l 的普通方程为2y x =+； ()221sin 8ρθ+=可化为()22sin 8ρρθ+=.由222,sin x y y ρρθ=+=可得()2228x yy++=，即曲线C 的直角坐标方程为2228x y +=.（2）把直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得，(()22cos 2sin 18t t αα-+-=，化简得()()22sin 14sin 60tt ααα+-+=，①()()224sin 24sin 1ααα⎡⎤∆=--+⎣⎦可得()1212224sin 6,0sin 1sin 1t t t tαααα+==>++，故1t 与2t 同号.∴12121212121111t t t t PA PB t t t t t t +++=+==4sin 33πα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， ∴6πα=时，4sin 33πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭有最大值43. ∴此时方程①的340∆=>，故11PA PB +有最大值43.23．（1）1142x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）713a -≤≤.【解析】试题分析：（1）当1a =-时，由零点分段法，求不等式()1f x ≤的解集，最后取并集即可；（2）由题设条件可得3131x a x x ++-≤+在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，然后分类讨论去绝对值，即可求得a 的取值范围.试题解析：（1）当1a =-时，()131f x x x =-+-，()11311f x x x ≤⇒-+-≤，即131131x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩或1131311x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩或11311x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩ . 解得1314x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩ 或11312x x ⎧<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或134x x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，所以1143x ≤≤或1132x <≤或∅. ∴原不等式的解集为1142xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.（2）∵1,14M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，∴当1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()31f x x ≤+恒成立，即3131x a x x ++-≤+在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，当11,43x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1331x a x x ++-≤+，即6x a x +≤， ∴66x x a x -≤+≤∴75x a x -≤≤在11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立， ∴()()min min 75x a x -≤≤，即7544a -≤≤； 当1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，3131x a x x ++-≤+，即2x a +≤，即22x a -≤+≤.∴22x a x --≤≤-在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， ∴()()min min 22x a x --≤≤-，即713a -≤≤； 综上，a 的取值范围为713a -≤≤.。