不等式组解集

一元一次不等式组解集的四种情况示例文章篇一：《一元一次不等式组解集的四种情况》嗨，小伙伴们！今天咱们来聊聊一元一次不等式组解集的四种情况，这可超级有趣呢！咱们先来说第一种情况。

想象一下，有两个不等式，就像两个小伙伴在争地盘。

如果一个不等式是x > a，另一个是x > b，这里a和b是两个数哦。

那这个不等式组的解集是啥呢？这就好比两个人都想要更大的地方，那肯定是取更大的那个数呀。

所以这个不等式组的解集就是x > 最大的那个数。

比如说，一个不等式是x > 3，另一个是x > 5，那这个不等式组的解集就是x > 5。

这多简单呀，就像两个小朋友抢糖果，谁要的更多就听谁的。

你们看，是不是很好理解呢？再来说第二种情况啦。

要是一个不等式是x < a，另一个是x < b呢？这就像是两个小懒虫，都想找个最小的地方躲起来。

那这个时候，解集就是x < 最小的那个数。

比如说x < 2和x < 4，那解集就是x < 2。

这就好像是两个小动物找洞穴，越小的洞穴越能让它们觉得安全，所以就选最小的那个啦。

第三种情况有点不一样咯。

如果一个不等式是x > a，另一个是x < b，这里a比b 小。

这就像是两个人，一个想往大的地方去，一个想往小的地方去，那中间的部分就是他们都能接受的啦。

这个时候不等式组的解集就是a < x < b。

就像在一条路上，一个人想走到3这个位置之后，另一个人想走到7这个位置之前，那3到7之间的路就是他们都能走的啦。

比如说x > 1和x < 5，那解集就是1 < x < 5。

这是不是很像两个人在商量一个共同的活动范围呀？最后一种情况呢。

要是一个不等式是x < a，另一个是x > b，这里a还比b小。

这就像两个人的要求完全相反啦，一个要小的地方，一个要大的地方，而且大的地方还在小的地方左边，这怎么可能同时满足呢？所以这个不等式组就没有解啦。

一元一次不等式组的解集一元一次不等式组的解集是指该不等式组满足给定条件时，未知量可取到的所有实数值。

以下列出一元一次不等式组的解集:1、加法原理：若有不等式$ax+b>0$��不等式$a{x'}+b>0$，则有方程$ax+b>0$与$a{x'}+b>0$同时成立的解集为$x>{-\dfrac{b}{a}}$与${x'}>{-\dfrac{b}{a}}$，故有：$$x>{-\dfrac{b}{a}}或{-\dfrac{b}{a}}<{x'}<x$$2、减法原理：若有不等式$ax+b>0$与不等式$a{x'}+b>0$，则有方程$ax+b<0$与$a{x'}+b<0$同时成立的解集为$x<{-\dfrac{b}{a}}$与${x'}<{-\dfrac{b}{a}}$，故有：$${x'}<x<{-\dfrac{b}{a}}$$3、乘法原理：若有不等式$ax+b>0$，则可乘以$\dfrac{1}{a}$，得$x+\dfrac{b}{a}>0$，故有：$$x>{-\dfrac{b}{a}}$$4、倍乘法原理：若有不等式$a^2x+b>0$，则可以乘以$\dfrac{1}{a^2}$，得$x+\dfrac{b}{a^2}>0$，故有：$$x>{-\dfrac{b}{a^2}}$$5、翻转原理：若有不等式$ax+b>0$，则可以转置变为${-ax-b}<0$，令$\quad-ax-b=0$，得$x={-\dfrac{b}{a}}$，即满足不等式无解结果。

6、乘容原理：若有不等式$ax-b>0$与$cx-d>0$，则$acx-ad-bc+bd>0$，令$acx-ad-bc+bd=0$，得$x=\dfrac{ad-bc}{ac}$，即$x>\dfrac{ad-bc}{ac}$，即有：$$x>\dfrac{ad-bc}{ac}$$7、综合分析：若有$ax+b>0$且$cx+d>0$，得$acx+ad+bc+bd>0$，故有：$$x>\dfrac{ad+bc}{ac}$$。

不等式方程组的解法
首先分别解出每个不等式的解集，具体步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1；之后在数轴上分别画出两个解集；最后找出两个解集的重合部分，即为不等式组的解集。

不等式
定义
一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“<”连接的不等式称为严格不等式，用大于或等于号“≥”、小于或等于号“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。

总的来说，用不等号(<,>,≥,≤,≠)连接的式子叫做不等式。

两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域。

性质
1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘（或除以）同一个正数,不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘（或除以）同一个负数,不等号的方向改变。

分类
1、整式不等式：整式不等式两边都是整式（即未知数不在分母上）。

2、一元一次不等式：含有一个未知数,并且未知数的次数是1次的不等式。

如X-3>0
3、二元一次不等式：含有两个未知数,并且未知数的次数是1次的不等式。

如x+y<15。

不等式组的解集定义
不等式组的解集定义是指，当多个不等式组成的子集与一个或多个自然数组成的集合相交，通过求的所有的可行解并在一定的数学规则下取非负数，及构成的交集所求出的解集就称为不等式组的解集定义。

一般地，一个不等式组可以简记为：$f (x_{1}, \dotsc, x_{n})=0$，其中$f$ 为
一关于$x_{1}, \dotsc, x_{n}$的函数。

由定义可知，一个不等式组的解集就是所有
满足$f (x_{1}, \dotsc, x_{n})=0$ 的解对应的$x_{1}, \dotsc, x_{n}$。

这些不等式求解可以采用排列组合、图来分析、统计以及遍历法等数学运算
方式求得每个解集定义中的解。

而这些方法求解的结果必须遵循满足给定不等式的条件，这些解集定义本身就会形成一种限制关系，只有满足它们的才算是有效的解集。

最后，对于多个不等式组成的组合，它们生成的解集定义也将形成共同的解集，常以轴距形式呈现。

轴距形式即将解集定义依次取其交集的形式，即能构成每个定义解集的点的集合，且符合每个子集，形成共同的受限解。

总而言之，不等式组的解集定义是指，一系列的不等式的求解结果的集合，符合它体系内不等式的限制，且可以以轴距形式表示出来，以达到有效的求解解集的目的。

不等式组的解集取值范围技巧
1. 嘿，要知道同大取大呀！就好比你要选最大的苹果，那肯定就是那个最大个儿的嘛！比如说不等式组 x＞3，x＞5，那解集不就是 x＞5 嘛，这多简单呀！
2. 还有哦，同小取小可别忘啦！这就像找最小的糖果，肯定是那最小的一颗呀！比如 x＜2，x＜1，那解集自然就是 x＜1 咯！
3. 哎呀，大小小大中间找也很重要呢！这就好像你在一群人中找一个不高不矮的人，就在中间呀！像 x＞1，x＜3，那解集不就是 1＜x＜3 嘛，很好理解吧？
4. 那大大小小就无解啦！这就类似你想要找一个既最大又最小的东西，哪有呀，根本不存在嘛！像 x＞5，x＜2，这可就无解喽！
5. 千万别忘了先分别求出每个不等式的解集哟！这就像你做饭得先准备好食材一样基础重要呀！比如 2x+1＞5，先求出 2x＞4，x＞2 呀！
6. 然后再把这些解集综合起来看呀！就像把不同的拼图拼成一幅完整的画一样呢！这绝对是找到不等式组解集取值范围的关键技巧呀！
我的观点结论就是：掌握这些不等式组解集取值范围的技巧，就像是掌握了打开数学大门的钥匙，能让我们在数学的世界里畅游无阻呀！。

专题19 不等式组及其解集1．一元一次不等式组：把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组.2．不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不 等式组的解集，解不等式组就是求它的解集. 不等式组（a <b ）数轴表示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大 中间找 无解 大大小小 无解了当不等式带有“≤”或“≥”时，上面的口诀依然适用，如不等式组的解集为.4.解决和不等式组解集有关的问题时，注意利用数轴这一数学工具，过程直观明了.典例精析例1 解不等式组 并将解集在数轴上表示出来.【分析】解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，然后利用数轴求出这些解集的公共部分即为不等式组的解集.【解】解不等式①，得x>-2解不等式②，得x≤2把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图19-1所示.∴不等式的解集为-2<x ≤2【点评】熟练解出不等式，并准确地在数轴上表示出来，从而在数轴上找到不等式解集的公共部分即为不等式组的解集.拓展与变式1 解不等式组并写出它所有的整数解.,x a x b<⎧⎨>⎩x b >,x a x b <⎧⎨<⎩x a <,x a x b >⎧⎨<⎩a xb <<,x a x b <⎧⎨>⎩23x x ≤⎧⎨<⎩2x ≤22,11,39x x x x >-⎧⎪-+⎨≤⎪⎩①②()41710,85,3x x x x +≤+⎧⎪⎨--<⎪⎩①②拓展与变式2 不等式组的所有整数解的和是 . 拓展与变式3 若|x+1|=x+1，|2x-7|=7-2x ，则满足条件的所有非负整数x 有 .【反思】根据题意列出不等式（组），解出不等式组从而找出符合条件的解，注意非负整数即自然数，也就是0和正整数.例2 如果a>2，那么不等式组的解集为 ，的解集为 . 【分析】把每个不等式的解集表示在数轴上（或用口诀），结合数轴找不等式组的解集.【解】把不等式的解集表示在数轴上，不等式组表示在数轴上如图19-2所示，可知解集为x >a .不等式组表示在数轴上如图19-3所示， 可知解集为2<x ≤a .【点评】利用数轴上的数越往右越大，在数轴上找好数约位置，结合数轴找到不拓展与变式4 （1）已知关于x 的不等式组的解集为x ≥2，则a 的取值范围是 .（2）已知关于x 的不等式组有解，则a 的取值范围是 . 拓展与变式5 已知关于x 的不等式组的解集为0<x <2，求m -n 的值.拓展与变式6 解关于x 的不等式组34125x +-≤<,2x a x >⎧⎨>⎩,2x a x ≤⎧⎨>⎩,2x a x >⎧⎨>⎩,2x a x ≤⎧⎨>⎩,2x a x >⎧⎨≥⎩,2x a x <⎧⎨>⎩2,11x m n x m +>+⎧⎨-<-⎩①②0,12.23x a x x x -≥⎧⎪-+⎨+>⎪⎩①②拓展与变式7 已知关于x 的不等式组的整数共有3个，求a 的取值范围.拓展与变式8 定义新运算：对干任意实数a ，b 都有a #b =ab -a -b +1，等式右边是通常的加法减法及乘法运算.例如：2#4=2×4-2-4+1=3.请根据上述知识解决问题：若3#x 的值大于4而不大于m 时，恰有两个整数解，求m 的取值范围.【反思】解决含参数的不等式组问题，数形结合必不可少，同时要注意等号能否取到，可将取等号的值代入原题中检验.专题突破1.不等式组的整数解有（ ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个0,321x a x -≥⎧⎨-≥-⎩①②24,241x x x x ≤+⎧⎨+<-⎩2.不等式组的解集是x>1，则m 的取值范围是 .3.解不等式组并将不等式组的解集在数轴上表示出来.4.某旅行社某天有空房10间，当天接待了一个旅行团，当每个房间只住3人时，有一个房间的住宿情况是不满也不空.若旅行团的人数为偶数，问：旅行团共有多少人?5.关于x 的不等式组有2个整数解，求a 的取值范围.551,1x x x m +<+⎧⎨-≥⎩()5623,3513,44x x x x -≤+⎧⎪⎨-<-⎪⎩①②()2331,324x x x x a <-+⎧⎪⎨+>+⎪⎩①②。

初二数学不等式的解集知识点总结初二数学不等式的解集知识点总结漫长的学习生涯中，大家最不陌生的就是知识点吧！知识点也可以通俗的理解为重要的内容。

那么，都有哪些知识点呢？以下是店铺精心整理的初二数学不等式的解集知识点总结，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

初二数学不等式的解集知识点总结1不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

相信上面的知识同学们已经能很好的掌握了，希望同学们在平时认真学习，很好的把每一个知识点掌握。

初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。

平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。

通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。

水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。

第二步 大题夺高分类型四解不等式组及其解集1.解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≤2（x ＋4）x<x －13＋1，并写出该不等式组的最大整数解． 【答案】解：⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≤2（x ＋4） ①x <x －13＋1 ②， 解不等式①得，x ≥－2；解不等式②得，x <1；∴不等式组的解集为－2≤x <1，∴不等式组的最大整数解为x ＝0.2.解不等式2x －1>3x －12，并把它的解集在数轴上表示出来．第2题图【答案】解：4x －2>3x －1，解得x >1.这个不等式的解集在数轴上表示如解图．第2题解图3. 解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5>3（x －1）4x>x ＋72.【答案】解：原不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5>3（x －1） ①4x >x ＋72 ②， 解不等式①，得x <8，解不等式②，得x >1，∴原不等式组的解集为1<x <8.4.5x ﹣12＜2（4x ﹣3）；【解析】解：（1）去括号得：5x﹣12＜8x﹣6，5x﹣8x＜﹣6+12，﹣3x＜6，x＞﹣2，在数轴上表示不等式的解集为：；5.≥﹣1．【解析】去分母得：3（3x﹣2）≥5（2x+1）﹣15，9x﹣6≥10x+5﹣15，9x﹣10x≥﹣15+5+6，﹣x≥﹣4，x≤4，在数轴上表示不等式的解集为：．6.不等式x﹣4≤【解析】解：x﹣4≤3（x﹣4）≤4x﹣103x﹣12≤4x﹣103x﹣4x≤﹣10+12﹣x≤2x≥﹣2．故答案为：x≥﹣2．7.解不等式，并将解集在数轴上表示出来．【思路点拨】先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1即可．【答案与解析】解：去分母，得：1+x ＜3x ﹣3，移项，得：x ﹣3x ＜﹣3﹣1，合并同类项，得：﹣2x ＜﹣4，系数化为1，得：x ＞2，将解集表示在数轴上如图：8.若3511+-=x y ,14522--=x y ,问x 取何值时，21y y >． 【答案】解：∵3511+-=x y ,14522--=x y , 若21y y >， 则有1452351-->+-x x 即 6101<x ∴当6101<x 时，21y y >． 9.求不等式1+≥2﹣的非正整数解．【答案】解：1+≥2﹣ 6+3（x+1）≥12﹣2（x+7）6+3x+3≥12﹣2x ﹣143x+2x ≥12﹣14﹣6﹣35x ≥﹣11x ≥﹣2所以非正整数解为0，﹣1，﹣2．10.当310)3(2k k -<-时，求关于x 的不等式k x x k ->-4)5(的解集． 【解析】解：310)3(2k k -<- 6-1810-k k ＜4k ＜k x x k ->-4)5(-54-4kx k x k ＞(4)＞k -k x4k x k -＜． 11.当x 为何值时，代数式-x+3的值比6x-3的值大．【解析】解：由题意得，-x+3＞6x-3，去分母得，-x+18＞6（6x-3），去括号得，-x+18＞36x-18，移项得，-x-36x ＞-18-18，合并同类项，-37x ＞-36，把x 的系数化为1得，x ＜． 因此，当＜时，代数式-x+3的值比6x-3的值大．12.解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【解析】解：，由不等式①移项得：4x+x ＞1﹣6，整理得：5x ＞﹣5，解得：x ＞﹣1，…（1分）由不等式②去括号得：3x ﹣3≤x+5，移项得：3x ﹣x ≤5+3，合并得：2x ≤8，解得：x≤4，则不等式组的解集为﹣1＜x≤4．在数轴上表示不等式组的解集如图所示，13.已知关于x的不等式组有四个整数解，求实数a的取值范围．【解析】解：解不等式组，解不等式①得：x＞﹣，解不等式②得：x≤a+4，∵不等式组有四个整数解，∴1≤a+4＜2，解得：﹣3≤a＜﹣2．。

2.2.2不等式的解集课标要求 1.了解不等式(组)解集的概念，会求简单的一元一次不等式(组)的解集.2.了解绝对值不等式的概念，会求形如|x|≤m，|x|≥m的绝对值不等式的解集. 素养要求 1.通过求不等式(组)的解集，提升数学运算素养.2.通过学习绝对值不等式及其解法，提升直观想象及数学运算素养.一、集合的基本概念1.思考解不等式时常用不等式的哪些性质？提示不等式的性质；常用以下四条性质：性质1a>b⇒a＋c>b＋c性质2a>b，c>0⇒ac>bc性质3a>b，c<0⇒ac<bc推论1a＋b>c⇒a>c－b2.填空(1)不等式的解集不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.(2)不等式组的解集对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.温馨提醒(1)求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解).(2)不等式组中若有一个不等式的解集为∅，则不等式组的解集为∅；每一个不等式的解集均不是∅，不等式组的解集也可能是∅.3.做一做(1)不等式4x－511<1的正整数解的个数为________.答案 3(2)不等式组⎩⎨⎧－2x －5≥0，2x －32≥0的解集为________.答案 ∅二、绝对值不等式1.思考 方程|x |＝3的解是什么？你能给出|x |>3的解集吗？解绝对值不等式的基本思路是什么？提示 方程|x |＝3的解是x ＝±3.结合y ＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0－x ，x <0的图像求得|x |>3的解集为{x |x >3，或x <－3}.去绝对值号，进行等价转化，再解不含绝对值号的不等式. 2.填空 (1)绝对值不等式的概念一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式. (2)两种简单的绝对值不等式的解集①关于x 的不等式|x |>m (m >0)的解为x >m 或x <－m ，解集为(－∞，－m )∪(m ，＋∞)；②关于x 的不等式|x |<m (m >0)的解为－m <x <m ，解集为(－m ，m ). (3)数轴上两点之间的距离公式及线段中点的坐标公式①一般地，如果实数a ，b 在数轴上对应的点分别为A ，B ，即A (a )，B (b )，则线段AB 的长为AB ＝|a －b |，这就是数轴上两点之间的距离公式.②如果线段AB 的中点M 对应的数为x ，即M (x )，则x a ＋b2；这就是数轴上的中点坐标公式.温馨提醒 (1)|ax ＋b |≤c 和|ax ＋b |≥c 型不等式的解法 |ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； |ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(2)|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想.3.做一做 若A ，B 两点在数轴上的坐标分别为A (2)，B (－4)，则AB ＝________，线段AB 的中点M 的坐标为________. 答案 6 －1题型一 解不等式组例1 解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥－7＋x 2，3（x ＋1）≤5x －1.解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥－7＋x 2，①3（x ＋1）≤5x －1，②①式两端同时乘以2，得2x ＋2≥－7－x ， 然后两端同时加上x －2，得3x ≥－9， 不等式3x ≥－9两端同时乘以13，得x ≥－3， 同理，解不等式②得x ≥2， 所以不等式组的解集是[2，＋∞). 思维升华 一元一次不等式组的解法 (1)分开解：分别解每个不等式，求出其解集.(2)集中判：根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到，确定不等式组的解集.(或把不等式的解集在数轴上表示出来，数形结合确定不等式组的解集)训练1 解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3（x －1）<2x ，①x 3－1＋x 2<1.②解 由①得x <3， 由②得x >－9.所以原不等式组的解集为(－9，3). 题型二 含一个绝对值的不等式的解法 例2 求下列绝对值不等式的解集： (1)|3x －1|≤6；(2)3≤|x －2|<4.解 (1)因为|3x －1|≤6⇔－6≤3x －1≤6， 即－5≤3x ≤7，从而得－53≤x ≤73，所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53≤x ≤73. (2)因为3≤|x －2|<4，所以3≤x －2<4或－4<x －2≤－3， 即5≤x <6或－2<x ≤－1.所以原不等式的解集为：{x |－2<x ≤－1，或5≤x <6}. 思维升华 绝对值不等式的解题策略：等价转化法 (1)形如|x |<a ，|x |>a (a >0)型不等式： |x |<a ⇔－a <x <a . |x |>a ⇔x >a 或x <－a .(2)形如a <|x |<b (b >a >0)型不等式： a <|x |<b (0<a <b )⇔a <x <b 或－b <x <－a . 训练2 不等式|2x ＋1|>3的解集是( ) A.{x |x <－2，或x >1} B.{x |－2<x <1} C.{x |x <－2，或x ≥1} D.{x |－2≤x <1} 答案 A解析 由|2x ＋1|>3，得2x ＋1>3或2x ＋1<－3，因此x <－2或x >1，所以原不等式的解集为{x|x<－2，或x>1}.题型三解含有两个绝对值的不等式例3 解不等式|x－1|＋|x－2|≤5.解法一①当x≤1时，原不等式变为1－x＋2－x≤5，∴－1≤x≤1；②当1<x≤2时，原不等式变为x－1＋2－x≤5，1≤5恒成立，∴1<x≤2；③当x>2时，原不等式变为x－1＋x－2≤5，∴2<x≤4，综上，原不等式的解集为[－1，4].法二如图，设数轴上与1，2对应的点分别为A，B，那么A，B两点间的距离为1，因此区间[1，2]上的数都是不等式的解.设在A左侧有一点A1到A，B两点的距离和为5，A1对应数轴上的x，所以1－x＋2－x＝5，得x＝－1.同理，设B点右侧有一点B1到A，B两点的距离和为5，B1对应数轴上的x，所以x－1＋x－2＝5，得x＝4.从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于5，点A1的左侧或点B1的右侧的任何点到A，B的距离之和都大于5，所以原不等式的解集是[－1，4].思维升华 1.去绝对值号，利用零点分段法分类讨论求解.2.利用绝对值的几何意义解决含有两个绝对值的不等式|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c比较直观，但只适用于数据较简单的情况.训练3 (1)求不等式|x－1|＋|x－2|>2的解集；(2)已知数轴上A(x)，B(－1)，且线段AB的中点到C(1)的距离大于5，求x的取值范围.解 (1)法一 设A (1)，B (2)，则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则|x －1|＋|x －2|>2⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －32>1⇔x－32<－1或x －32>1⇔x <12或x >52，∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.法二 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，1－x ＋2－x ＞2或⎩⎪⎨⎪⎧1<x <2，x －1＋2－x >2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －1＋x －2>2，解得x <12或无解或x >52，∴x <12或x >52.故原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.(2)AB 的中点M ⎝⎛⎭⎪⎫x －12， 由题意⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12－1>5，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －32>5，∴|x －3|>10，x －3<－10或x －3>10， 即x <－7或x >13，∴x 的取值范围是(－∞，－7)∪(13，＋∞). [课堂小结]1.解不等式的过程中要不断地使用不等式的性质.求不等式组解集时常利用数轴求交集.2.含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集x ≠0}一、基础达标1.代数式1－m 的值大于－1，又不大于3，则m 的取值范围是( ) A.(－1，3] B.[－3，1) C.[－2，2) D.(－2，2]答案 C解析 由题意知－1<1－m ≤3， ∴－2≤m <2.2.(多选)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －13>1，x >m ，m ∈N 的解集为(2，＋∞)，则m 的值可以是( )A.0B.1C.2D.3答案 ABC解析 由2x －13>1，得x >2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x >m ，m ∈N 的解集为(2，＋∞)，∴m ≤2，又m ∈N ， 故m ＝0，1，2.3.若方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝1＋m ，2x ＋y ＝3中，未知数x ，y 满足x ＋y >0，则m 的取值范围是( )A.(－4，＋∞)B.[－4，＋∞)C.(－∞，－4)D.(－∞，－4] 答案 A解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1＋m ，2x ＋y ＝3得⎩⎨⎧x ＝5－m3，y ＝2m －13.由x ＋y >0，得5－m 3＋2m －13>0， 解得m >－4.4.设不等式|x －a |<b 的解集为(－1，2)，则a ，b 的值分别为( ) A.1，3 B.－1，3 C.－1，－3 D.12，32答案 D解析 由|x －a |<b ，得a －b <x <a ＋b . 由题意(a －b ，a ＋b )＝(－1，2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，a ＋b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝32.5.对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，则k 的取值范围为( ) A.(－∞，3) B.(－∞，－3) C.(1，3] D.(－∞，－3] 答案 B解析 |x ＋1|，|x －2|的几何意义分别为数轴上的点X 到表示－1和2的点的距离，|x ＋1|－|x －2|的几何意义为两距离之差，由图可得其最小值为－3，故选B.6.已知数轴上，A (x )，B (1)，且AB ＝72，则x 的值为________. 答案 92或－52解析 由题意|x －1|＝72，∴x －1＝±72， ∴x ＝92或x ＝－52.7.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －13－5x －12≤1，5x －2<3（x ＋2）的所有正整数解的和为________.答案 6解析 解原不等式组，得不等式组的解集是－511≤x ＜4，所以不等式组的正整数解是1，2，3，故它们的和为1＋2＋3＝6. 8.不等式|x ＋1|>|5－x |的解集是________. 答案 (2，＋∞)解析 两边平方得(x ＋1)2>(5－x )2， 即x 2＋2x ＋1>25－10x ＋x 2，∴x >2. 9.已知数轴上，A (－1)，B (x )，C (6). (1)若A ，B 关于点C 对称，求x 的值；(2)若线段AB 的中点到C 的距离小于5，求x 的取值范围. 解 (1)由数轴上中点坐标公式得6＝－1＋x2， ∴x ＝13.(2)AB 的中点为－1＋x2， 由题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12－6<5，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －132<5，|x －13|<10， ∴－10<x －13<10，3<x <23， 即x 的取值范围是(3，23). 10.解不等式3<|2x －3|<5. 解 ∵3<|2x －3|<5，∴3<2x －3<5或－5<2x －3<－3，即3<x <4或－1<x <0.故原不等式的解集为(－1，0)∪(3，4). 二、能力提升11.(多选)|2x －1|>1的充分不必要条件可以是( ) A.x >1 B.x <0 C.x >1或x <0 D.0<x <1答案 AB解析 由|2x －1|>1得2x －1>1，或2x －1<－1，解得x >1或x <0，故选AB. 12.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1＋x <a ，x ＋92＋1≥x ＋13－1有解，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－36，＋∞)解析 解不等式1＋x ＜a ，得x ＜a －1.解不等式x ＋92＋1≥x ＋13－1，得x ≥－37.因为不等式组有解，所以a －1＞－37， 即a ＞－36.13.解不等式|x －1|＋|x ＋2|<5. 解 法一 记A (1)，B (－2)，则AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，|x －1|＋|x ＋2|<5⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<52，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12<52， ∴－52<x ＋12<52，－3<x <2，故原不等式的解集为(－3，2). 法二 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）<5或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋（x ＋2）<5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）<5，解得－3<x ≤－2或－2<x <1或1≤x <2，∴－3<x <2.故原不等式的解集为(－3，2).三、创新拓展14.已知不等式|x ＋2|－|x ＋3|＞m ，求出满足下列条件的m 的取值范围.(1)不等式有解；(2)不等式解集为R ；(3)不等式解集为∅.解 法一 因|x ＋2|－|x ＋3|的几何意义为数轴上任意一点P (x )与两定点A (－2)，B (－3)距离的差.即|x ＋2|－|x ＋3|＝P A －PB .由图像知(P A －PB )max ＝1，(P A －PB )min ＝－1.即－1≤|x ＋2|－|x ＋3|≤1.(1)若不等式有解，m 只要比|x ＋2|－|x ＋3|的最大值小即可，即m ＜1， m 的范围为(－∞，1).(2)若不等式的解集为R ，即不等式恒成立，m 只要比|x ＋2|－|x ＋3|的最小值还小，即m ＜－1，m 的范围为(－∞，－1).(3)若不等式的解集为∅，m 只要不小于|x ＋2|－|x ＋3|的最大值即可，即m ≥1，m 的范围为[1，＋∞).法二 由|x ＋2|－|x ＋3|≤|(x ＋2)－(x ＋3)|＝1，|x ＋3|－|x ＋2|≤|(x ＋3)－(x ＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1).(2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1).(3)若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞).。

9.3(1.1)一元一次不等式组--定义、解集、解法一．【知识要点】1.一元一次不等式组的有关概念（1）关于_____________的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组（2）一元一次不等式组中各个不等式的解集的___________叫做一元一次不等式组的解集（3）求不等式组解集的过程叫做解不等式组。

（4）解不等式组的基本步骤就是先 _________________,然后求出其_______________。

2.通常两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形。

设a b <，那么：（1）不等式组,x a x b >⎧⎨>⎩的解集是__________; (2)不等式组,x a x b <⎧⎨<⎩的解集是__________; （3）不等式组,x a x b >⎧⎨<⎩的解集是__________； (4)不等式组,x a x b<⎧⎨>⎩的解集是___________.二．【经典例题】1．解不等式组：253(x 1),11,32x x x -≥-⎧⎪-⎨-<⎪⎩并把解集表示在数轴上。

2．解集如图所示的不等式组为（ ）．A ．B ．C ．D ． 3.若点(2,1)A a a -+在第二象限，则a 的取值范围是 （ ）A.2a >B.12a -<<C.1a <-D.1a <4.两个式子1x -与3x -的值的符号相同，则x 的取值范围是 （ ）A.3x =B.1x <C.12x <<D.1x <或3x >三．【题库】【A 】1. 一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示, 则下列符合条件的不等式组为（ ）. 12x x >-⎧⎨≤⎩12x x ≥-⎧⎨>⎩12x x ≤-⎧⎨<⎩12x x >-⎧⎨<⎩0 2-1 A 0 2 -1 B 0 2 -1 C 0 2 -1 DA.21x x >⎧⎨≤-⎩B.21x x <⎧⎨>-⎩C.21x x <⎧⎨≥-⎩D.21x x <⎧⎨≤-⎩2.一元一次不等式组32010x x ->⎧⎨-≤⎩的解集是____________ 3．不等式组211{841x x x x ->++<-的解集是（ ） A.3x < B.3x >- C.3x <- D.3x >4.下列说法正确的是( )A.不等式组3,5x x >⎧⎨>⎩的解集是53x <<B.不等式组2,3x x >-⎧⎨<-⎩的解集是-3-2x << C.不等式组2,2x x ≥⎧⎨≤⎩的解集是=2x D.不等式组3,3x x <-⎧⎨>-⎩的解集是3x ≠4．下列选项中是一元一次不等式组的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．不等式组的解集在数轴上表示为 （ ）．6.不等式组24010x x -<⎧⎨+≥⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ） 7．把不等式组110x x +⎧⎨-≤⎩的解集表示在数轴上，正确的是（ ）．（A ） （B ） （C ） （D ）312840x x ->⎧⎨-≤⎩-1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 18.下列式子是一元一次不等式组的有（ ）①⎩⎨⎧-<+>1520x x ①⎩⎨⎧<-->+032x x π①⎪⎩⎪⎨⎧>-<+45321x x ①⎩⎨⎧>+-<05b a ab ①⎩⎨⎧≤--≥++022022n m n m A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＞－3B.⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x ＜－3C.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＜－3D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x ＞－3【B 】1．关于x 的不等式组10111236x x +⎧⎪⎨-<⎪⎩≤的解集在数轴上表示为 （ ）2.不等式组21217x x -≥⎧⎨->-⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）。

不等式组解集不等式组是数学中常见的一类问题，解集则是这类问题的解的集合。

在数学中，不等式组解集是一个重要的概念，它可以帮助我们解决各种实际问题。

我们来看一下不等式组的定义。

不等式组是由多个不等式组成的集合，每个不等式都有一个或多个变量，并且变量之间存在某种关系。

不等式组的解集是满足所有不等式的变量取值的集合。

不等式组的解集可以是一个数轴上的区间，也可以是二维或多维空间中的一个区域。

解集的具体形式取决于不等式组的特点和约束条件。

接下来，我们来看一些常见的不等式组解集类型。

1. 线性不等式组解集：线性不等式组是由线性不等式组成的集合。

线性不等式组的解集可以表示为一个数轴上的一个或多个区间。

例如，不等式组{x > 1, y < 2}的解集可以表示为{x > 1, y < 2}。

2. 二次不等式组解集：二次不等式组是由二次不等式组成的集合。

二次不等式组的解集可以表示为二维或多维空间中的一个区域。

例如，不等式组{x^2 + y^2 < 1, y > x}的解集可以表示为一个单位圆内部的上半部分。

3. 绝对值不等式组解集：绝对值不等式组是由绝对值不等式组成的集合。

绝对值不等式组的解集可以表示为一个或多个区间的并集。

例如，不等式组{|x - 1| < 2, |y + 2| > 3}的解集可以表示为{-3 < y < -2, -1 < x < 3}的并集。

4. 分式不等式组解集：分式不等式组是由分式不等式组成的集合。

分式不等式组的解集可以表示为一个或多个区间的交集。

例如，不等式组{1/x < 2, 1/y > 3}的解集可以表示为{0 < x < 1/2, y < 1/3}的交集。

除了以上几种常见的不等式组解集类型，还有其他一些特殊类型的解集。

例如，无解的不等式组解集为空集，有无穷解的不等式组解集可以表示为整个数轴或整个空间。

2.2.2不等式的解集(教师独具内容)课程标准：1.了解不等式的解集和不等式组的解集的概念，会求一元一次不等式组的解集.2.理解绝对值的几何意义，掌握去掉绝对值的方法.3.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c；|x－a|＋|x－b|≤c.教学重点：1.求一元一次不等式组的解集.2.绝对值不等式的解法．教学难点：绝对值不等式的几何解法.【知识导学】知识点一不等式的解、不等式的解集及不等式组的解集的概念(1)□01未知数的值称为不等式的解．(2)□02所有解组成的集合称为不等式的解集．(3)对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的□03解集的交集称为不等式组的解集．知识点二绝对值不等式一般地，含有□01绝对值的不等式称为绝对值不等式．知识点三数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为□01|a－b|，记作□02AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式．如果线段AB的中点M对应的数为x，则x＝□03a＋b2，这就是数轴上的中点坐标公式．【新知拓展】1．解绝对值不等式的主要依据解绝对值不等式的主要依据是绝对值的定义、绝对值的几何意义及不等式的性质．2．绝对值不等式|x|≤a和|x|≥a的解法1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式2x－3≤1的解集为{x|x≤2}．()(2)若|x|≥a的解集为R，则a＜0.()(3)|x－1|＞1的解集为{x|x＞2或x＜－2}．()(4)|x－a|＜|x－b|⇔(x－a)2＜(x－b)2.()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．做一做(1)不等式|x|>x的解集是()A．{x|x≤0} B．{x|x<0或x>0} C．{x|x<0} D．{x|x>0} (2)不等式|3x－2|<1的解集为()A ．(－∞，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 (3)不等式|x ＋2|≥|x |的解集是________．(4)已知数轴上，A (－2)，B (x )，C (5)，若A 与C 关于点B 对称，则x ＝________；若线段AB 的中点到C 的距离小于3，则x 的取值范围是________．答案 (1)C (2)B (3)[－1，＋∞) (4)32 (6,18)题型一 一元一次不等式组的解法 例1 解下列不等式组： (1)⎩⎨⎧2x －1＞x ＋1， ①x ＋8＜4x －1； ② (2)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥x ＋11， ①2x ＋53－1＜2－x . ②[解] (1)将①式移项、合并同类项，得x ＞2.将②式移项、合并同类项，得3x ＞9.系数化为1，得x >3. 所以不等式组的解集为(3，＋∞)． (2)将①式移项、合并同类项，得x ≥8. 将②式去分母，得2x ＋5－3＜6－3x .移项、合并同类项，得5x <4.系数化为1，得x <45. 所以不等式组的解集为∅. 金版点睛解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，最后写出不等式组的解集.[跟踪训练1] x 取哪些整数值时，不等式5x ＋2＞3(x －1)与12x －1≤7－32x 都成立？解 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2＞3(x －1)，①12x －1≤7－32x .②将①式去括号，得5x ＋2＞3x －3.移项、合并同类项，得2x >－5.系数化为1，得x >－52. 将②式移项，合并同类项，得2x ≤8.系数化为1，得x ≤4. 所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，4，所以x 可取的整数值是－2，－1,0,1,2,3,4.题型二 |ax ＋b |≤c (c ＞0)和|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法 例2 解下列不等式： (1)|5x －2|≥8；(2)2≤|x －2|≤4.[解] (1)|5x －2|≥8可化为5x －2≥8或5x －2≤－8，解得x ≥2或x ≤－65， 故原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－65∪[2，＋∞)．(2)原不等式等价于不等式组⎩⎨⎧|x －2|≥2，|x －2|≤4.由|x －2|≥2，得x －2≤－2或x －2≥2， 所以x ≤0或x ≥4.由|x －2|≤4，得－4≤x －2≤4，所以一2≤x ≤6.故原不等式的解集为{x |－2≤x ≤0或4≤x ≤6}，即[－2,0]∪[4,6]． 金版点睛形如|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型的不等式，均可采用等价转化法进行求解，即|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≤－c 或ax ＋b ≥c .[跟踪训练2] 解下列不等式： (1)|2x －3|≤1；(2)|4－3x |＞5.解 (1)由|2x －3|≤1可得－1≤2x －3≤1， 所以1≤x ≤2.故原不等式的解集为[1,2]．(2)由|4－3x |>5可得4－3x >5或4－3x <－5，所以x <－13或x >3，即原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(3，＋∞). 题型三 |x －a |±|x －b |≤c 和|x －a |±|x －b |≥c 型不等式的解法 例3 解下列不等式：(1)|x ＋1|＋|x －1|≥3；(2)|x －3|－|x ＋1|＜1.[解] (1)解法一：如图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么点A ，B 之间的点到A ，B 两点的距离和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在点A 左侧有一点A 1到A ，B 两点的距离之和为3，A 1对应数轴上的x .由－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32.同理设点B 右侧有一点B 1到A ，B 两点的距离之和为3，B 1对应数轴上的x ， 由x －1＋x －(－1)＝3，得x ＝32，从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都小于3；点A 1的左侧或点B 1的右侧的任何点到A ，B 的距离之和都大于3.所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 解法二：当x ≤－1时，原不等式可以化为－(x ＋1)－(x －1)≥3， 解得x ≤－32.当－1<x <1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3.不成立，无解． 当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3， 解得x ≥32.综上所述，原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.解法三：将原不等式转化为|x ＋1|＋|x －1|－3≥0. 构造函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3，即y ＝⎩⎨⎧－2x －3，x ≤－1，－1，－1<x <1，2x －3，x ≥1.作出函数的图像，如图．函数图像与x 轴交点的横坐标是－32和32.从图像可知，当x ≤－32或x ≥32时，y ≥0，即|x ＋1|＋|x －1|－3≥0. 所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.(2)解法一：如图所示，在数轴上－1,3，x 对应的点分别为A ，C ，P ，而点B 对应的实数为12，点B 到点C 的距离与到点A 的距离之差为1.由绝对值的几何意义知，当点P 在射线Bx 上(不含点B )时，不等式成立，故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.解法二：原不等式⇔①⎩⎨⎧x ≤－1，－(x －3)＋(x ＋1)＜1或②⎩⎨⎧－1＜x ＜3，－(x －3)－(x ＋1)＜1或③⎩⎨⎧x ≥3，(x －3)－(x ＋1)＜1，解得①的解集为∅，②的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜3，③的解集为{x |x ≥3}． 综上可知，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.解法三：将原不等式转化为|x －3|－|x ＋1|－1<0，构造函数y ＝|x －3|－|x ＋1|－1，则y ＝⎩⎨⎧3，x ≤－1，－2x ＋1，－1＜x ＜3，－5，x ≥3.作出函数的图像，如图．函数图像与x 轴的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.由图像可知，当x >12时，有y <0， 即|x －3|－|x ＋1|－1<0，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.金版点睛形如|x －a |±|x －b |≤c 和|x －a |±|x －b |≥c型不等式的解法这种类型的不等式在求解时有三种方法：(1)利用绝对值的几何意义求解，这种方法体现了数形结合的思想，是解绝对值不等式最简单的方法，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题的关键．(2)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根，把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间，然后利用区间分段讨论法去绝对值符号求解，这种方法体现了分类讨论的思想，是解绝对值不等式最常用的方法．(3)构造函数，利用函数图像求解，这种方法体现了函数与方程的思想，准确画出函数图像并求解函数图像与x 轴的交点坐标是解题的关键．[跟踪训练3] 解下列不等式：(1)|x －1|－|5－x |＞2；(2)|2x －1|＋|3x ＋2|≥8.解 (1)原不等式即为|x －1|－|x －5|>2， 其等价于①⎩⎨⎧ x ＜1，1－x －(5－x )＞2或②⎩⎨⎧1≤x ≤5，x －1－(5－x )＞2或 ③⎩⎨⎧x ＞5，x －1－(x －5)＞2， 解得①无解，②的解集为{x |4<x ≤5}，③的解集为{x |x >5}，故原不等式的解集为(4，＋∞)． (2)①当x ≤－23时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔1－2x －(3x ＋2)≥8⇔－5x ≥9⇔x ≤－95，所以x ≤－95；②当－23<x <12时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔1－2x ＋3x ＋2≥8⇔x ＋3≥8⇔x ≥5，所以x ∈∅； ③当x ≥12时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔5x ＋1≥8⇔5x ≥7⇔x ≥75，所以x ≥75. 故原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－95∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫75，＋∞.1．不等式组⎩⎨⎧x ＋3＞0，3(x －1)≤2x －1的解集为( )A ．(－3,0]B ．(－3,2]C ．∅D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－3，－45答案 B解析 解不等式组⎩⎨⎧x ＋3＞0， ①3(x －1)≤2x －1， ②将①式移项，得x ＞－3.将②式去括号，得3x －3≤2x －1.移项、合并同类项，得x ≤2.所以不等式组的解集为(－3,2]，故选B.2．不等式|4－x |≥1的解集为( ) A ．[3,5] B ．(－∞，3]∪[5，＋∞) C ．[－4,4] D ．R答案 B解析 |4－x |≥1⇒x －4≥1或x －4≤－1，即x ≥5或x ≤3.所以所求不等式的解集为(－∞，3]∪[5，＋∞)．故选B.3．不等式1＜|x ＋1|＜3的解集为( ) A ．(0,2) B ．(－2,0)∪(2,4) C ．(－4,0) D ．(－4，－2)∪(0,2) 答案 D解析 由1＜|x ＋1|＜3，得1＜x ＋1＜3或－3＜x ＋1＜－1，所以0＜x ＜2或－4＜x ＜－2.所以所求不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．4．不等式|x ＋1|－|x －3|≥0的解集是________． 答案 [1，＋∞)解析 解法一：不等式等价转化为|x ＋1|≥|x －3|，两边平方，得(x ＋1)2≥(x －3)2，解得x ≥1， 故所求不等式的解集为[1，＋∞)．解法二：不等式等价转化为|x ＋1|≥|x －3|，根据绝对值的几何意义可得数轴上点x 到点－1的距离大于等于到点3的距离，到两点距离相等时x ＝1，故所求不等式的解集为[1，＋∞)．5．解不等式|x ＋2|＋|x －1|＜4.解 |x ＋2|＝0和|x －1|＝0的根－2,1把数轴分为三个区间：(－∞，－2]，(－2,1)，[1，＋∞)．在这三个区间上|x ＋2|＋|x －1|有不同的表达式，它们构成了三个不等式组． (1)当x ≤－2时，|x ＋2|＋|x －1|＜4⇔－2－x ＋1－x ＜4⇔－2x ＜5⇔x ＞－52， 所以不等式组⎩⎨⎧x ≤－2，|x ＋2|＋|x －1|＜4的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，－2.(2)当－2＜x ＜1时，|x ＋2|＋|x －1|＜4⇔x ＋2＋1－x ＜4⇔3＜4，所以不等式组⎩⎨⎧－2＜x ＜1，|x ＋2|＋|x －1|＜4的解集为(－2,1)． (3)当x ≥1时，|x ＋2|＋|x －1|＜4⇔x ＋2＋x －1＜4⇔2x ＜3⇔x ＜32， 所以不等式组⎩⎨⎧x ≥1，|x ＋2|＋|x －1|＜4的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.因此原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，－2∪(－2,1)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32.A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋5＞1－x ，x －1≤34x －18的解集为( )A ．(－∞，－12) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－125，72 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－125，12 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12 答案 B解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋5＞1－x ，x －1≤34x －18可化为⎩⎨⎧2x ＋15＞3－3x ， ①8x －8≤6x －1. ② 解不等式①，得x ＞－125.解不等式②，得x ≤72.所以原不等式组的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－125，72.故选B.2．“|x －1|＜2成立”是“x (x －3)＜0成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 ∵|x －1|＜2成立⇔－1＜x ＜3成立，x (x －3)＜0成立⇔0＜x ＜3成立，又－1＜x ＜3⇒/0＜x ＜3,0＜x ＜3⇒－1＜x ＜3，∴“|x －1|＜2成立”是“x (x －3)＜0成立”的必要不充分条件．故选B.3．不等式3≤|5－2x |<9的解集为( ) A ．(－∞，－2)∪(7，＋∞) B ．[1,4] C ．[－2,1]∪[4,7] D ．(－2,1]∪[4,7) 答案 D解析 不等式等价于⎩⎨⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3，解得－2<x ≤1或4≤x <7.所以原不等式的解集为(－2，1]∪[4,7)．故选D. 4．不等式|x －1|＋|x －2|≥5的解集为( ) A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B ．(－∞，1]∪[2，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[2，＋∞) 答案 A解析 画数轴可得：当x ＝－1或x ＝4时，有|x －1|＋|x －2|＝5.由绝对值的几何意义可得，当x ≤－1或x ≥4时，|x －1|＋|x －2|≥5，故选A.5．设集合A ＝{x ||x －a |＜1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |＞2，x ∈R }．若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )A ．|a ＋b |≤3B ．|a ＋b |≥3C ．|a －b |≤3D ．|a －b |≥3答案 D解析 由|x －a |＜1，得a －1＜x ＜a ＋1.由|x －b |＞2，得x ＜b －2或x ＞b ＋2.∵A ⊆B ，∴a －1≥b ＋2或a ＋1≤b －2，即a －b ≥3或a －b ≤－3，∴|a －b |≥3.二、填空题6．不等式||x －2|－1|≤1的解集为________． 答案 [0,4]解析 原不等式可转化为－1≤|x －2|－1≤1，故0≤|x －2|≤2，解得0≤x ≤4，故所求不等式的解集为[0,4]．7.|2x －1|－2|x ＋3|＞0的解集为________．答案 (－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析 ∵分母|x ＋3|＞0且x ≠－3，∴原不等式等价于|2x －1|－2＞0，即|2x －1|＞2， ∴2x －1＞2或2x －1＜－2，解得x ＞32或x ＜－12.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞32或x ＜－12且x ≠－3，即(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. 8．已知不等式|ax ＋b |＜2(a ≠0)的解集为{x |1＜x ＜5}，则实数a ，b 的值为________． 答案 1，－3或－1,3解析 原不等式等价于－2＜ax ＋b ＜2.①当a ＞0时，解得－2＋b a ＜x ＜2－ba ，与1＜x ＜5比较，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋ba ＝1，2－ba ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－3.②当a ＜0时，解得2－b a ＜x ＜－2＋ba ，与1＜x ＜5比较，得⎩⎪⎨⎪⎧2－b a ＝1，－2＋ba ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3. 综上所述，a ＝1，b ＝－3或a ＝－1，b ＝3. 三、解答题 9．解下列不等式：(1)|4x ＋5|≥25；(2)|3－2x |＜9； (3)1＜|x －1|＜5；(4)|x －1|＞|x －2|.解 (1)因为|4x ＋5|≥25⇔4x ＋5≥25或4x ＋5≤－25⇔4x ≥20或4x ≤－30⇔x ≥5或x ≤－152，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－152∪[5，＋∞)．(2)因为|3－2x |＜9⇔|2x －3|＜9⇔－9＜2x －3＜9⇔－6＜2x ＜12⇔－3＜x ＜6， 所以原不等式的解集为(－3,6)．(3)因为1＜|x －1|＜5⇔1＜x －1＜5或－5＜x －1＜－1⇔2＜x ＜6或－4＜x ＜0， 所以原不等式的解集为(－4,0)∪(2,6)．(4)|x －1|＞|x －2|⇔(x －1)2＞(x －2)2⇔x 2－2x ＋1＞x 2－4x ＋4⇔2x ＞3⇔x ＞32， 所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.10．解不等式|3x －2|＋|x －1|＞3.解 ①当x ≤23时，|3x －2|＋|x －1|＝2－3x ＋1－x ＝3－4x ，由3－4x ＞3，得x ＜0. ②当23＜x ＜1时，|3x －2|＋|x －1|＝3x －2＋1－x ＝2x －1，由2x －1＞3，得x ＞2，∴x ∈∅. ③当x ≥1时，|3x －2|＋|x －1|＝3x －2＋x －1＝4x －3，由4x －3＞3，得x ＞32，∴x ＞32. 故原不等式的解集为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.B 级：“四能”提升训练1．若|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，求实数a 的值． 解 当a ≤－1时，|x ＋1|＋2|x －a |＝⎩⎨⎧－3x ＋2a －1(x ≤a )，x －2a －1(a <x ≤－1)，3x －2a ＋1(x >－1)，所以(|x ＋1|＋2|x －a |)min ＝－a －1， 所以－a －1＝5，所以a ＝－6. 当a >－1时，|x ＋1|＋2|x －a |＝⎩⎨⎧－3x ＋2a －1(x ≤－1)，－x ＋2a ＋1(－1<x ≤a )，3x －2a ＋1(x >a )，所以(|x ＋1|＋2|x －a |)min ＝a ＋1， 所以a ＋1＝5，所以a ＝4. 综上可知，a ＝－6或a ＝4.2．已知P ＝|2x －1|＋|2x ＋a |，Q ＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式|2x －1|＋|2x ＋a |＜x ＋3的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，12时，|2x －1|＋|2x ＋a |≤x ＋3，求a 的取值范围．解 (1)解法一：当a ＝－2时，不等式为|2x －1|＋|2x －2|＜x ＋3. 当x ≥1时，4x －3＜x ＋3⇒x ＜2； 当x ≤12时，－4x ＋3＜x ＋3⇒x ＞0； 当12＜x ＜1时，1＜x ＋3⇒x ＞－2.综上可知，当a ＝－2时，不等式|2x －1|＋|2x ＋a |＜x ＋3的解集为(0,2)．解法二：当a ＝－2时，不等式|2x －1|＋|2x ＋a |＜x ＋3化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1，其图像如图所示，由图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0，所以原不等式的解集为(0,2)．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，12时，P ＝|2x －1|＋|2x ＋a |＝1＋a ，不等式|2x －1|＋|2x ＋a |≤x ＋3化为1＋a ≤x ＋3， 所以x ≥a －2对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，12都成立，故－a 2≥a －2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，43.。

《不等式的解集》课标解读教材分析本节的主要内容是求不等式的解集、不等式组的解集、绝对值不等式的解集，除此之外还介绍了数轴上的两点之间的距离公式和中点坐标公式的内容.不等式是一种重要的解题手段，求不等式的解集更是学生需要掌握的一项常规技能，是十分重要的一项内容.本节的重点是求不等式的解集，难点是利用绝对值的几何意义求绝对值不等式的解集，突破重点与难点的关键有两点，首先要理解其含义，其次要结合具体实例进行体会，要结合数轴的直观意义去理解.本节内容所涉及的主要数学核心素养有：直观想象、数学抽象、数学运算等. 学情分析对学生而言，前面已经学习了一元一次不等式的解、绝对值的定义，在初中已经掌握了这些内容的基础上，再来学习不等式的解集以及绝对值的几何意义的应用，有了前面的基础，学生学习起来还是比较感兴趣的.学生学习本节内容时可能会在绝对值的几何意义的应用方面感到困难，因此在学习过程中，要多举例，让学生自己尝试探索求解.教学建议不等式是中学学习的主要内容之一，解一元一次不等式主要考查运算能力，是集合知识的应用和巩固，为以后学习不等式内容打下基础，体现了数学运算的数学核心素养.解含有绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，化归为不含绝对值符号的不等式去解，而去绝对值的方法主要有：几何法、分区间讨论法、平方法，本节主要学习几何法和分区间讨论法，体现了直观想象的数学核心素养.由于数轴应用是体现绝对值几何意义的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生更好地理解绝对值的几何意义. 学科核心素养目标与素养1.结合实例，理解不等式（组）的解集的定义，并会依据不等式的性质探究一元一次不等式（组）的解法过程，达到数学运算核心素养学业质量水平一的层次.2.通过实例，理解||x a <（或||x a >）（0a >）的解法及解集；掌握||ax b c +<与||(0,0)ax b c a c +>≠>的解法，达到数学运算核心素养学业质量水平二的层次.3.能够借助数轴理解两点之间的距离公式和中点坐标公式，达到直观想象核心素养学业质量水平一的层次.情境与问题通过求解简单的一元一次不等式和解简单的含绝对值的方程，体会相关内容，为本节课的学习打下基础.内容与节点解不等式是解决数学问题的重要工具，在很多问题中都有应用，需要熟练掌握.过程与方法1.理解运用由特殊到一般，由具体到抽象，经历用集合符号语言表达不等式解集的过程，发展学生的数学抽象素养.2.理解绝对值的几何意义，体会绝对值的几何意义在解绝对值不等式中的作用，掌握解绝对值不等式的方法，发展学生的数学运算素养.3.通过求解两点之间的距离和中点坐标的过程，掌握相关公式的使用情况，提升直观想象素养.教学重点难点重点1.不等式（组）的解集的定义.2.||x a <（或||x a >）（0a >）的解法及解集.3.||ax b c +<与||(0,0)ax b c a c +>≠>型不等式的解法.难点在解绝对值不等式时，选择合适的方法去掉绝对值的符号.。