中考数学专题复习之六：数学的分类讨论思想
【中考题特点】：
分类讨论是一种重要的数学思想，也是各地近年来中考命题的热点，因此我们在解数学题时，一是要准确，二是要全面，要尽可能地对问题作出全面的解答，全面、深入、严谨、周密地思考问题，使解答没有纰漏。在解题时，根据已知条件和题意的要求，分不同的情况作出符合题意的解答，比如：①对字母的取值情况进行筛选，根据题意作出取舍；②在不同的数的范围内，对代数式表达为不同的形式；③对符合题意的图形，作出不同的形状、不同的位置关系等。在中考中，许多题目的解答都要求运用分类讨论的思想来解答。
【范例讲析】：
例1：当m是什么整数时，关于x的方程：x2－2(m+1)x+m2+2=0，与方程⑵：x2+(2m－3)x+m2－7=0的根都是整数？
例2：已知直线y=－x+8和双曲线)0(kxky。
⑴k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？
⑵设⑴中的两个交点为A、B，试比较∠AOB的度数与90°的大小。
例3：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B、C），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E。
⑴求证：△ABD∽△DCE；
⑵设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
⑶当△ADE为等腰三角形时，求AE的长。
A
B C D E 例4：已知平面直角坐标系内有两点A（－2，0）、B（4，0），点P在直线2521xy上，且△ABP为直角三角形。
⑴求点P坐标，并在图中直角坐标系内标出P点的位置；
⑵经过P、A、B三点且对称轴平行于y轴的抛物线是否存在？
若存在，请求出抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。
例5：已知一抛物线经过O(0，0)、B(1，1)两点且解析式的二次项系数为－1a(a＞0〕
(1)求该抛物线的解析式(系数用含a的代数式表示)；
(2)已知点A(0，1)，若抛物线与射线AB相交于点M与x轴相交于点N(异于原点)，求点M、N的坐标(用含a的代数式表示)；
专题三 5大数学思想方法
第一节 分类讨论思想
类型一 由概念内涵分类
(2018·山东潍坊中考)如图1，抛物线y1＝ax2－12x＋c与x轴交于点A和点B(1，0)，与y轴交于点C(0，34)，抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M.将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2.
(1)求抛物线y2的表达式；
(2)如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R.若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的表达式．
【分析】(1)应用待定系数法求表达式；
(2)设出点T坐标，表示出△TAC三边，进行分类讨论；
(3)设出点P坐标，表示出Q，R坐标及PQ，QR，根据以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，分类讨论对应边相等的可能性即可．
【自主解答】
此类题型与概念的条件有关，如等腰三角形有两条边相等(没有明确哪两条边相等)、直角三角形有一个角是直角(没有明确哪个角是直角)等，解决这类问题的关键是对概念内涵的理解，而且在分类讨论后还要判断是否符合概念本身的要求(如能否组成三角形)．
1．(2018·安徽中考改编)若一个数的绝对值是8，则这个数是( )
A．－8 B．8 C．±8 D．－18
类型二 由公式条件分类
(2018·浙江嘉兴中考)我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫
做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．
(1)概念理解：
如图1，在△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ACB＝30°，试判断△ABC是否是“等高底”三角形，请说明理由．
(2)问题探究：
如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A′BC，连结AA′交直线BC于点D.若点B是△AA′C的重心，求ACBC的值．
专题复习(一)
数学思想方法
类型1
整体思想
整体思想是一种解题思想，它主要渗透在解题步骤当中．常见的有：
1．求代数式的值时，不是求出代数式中每个字母的值，而是求代数式中整体某一个部分的值．
2．求零散图形的面积时，利用它们的结构特点或全等变换进行整体求出．
这种思想可以应用到各种类型的题之中．
(2017·北京)如果a2＋2a－1＝0，那么代数式(a－4a)·a2a－2的值是(C)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【思路点拨】 先化简所求代数式，然后把方程变形成a2＋2a＝1，利用整体代入的方法求代数式的值．
1．(2018·孝感)已知x＋y＝43，x－y＝3，则式子(x－y＋4xyx－y)(x＋y－4xyx＋y)的值是(D)
A．48 B．123 C．16 D．12
2．(2018·南充)已知1x－1y＝3，则代数式2x＋3xy－2yx－xy－y的值是(D)
A．－72 B．－112 C.92 D.34
3．(2018·云南)已知x＋1x＝6，则x2＋1x2＝(C)
A．38 B．36 C．34 D．32
4．(2018·玉林)已知ab＝a＋b＋1，则(a－1)(b－1)＝2．
5．(2018·菏泽)若a＋b＝2，ab＝－3，则代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值为－12．
6．(2018·滨州)若关于x，y的二元一次方程组3x－my＝5，2x＋ny＝6的解是x＝1，y＝2，则关于a，b的二元一次方程组3（a＋b）－m（a－b）＝5，2（a＋b）＋n（a－b）＝6的解是a＝32b＝－12．
中考数学复习的方法和策略
二、着眼“双基”，打好基础，学会运用
基础知识是数学考试的重要组成部分，分值比重大，也是解决中、高档题的依据.学好和用好基础知识，在复习中应注意以下几点:
1.要明确概念的本质特征
2.要牢固掌握定理、公式、法则
一是要弄清性质、公式、法则、定理的条件与结论，并会推导证明.
二是要能正确运用，不能混淆，不能错用.
3.要善于系统整理
将若干知识点进行归纳整理，使之形成“知识链”、“知识网”.注重知识的内在联系，挖掘知识的内涵和外延，注重数学思想的归纳及运用.
4.基础知识要联系实际，联系生活
数学中的很多知识，如：存款问题，电费、水费问题等等，都来源于生活，反过来又为生活服务，充分体现了数学的广泛性及其价值.
5.用基础知识探索新问题
常见的数学中的开放题，能培养学生熟数学阅读、观察、实验、类比、归纳等综合运用知识的能力.
6.要学会一些必要的检查手段.
如逆运算检验法;回代检验法;特殊值检验法;经验检验法.
7.选择灵活多变的复习方法
综合多种教学方法不仅可以促进学生掌握知识，更能培养学生的学习兴趣.讲授、提问、自学、练习、讨论交流等多种复习方式，能让学生从不同的方式中锻炼得会听、会想、会说、会问、会 总结，达到复习提高的目的.8.注重复习中的典型例题教学及加强针对性训练
在复习过程中，教师要在钻研课标、教材、中考说明及各地中 考试题的基础上，精选并研究教学的例、习题，强调对所选题的演变与拓展，以“题链或题网”的形式实施复习教学.
A.习题的演变与拓展 ①条件的弱化与强化.
当一个命题成立条件较多时，可考虑减少其中的一两个条件或将其中的条件一般化，并确定相应的命题结论，从而加工概括成新命题拓展应用.
②结论的延伸与拓展.
③基本图形的变化拓展.
结合基本图形所具有的特殊性，可作如平移、旋转、对称等一系列变化
④条件结论互逆变换.
⑤基本图形的构造与应用.
几何综合性问题通常是由若干个基本图形组合而成，因此，学生不仅要具备必要的图形的分解能力，还应具备必要的添加辅助线构造基本图形的技能.
