带电粒子在圆形边界匀强磁场中的圆周运动例析

“带电粒子在磁场中的圆周运动”解析处理带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题，其本质是平面几何知识与物理知识的综合运用。

重要的是正确建立完整的物理模型，画出准确、清晰的运动轨迹。

下面我们从基本问题出发对“带电粒子在磁场中的圆周运动”进行分类解析。

一、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的基本型问题找圆心、画轨迹是解题的基础。

带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛仑兹力作用下必作匀速圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心；或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题。

【例1】图示在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁场的磁感应强度为B；一带正电的粒子以速度V0从O点射入磁场中，入射方向在xy平面内，与x轴正方向的夹角为θ；若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L。

求①该粒子的电荷量和质量比；②粒子在磁场中的运动时间。

分析：①粒子受洛仑兹力后必将向下偏转，过O点作速度V0的垂线必过粒子运动轨迹的圆心O’；由于圆的对称性知粒子经过点P时的速度方向与x轴正方向的夹角必为θ，故点P作速度的垂线与点O处速度垂线的交点即为圆心O’（也可以用垂径定理作弦OP的垂直平分线与点O处速度的垂线的交点也为圆心）。

由图可知粒子圆周运动的半径由有。

再由洛仑兹力作向心力得出粒子在磁场中的运动半径为故有，解之。

②由图知粒子在磁场中转过的圆心角为，故粒子在磁场中的运动时间为。

【例2】如图以ab为边界的二匀强磁场的磁感应强度为B1＝2B2，现有一质量为m带电+q的粒子从O点以初速度V0沿垂直于ab方向发射；在图中作出粒子运动轨迹，并求出粒子第6次穿过直线ab所经历的时间、路程及离开点O的距离。

（粒子重力不计）分析：粒子在二磁场中的运动半径分别为，由粒子在磁场中所受的洛仑兹力的方向可以作出粒子的运动轨迹如图所示。

带电粒子在圆形有界磁场中运动的总结结论一、沿径向射入必沿径向射出【例1】如图1所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v 从A 点沿直径AOB 方向射入磁场，经过Δt 时间从C 点射出磁场，OC 与OB 成60°角。

现将带电粒子的速度变为v /3，仍从A 点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为()A. 12Δt B. 2Δt C. 13Δt D. 3Δt 解析：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有qvB ＝m v 2r故粒子第一次通过磁场区时的半径为r ＝mv qB圆弧AC 所对应的圆心角∠AO 'C ＝60°，粒子经过的 Δt ＝60°360°T T 为粒子在匀强磁场中运动的周期，大小为T ＝2em qB，与粒子速度大小无关。

当粒子速度减小为v 3后，根据r ＝mv qB 知其在磁场中的轨道半径变为r 3，粒子将从D 点射出，根据图2中几何关系得圆弧AD 所对应的圆心角∠AC 'D ＝120°，经历的时间为Δt ＝60°360°T ＝2Δt由此可知选项B正确。

答案：B结论二、电粒子从圆形匀强磁场区域圆周上一点沿垂直于磁场方向进入磁场，当带电粒子做圆周运动的轨道半径与圆形磁场区域半径相同时，所有带电粒子都以平行于磁场区域圆周上入射点的切线射出磁场；相反，若带电粒子以相互平行的速度射入磁场时，这些带电粒子在磁场中做圆周运动后，将会聚于磁场区域圆周上一点，该点的切线与带电粒子射入磁场时的速度方向平行。

【例2】如图3所示，在xOy坐标系中，以(r，O)为圆心、r为半径的圆形区域内存在匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。

在y＞r的足够大的区域内，存在沿Y轴负方向的匀强电场，场强大小为E．从O点以相同速率向不同方向发射质子，质子的运动轨迹均在纸面内，且质子在磁场中运动的轨迹半径也为r。

ʏ重庆市第四十九中学 廖华英带电粒子在匀强磁场中做圆周运动,当题目中出现 恰好 最大 最小 至少 等词语时,往往意味着存在临界现象㊂求解带电粒子在匀强磁场中的临界问题,首要任务是借助轨迹圆半径R 和速度v (或磁感应强度B )之间的约束关系进行动态分析,确定粒子运动轨迹和磁场边界(或磁感应强度B )的关系,找出临界状态㊂下面以两类常见临界问题为例,阐述解题策略,供同学们参考㊂类型一:求解磁场约束条件的临界问题这类问题主要解决的是欲使带电粒子完成规定要求的磁约束,需要满足的磁感应强度的最值或磁场区域的最小面积等问题㊂图1例1 如图1所示,坐标系O x y 所在空间区域内分布着垂直于纸面向内的匀强磁场,在原点O 处有一放射源,它可以在纸面内向四周均匀地发射质量为m ,带电荷量为+q ,速率均为v 0的粒子㊂厚度不计的竖直挡板MN 放置在原点O 左侧,挡板与x 轴的交点为O ',在纸面内挡板两端点M ㊁N 与原点O 恰好构成等边三角形㊂已知挡板两端点M ㊁N 间的距离为L ,不计粒子自身重力及粒子间的相互作用㊂(1)要使所有粒子都不能打到挡板上,求磁感应强度的最小值㊂(2)要使有粒子打到挡板的左侧,求磁感应强度的最大值㊂解析:因为әO MN 为边长为L 的正三角形,所以O ㊁O '两点间的距离L O O '=L c o s 30ʎ=3L2㊂设磁感应强度为B ,粒子的轨迹圆半径为r ,根据洛伦兹力提供向心力得q v 0B =m v 20r ,解得r =m v 0q B ㊂因为放射源发射的粒子的质量均为m ,带电荷量均为+q ,速率均为v 0,所以所有粒子的轨迹圆半径r 只与磁感应强度B 有关,且磁感应强度B越大,轨迹圆半径r 越小㊂图2(1)要使所有粒子都不能打到挡板上,则需从放射源沿y 轴正方向射出的粒子的轨迹圆在挡板所在位置右侧㊂画出粒子在磁场中的运动轨迹的动态圆,如图2所示,其中与挡板相切于O '点的轨迹圆的半径最大㊂根据几何知识可知,最大轨迹圆半径r m a x =12L O O '=3L4,最小磁感应强度B m i n =43m v 03qL ㊂(2)要使有粒子打到挡板的左侧,则需挡板的两端点M ㊁N 均位于从放射源沿y 轴正方向射出的粒子的轨迹圆内部㊂画出粒子在图3磁场中的运动轨迹的动态圆,如图3所示,其中经过M ㊁N 两点的轨迹圆的半径最小㊂因为最小轨迹圆的内接әO MN 为正三角形,所以最小轨迹圆半径r m i n =L 2c o s 30ʎ=3L 3,最大磁感应强度B m a x =3m v 0qL ㊂点评:本题考查带电粒子在匀强磁场中73解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年3月的受约束运动㊂因为所有粒子的入射速度大小相同,所以粒子在不同磁感应强度的匀强磁场中的运动轨迹是一组放缩圆,在同一匀强磁场中的运动轨迹是一组半径相同的旋转圆㊂解答本题的关键是根据几何知识判断出粒子在不同磁感应强度的匀强磁场中运动时的轨迹圆与约束条件的关系㊂图4例2 在平面直角坐标系O x y 中,曲线y =x220位于第一象限的部分如图4所示,第三象限内分布着方向竖直向上的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场(图中未画出),磁感应强度B =π10T ㊂在曲线上不同点以初速度v 0向x 轴负方向水平抛出质量为m ,带电荷量为+q 的小球,小球下落过程中都会通过坐标原点,之后进入第三象限恰好做匀速圆周运动,并在做匀速圆周运动的过程中都能打到y 轴的负半轴上㊂取重力加速度g =10m /s 2,q m=100C /k g ㊂求:(1)电场强度E 的大小㊂(2)小球的初速度v 0㊂(3)为了使所有的小球都能打到y 轴的负半轴,所加匀强磁场区域的最小面积㊂解析:(1)因为小球在第三象限内恰好做匀速圆周运动,所以在竖直方向上小球受力平衡,即m g =qE ,解得E =0.1N /C ㊂(2)设小球的抛出点坐标为(x ,y ),根据平抛运动规律得x =v 0t ,y =12g t 2,整理得y =g 2v 20x 2,又有y =x 220,则g 2v 20=120,解得v 0=10m /s ㊂(3)设小球进入第三象限时的速度为v ,与x 轴负半轴间的夹角为α,则v 0=v c o s α㊂根据洛伦兹力提供向心力得q v B =m v2r,解得r =m vq B ㊂根据几何知识可知,小球打在y 轴负半轴上的点与原点间的距离H =2r c o s α=2m v 0qB ,可见所有小球均从y 轴负半轴上同一点进入第四象限,因此所加最小磁场区域应为一半径R =m v 0qB 的半圆,其面积S m i n =πR 22,解得S m i n =0.5m 2㊂点评:本题中小球的重力不可忽略,但其重力与静电力是一对平衡力,小球在第三象限内的运动相当于仅受洛伦兹力的匀速圆周运动㊂若小球的抛出点不同,则进入磁场时的速度方向与大小都将不同㊂解答本题的关键是通过分析得出所有的小球都是从y 轴负半轴上同一点离开磁场区域的,这样才能顺利找到所加最小磁场区域的边界㊂类型二:求解带电粒子初始运动条件的临界问题这类问题主要解决带电粒子以怎样的运动条件进入限定的有界磁场区域,使带电粒子在有限的空间内发生磁偏转,从规定的位置射出磁场区域㊂一般是求带电粒子的初速度的大小范围或运动时间的极值等㊂图5例3 如图5所示,长度为L 的水平两极板间分布着垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B ,两极板间距也为L ㊂初始状态下,两极板不带电,质量为m ,带电荷量为-q 的粒子从两极板左侧中点处以水平速度v 垂直于磁感线射入磁场㊂不计粒子自身重力㊂欲使粒子打到极板上,求其初速度v 的大小范围㊂解析:根据左手定则可知,粒子进入磁场时所受洛伦兹力的方向向下,粒子将向下偏转㊂粒子最终恰好打到下极板右端点和左端点是两个临界状态,分别作出这两个临界状态下粒子的运动轨迹,如图6甲㊁乙所示㊂当粒子最终恰好打到下极板的右端点时,设粒子的运动轨迹半径为R 1,根据几何知识可知,在R t әO A B 中有R 21=R 1-L 22+L 2,解得R 1=5L4㊂根据洛伦兹力提供向心力得83 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年3月q v 1B =m v 21R 1,解得v 1=5q B L 4m ㊂当粒子最终恰好打到下极板的左端点时,设粒子的运动轨迹半径为R 2,根据几何知识得R 2=L 4㊂根据洛伦兹力提供向心力得q v 2B =m v22R 2,解得v 2=q B L 4m ㊂因此欲使粒子打到极板上,其初速度v 的大小范围应为qB L 4mɤv ɤ5q B L 4m㊂图6点评:外界磁场区域范围的限定,使得带电粒子的初始运动条件有了相应的限制㊂求解本题的关键是要确定临界状态,找出临界状态下粒子运动轨迹的圆心,求出对应轨迹圆的半径㊂图7例4 如图7所示,矩形区域a b c d 内分布着磁感应强度为B ,方向垂直于纸面向里的匀强磁场,矩形区域的a d 边长为L ,a b 边足够长㊂现有一带电粒子从a d 边的中点O 以初速度v 0垂直于磁感线射入磁场区域,已知粒子的质量为m ,带电荷量为q ,初速度v 0与直线O d 间的夹角α=30ʎ,不计粒子自身重力㊂(1)若粒子能从a b 边射出磁场区域,求初速度v 0的大小范围㊂(2)求粒子在磁场中运动的最长时间,以及在这种情况下粒子从磁场中射出时所在位置的范围㊂解析:(1)画出粒子在磁场中的运动轨迹的动态圆,如图8所示㊂能够从a b边射出的图8粒子的两个临界运动轨迹是圆弧O C D和圆弧O E F ,其中圆弧O C D 与d c 边相切于C 点,与a b 边相交于D 点,圆心为O 1,对应粒子的最大轨迹圆半径;圆弧O E F 与a b 边相切与E 点,与a d 边相交于F 点,圆心为O 2,对应粒子的最小轨迹圆半径㊂当粒子在磁场中的运动轨迹为圆弧O C D 时,根据几何知识得轨迹圆半径r 1=L ,根据洛伦兹力提供向心力得q v 0m a xB =m v 20m a x r 1,解得v 0m a x =q B L m ㊂当粒子在磁场中的运动轨迹为圆弧O E F 时,根据几何知识得轨迹圆半径r 2=L 3,根据洛伦兹力提供向心力得q v 0m i n B =m v 20m i n r 2,解得v 0m i n =q B L 3m ㊂因此满足题意的初速度v 0的大小范围为q B L 3m <v 0ɤq B L m㊂(2)当粒子从a d 边射出时,粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角最大,运动时间最长㊂根据几何知识可知,当粒子从a d 边射出时,在磁场中的运动轨迹所对的圆心角均为300ʎ,粒子从a d 边射出时的位置在O ㊁F 两点之间㊂因为粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T =2πmqB ,所以粒子在磁场中的最长运动时间t m a x =56T =5πm3qB ,O ㊁F 两点之间的距离L O F =r 2=L3,即粒子射出磁场区域时的位置在a d 边上O 点上方0~L3范围内㊂点评:根据速率可变的带电粒子刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中的运动轨迹与边界相切,可以确定粒子在磁场中的临界运动轨迹;根据速率与轨迹半径的关系,可以确定粒子初速度的大小范围;根据粒子在磁场中的运动时间与轨迹圆所对圆心角的关系,可以求解运动时间的极值㊂(责任编辑 张 巧)93解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年3月。

带电粒子在匀强磁场中的运动（知识小结）一．带电粒子在磁场中的运动（1）带电粒子在磁场中运动时，若速度方向与磁感线平行，则粒子不受磁场力，做匀速直线运动；即 ① 为静止状态。

② 则粒子做匀速直线运动。

（2）若速度方向与磁感线垂直，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力起向心力作用。

（3）若速度方向与磁感线成任意角度，则带电粒子在与磁感线平行的方向上做匀速直线运动，在与磁感线垂直的方向上做匀速圆周运动，它们的合运动是螺线运动。

二、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动1．运动分析：洛伦兹力提供向心力，使带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．(4)运动时间： (Θ 用弧度作单位 )1．只有垂直于磁感应强度方向进入匀强磁场的带电粒子，才能在磁场中做匀速圆周运动．2．带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速率的大小有关，而周期与速率、半径都无关．三、带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动(往往有临界和极值问题)(一)边界举例:1、直线边界（进出磁场有对称性）规律：如从同一直线边界射入的粒子，再从这一边射出时，速度与边界的夹角相等。

速度与边界的夹角等于圆弧所对圆心角的一半，并且如果把两个速度移到共点时，关于直线轴对称。

2、平行边界（往往有临界和极值问题）（在平行有界磁场里运动，轨迹与边界相切时，粒子恰好不射出边界）3、矩形边界磁场区域为正方形，从a 点沿ab 方向垂直射入匀强磁场：若从c 点射出，则圆心在d 处若从d 点射出，则圆心在ad 连线中点处4.圆形边界（从平面几何的角度看，是粒子轨迹圆与磁场边界圆的两圆相交问题。

）特殊情形：在圆形磁场内,沿径向射入时，必沿径向射出一般情形：磁场圆心O 和运动轨迹圆心O ′都在入射点和出射点连线AB 的中垂线上。

或者说两圆心连线OO ′与两个交点的连线AB 垂直。

（二）求解步骤：（1）定圆心、（2）连半径、（3）画轨迹、（4）作三角形．（5）据半径公式求半径，2．其特征方程为：F 洛＝F 向． 3．三个基本公式： (1)向心力公式：qvB ＝m v 2R ； (2)半径公式：R ＝mv qB ； (3)周期和频率公式：T ＝2πm qB ＝1f ； 222m t qB m qB T θππθπθ==⨯=⨯v L =t再解三角形求其它量；或据三角形求半径，再据半径公式求其它量（6）求时间1、确定圆心的常用方法：(1)已知入射方向和出射方向(两点两方向)时，可以作通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图3－6－6甲所示，P 为入射点，M 为出射点，O 为轨道圆心．(2)已知入射方向和出射点的位置时(两点一方向)，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图3－6－6乙所示，P 为入射点，M 为出射点，O 为轨道圆心．(3)两条弦的中垂线(三点)：如图3－6－7所示，带电粒子在匀强磁场中分别经过O 、A 、B 三点时，其圆心O ′在OA 、OB 的中垂线的交点上．(4)已知入射点、入射方向和圆周的一条切线：如图3－6－8所示，过入射点A 做v 垂线AO ，延长v 线与切线CD 交于C 点，做∠ACD 的角平分线交AO 于O 点，O 点即为圆心，求解临界问题常用到此法．(5)已知入射点，入射速度方向和半径大小2．求半径的常用方法 ：由于已知条件的不同，求半径有两种方法：一是：利用向心力公式求半径；二是：利用平面几何知识求半径。

•带电粒子在匀强磁场中的运动形式:•电偏转与磁偏转的对比:关于角度的两个结论:(1)粒子速度的偏向角φ等于圆心角α，并等于AB弦与切线的弦切角θ的2倍(如图所示)，即。

(2)相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ'互补，即有界磁场中的对称及临界问题:(1)直线边界粒子进出磁场时的速度关于磁场边界对称．如图所示。

(2)圆形边界①沿半径方向射入磁场，必沿半径方向射出磁场。

②射入磁场的速度方向与所在半径间夹角等于射出磁场的速度方向与所在半径间的夹角。

(3)平行边界存在着临界条件：(4)相交直边界•带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动: •确定轨迹圆心位置的方法：带电粒子在磁场中做圆周运动时间和转过圆心角的求解方法：带电粒子在有界磁场中的临界与极值问题的解法：当某种物理现象变化为另一种物理现象，或物体从一种状态变化为另一种状态时，发生这种质的飞跃的转折态通常称为临界状态，涉及临界状态的物理问题叫做临界问题，产生临界状态的条件叫做临界条件，临界问题能有效地考查学生多方面的能力，在高考题中屡见不鲜。

认真分析系统所经历的物理过程，找出与临界状态相对应的临界条件，是解答这类题目的关键，寻找临界条件，方法之一是从最大静摩擦力、极限频率、临界角、临界温度等具有临界含义的物理量及相关规律人手：方法之二是以题目叙述中的一些特殊词语如“恰好”、“刚好”、“最大”、“最高”、“至少”为突破口，挖掘隐含条件，探求临界位置或状态。

如：(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

据此可以确定速度、磁感应强度、轨迹半径、磁场区域面积等方面的极值。

(2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越大，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场巾运动的时间越长。

(前提条件是弧是劣弧)(3)当速率v变化时，圆周角大的，运动时间越越长。

“动态圆”问题的解法：1．入射粒子不同具体地说当入射粒子的比荷不同时，粒子以相同的速度或以相同的动能沿相同的方向射人匀强磁场时，粒子在磁场中运动的周期必不相同；运动的轨迹半径，在以不同的速度入射时不相同，以相同动能入射时可能不同。

一、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动分析1.运动特点带电粒子以垂直于磁场方向进入磁场，其轨迹是一段圆弧．2．圆心的确定(1)基本思路：与速度方向垂直的直线和图中弦的中垂线一定过圆心．(2)常用的两种方法①已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图8－2－5所示，图中P 为入射点，M 为出射点)．②已知入射点、入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图8－2－6所示，P 为入射点，M 为出射点)．(3)带电粒子在不同边界磁场中的运动①直线边界(进出磁场具有对称性，如图8－2－7)②平行边界(存在临界条件，如图8－2－8) 图8－2－8图8－2－5 图8－2－6③圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图8－2－9)图8－2－93．半径的确定(1)做出带电粒子在磁场中运动的几何关系图．(2)运用几何知识(勾股定理、正余弦定理、三角函数)通过数学方法求出半径的大小．4．运动时间的确定粒子在磁场中运动一周的时间为T ，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间由下式表示：t ＝α360°T (或t ＝α2πT )．例：扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆．其简化模型如图8－2－10所示：Ⅰ、Ⅱ两处的条形匀强磁场区边界竖直，相距为L ，磁场方向相反且垂直于纸面．一质量为m 、电量为－q 、重力不计的粒子，从靠近平行板电容器MN 板处由静止释放，极板间电压为U ，粒子经电场加速后平行于纸面射入Ⅰ区，射入时速度与水平方向夹角θ＝30°.(1)当Ⅰ区宽度L 1＝L 、磁感应强度大小B 1＝B 0时，粒子从Ⅰ区右边界射出时速度与水平方向夹角也为30°，求B 0及粒子在Ⅰ区运动的时间t ；(2)若Ⅱ区宽度L 2＝L 1＝L 、磁感应强度大小B 2＝B 1＝B 0，求粒子在Ⅰ区的最高点与Ⅱ区的最低点之间的高度差h ；(3)若L 2＝L 1＝L 、B 1＝B 0，为使粒子能返回Ⅰ区，求B 2应满足的条件．【解析】 (1)如图甲所示，设粒子射入磁场Ⅰ区的速度为v ，在磁场Ⅰ区中做圆周运动的半径为R 1，由动能定理和牛顿第二定律得图甲qU ＝12mv 2① qvB 1＝m v 2R 1② B 1＝B 0由几何知识得L ＝2R 1 sin θ③联立①②③式，代入数据得B 0＝1L 2mU q④ 设粒子在磁场Ⅰ区中做圆周运动的周期为T ，运动的时间为tT ＝2πR 1v⑤ t ＝2θ360°T ⑥ 联立②④⑤⑥式，代入数据得t ＝πL 3m 2qU.⑦ (2)设粒子在磁场Ⅱ区做圆周运动的半径为R 2，由牛顿第二定律得qvB 2＝m v 2R 2⑧ 由几何知识可得h ＝(R 1＋R 2)(1－cos θ)＋L tan θ⑨ 联立②③⑧⑨式，代入数据得h ＝(2－233)L .⑩ (3)如图乙所示，为使粒子能再次回到Ⅰ区，应满足R 2(1＋sin θ)<L [或R 2(1＋sin θ)≤L ]⑪图乙联立①⑧⑪式，代入数据得B 2>3L mU 2q (或B 2≥3L mU 2q )．⑫ 【答案】 (1)1L 2mU q πL 3 m 2qU (2)⎝⎛⎭⎫2－233L (3)B 2>3LmU 2q ⎝⎛⎭⎫或B 2≥3L mU 2q●拓展带电粒子的质量m ＝1.7×10－27 kg ，电荷量q ＝1.6×10－19 C ，以速度v ＝3.2×106 m/s 沿垂直于磁场同时又垂直于磁场边界的方向进入匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B ＝0.17 T ，磁场的宽度l ＝10 cm ，如图8－2－11所示．(1)求带电粒子离开磁场时的速度和偏转角；(2)求带电粒子在磁场中运动的时间以及出磁场时偏离入射方向的距离．【解析】 粒子所受的洛伦兹力F ＝qvB ＝8.7×10－14 N ，远大于粒子所受的重力G ＝1.7×10－26 N ，因此重力可忽略不计．(1)由于洛伦兹力不做功，所以带电粒子离开磁场时速度仍为3.2×106 m/s. 由qvB ＝m v 2r得轨道半径 r ＝mv qB ＝1.7×10－27×3.2×1061.6×10－19×0.17 m ＝0.2 m 由图可知偏转角θ满足sin θ＝l r ＝0.10.2＝0.5，故θ＝30°. (2)带电粒子在磁场中运动的周期T ＝2πm qB， 可见带电粒子在磁场中运动的时间t ＝(30°360°)T ＝112T t ＝πm 6qB ＝3.14×1.7×10－276×1.6×10－19×0.17 s ＝3.3×10－8 s 离开磁场时偏离入射方向的距离d ＝r (1－cos θ)＝0.2×(1－32) m ＝2.7×10－2 m. 【答案】 (1)3.2×106 m/s 30° (2)3.3×10－8 s 2.7×10－2 m。

带电粒子仅受洛仑兹力时的匀速圆周运动，是比较常见的一种运动形式。

这类题目的解决办法是九个字：找圆心，定半径，画轨迹。

找圆心，就是根据题目所描述的已知条件，找出带电粒子做圆周运动的圆心（找圆心的方法参见特别提示）；定半径，根据平面几何的知识（一般是三角形的关系：边边关系、边角关系、全等、相似等等），表示出带电粒子做圆周运动的半径来，以便利用相关的规律列方程；画轨迹，并不是可有可无的，一个准确的图形可以帮助判断分析问题的正确与否，对顺利的确定半径也很有帮助。

1、圆心的确定由圆周运动的特点和几何关系，可以用图所示方法：（1）圆心在入射点和出射点所受洛伦兹力作用线的交点上，即线速度垂线的交点上。

（2）圆心在入射点和出射点连线构成的弦的中垂线上。

2、带电粒子在不同边界磁场中的运动（1）直线边界（进出磁场具有对称性）（2）平行边界（存在临界条件）（3）圆形边界（沿径向射入必沿径向射出）3、运动时间的确定：根据带电粒子在磁场中做圆周运动的周期，确定粒子转过的圆弧所对应的圆心角，由或即可确定。

例、电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。

电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图所示。

磁场方向垂直于圆面。

磁场区的中心为O，半径为r。

当不加磁场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点。

为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度，此时磁场的磁感应强度B应为多少？解析：电子在磁场中沿圆弧ab运动，圆心为C，半径为R。

如图所示。

以v表示电子进入磁场时的速度，m、e分别表示电子的质量和电量，则eU＝m v2evB＝又有tg＝由以上各式解得B＝。

带电粒子在圆形边界匀强磁场中的圆周运动例析（浙江永康二中 吕未寒 321300）带电粒子以一定速度垂直射入匀强磁场中，洛伦兹力充当向心力，粒子将做匀速圆周运动。

解决带电粒子在圆形匀强磁场中的偏转解题基本思路：（四项基本原则）●画轨迹——根据初速度和受力方向画 ●定圆心——根据两条直径相交在圆心定●找关系——找力学关系、线度关系、角度关系●求变量——求半径或长度、周期或时间、其它物理量解题时画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。

偏转角度θ可由Rr=2tan θ求出，经历时间由qBm t θ=得出。

注意：带电粒子运动具有对称性，射出线的反向延长线必过磁场圆的圆心。

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的三个基本公式：①洛伦兹力提供向心力 rm v qvB 2=②轨迹半径 ,qBm v r =③周期 qBm T π2= （T 与r ，v 无关）一、 临界值问题例题1.如图所示，两个同心圆,半径分别为r 和2r ,在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B 。

圆心O 放射源,放出粒子的质量为m ,带电量为q ,假设粒子速度方向都和纸面平行。

（1）图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA 与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场第一次通过A 则初速度的大小是多少？（2）要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少? 解：（1）如图所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R 1，则由几何关系得331r R =（2分） 由1211R v m B qv =（2分）得mBqrv 331=（2分） （2）设粒子在磁场中的轨道半径为R 2，则由几何关系 22222)2(r R R r +=- (1分)得r R 432=（1分） 由 2222R v m B qv = (2分)得mBqrv 432=(1分) 例题2.甲图为质谱仪的原理图．带正电粒子从静止开始经过电势差为U 的电场加速后，从G 点垂直于MN 进入偏转磁场．该偏转磁场是一个以直线MN 为上边界、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B ，带电粒子经偏转磁场后，最终到达照相底片上的H 点．测得G 、H 间的距离为 d ，粒子的重力可忽略不计．（1）设粒子的电荷量为q ，质量为m ，试证明该粒子的比荷为：228q U m B d =；（2）若偏转磁场的区域为圆形，且与MN 相切于G 点，如图乙所示，其它条件不变。

2020年高考物理专题精准突破专题带电粒子在圆形边界磁场中的运动问题【专题诠释】1.沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示)粒子做圆周运动的半径r＝Rtan θ粒子在磁场中运动的时间t＝θπT＝2θmBqθ＋α＝90°2.解决带电粒子在磁场中偏转问题的常用方法(1)几何对称法：带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨迹关于入射点P与出射点Q的中垂线对称，轨迹圆心O位于中垂线上，并有φ＝α＝2θ＝ωt，如图甲所示，应用粒子运动中的这一“对称性”，不仅可以轻松地画出粒子在磁场中的运动轨迹，也可以非常便捷地求解某些临界问题．甲乙(2)动态放缩法：当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度v大小或磁场的强弱B变化时，粒子做圆周运动的轨迹半径R随之变化．在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹半径放缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件．如图乙所示，粒子进入长方形边界OABC从BC边射出的临界情景为②和④.(3)定圆旋转法：丙当带电粒子射入磁场时的速率v大小一定，但射入的方向变化时，粒子做圆周运动的轨迹半径R是确定的．在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件．如图丙所示为粒子进入单边界磁场时的情景．【高考领航】【2017·高考全国卷Ⅱ】如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点．大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场．若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上．不计重力及带电粒子之间的相互作用．则v2∶v1为()A.3∶2B.2∶1C.3∶1 D．3∶2【答案】C【解析】当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场的位置最远．则当粒子射入的速度为v1，如图，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为r1＝R cos 60°＝12R；同理，若粒子射入的速度为v2，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为r2＝R cos 30°＝32R；根据r＝mvqB∝v，则v2∶v1＝r2∶r1＝3∶1，故选C.【2016·高考全国卷Ⅱ】一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图所示．图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动．在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角．当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒．不计重力．若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为()A.ω3BB.ω2BC.ωBD.2ωB【答案】A【解析】如图所示，粒子在磁场中做匀速圆周运动，圆弧所对应的圆心角由几何知识知为30°，则π2ω＝2πm qB ·30°360°，即q m ＝ω3B ，选项A 正确．【方法技巧】 1．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动解题“三步法”2．在轨迹中寻求边角关系时，一定要关注三个角的联系：圆心角、弦切角、速度偏角；它们的大小关系为：圆心角等于速度偏角，圆心角等于2倍的弦切角．在找三角形时，一般要寻求直角三角形，利用勾股定理或三角函数求解问题．3．解决带电粒子在边界磁场中运动的问题时，一般注意以下两种情况：(1)直线边界中的临界条件为与直线边界相切，并且从直线边界以多大角度射入，还以多大角度射出；(2)在圆形边界磁场中运动时，如果沿着半径射入，则一定沿着半径射出．【最新考向解码】【例1】.(2019·江西吉安一中段考)如图所示是某粒子速度选择器截面的示意图，在一半径为R ＝10 cm 的圆柱形桶内有B ＝10－4 T 的匀强磁场，方向平行于轴线，在圆柱桶某一截面直径的两端开有小孔，作为入射孔和出射孔，粒子束以不同角度入射，最后有不同速度的粒子束射出．现有一粒子源发射比荷为q m＝2×1011 C/kg 的正粒子，粒子束中速度分布连续，当角θ＝45°时，出射粒子速度v 的大小是 ( )A.2×106 m/sB ．22×106 m/sC ．22×108 m/sD ．42×106 m/s【答案】B【解析】离子从小孔a 射入磁场，与ab 方向的夹角为θ＝45°，则离子从小孔b 离开磁场时速度与ab 的夹角也为θ＝45°，过入射速度和出射速度方向作垂线，得到轨迹的圆心O ′，画出轨迹如图，由几何知识得到轨迹所对应的圆心角为：α＝2θ＝90°，设粒子运动的半径为r ，则：2r ＝2R ，由牛顿第二定律得：Bqv ＝m v 2r ，解得：v ＝qBr m＝22×106 m/s ，故选项B 正确． 【例2】(2019·山东潍坊检测)如图所示，虚线所围区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B 一束电子沿圆形区域的直径方向以速度v 射入磁场，电子束经过磁场区后，其运动的方向与原入射方向成θ 角．设电子质量为m ，电荷量为e ，不计电子之间的相互作用力及所受的重力．求：(1)电子在磁场中运动轨迹的半径R ；(2)电子在磁场中运动的时间t ；(3)圆形磁场区域的半径r .【答案】(1)mv eB (2)mθeB (3)mv eB tan θ2【解析】(1)电子在磁场中受到的洛伦兹力提供电子做匀速圆周运动的向心力即：evB ＝m v 2R由此可得电子做圆周运动的半径R ＝mv eB(2)如图根据几何关系，可以知道电子在磁场中做圆周运动时转过的圆心角α＝θ则电子在磁场中运动的时间：t ＝θ2πT ＝θ2π×2πR v ＝θv ×mv eB ＝mθeB(3)由题意知，由图根据几何关系知：tan θ2＝r R所以r ＝R tan θ2＝mv eB tan θ2【微专题精练】1.如图，MN 为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直于纸面的匀强磁场(未画出)．一带电粒子从紧贴铝 板上表面的P 点垂直于铝板向上射出，从Q 点穿越铝板后到达PQ 的中点O .已知粒子穿越铝板时，其动能 损失一半，速度方向和电荷量不变．不计重力．铝板上方和下方的磁感应强度大小之比为 ( )A ．2 B.2 C ．1 D.22【答案】D【解析】根据题图中的几何关系及带电粒子在匀强磁场中的运动性质可知：带电粒子在铝板上方做匀速圆周运动的轨道半径r 1是其在铝板下方做匀速圆周运动的轨道半径r 2的2倍．设粒子在P 点的速度为v 1，根据牛顿第二定律可得qv 1B 1＝mv 21r 1，则B 1＝mv 1qr 1＝2mE k qr 1；同理，B 2＝mv 2qr 2＝2m ·12E k qr 2，则B 1B 2＝22，D 正确，A 、B 、C 错误．2.如图甲所示，有界匀强磁场Ⅰ的宽度与图乙所示圆形匀强磁场Ⅰ的半径相等，一不计重力的粒子从左边界的M 点以一定初速度水平向右垂直射入磁场Ⅰ，从右边界射出时速度方向偏转了θ角；该粒子以同样的初速度沿半径方向垂直射入磁场Ⅰ，射出磁场时速度方向偏转了2θ角．已知磁场Ⅰ、Ⅰ的磁感应强度大小分别为B 1、 B 2，则B 1与B 2的比值为 ( )A ．2cos θB ．sin θC ．cos θD ．tan θ【答案】C【解析】设有界磁场Ⅰ宽度为d ，则粒子在磁场Ⅰ和磁场Ⅰ中的运动轨迹分别如图(a)、(b)所示，由洛伦兹力提供向心力知Bqv ＝m v 2r ，得B ＝mv rq ，由几何关系知d ＝r 1sin θ，d ＝r 2tan θ，联立得B 1B 2＝cos θ，选项C 正确．3.(2019·辽宁朝阳三校联考)如图所示，半径为r 的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小 为B ，磁场边界上A 点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小相等的带正 电的粒子(重力不计)，已知粒子的比荷为k ，速度大小为2kBr .则粒子在磁场中运动的最长时间为 ( )A.πkBB.π2kBC.π3kBD.π4kB【答案】C【解析】粒子在磁场中运动的半径为R ＝mv qB ＝2kBr Bk＝2r ；当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹对应的圆心角最大，此时弦长最大，其最大值为磁场圆的直径2r ，故t ＝T 6＝πm 3qB ＝π3kB，故C 正确． 4.(2019·长沙模拟)如图所示，在半径为R 的圆形区域内(圆心为O )有匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直 于圆平面(未画出)．一群具有相同比荷的负离子以相同的速率由P 点在纸平面内向不同方向射入磁场中，发 生偏转后又飞出磁场，若离子在磁场中运动的轨道半径大于R ，则下列说法中正确的是(不计离子的重力)( )A ．从Q 点飞出的离子在磁场中运动的时间最长B ．沿PQ 方向射入的离子飞出时偏转角最大C ．所有离子飞出磁场时的动能一定相等D ．在磁场中运动时间最长的离子不可能经过圆心O 点【答案】AD【解析】由圆的性质可知，轨迹圆与磁场圆相交，当轨迹圆的弦长最大时偏向角最大，故应该使弦长为PQ ，由Q 点飞出的离子圆心角最大，所对应的时间最长，轨迹不可能经过圆心O 点，故A 、D 正确，B 错误；因洛伦兹力永不做功，故粒子在磁场中运动时动能保持不变，但由于不知离子的初动能，故飞出时的动能不一定相等，故C 错误．5.如图所示，圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a 、b 、c ，以不同的 速率对准圆心O 沿着AO 方向射入磁场，其运动轨迹如图．若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正 确的是 ( )A ．a 粒子速率最大，在磁场中运动时间最长B ．c 粒子速率最大，在磁场中运动时间最短C ．a 粒子速率最小，在磁场中运动时间最长D ．c 粒子速率最小，在磁场中运动时间最短【答案】BC【解析】由题图可知，粒子a 的运动半径最小，对应的圆心角最大，粒子c 的运动半径最大，对应的圆心角最小，由洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，可得：qvB ＝m v 2r ，故半径r ＝mv qB ，周期T ＝2πr v ＝2πm qB，故在粒子质量、带电荷量、磁场的磁感应强度都相同的情况下，粒子速率越小，运动半径越小，所以粒子a 的运动速率最小，粒子c 的运动速率最大，而带电粒子在磁场中的运动时间只取决于运动轨迹所对应的圆心角，所以粒子a 的运动时间最长，粒子c 的运动时间最短，故B 、C 正确．6.(2019·广东省惠州市模拟)如图所示，在半径为R 的圆形区域内充满磁感应强度为B 的匀强磁场，MN 是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P 以速度v 垂直磁场正对着圆心O 射入带正电的粒子，且粒子所带电荷量为q 、质量为m ，不考虑粒子重力，关于粒子的运动，以下说法正确的是( )A ．粒子在磁场中通过的弧长越长，运动时间也越长B ．射出磁场的粒子其出射方向的反向延长线也一定过圆心OC ．射出磁场的粒子一定能垂直打在MN 上D ．只要速度满足v ＝qBR m，入射的粒子出射后一定垂直打在MN 上 【答案】 BD【解析】 速度不同的同种带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相等，对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中轨道半径越大，弧长越长，轨迹对应的圆心角θ越小，由t ＝θ2πT 知，运动时间t 越小，故A 错误；带电粒子的运动轨迹是圆弧，根据几何知识可知，对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线一定过圆心，故B 正确；速度不同，半径不同，轨迹对应的圆心角不同，对着圆心入射的粒子，出射后不一定垂直打在MN 上，与粒子的速度有关，故C 错误；速度满足v ＝qBR m 时，粒子的轨迹半径为r ＝mv qB＝R ，入射点、出射点、O 点与轨迹的圆心构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与最高点的磁场半径垂直，粒子一定垂直打在MN 板上，故D 正确．7.如图所示，两个同心圆，半径分别为r 和2r ，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁 感应强度为B .圆心O 处有一放射源，放出粒子的质量为m 、带电量为－q (q >0)，假设粒子速度方向都和纸 面平行．(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA 与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场后第一次通过A 点，则初速度的大小是多少？(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？【答案】 (1)3Bqr 3m (2)3Bqr 4m【解析】 (1)如图甲所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R 1，则由几何关系得R 1＝3r 3 又qv 1B ＝m v 21R 1得v 1＝3Bqr 3m.(2)如图乙所示，设粒子轨迹与磁场外边界相切时，粒子在磁场中的轨道半径为R 2，则由几何关系有(2r －R 2)2＝R 22＋r 2可得R 2＝3r 4，又qv 2B ＝m v 22R 2，可得v 2＝3Bqr 4m故要使粒子不穿出环形区域，粒子的初速度不能超过3Bqr 4m.8.(2019·陕西咸阳模拟)如图所示，A 点距坐标原点的距离为L ，坐标平面内有边界过A 点和坐标原点O 的圆 形匀强磁场区域，磁场方向垂直于坐标平面向里．有一电子(质量为m 、电荷量为e )从A 点以初速度v 0平行 于x 轴正方向射入磁场区域，在磁场中运动，从x 轴上的B 点射出磁场区域，此时速度方向与x 轴的正方 向之间的夹角为60°，求：(1)磁场的磁感应强度大小；(2)磁场区域的圆心O 1的坐标；(3)电子在磁场中运动的时间．【答案】(1)mv 02eL (2)(32L ，L 2) (3)2πL 3v 0【解析】(1)由题意得电子在有界圆形磁场区域内受洛伦兹力做圆周运动，设圆周运动轨迹半径为r ，磁场的磁感应强度为B ，则有ev 0B ＝m v 20r① 过A 、B 点分别作速度的垂线交于C 点，则C 点为轨迹圆的圆心，已知B 点速度与x 轴夹角为60°，由几何关系得，轨迹圆的圆心角∠C ＝60°②AC ＝BC ＝r ，已知OA ＝L ，得OC ＝r －L ③由几何知识得r ＝2L ④由①④得B ＝mv 02eL⑤(2)由于ABO 在有界圆周上，∠AOB ＝90°，得AB 为有界磁场圆的直径，故AB 的中点为磁场区域的圆心O 1，由③易得△ABC 为等边三角形，磁场区域的圆心O 1的坐标为(32L ，L 2)．(3)电子做匀速圆周运动，则圆周运动的周期为T ＝2πr v 0⑥ 由②④⑥得电子在磁场中运动的时间t ＝T 6＝2πL 3v 0.。

带电粒子在圆形磁场区域的运动规律处理带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题，关键就是综合运用平面几何知识与物理知识。

最重要的是，画出准确、清晰的运动轨迹。

对于带电粒子在圆形磁场区域中做匀速圆周运动，有下面两个规律，可以帮助大家准确、清晰画出带电粒子的圆周运动的轨迹。

规律一：带电粒子沿着半径方向射入圆形边界内的匀强磁场，经过一段匀速圆周运动偏转后，离开磁场时射出圆形区域的速度的反向延长通过边界圆的圆心。

规律二：入射速度方向（不一定指向区域圆圆心）与轨迹圆弧对应的弦的夹角为θ（弦切角），则出射速度方向与入射速度方向的偏转角为2θ，轨迹圆弧对应的圆心角也为θ2，并且初末速度方向的交点、轨迹圆的圆心、区域圆的圆心都在弧弦的垂直平分线上。

以上两个规律，利用几何知识很容易证明，在解题时，可以直接应用，请看下面的两个例子：例1如图1所示，在平面坐标系xoy 内，第Ⅱ、Ⅲ象限内存在沿y 轴正方向的匀强电场，第I 、Ⅳ象限内存在半径为L的圆形匀强磁场，磁场圆心在M （L ，0）点，磁场方向垂直于坐标平面向外．一带正电粒子从第Ⅲ象限中的Q （一2L ，一L ）点以速度0v 沿x 轴正方向射出，恰好从坐标原点O 进入磁场，从P （2L ，O ）点射出磁场．不计粒子重力，求： （1）电场强度与磁感应强度大小之比 （2）粒子在磁场与电场中运动时间之比 解析：（1）设粒子的质量和所带正电荷分别为m 和q ，粒子在电场中运动，由平抛运动规律得：102t v L =2121at L =，又牛顿运动定律得：ma qE = 粒子到达O 点时沿y +方向分速度为0v at v y ==，1tan 0==v v y α 故045=α，粒子在磁场中的速度为02v v =，应用规律二，圆心角为：0902=α，画出的轨迹如图2所示，由rm v Bqv 2=，由几何关系得L r 2=得：2v B E = （2）在磁场中运动的周期vrT π2=粒子在磁场中运动时间为02241v L T t π==图2图1得412π=t t 例2如图3所示，真空中有一以（r ，O ）为圆心，半径为r 的圆柱形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向里，在y ≤一r 的范围内，有方向水平向右的匀强电场，电场强度的大小为E 。

高考物理：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的分析思路例1平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图1所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0)．粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为()图1A.m v2qB B.3m vqB C.2m vqB D.4m vqB①速度与OM成30°角；②运动轨迹与ON只有一个交点．答案D解析带电粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为r＝m vqB.轨迹与ON相切，画出粒子的运动轨迹如图所示，知△AO′D为等边三角形，∠O′DA＝60°，而∠MON＝30°，则∠OCD＝90°，故CO′D为一直线，OD＝CDsin 30°＝2CD＝4r＝4m vqB，故D正确．练习1．(多选)如图10所示，在水平虚线MN 边界的下方是一垂直纸面向里的匀强磁场，质子(11H)和α粒子(42He)先后从边界上的A 点沿与虚线成θ＝45°角的方向射入磁场，两粒子均从B 点射出磁场．不计粒子的重力，则( )图10A ．两粒子在磁场中运动的轨迹相同B ．两粒子在磁场中运动的速度大小之比为2∶1C ．两粒子在磁场中运动的动能相同D ．两粒子在磁场中运动的时间之比为2∶1答案 ABC解析 粒子在磁场中做匀速圆周运动，质子和α粒子从同一点沿相同的方向射入磁场，然后从同一点离开磁场，则它们在磁场中运动的轨迹相同，选项A 正确；两粒子的运动轨迹相同，则它们的轨道半径也一定相同，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：q v B ＝m v 2r ，解得r ＝m v qB，设质子的质量为m 1，带电荷量为q 1，在磁场中运动的速度大小为v 1，α粒子的质量为m 2，带电荷量为q 2，在磁场中运动的速度大小为v 2，则有m 1v 1q 1B ＝m 2v 2q 2B ，即v 1v 2＝m 2q 1m 1q 2＝21，选项B 正确；设质子的动能为E 1，α粒子的动能为E 2，则有E 1E 2＝12m 1v 2112m 2v 22＝11，选项C 正确；两粒子在磁场中运动的轨迹相同，运动的速度大小之比为2∶1，则两粒子在磁场中运动时间之比为1∶2，选项D 错误．2．(多选)利用如图11所示装置可以选择一定速度范围内的带电粒子，图中板MN 上方是磁感应强度大小为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上有两条宽度分别为2d 和d 的缝，两缝近端相距为L .一群质量为m 、电荷量为q ，具有不同速度的粒子从宽度为2d 的缝垂直于板MN 进入磁场，对于能够从宽度为d 的缝射出的粒子，下列说法正确的是( )图11A ．粒子带正电B ．射出的粒子的最大速度为qB (3d ＋L )2mC ．保持d 和L 不变，增大B ，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大D ．保持d 和B 不变，增大L ，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大答案 BC解析 由左手定则和粒子的偏转情况可以判断粒子带负电，选项A 错；根据洛伦兹力提供向心力q v B ＝m v 2r ，可得v ＝qBr m ，r 越大v 越大，由图可知r 最大值为r max ＝L ＋3d 2，代入v 的表达式可得v max ＝qB (3d ＋L )2m ，选项B 正确；又r 最小值为r min ＝L 2，将r max 、r min 分别代入v 的表达式后得出速度之差为Δv ＝3qBd 2m，可见选项C 正确、D 错误．。

带电粒子在匀强磁场中的圆周运动由于带电粒子在匀强磁场中的受力情况特殊，其运动轨迹呈现为圆周运动。

本文将详细介绍带电粒子在匀强磁场中的圆周运动原理及相关公式。

根据洛伦兹力的作用，当带电粒子运动时，受到匀强磁场的力会使其偏离直线路径，而呈现出圆周运动。

该力的方向垂直于带电粒子的速度方向与磁场方向，符合右手螺旋定则。

由于受力方向始终向心，因此粒子在磁场中做圆周运动。

带电粒子在匀强磁场中的圆周运动可以通过以下公式进行描述：1.某物质在匀强磁场中的圆周运动半径：$$r=\frac{mv}{|qB|}$$其中，$r$为圆周运动半径，$m$为粒子质量，$v$为粒子速度，$q$为粒子电荷量，$B$为磁感应强度。

2.圆周运动的周期：$$T=\frac{2\pi m}{|q|B}$$其中，$T$为圆周运动的周期，$m$为粒子质量，$q$为粒子电荷量，$B$为磁感应强度。

3.圆周运动的频率：$$f=\frac{1}{T}=\frac{|q|B}{2\pi m}$$其中，$f$为圆周运动的频率，$T$为圆周运动的周期，$q$为粒子电荷量，$B$为磁感应强度，$m$为粒子质量。

从以上公式可以看出，带电粒子的质量、速度、电荷量以及磁感应强度都会对其圆周运动的半径、周期和频率产生影响。

在匀强磁场中，不同的带电粒子具有不同的圆周运动轨迹。

根据质量和电荷量的不同，带电粒子的圆周运动半径、周期和频率都会有所差异。

因此，通过对带电粒子在匀强磁场中的圆周运动进行观测和测量，可以对粒子的性质进行研究和分析。

带电粒子在匀强磁场中的圆周运动在物理学和实际应用中具有重要的意义。

它可以被应用于粒子物理实验、质谱仪、核磁共振等领域。

了解带电粒子在匀强磁场中的圆周运动的原理及相关公式，有助于理解和应用这些技术和方法。

总结了带电粒子在匀强磁场中的圆周运动原理及相关公式，希望对读者对该主题有一个清晰的了解。

★带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题的分析方法1．定圆心画轨迹(1)洛伦兹力过圆心(2) 速度垂线过圆心(3)弦的中垂线过圆心2．几何关系求半径几何关系：勾股定理、三角函数、相似三角形等．3．代入半径、周期公式求解例4如图5所示，一束电荷量为e的电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝60°，求电子的质量和穿越磁场的时间．3．(带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动问题)如图7所示，有界匀强磁场边界线SP∥MN，速率不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场．其中穿过a点的粒子速度v1与MN垂直；穿过b点的粒子速度v2与MN成60°角，设粒子从S到a、b所需时间分别为t1和t2，则t1∶t2为(重力不计)( )A．1∶3 B．4∶3 C．1∶1 D．3∶2答案 D10.如图8所示，平面直角坐标系的第Ⅰ象限内有一匀强磁场垂直于纸面向里，磁感应强度为B .一质量为m 、电荷量为q 的粒子以速度v 从O 点沿着与y 轴夹角为30°的方向进入磁场，运动到A 点(图中未画出)时速度方向与x 轴的正方向相同，不计粒子的重力，则( )A ．该粒子带正电B ．A 点与x 轴的距离为mv 2qBC ．粒子由O 到A 经历的时间t ＝πm 3qBD ．运动过程中粒子的速度不变 答案 BC11．长为l 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，板间距离也为l ，极板不带电．现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )A ．使粒子的速度v <Bql 4mB ．使粒子的速度v >5Bql 4mC ．使粒子的速度v >Bql mD ．使粒子的速度Bql4m <v <5Bql 4m答案 AB12.如图9所示，一个质量为m 、电荷量为－q 、不计重力的带电粒子从x 轴上的P (a,0)点以速度v ，沿与x 轴正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y 轴射出第一象限，求：(1)匀强磁场的磁感应强度B ； (2)穿过第一象限的时间．答案 (1)3mv 2qa (2)43πa 9v13．如图10，在某装置中有一匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直于xOy 所在纸面向外．某时刻在x ＝l 0、y ＝0处，一质子沿y 轴负方向进入磁场；同一时刻，在x ＝－l 0、y ＝0处，一个α粒子进入磁场，速度方向与磁场垂直．不考虑质子与α粒子的相互作用，设质子的质量为m ，电荷量为e .则：(1)如果质子经过坐标原点O ，它的速度为多大？(2)如果α粒子与质子经最短时间在坐标原点相遇，α粒子的速度应为何值？方向如何？答案 (1)eBl 02m (2)2eBl 04m ，方向与x 轴正方向的夹角为π4。

带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动的临界问题题1：两边界MN 、PQ 足够长，相距为d ，中间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，质量为m ，电荷量为+q 的粒子，从磁场边缘MP 的正中间O 点沿图示方向垂直进入磁场，不计重力，要使粒子从MN 板离开磁场，求：⑴粒子进入磁场的速度应满足什么条件？（θ=300）⑵要使粒子在磁场中运动的时间最长，粒子要从哪一条边界射出，最长时间为多少？析：（1）（方法1：过定点吹气球，找到临界点。

方法2：画圆找弧移边界）当粒子运动轨迹跟MN 相切时速度最小，则有：min 3d r =又 mvr qB= 得：min 3qBd v m = 当粒子运动轨迹与PQ 相切而从MN 射出时，速度有最大值：max r d =得：max qBd v m =故得速度应满足的条件是：3qBdqBdv m m≤ ⑵要使粒子运动时间长，则对应圆心角最大，则粒子从MP 边射出，0max00300253603603m mt T qB qBαππ==⨯= 题2：如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60T ，磁场内有一块平面感光板ab ，板面与磁场方向平行，在距ab的距离L=16cm 处，有一个点状的α放射源S ，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是V=3.0×106m/s,已知α粒子的电荷与质量之比q m=5.0×107C/kg ，现只考虑在图纸平面中运× × × × × × × ×× × × × × × × × V θ MNQP × × × × × × × × × × × ×× × × ×V θ M N QP O 1O 2r min 2d300× × × × × × × ×× × × ×a b S动的α粒子，求ab 上被α粒子打中的区域的长度。

带电粒子在圆形匀强磁场区域中运动的特点袁立强【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2012(000)023【总页数】2页(P34-35)【作者】袁立强【作者单位】山东潍坊滨海中学【正文语种】中文寻找某些类型题的特点,借以找到解答此类问题在不同的物理情景中的切入点,是学生能够灵活和熟练应用知识解决问题的最重要体现.带电粒子在圆形匀强磁场区域中的匀速圆周运动,与数学中的圆的知识紧密相关,且具有很强的特点,下面我们总结一下带电粒子在圆形磁场区域中做匀速圆周运动的几个特点.特点1 带电粒子的入射速度方向指向匀强磁场区域圆的圆心,则出射速度方向的反向延长线必过该区域圆的圆心.例1 如图1,圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B ,现有一电荷量为q,质量为m的正离子从a点沿圆形区域的直径入射,设正离子射出磁场区域方向与入射方向的夹角为60°,求此离子在磁场区域内飞行的时间.图1图2设正离子从磁场区域的b点射出,射出速度方向的延长线与入射方向的直径交点为O,如图2,正离子在磁场中运动的轨迹为一段圆弧,该轨迹圆弧对应的圆心O′位于初、末速度方向垂线的交点,也在弦ab的垂直平分线上,O′b与区域圆相切,弦ab既是轨迹圆弧对应的弦,也是区域圆的弦,由此可知,OO′就是弦ab的垂直平分线,O点就是磁场区域圆的圆心.又因为四边形OabO′的四个角之和为360°,可推出∠aO′b＝60°,因此,正离子在磁场中完成了1/6圆特点2 入射速度方向(不一定指向区域圆圆心)与轨迹圆弧对应的弦的夹角为θ(弦切角),则出射速度方向与入射速度方向的偏转角为2θ,轨迹圆弧对应的圆心角也为2θ,并且初末速度方向的交点、轨迹圆的圆心、区域圆的圆心都在弧弦的垂直平分线上.如图3,带电粒子从a点射入匀强磁场区域,初速度方向不指向区域圆圆心,若出射点为b,轨迹圆的圆心O′在初速度v0方向的垂线和弦ab的垂直平分线的交点上,入射速度方向与该中垂线的交点为d,可以证明出射速度方向的反向延长线也过d点,O、d、O′都在弦ab的垂直平分线上.如果同一种带电粒子,速度方向一定、速度大小不同时,出射点不同,运动轨迹对应的弦不同,弦切角θ不同,该轨迹圆弧对应的圆心角2θ也不同,则运动图3例2 如图4,在xOy坐标系第一象限内有一个与x轴相切于Q点的圆形有界匀强磁场,磁感应强度为B ,方向垂直纸面向外,一带电粒子(不计重力)质量为m,带电荷量为+q,以初速度v0从P点进入第一象限,θ＝30°,经过该圆形有界磁场时,速度方向偏转了60°,从x轴上的Q点射出.问:在第一象限内圆形磁场区域的半径多大?图4根据上述特点2可知,速度偏转角为60°,那么弦切角就为30°,我们可以先做出弦,并且弦一定过Q点,因此,做出过Q点且平行于y轴的直线,与初速度v0方向的交点为A ,A 点就是入射点,A Q就是弦,又因为区域圆在Q点与x轴相切,A Q也是区域圆的直径,如图4.轨迹圆心为Q′,圆心角为60°,△AO′Q为等边三角形,半以圆形磁场区域的半径读者也可在图4中体会一下,如果区域圆半径过大或过小,弦(入射点和Q点的连线)也会发生变化,可以看出弦切角不再是30°,那么偏转角也就不会是60°了.特点3 若带电粒子在匀强磁场中运动的轨道半径与圆形磁场区域的半径相同,则出射速度方向必与区域圆上的入射点和区域圆的圆心的连线垂直(所有带电粒子出射速度方向都相同),且与入射速度方向无关.如图5,质量为m,电荷量为-q的带电粒子从a点以相同的速度大小v,从不同方向垂直射入磁感应强度为B 的圆形磁场区域,区域半径为r,且子运动轨迹的半径相同,我们任意取一个轨迹,从b点射出,区域圆的圆心为O,轨迹圆的圆心为O′,因为半径相同,我们不难看出OabO′为菱形,可见,出射速度方向必与Oa垂直,读者也可通过几何作图的方法证明从c点射出的带电粒子,也与Oa垂直,因此,所有射入的粒子出射方向相同,都与Oa垂直.图5例3 如图6所示,质量为m,电荷量为e的电子从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限内,射入时的速度方向不同,但大小均为v0.现在某一区域内加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场,磁感应强度大小为B ,若这些电子穿过磁场后都能垂直地射到与y轴平行的荧光屏MN上,求:所加磁场范围的最小面积.图6图7联想到上述的特点3,从O点射入的速度大小相同,方向不同,经过磁场区域后,出射速度方向都相同,区域应该为圆,O点在区域圆上,该区域圆的半径与粒子运动轨迹的半径相同,都为r＝速度方向垂直于y轴,区域圆的圆心O′就在y轴上,图7中的阴影部分即为磁场的最小区域.。