中考数学专题复习专题六数学思想方法(二)
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2014中考数学专题复习专题三数学思想方法(二)
(方程思想、函数思想、数形结合思想)
一、 中考专题诠释
数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识， 是解决数学问题的根本
策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学 知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括， 它蕴含于数学
知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在•因
此，在复习时要注意体会教材例题、 习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法， 培养用
数学思想方法解决问题的意识.
二、 解题策略和解法精讲
数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题 中提炼数学思想的习惯， 中考常用到的数学思想方法有： 整体思想、转化思想、函数与方程
思想、数形结合思想、分类讨论思想等. 在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这
些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通， 解题时可以举一反三。
三、 中考考点精讲 考点四：方程思想
从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知 量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法， 这就是方程思想。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、 定理中的已知结论构造方程 (组)。这种
思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
例4 (2013?温州)如图，AB为O O的直径，点C在O O上，延长BC至点D，使DC=CB , 延长DA与O O的另一个交点为 E,连接AC , CE •
(1 )求证：/ B= / D ;
(2 )若 AB=4 , BC-AC=2，求 CE 的长.
思路分析：(1 )由AB为O O的直径，易证得 AC丄BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分 线的性质，可证得 AD=AB，即可得：/ B= / D;
(2)首先设 BC=x，则 AC=x-2 ,由在 Rt △ ABC 中，AC2+BC 2=AB2，可得方程：(x-2 )2+x2=42, 解此方程即可求得 CB的长，继而求得 CE的长.
解答：(1)证明：T AB为O O的直径，
•••/ ACB=90 ,
••• AC 丄 BC ,
•/ DC=CB ,
• AD=AB ,
•••/ B= / D ;
（2）解：设 BC=x，则 AC=x-2 ,
在 Rt △ ABC 中，AC 2+BC 2=AB2,
■'■（ x-2） 2+X2=42, 学习好资料 欢迎下载
解得：xi=1+、7 , x2=1- 7 （舍去），
•••/ B= / E，/ B= / D,
•••/ D= / E ,
••• CD=CE ,
•/ CD=CB ,
• CE=CB=1+ 7 .
点评：此题考查了圆周角定理、 线段垂直平分线的性质、 等腰三角形的判定与性质以及勾股
定理等知识•此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.
对应训练
4. （ 2013?娄底）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，
救援队利用生命探测仪在地面 A、B两个探测点探测到 C处有生命迹象.已知A、B两点相 距4米，探测线与地面的夹角分别是 30°和45°,试确定生命所在点 C的深度.（精确到0.1
考点五：函数思想
函数思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数 量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而 使问题获得解决。
所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从 而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物 在运动过程中那些保持不变的规律和性质。
例5 （2013?凉山州）某车队要把 4000吨货物运到雅安地震灾区（方案定后，每天的运量 不变）.
（1）从运输开始，每天运输的货物吨数 n （单位：吨）与运输时间 t （单位：天）之间有怎
样的函数关系式？学习好资料 欢迎下载
(2)因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运 20%，则推迟1天完成任务，求
原计划完成任务的天数.
思路分析：(1)根据每天运量 X天数=总运量即可列出函数关系式；
(2)根据实际每天比原计划少运 20%，则推迟1天完成任务”列出方程求解即可. 解：(1 )•••每天运量X天数=总运量
二 nt=4000
4000 n= —— t
(2 )设原计划x天完成，根据题意得:
解得：x=4 经检验：x=4是原方程的根， 答：原计划4天完成.
点评：本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用, 系.
对应训练
5. (2013?济南)某地计划用 120-180天(含120与180天)的时间建设一项水利工程，
工程需要运送的土石方总量为 360万米3.
(1) 写出运输公司完成任务所需的时间 y (单位：天)与平均每天的工作量 x (单位：万
米3)之间的函数关系式，并给出自变量 x的取值范围；
(2) 由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多 5000米3, 工期比原计划减
少了 24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米 3?
考点六：数形结合思想
数形结合思想是指从几何直观的角度 ，利用几何图形的性质研究数量关系 ，寻求代数问
题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质 ，解决几何问题(以数助形) 的一种数学思想.数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。
例6 (2013?玉林)如图，在直角坐标系中， O是原点，已知 A ( 4, 3), P是坐标轴上的一 点，若以O, A , P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点 P共有个，写思路分析：作出图形，然后利用数形结合的思想求解，再根 据平面直角坐标系写出点 P的坐标即可.
解：如图所示，满足条件的点 P有6个，
分别为(5, 0) (8, 0) (0 , 5) (0 , 6) (-5 , 0) (0 , -5). 4000
x (1-20%)= 4000
x 1
解题的关键是找到题目中的等量关 学习好资料 欢迎下载
故答案为：6; (5, 0)(答案不唯一，写出6个中的一个即可)学习好资料 欢迎下载
点评：本题考查了等腰三角形的判定， 坐标与图形的性质，利用数形结合的思想求解更简便.
对应训练
k1 —
6. （ 2013?南充）如图，函数 yi= 1与y2=k2X的图象相交于点 A （1 , 2）和点B,当yi < X
y2时，自变量x的取值范围是（ ）
A. x > 1 B . -1 < x< 0
C. -1 < x< 0 或 x> 1 D . x <-1 或 0< x < 1
四、中考真题训练
一、选择题
1 . （ 2013?六盘水）下面四个几何体中，主视图是圆的几何体是（ ）
等屋三甫形等腰梯形 正方形 正五边形 国
A. 4 B . 3 C . 2 D . 1
3 . (2013?娄底)一次函数y=kx+b (k^0)的图象如图所示，当y >0时，x的取值范围是( )
A . x< 0 B . x> 0 C . x< 2 D . x> 2学习好资料 欢迎下载
4. （ 2013?常州）已知O O的半径是6,点O到直线I的距离为5，则直线I与O O的位置关 系是（ ）
A •相离 B •相切 C •相交 D•无法判断
5. （ 2013?鞍山）已知：如图， OA , OB是O O的两条半径，且 OA丄OB，点C在O O上, 则/ ACB的度数为（ ）
A. 45° B. 35° C. 25° D. 20°
6.
（2013?黔东南州）二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. a v 0, bv 0, c> 0, b2-4ac > 0 B . a>0, bv 0, c> 0, b2-4ac v 0
C. a v 0, b> 0, c v 0, b2-4ac > 0 D . a v 0, b> 0, c> 0, b2-4ac >0
7. （2013?衢州）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度•她站在 B处仰望树顶，测得仰角 为30°再往大树的方向前进 4m,测得仰角为60°已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则
& （ 2013?娄底）如图，O O1,O O2、相交于A、B两点，两圆半径分别为 6cm和8cm , 两圆的连心线 O1O2的长为10cm，则弦AB的长为（ ）
9. （ 2013?曲靖）某地资源总量 Q 一定，该地人均资源享有量 y与人口数x的函数关系图
象是（ ） D. 5.1m
A. 4.8cm B. 9.6cm C. 5.6cm D. 9.4cm 5题 C
这棵树的高度为（ ）（结果精确到0.1m , ■ 3疋1.73）.
(-1 , 2)，若 y1 > 学习好资料 欢迎下载
10. （ 2013?凉山州）如图，正比例函数 y1与反比例函数y2相交于点E
y2>0,则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）学习好资料 欢迎下载
D
. -10 1
-I 0 1
11 . （2013?遵义）二次函数y=ax2+bx+c（0）的图象如图如图所示， 若M=a+b-c, N=4a-2b+c,
P=2a-b .则Ml, N, P中，值小于 0的数有（ ）
A. 3个B. 2个
B
13题 12题
12 .（ 2013?杭州）在?ABCD中，下列结论一定正确的是（
A. AC 丄 BD B . Z A+ / B=180° C . AB=AD
13. （2013?乌鲁木齐）如图，半圆 O与等腰直角三角形两腰 ）
D. Z A^Z C
CA、CB分别切于 D、E两点,
直径FG在AB上，若BG^.2-1，则△ ABC的周长为（
A . 4+2 . 2 B . 6 C . 2+2 .. 2 D . 4
14 . （2013?德阳）如图，在 ？ABCD中，AB=6 , AD=9 , Z BAD的平分线交 BC于点E,交
DC的延长线于点 F, BG丄AE，垂足为G,若BG= 4 \ 2，则△ CEF的面积是（ ）
A . 2 . 2 B . 、、2 C . 3、、2 D . 42
14题
15题
15 . （2013?绍兴）小敏在作O O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤:
