《交通工程学第四章交通流理论》习题解答4-1在交通流模型中，假定流速V 与密度k 之间的关系式为V =a (1-bk )2，试依据两个边界条件，确定系数a 、b 的值，并导出速度与流量以及流量与密度的关系式。
解答：当V =0时，j K K =， ∴1jb k =； 当K ＝0时，f V V =，∴f a V =；把a 和b 代入到V =a (1-bk )2∴21f j KV V K⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭， 又Q KV =流量与速度的关系1j Q K V ⎛= ⎝流量与密度的关系21f j KQ V K K⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭4-2已知某公路上中畅行速度V f =82km/h ，阻塞密度K j =105辆/km ，速度与密度用线性关系模型，求：（1）在该路段上期望得到的最大流量； （2）此时所对应的车速是多少？ 解答：（1）V —K 线性关系，V f =82km/h ，K j =105辆/km∴V m =V f /2=41km/h ，K m =K j /2=52.5辆/km ， ∴Q m =V m K m =2152.5辆/h解答：35.9lnV k= 拥塞密度K j 为V =0时的密度， ∴180ln0jK = ∴K j =180辆/km4-5某交通流属泊松分布，已知交通量为1200辆/h ，求： （1）车头时距t ≥5s 的概率；（2）车头时距t ＞5s 所出现的次数； （3）车头时距t ＞5s 车头间隔的平均值。
解答：车辆到达符合泊松分布，则车头时距符合负指数分布，Q=1200辆/h （1）1536003(5)0.189Q t tt P h eeeλ-⨯-⨯-≥====（2）n=(5)t P h Q ≥⨯=226辆/h（3）55158s t t e tdt e dt λλλλλ+∞-+∞-⎰⋅=+=⎰4-6已知某公路q =720辆/h ，试求某断面2s 时间段内完全没有车辆通过的概率及其 出现次数。
解答：（1）q=720辆/h ，1/s 36005q λ==辆，t=2s 25(2)0.67tt P h ee λ--≥===n=0.67×720=483辆/h4-7有优先通行权的主干道车流量N ＝360辆/h ，车辆到达服从泊松分布，主要道路允许次要道路穿越的最小车头时距=10s ，求 (1)每小时有多少个可穿空档?(2)若次要道路饱和车流的平均车头时距为t 0=5s ，则该路口次要道路车流穿越主要道路车流的最大车流为多少? 解答：有多少个个空挡？其中又有多少个空挡可以穿越？(1)如果到达车辆数服从泊松分布，那么，车头时距服从负指数分布。
根据车头时距不低于t 的概率公式，t e t h p λ-=≥)(，可以计算车头时距不低于10s 的概率是3679.0)10(360010360==≥÷⨯-e s h p主要道路在1小时内有360辆车通过，则每小时内有360个车头时距，而在360个车头时距中，不低于可穿越最小车头时距的个数是（总量×发生概率）360×0.3679=132（个）因此，在主要道路的车流中，每小时有132个可穿越空挡。
(2)次要道路通行能力不会超过主要道路的通行能力，是主要道路通行能力乘以一个小于1的系数。
同样，次要道路的最大车流取决于主要道路的车流的大小、主要道路车流的可穿越空挡、次要道路车流的车头时距，可记为),,(0t t S S 主次1t te eS S λλ---=主次337136053600360103600360=-⨯=⨯-⨯-e e因此，该路口次要道路车流穿越主要道路车流的最大车辆为337辆/h 。
4-8在非信号交叉口，次要道路上的车辆为了能横穿主要道路上的车流，车辆通过主要车流的极限车头时距是6s ，次要道路饱和车流的平均车头时距是3s ，若主要车流的流量为1200量/h 。
试求(1) 主要道路上车头时距不低于6s 的概率是多少？次要道路可能通过的车辆是多少？ (2) 就主要道路而言，若最小车头时距是1s ，则已知车头时距大于6s 的概率是多少？而在该情况下次要道路可能通过多少车辆？解答：(1)计算在一般情况下主要道路上某种车头时距的发生概率、可穿越车辆数。
把交通流量换算成以秒为单位的流入率，λ=Q /3600=1/3(pcu/s) 根据车头时距不低于t 的概率公式，te t h p λ-=≥)(，计算车头时距不低于极限车头时距6s的概率，163(6)e0.135P h -⨯≥==次要道路通行能力不会超过主要道路的通行能力，是主要道路通行能力乘以一个小于1的系数。
同样，次要道路的最大车流取决于主要道路的车流的大小、主要道路车流的可穿越空挡、次要道路车流的车头时距，()()01/361/33e e 1200257pcu/h 1e 1et t Q Q λλ----==⨯=--次主有多少个个空挡？其中又有多少个空挡可以穿越？(2)计算在附加条件下主要道路上某种车头时距的发生概率、可穿越车辆数。
根据概率论中的条件概率定律的()(|)()P A P A B P B =⋅，在主要道路上最小车头时距不低于1s 的情况下，车头时距不低于6s 的概率是16533113(6)(61)=e 0.189(1)P h eP h h P h e -⋅--⋅≥≥≥===≥次要道路的最大车流取决于主要道路的车流的大小、主要道路车流的可穿越空挡、次要道路车流的车头时距，(61)e 1e (60)1e (1)1e 0.189257360pcu/h 0.135ttt t p h h Q Q Q p h h p h λλλλ----≥≥⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪≥≥-≥-⎝⎭=⨯=次主主(2)关于第2问还存在另外一种解答。
负指数分布的特点是“小车头时距大概率”，即车头时距愈短出现的概率越大。
“车头时距等于零的概率的最大”这个特征违反了客观现实，因为相邻两个车头之间的距离至少不低于车身长度，也就是说车头时距必须不低于某个阈值τ，此时，应考虑采用移位负指数分布p (h ≥t )＝eGp (－λ(t －τ))。
主要道路的最小车头时距是1s ，可以理解为τ=1s 。
()(1)1(6)exp 613t p h e λ--⎛⎫≥==-⋅- ⎪⎝⎭4-9今有1500辆/h 的车流量通过三个服务通道引向三个收费站，每个收费站可服务600辆/h ，试分别按单路排队和多路排队两种服务方式计算各相应指标。
解：（1）按单路排队多通道系统（M/M/1系统）计算：1500/h λ=辆，600/h μ=辆∴ 2.5λρμ==，0.831N ρ=<，系统稳定13211(0)0.0452.5 2.5!!(1/)!3!(1 2.5/3)N k k k P KN k N N k ρρρ-=====++-⨯-∑∑()()1420 2.50.0453.516!3!31/361/N P q N NN ρρ+=⋅=⋅⨯-辆 = 6.016n q ρ+=辆， 14.44s/nd λ==辆，8.44s/qωλ=＝辆（2）按多路排队多通道系统（3个平行的M/M/1系统）计算：λ＝1500/3=500辆/h ，600/h μ=辆，516λρμ==<，系统稳定51n ρρ==-辆， 4.17q n n ρρ=⋅=-=辆 136s/n d λμλ===-辆130s/d ωμ-=＝辆 对于由三个收费站组成的系统15n =辆，12.5q =辆，36s/d =辆，30s/ω＝辆4-10 流在一条6车道的公路上行驶，流量q 1=4200辆/h ，速度v 1=50km/h ，遇到一座只有4车道的桥，桥上限速13km/h ，对应通行能力3880辆/h 。
在通行持续了1.69h 后，进入大桥的流量降至q 3=1950辆/h ，速度变成v 3=59km/h ，试估计囤积大桥入口处的车辆拥挤长度和拥挤持续时间？(李江例题107页、东南练习题123页习题) 解答：在车辆还没有进入限速大桥之前，没有堵塞现象，在车辆进入限速大桥之后，因为通行能力下降，交通密度增大，出现交通拥堵。
因此，车流经历了消散－集结－消散的过程，三种状态下的交通流的三个基本参数是q1＝4200veh/h ，v1＝50km/h ，k1＝q1/v1＝84veh/km q2＝3880veh/h ，v2＝13km/h ，k2＝q2/v2＝298veh/km q3k1.计算排队长度 交通流密度波等于211221388042001.50km/h 29884q q v k k --===---表明此处出现迫使排队的反向波，波速为1.50km/h ，考虑到波速从0经过了1.69h 增加到1.50km/h ，其平均波速为v a =(0+1.50)／2=0.75km/h ，所以此处排队长度为 km 27.169.175.0=⨯=⨯=t v L av 1=50km/h q1=4200辆/hv 3=59km/h q 3=1950辆/h1.69h2.计算阻塞时间高峰过去后，排队即开始消散，但阻塞仍要持续一段时间。
因此阻塞时间应为排队形成时间与消散时间之和。
①排队形成时间是1.69h，所有车辆都经历了这么长的排队时间。
②排队消散时间的计算，主要根据在形成时间里的囤积量与消散时间里的消散量平衡的原则。
